章末检测（七） 三角函数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学三角函数单元复习课件系统梳理了三角函数的概念、诱导公式、图像性质及应用，通过知识框架图将角度转化、函数定义、图像变换等核心内容串联，帮助学生构建完整的三角函数知识体系。 其亮点在于采用“基础巩固-综合应用-探究拓展”的分层复习模式，如通过扇形弦长计算培养几何直观，结合函数图像平移问题发展数学推理能力，开放条件的解答题设计提升数学建模与表达能力。这种设计让学生逐步深化理解，教师可精准把握学情，有效提升复习效率。

章末检测（七）　三角函数 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 把－765°化成2kπ＋α（0≤α＜2π），k∈Z的形式是（　　） A. －4π－ B. －4π＋ C. －6π－ D. －6π＋ 解析： 　由题意，可得－765°＝－720°－45°＝－1 080°＋315°＝ －6π＋ ，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 2. 若角α的终边经过点P（1，－2），则tan α的值为（　　） A. B. － C. －2 D. － 解析： 由任意角的正切的定义得tan α＝ ＝ ＝－2.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 3. 已知扇形OAB的周长为8 cm，圆心角∠AOB＝2 rad，则该扇形中弦长 AB＝（　　） A. 2 cm B. 4 cm C. 2 sin 1 cm D. 4 sin 1 cm 解析： 　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，由已知得 解得r＝2，则弦长AB＝2r sin ＝4 sin 1（cm）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 4. 已知 cos （ －α）＝ ，则 sin （ ＋α）＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　 sin （ ＋α）＝ sin ［ －（ －α）］＝ cos （ －α）＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 5. 如果函数y＝3 sin （2x＋φ）的图象关于点 中心对称，那么｜ φ｜的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析： 　由题意知2× ＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－ （k∈Z），由 此易得｜φ｜min＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 6. 为了得到函数y＝tan 的图象，只需把函数y＝tan 2x的图象上 所有的点（　　） A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 解析： 　∵y＝tan ＝tan 2 ，∴把函数y＝tan 2x的图象 上所有的点向左平移 个单位，即可得到函数y＝tan 的图象. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 7. 若函数f（x）＝ sin 2x＋2 cos x在区间 上的最大值为1，则θ 的值是（　　） A. 0 B. C. D. － 解析： 　由f（x）＝ sin 2x＋2 cos x＝1－ cos 2x＋2 cos x取到最大值1， 可知 cos x＝0，结合三角函数的图象易知θ＝－ ，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 8. 若函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）的部分图象如图所示，则ω和φ的取值是 （　　） A. ω＝1，φ＝ B. ω＝1，φ＝－ C. ω＝ ，φ＝ D. ω＝ ，φ＝－ 解析： 由图象知，T＝4 ＝4π＝ ，所以ω＝ .又当x＝ 时，y＝1，所以 sin （ × ＋φ）＝1，即 ＋φ＝2kπ＋ ，（k∈Z）， 当k＝0时，φ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分） 9. 若角α是第四象限的角，则（　　） A. sin α＞0 B. cos α＞0 C. tan α＞0 D. sin α cos α＜0 解析： 　若角α是第四象限的角，则 sin α＜0， cos α＞0，tan α＜0， sin α cos α＜0，故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 10. 同时满足下列三个条件的函数为（　　） ①在 上是增函数；②为R上的奇函数；③最小正周期为T≥π. A. y＝tan x B. y＝｜ cos x｜ C. y＝tan D. y＝ sin x √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 解析： 　A中y＝tan x，在 上是增函数且为奇函数又是以π为 最小正周期的函数，三个条件均满足；B中y＝｜ cos x｜，为偶函数且 在 上是减函数又是以π为最小正周期的函数，不满足条件① ②；C中y＝tan ，以2π为最小正周期，不满足条件③；D中y＝ sin ，在 上是增函数且为奇函数又以4π为最小正周期的函数，满 足三个条件.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 11. 函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ∈（0，π））的部分 图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A. ω＝ B. φ＝ C. 