8.1.1 向量数量积的概念-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 N第八章向量的数量积与三角恒等变换 8.1向量的数量积 8.1.1向量数量积的概念 :b的夹角为() 效果评价 A.30° B.45° 1.已知lal=3,bl=4,且a与b的夹角为 C.60° D.1209 150°，则ab等于() 6.在四边形ABCD中，AB.BC=0,BC A.-6 B.6 =AD,则四边形ABCD是() C.-6V3 D.6V3 A.直角梯形 B.菱形 2.已知la=4,bl=3,a与b的夹角为 C.矩形 D.正方形 30°，则a在b上的投影的数量为() 7.已知ab=16,若a在b上的投影的 A.2 B.2V3 数量为4，则b1= D.4V3 8.在边长为3的等边三角形ABC中， C.3 3.下列说法不正确的是() 点D在BC上，且CD=2DB,则AB.CD= A.lal=Va AB·BD= B.向量b在向量a上的投影的数量为 9.在△ABC中，已知IAB=5,IBC=4, blcos(a,b) AC=3,求： C.数量积ab的几何意义为向量a在向 (1)AB·BC; 量b上的投影的数量与b的模的乘积 (2)AC在AB上的投影的数量： D.在△ABC中，AB·BC<0,则△ABC (3)AB在BC上的投影的数量. 的形状是钝角三角形 4.(多选题)已知向量a,b和实数入， 则下列选项中正确的有（) A.若a与b是两个单位向量，则a2=-b2 B.la.bl=lallbl C.入(a+b)=入a+入b D.labl≤lallbl 5.已知lal=2,b1=V3,ab=3,则a与 44)练 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 10.已知la=2. D.(e+e2)⊥(e1-e2) (1)若b2=3,a∥b,求ab: 13.已知la=2,b1=12,ab=-12,则b (2)若ab=4,b=2V2,求a与b的夹 在a上的投影为( 角0； A.-3 B.3 (3)若ab=-6,a与b的夹角为150°， C.-3a D.3a 求IbL. 14.已知非零向量a,b,c满足a+b+c= 0,向量a,b的夹角为120°，且bl=2la,则 向量a与c的夹角为 15.已知lal=2b1≠0，且关于x的方程 x2+lalx+ab=0有实根，则a与b的夹角的取 值范围为 16.如图，四边形ABCD为直角梯形， AB∥CD,ABLAD,且AB=2DC=4,E为腰 BC上的动点.求AE.AB的取值范围 第16题图 提升练习 11.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC= 60°，则BD.CD等于() A. B.-3a 4 c. D. 12.(多选题)已知两个单位向量e1,e2 的夹角为0，则下列结论中正确的有（ A.e1在e2上的投影为cos0 B.e1e2=1 C.ei=e 练(45参考答案。 p)+9500,.∴y=9000.故选C. 故第四次距离地面60.5m时，用时为12+8=20(min). 3.A【解析】方法一：由已知条件，用排除可知.令x= 7.解：(1)令1=0，得h=3sin红=3Y2,六开始振 3可排除D,令x=7可排除B,由A=95=2可排除C.故 4 2 选A. 动的位置为平衡位置上方距离平衡位置3Y2cm处， 2 方法二：由题意，可得A=95=2,b=7.周期T=2π= (2)由题意知，当h=3时，1的最小值为日，即小球 2x(7-3)=8,则w=牙，fx)=2sin年+p+7.当x=3时， 第一次上升到最高点的时间为智、 y=9.2sin亚+p)+7-9,即sm(+e=l.elk号 当=-3时，1的最小值为贺，即小球第一次下降到 p=-开，x)-2n(牙4)+7(1≤x≤2，eN) 最低点的时间为5πs. 8 故选A (3)T=2T=π，即经过约πs小球往返振动一次。 2 4.C【解析】由2km-牙≤行≤2km+牙，ke乙，知函 (4户宁石即每秒内小球往返拔动号次。 数F(t)的单调递增区间为[4T-π，4kT+π]，k∈Z.当k= 8.解：(1)由已知数据， ty/m 1时，t∈[3m,5m].[10,15]C[3π，5π]，故选C. 13 描出曲线如图. 5石【解析】根据因象，知行，0)，(0两点的 易知函数y=f(t)的周期T= 距离刚好是子个码，小子7吕6子1，则如 12,振幅A=3,b=10, 9 15/ 2牙-2：当1仁石时，函数取得最大值，2× 6 石p=+ 10(0≤t≤24). 第8题答图 2冰m,keZ,又0w<79石 (2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5= 11.5(m). 提升练习 6.解：(1)由已知可设y=40.5-40 cosot(w>0,t≥ 由≥15，得3ng4+10≥15，即sn君≥子① 0.由已知周期为12min,可知w=贺，即w=石， 12 0≤1≤24,0≤石1≤4m.