8.1.2 向量数量积的运算律-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的运算律，通过问题导思类比实数乘法运算律，结合向量线性运算引出交换律、数乘结合律和分配律，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于通过多项式公式与向量数量积公式类比迁移知识，微提醒辨析与实数运算差异培养数学抽象素养，分层题型和规律方法总结提升数学运算能力。学生能深化理解，教师可高效开展教学。

8.1.2　向量数量积的运算律 　 第八章　8.1　向量的数量积 知识目标 1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．　 2.能利用运算律进行向量数量积的运算. 素养目标 通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生数学抽象核心素养；利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 问题1.向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？ 提示：不相同；数量积得到的结果是实数；而数乘运算得到的结果是向量． 问题2.类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？ 提示：满足交换律和分配律． 问题导思 知识点一　向量数量积的运算律 已知向量a，b，c和实数λ，则有 1．a·b＝____(交换律)． 2．λ(a·b)＝(λa)·b＝_______(数乘结合律)． 结合律说明：数乘以向量的数量积，可以与任意一个向量交换结合． 3．(a＋b)·c＝________________分配律)． 新知构建 b·a a·(λb) a·c＋b·c (1)已知实数a，b，c(b≠0)则ab＝bc⇒a＝c.但对于向量 的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c⇏a＝c.因为a·b ＝b·c(b≠0)表示向量c，a在向量b方向上的投影的数量 相等，并不能说明a＝c.如图所示，虽然a·b＝b·c，但a≠c. (2)对于实数a，b，c，有(a·b)c＝a(b·c)．但对于向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立． 微提醒 知识点二　向量数量积的常用结论 实数中的某些公式“移植”到向量数量积的运算中仍然成立，下表为多项式中的一些公式与相应的向量数量积公式的对照，方便理解记忆. 多项式中的公式 向量数量积公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a a2＋b2＝0⇔a＝b＝0 a2＋b2＝0⇔a＝b＝0 (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2) (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2) ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立) ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当a与b同向共线时右边等号成立，a与b反向共线时左边等号成立) 1．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝ ，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是 A．0 B．a C．b D．c 自主检测 b·c＝|b||c|cos 45°＝1.所以a·(b·c)＝a.故选B． √ √ √ 4．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为 A．30° B．60° C．120° D．150° 由题意(2a＋b)·b＝0，所以2a·b＋b2＝0，即2|a||b|cos〈a，b〉＋b2＝0, 又|a|＝|b| ，所以cos〈a，b〉＝－ ，所以则a与b的夹角为120°.故选C． √ 5．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________． 7 返回 合作探究 返回 题型一　平面向量数量积的计算 角度1　向量数量积的简单计算 　 已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求： (1)a·b； (2)a2－b2； 解：a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. 点拨：依据数量积、模、夹角的定义逐一进行计算即可． 例1 (3)(2a－b)·(a＋3b)； 解：(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34. (4)|a＋b|. 规律方法 求向量的数量积的两个关键点 求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简．　 角度2　几何图形中的向量数量积的计算 点拨： 例2 规律方法 解决几何图形中的向量数量积运算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量．　　 对点练1.(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则(2a－b)·(a＋3b)＝________． (2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×16＋5×4×2×cos 120°－3×4＝0. 0 题型二　向量模的有关计算 　 (1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝ √ 例3 √ 规律方法 求向量的模的常见思路及方法 1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方． 2．a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ ，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．　　 对点练2.(1)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝ A．6 B．4 √ (2)若向量a，b, 满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________． 题型三　数量积的应用 角度1　两向量垂直 　 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ的值为 因为3a＋2b与λa－b垂直，所以(3a＋2b)·(λa－b)＝0，即3λ|a|2＋(2λ－3)a·b－2|b|2＝0.因为a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，所以a·b＝0，|a|2＝4，|b|2＝9，所以12λ－18＝0，即λ＝ .故选B． √ 点拨： 例4 角度2　两向量的夹角 　 若向量a＋3b垂直于向量7a－5b，并且向量a－4b垂直于向量7a－2b，则非零向量a与b的夹角为 A．60° B．30° C．120° D．150° √ 例5 规律方法 1．求向量夹角的基本步骤及注意事项 (1)步骤： (2)注意：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值．　　 2．向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b＝0，利用数量积的运算律代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题． 对点练3.(1)已知|a|＝2|b|＝2，a·b＝1，则a与a－b的夹角为________． (2)已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求： ①向量a与b夹角的大小； 设a与b的夹角为θ， 由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10 cos θ－8＝0， 所以cos θ＝ ，又0°≤θ≤180°， 所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°. ②|a－2b|的值． 因为|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4＋16＝13， 所以|a－2b|＝ . 微专题(三)　规律方法 1．