若f（x）在（0，m）上恰好有三个零点，则 ＜m≤ D. f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）＝2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 解析： 　A选项，设f（x）的最小正周期为T，由图象可知，T＝2× （4－1）＝6，即ω＝ ＝ ，A正确；B选项，由图象可知A＝2，故f （x）＝2 sin （ x＋φ），将（1，2）代入解析式得2 sin （ ＋φ）＝2， 即 sin （ ＋φ）＝1，又φ∈（0，π），故 ＋φ＝ ，解得φ＝ ，B错误； C选项，由B知，f（x）＝2 sin （ x＋ ），当x∈（0，m）时， x＋ ∈（ ， m＋ ），f（x）在（0，m）上恰好有三个零点，故 m＋ ∈ （3π，4π]，解得 ＜m≤ ，C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） D选项，由A知，f（x）的最小正周期为6，其中f（1）＝2，f（2）＝2 sin ＝1，f（3）＝2 sin （ π＋ ）＝－2 sin ＝－1，f（4）＝2 sin （ ＋ ）＝－2，f（5）＝2 sin （ ＋ ）＝－1，f（6）＝2 sin （ 2π＋ ） ＝1，故f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＋f（6）＝0，所以f （1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（2 025）＝337[f（1）＋f（2）＋f（3） ＋f（4）＋f（5）＋f（6）]＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝0＋2＋1－1＝2， D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 已知锐角α，β满足α＋β＝ ，则 cos 2α＋tan α· sin β的最大值 为 ⁠. 解析：因为锐角α，β满足α＋β＝ ，所以α∈（ 0， ）， sin α∈（0，1）， 从而 cos 2α＋tan α· sin β＝1－ sin 2α＋ · sin （ －α）＝－ sin 2α＋ sin α＋1＝－（ sin α－ ）2＋ ，故当 sin α＝ ，即α＝ 时，原式取得最 大值 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 13. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（－5）＝ ⁠. ​ 解析：由题设A＝2且 ＝ ＝6－2＝4，则ω＝ ， 故f（x）＝2 sin （ x＋φ）.又f（2）＝2 sin （ ＋φ）＝2，则φ＝2kπ，k∈Z，所以f（x）＝2 sin （ x＋2kπ）＝2 sin （ x），则f（－5）＝2 sin （ － ）＝2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 14. 将函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，－ ≤φ≤ ）图象上每一点 的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到 y＝ sin x的图象，则f（x）的解析式为 ⁠， f ＝ 　​ 　. 解析：将y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度可得y＝ sin 的图 象，保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍可得y＝ sin 的图 象，故f（x）＝ sin ，所以f ＝ sin ＝ sin ＝ . ：f（x）＝ sin ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中， 锐角α的终边与单位圆交于点P（ ，m），将角α的 终边按逆时针方向旋转 后得到角β的终边，并与单位 圆交于点Q. （1）求点Q的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 解： 由P（ ，m）得 cos α＝ ，又α∈（ 0， ），所以 sin α＝ ＝ ，由题可知β＝ ＋α，所以 sin β＝ sin （ α＋ ）＝ cos α＝ ， cos β＝ cos （ α＋ ）＝－ sin α＝－ ，所以点Q的坐标为（ － ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） （2）求 的值. 解： 由（1）可知tan β＝ ＝ ＝－ ， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 16. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（ A＞0，ω＞ 0，｜φ｜＜ ）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最 高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（ x0＋ ，－2）. （1）求函数y＝f（x）的解析式及x0的值； 解： 设函数f（x）的最小正周期为T，由题意可 得，A＝2，T＝2× ＝π＝ ，故ω＝2. 因为f（0）＝2 sin φ＝1，｜φ｜＜ ，所以φ＝ ，f （x）＝2 sin （ 2x＋ ）. 根据五点作图法可得，2x0＋ ＝ ，解得x0＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） （2）求f（x）的单调递减区间； 解： 由 ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z得 ＋ kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z， 故f（x）的单调递减区间为［ ＋kπ， ＋kπ］， k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） （3）先将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标缩小为原来的 ，再将得 到的函数图象向左平移 个单位长度，最后得到函数y＝g（x）的图象， 求g（x）在区间［0， ］上的值域. 解： 由题意得，g（x）＝2 sin ［4（ x＋ ）＋ ］＝2 sin （ 4x＋ ），当0≤x≤ 时， ≤4x＋ ≤ ，所以 ≤ sin （ 4x＋ ）≤1， 所以1≤g（x）≤2，即g（x）的值域为[1，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 17. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝3tan . （1）求f（x）的定义域； 解： 由已知得2x－ ≠kπ＋ （k∈Z）， 即x≠ ＋ （k∈Z）， 所以f（x）的定义域为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） （2）试比较f 与f 的大小. 