② 40.5-40 cos Tt(t≥0) 6 ①2，得g≤君1≤或1≤君≤1西化简得 61 6 6 1≤1≤5或13≤≤17. (2)令=40,5-40c0s石=60.5，得cos石=-7，∴石 6 6 该船最早能在凌晨1时进港5时出港，或在13时进 号r或君=号，解得14或8 港17时出港，故在港内最多可停留4h. 第八章向量的数量积与三角恒等变换 u8.1向量的数量积 AD且BC=AD,∴.四边形ABCD为平行四边形.又AB. BC=O,.AB⊥BC,.四边形ABCD为矩形.故选C. 8.1.1向量数量积的概念 7.4【解析】a-b=l6,.lalbicos(a,b)=l6.又a在b 效果评价 上的投影的数量为4，lalcos(a,b)=4,lb1=4. 1.C 2.B 3.D 4.ACD 83-子【解析】C-2D成， 5.A【解析】.la=2,bl=V3,a·b=3,.ab=lallb: 点D为BC上靠近点B的三等分点， cos(a,b)=2xV3 xcos(a,b)=3,..cos(a,b)=V3.. 2 如图所示，C=号C-2,D ≤(a,b)≤180°，.(a,b)=30°.故选A. }BC=1.又：AB,CD=AB,CB) 第8题答图 6.C【解析】在四边形ABCD中，BC=AD,.BC∥ 79 高中数学必修第三册人教B版 =60°，(AB,BD)=(AB,BC)=120°，.AB.CD=ABICD e3=leP=l,故C正确.如图所示，设AB=e1,Ad=e2,作平行 cos60°=3x2x2-3,B.Bd-eos120=°-3x1x←】 四边形ABCD,则平行四边形ABCD为菱形，则AC=e+e2, DB-e-e.AC⊥DB,(e+e)⊥(e-e),故D正确.故选 CD. 9.解：AB1=5,BC=4,AC1=3,.△ABC为直角三 3.C【解析】cos〈a,b)三b三B 角形，且∠C-90,ao1=报号coB=6-专 品=号，又a,e0, 2m 3 (1)AB.BC=IABI-IBC'lcos(T-B)=5x4x(-cosB)=20x (号)-16， a,b=否如图，00,0呢h,过 B O a A 点B作BB⊥OA,垂足为B',则b在 第13题答图 (2)AC在AB上的投影的数量为MAC1cos(AC,AB)=3x c0s4=3x3=9 a上的投影为0丽.：b1=2,0=12xcos号=6.又a 5-51 2,0B=-3a. (3)由向量数量积的几何意义及(1)知，AB在BC上 14.90°【解析】由题意可画出图形， 的投影的数量为4BBC=-16.-4 如图所示，在△OAB中，.∠OAB=60° IBC 4 b1=2lal,.∠ABO=30°，OA⊥OB,即向量 10.解：(1)b2=3,∴b=V3.当a∥b时，有两种 a与c的夹角为90°. 情况： 15.[写，m【解析】4=a-4a-h=ar 0604 ①当a与b的夹角为0时，a·b=lallblcos(0°=2x1V3×l= -4lalb1cos8(0为向量a与b的夹角)，若第14题答图 2V3; 方程有实根，则△≥0，即laP-4 lallblcose0≥0.又，lal=21b1, ②当a与b的夹角为180°时，a·b=lalb1cos180°=2× V3×(-1)=-2V3.ab=2V3或ab=-2V3. :4=4bP-8bRe0s0≥0，cos0≤7.又0≤0≤m,号≤ 2 0≤π. (2)a-b=lallblcos0=2x2V2 xcos0=4,:'.cos0=V2. 2 16.解：如图，过点E作EE'⊥ 9e[0,m,=平 AB,垂足为E',过点C作CC'⊥ AB,垂足为C',则AE在AB上的投 (3)当a与b的夹角为150°时，a·b=lallblcos150°=2xb1x 影为AE,AE在AB上的投影的数 -6,h=2V3. 量为4E.由向量数量积的几何意义 C'E 提升练习 知AE.AB=AE-AB=4IAE1.点E 第16题答图 11.D【解析】如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC= 在腰BC上运动，.点E在线段CB上运动，AC1 60°，.∠BDC=30°，(BD,CD)=30°.又菱形的边长为a, ≤AE1≤AB1,即2≤AE1≤4，.8≤4AE1≤16，AE. :.BD=V3 a...BD.CD=IBD'IICD Icos(BD,CD)=V3 axax AB的取值范围是[8,16]· c0s30P=号.故选D. 8.1.2向量数量积的运算律 效果评价 R 1.B2.A3.B4.B 5.C【解析】由题意知(3a+5b)·(ma-b)=0,即3ma2+ (5m-3)a·b-5b2-0,3mx32+(5m-3)x3×2xc0s60°-5×22-0，解 得m器故选C 6.D【解析】设AB-a,AC=b,则lal=lb1=3,cos(a,b)= 第11题答图 第12题答图 分，ab=3x3x号号Cb-a,=+d-A+ 12.CD【解析】e,在e2上的投影是一个向量，故A不 }BC-AB+}C-AB)=子+}b,4D.BC子a+b片 正确.e1e=le,llecos(e,e》=cos6,故B不正确.ei=le,P=l, 80 n