向量数量积在平面几何中的应用 　 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，但不平 行，M，N分别是AD，BC的中点，NM的延长线与 BA，CD的延长线分别交于点P，Q，求证：∠APM＝∠DQM. 点拨：证明两角相等，可以转化为证明两角的某一三角函数值相等，但要注意两角要在三角函数的同一单调区间上． 因为M，N分别是AD，BC的中点， 例1 又θ1，θ2∈(0，π)，所以θ1＝θ2，即∠APM＝∠DQM. [名师点评]　利用向量数量积解决几何问题的步骤 利用向量数量积解决几何问题一般分为三步：一是用向量表示几何关系；二是进行向量运算；三是还原为几何结论． 2．利用数量积解决最值问题 例2 [名师点评]　解决与数量积最值有关问题的基本方法 解决与数量积最值有关问题的基本方法是：先进行数量积的有关运算，将数量积的最值问题转化为函数的最值问题或几何量的最值问题，再利用求函数最值的基本方法求出相关的最大值或最小值，或利用图形的形状直观求出相关的最值. 返回 随堂演练 返回 √ √ √ 4．已知向量a，b，其中|a|＝ ，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角为________，a·(a＋b)＝________． 6 返回 课时测评 返回 1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝ A．4 B．3 C．2 D．0 向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．已知向量a，b，其中|a|＝1，|a－2b|＝4，|a＋2b|＝2，则a在b的方向上的投影为 A．－1 B．1 C．－2 D．2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知向量a，b满足|a|＝5，|a－b|＝6，|a＋b|＝4，则向量b在向量a上的投影的数量为________． －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(17分)已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b的夹角为120°.求： (1)(a－2b)·(a＋b)；(4分) 解：a·b＝4×2×cos 120°＝－4， 所以(a－2b)·(a＋b) ＝a2－a·b－2b2 ＝16＋4－8＝12. (2)|2a－b|；(5分) 解：(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2 ＝64＋16＋4＝84， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)a与a＋b的夹角．(8分) 解：(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 ＝16－8＋4＝12， 又a·(a＋b)＝a2＋a·b＝16－4＝12， 所以a与a＋b的夹角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(17分)已知|a|＝3，|b|＝4. (1)若a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·a；(8分) 解：因为|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为60°， 所以(a＋2b)·a＝|a|2＋2b·a＝9＋2×3×4× ＝21. (2)若a与b不共线，当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直．(9分) 解：因为向量a＋kb与a－kb互相垂直， 所以(a＋kb)·(a－kb)＝0， 整理得a2－k2b2＝0， 又|a|＝3，|b|＝4， 所以9－16k2＝0，解得k＝± . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)下列关于平面向量a，b，c的判断正确的有 A．若|a－b|＝|a|＋|b|，则a∥b B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．若a∥c，则(a·b)c＝(b·c)a D．若a·b＝b·c，则a＝c √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，若|a－b|＝|a|＋|b|，两边平方得，－2a·b＝2|a|·|b|，即 －|a|·|b|cos〈a，b〉＝|a|·|b|，得cos〈a，b〉＝－1，所以a∥b，故A正确；对于B，当b＝0时，显然a∥c不一定成立，故B错误 ；对于C，若(a·b)c＝(b·c)a，则λc＝μa，其中λ＝a·b，μ＝b·c，根据向量共线定理得，a∥c，故C正确．对于D，当b＝0时，显然a＝c不一定成立，故D错误．故选AC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当a，b共线时，a*b＝|a－b|＝|b－a|＝b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故A正确；当λ＝0，b≠0时，λ(a*b)＝0，(λa)*b＝|0－b|≠0，故B错误；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)*c＝|a＋b－c|，a*c＋b*c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C错误；当e与a不共线时，|a*e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a*e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故D正确．综上，结论正确的是AD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(5分)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 　 向 量 的 数 量 积 与 三 角 恒 等 变 换 返回 3．下列命题中正确的个数是 ①＋＝0；②0·＝0；③a与b共线，则a·b＝|a||b|；④(a·b)c＝a(b·c)；⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0；⑥若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)． A．1 B．2 C．3 D．4 因为＝－，所以＋＝－＋＝0，故①正确；两个向量的数量积是一个具体的数，故②错误；当a与b共线，且方向相反时，a·b＝－|a||b|，故③错误；当c与a不共线，且a·b≠0，b·c≠0时，(a·b)c≠a(b·c)，故④错误；当a⊥b时a·b＝0，故命题⑤错误；若a·b＝a·c，则a·(b－c)＝0，有a＝0或a⊥(b－c)，故命题⑥不正确．故正确命题的个数是1.故选A． 　 在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________． － 由已知作图形，由＝2知D为BC的中点．所以＝(＋)，＝，＝＋＝－，所以·＝(＋)·＝×＝×＝－ 3 所以2＝(＋)＋＋＋(＋)． 所以＋＝0，＋＝0， 所以2＝0＋＋＋0＝＋，即＝(a＋b)． 　在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为 a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示， 其中PQ为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值． 3．已知▱ABCD中，||＝4，||＝3，N为DC的中点，＝2，则·＝ A．2 B．5 C．6 D．8 则·＝||||cos A＝1×1×＝.故选D． 3 13.如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝1，E，D分别是直线AB，AC上的点，＝2，＝4且·＝－2，则∠BAC＝________；若P是线段DE上的一个动点，则·的最小值为________． 因为a⊥b，且|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，|a＋b|＝，又因为(a－c)·(b－c)＝a·b＋c·c－(a＋b)·c＝c2－(a＋b)·c＝0，即|c|2＝(a＋b)·c＝|a＋b||c|·cos 〈a＋b，c〉，所以|c|＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝cos〈a＋b，c〉≤，故|c|的最大值为. $