解： f ＝3tan ＝－3tan ＜0，f ＝3tan ＝ 3tan ＝3tan ＝3tan ＞0，所以f ＜f . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 18. （本小题满分17分）在①将函数f（x）图象向右平移 个单位所得图 象关于y轴对称；②函数y＝f 是奇函数；③当x＝ 时，函数y＝ f 取得最大值.三个条件中任选一个，补充在题干中的横线处，然后 解答问题. 已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ），其中ω＞0，｜φ｜＜ ，其图象相邻 的对称中心之间的距离为 ， 　　　 　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） （1）求函数y＝f（x）的解析式； 解： 因为函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ）的图象相邻的对称中心之间 的距离为 ， 所以周期 ＝ ，即T＝π，所以ω＝ ＝2. 若选择①， 因为函数f（x）图象向右平移 个单位所得图象关于y轴对称， 所以g（x）＝2 sin ＝2 sin （2x－ ＋φ）的图象关于y轴 对称，所以φ－ ＝kπ＋ ，k∈Z， 因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2 sin . 若选择②， 因为y＝f ＝2 sin ＝2 sin 是奇函数， 所以 ＋φ＝kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ .所以函数y＝f （x）的解析式为f（x）＝2 sin . 若选择③， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） y＝f ＝2 sin ＝2 sin （2x－ ＋φ），由题设，当 x＝ 时，函数y＝f 取得最大值，所以2× － ＋φ＝2kπ＋ （k∈Z），即φ＝2kπ－ （k∈Z）， 因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ . 所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） （2）求函数y＝f（x）在 上的最小值，并写出取得最小值时x 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解： 因为f（x）＝2 sin ，x∈ ， 所以2x－ ∈ ， 所以当2x－ ＝－ ，即x＝－ 时，函数f（x）取得最小值，最小值为 －2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 19. （本小题满分17分）对于分别定义在D1，D2上的函数f（x），g （x）以及实数k，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）－g（x2）＝ k，则称函数f（x）与g（x）具有关系M（k）. （1）若f（x）＝ cos x，x∈[0，π]；g（x）＝ sin x，x∈[0，π]，判断 f（x）与g（x）是否具有关系M（－2），并说明理由； 解： f（x）与g（x）具有关系M（－2），理由如下： 当x∈[0，π]时，f（x）＝ cos x∈[－1，1]，g（x）＝ sin x∈[0，1]， 当x1＝π时，f（x1）＝f（π）＝－1，当x2＝ 时，g（x2）＝g（ ）＝ 1，此时f（π）－g（ ）＝－2，则f（x）与g（x）具有关系M（－2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） （2）若f（x）＝ cos x－1与g（x）＝－2 sin 2x＋ sin x＋1具有关系M （k），求实数k的取值范围； 解：由函数f（x）＝ cos x－1∈[－2，0]， 且g（x）＝－2 sin 2x＋ sin x＋1＝－2（ sin x－ ）2＋ ， 因为 sin x∈[－1，1]，所以当 sin x＝－1时，g（x）min＝－2×（－1－ ）2＋ ＝－2，当 sin x＝ 时，g（x）max＝ ，所以g（x）∈［－2， ］， 所以[f（x1）－g（x2）]∈［－ ，2］， 所以k∈［－ ，2］， 即实数k的取值范围为［－ ，2］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） （3）已知a＞0，h（x）为定义在R上的奇函数，且满足：①在[0，2a] 上，当且仅当x＝ 时，h（x）取得最大值1；②对任意x∈R，有h（a ＋x）＋h（a－x）＝0. 判断是否存在实数a（a＞0），使得f（x）＝ sin 2πx＋h（x）与g （x）＝h（x）－ cos 2πx具有关系M（4），若存在，求出a的值；若不 存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 解：不存在实数a使得f（x）与g（x）具有关系M（4）.理由如下： 因为在[0，2a]上，当且仅当x＝ 时，h（x）取得最大值1，且h（x） 为定义在R上的奇函数， 所以在[－2a，0]上，当且仅当x＝－ 时，h（x）取得最小值－1，故h （x）的值域为[－1，1]， 由对任意x∈R有h（a＋x）＋h（a－x）＝0，可得y＝h（x）关于点 （a，0）对称， 又h（a＋x）＝－h（a－x）＝h（x－a），故h（x）的周期为2a，又 sin 2πx∈[－1，1]， cos 2πx∈[－1，1]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 所以当h（x1）＝1时，x1＝ ＋2na，n∈Z， sin 2πx1＝1时，x1＝ ＋ k，k∈Z， 若 ＋2na＝ ＋k，即a＝ ，k，n∈Z，此时有f（x1）＝ sin 2πx1＋ h（x1）＝2； 当h（x2）＝－1时，x2＝－ ＋2ma，m∈Z， cos 2πx2＝1时，x2＝t， t∈Z， 若－ ＋2ma＝t，则a＝ ，t，m∈Z时，有g（x2）＝h（x2）－ cos 2πx2＝－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） 因为 ≠ ，所以 sin 2πx1＋h（x1）＋ cos 2πx2－h（x2）＜4， 所以不存在x1∈R，x2∈R使得 sin 2πx1＋f（x1）＋ cos 2πx2－f（x2） ＝4， 故不存在实数a使得f（x）＝ sin 2πx＋h（x）与g（x）＝h（x）－ cos 2πx具有关系M（4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·必修第三册（B 版） $