7.3.5 已知三角函数值求角-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“已知三角函数值求角”，通过“大海航行方向计算”情境导入，以“已知sinx=√3/2求角”问题衔接三角函数线与反三角函数概念，结合自我诊断夯实基础，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合直观想象与数学运算，通过分区间（如[-π/2,π/2]、[0,2π]、R）求角典例，配合单位圆图示与通性通法总结，培养逻辑推理能力。题型分类清晰，跟踪训练与随堂检测结合，助力学生掌握方法，教师可直接用于高效教学。

7.3.5　已知三角函数值求角 1 1.会利用三角函数线求角（直观想象、数学运算）. 2.会用符号arc sin x，arc cos x，arctan x表示角（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内 的广泛的数学知识. 【问题】　已知 sin x＝ ，你能求出满足条件的角x吗？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点　arc sin x，arc cos x，arctan x的含义 1. 任意给定一个y∈[－1，1]，当 sin x＝y且x∈ 时，通常记 作：x＝ ⁠. 2. 在区间[0，π]内，满足 cos x＝y（y∈[－1，1]）的x只有一个，通常 记作：x＝ ⁠. 3. 在区间 内，满足tan x＝y（y∈R）的x只有一个，通常记 作：x＝ ⁠. arc sin y　 arc cos y　 arctan y　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 　符号arc sin α（α∈[－1，1]），arc cos α（α∈[－1，1]），arctan α （α∈R）分别表示什么？ 提示：arc sin α表示在区间 上，正弦值为α的角；arc cos α表示在 区间 上，余弦值为α的角；arctan α表示在区间 上，正切值 为α的角. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. arc sin ＝－ B. arc sin 0＝0 C. arc sin （－1）＝ π D. arc sin 1＝ 解析： 　根据已知正弦值求角的定义知arc sin （－1）＝－ ，故C项 错误.易知A、B、D正确. √ √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知α是三角形的内角，且 sin α＝ ，则α＝ 　 或 　. 解析：因为α是三角形的内角，所以α∈（0，π）， 当 sin α＝ 时，α＝ 或 . 3. 已知tan 2x＝－ 且x∈[0，π]，则x＝ 　 或 　. 解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π].∵tan 2x＝－ ，∴2x＝ 或2x ＝ ，∴x＝ 或 . 或 或 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜已知正弦函数值求角 【例1】　求下列范围内适合 sin x＝ 的x的集合. （1）x∈ ； 解： 由y＝ sin x在 上是增函数及反正弦函数的概念，知适 合 sin x＝ 的角x只有一个，即x＝ .这时，适合 sin x＝ 的x的集合为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）x∈[0，2π]； 解： 当x∈[0，2π]时，由诱导公式 sin （π－x）＝ sin x＝ 及 sin ＝ sin ＝ ，可知x1＝ ，x2＝ .这时，适合 sin x＝ 的x的集合为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）x∈R. 解： 当x∈R时，据正弦函数的周期性可知x＝2kπ＋ （k∈Z）或x ＝2kπ＋ （k∈Z）时， sin x＝ ， 则所求的x的集合是 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 给值求角问题，关键是看角的范围，通常借助单位圆或三角函数在一个 周期上的图象，根据相应三角函数值确定一个单调区间内或一个周期内的 角，再利用终边相同角把所求范围内的所在角表示出来. 2. 对于已知正弦值求角有如下规律 sin x＝α （｜α｜ ≤1） x∈ x∈[0，2π] x＝arc sin α 0≤α≤1 －1≤α＜0 x1＝arc sin α， x2＝π－arc sin α x1＝π－arc sin α， x2＝2π＋arc sin α 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　已知 sin ＝ ，x∈R，求角x的取值集合. 解：法一　由 sin ＝ ＞0可知，角x＋ 对应的正弦线方向朝上， 且长度为 . 作出示意图如图①所示. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 由图①可知角x＋ 的终边可能是 OP，也可能是OP'. 又 sin ＝ sin ＝ ， 所以x＋ ＝2kπ＋ 或x＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z， 即x＝ ＋2kπ或x＝ ＋2kπ，k∈Z. 所以角x的取值集合为. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 法二　作出y＝ sin x在[0，2π]上的图象及直线y＝ ，如图②所示，由图 ②可知 sin ＝ sin ＝ ， 所以x＋ ＝2kπ＋ 或x＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z， 即x＝ ＋2kπ或x＝ ＋2kπ，k∈Z. 所以角x的取值集合为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜已知余弦函数值求角 【例2】　（1）已知 cos ＝ ，求x； 解： 由 cos ＝ ＞0， 知角2x－ 对应的余弦线方向向右，且长度为 ， 如图所示，可知角2x－ 的终边可能是OP，也可能是OP'. 又因为 cos ＝ cos ＝ ， 所以2x－ ＝－ ＋2kπ或2x－ ＝ ＋2kπ，k∈Z. 所以x＝ ＋kπ或x＝ ＋kπ，k∈Z. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求不等式 cos ＞－ 的解集. 解： 如图所示， 在[－π，π]上， x＋ ＝－ 或 x＋ ＝ 时， cos ＝－ ， 所以 x＋ ＝－ ＋2kπ或 x＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z时， cos ＝ － . 令－ ＋2kπ＜ x＋ ＜ ＋2kπ，k∈Z， 解得－ ＋4kπ＜x＜ ＋4kπ，k∈Z， 所以不等式的解集为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 已知余弦值求角的方法 （1）若为特殊角的余弦值，根据角的范围确定角的大小； （2）若为非特殊角的余弦值，对应关系如下表： cos x＝ a（｜a｜≤1） x∈[0，π] x∈[0，2π] x＝arc cos a x1＝arc cos a， x2＝2π－arc cos a 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　已知 cos α＝－ ，若满足： （1）α∈[0，π]； 解： 因为余弦函数在[0，π]上单调递减，所以符合 cos α＝－ 的角α 只有一个. 又 cos ＝－ ，所以α＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）α∈[0，2π]； 解： 因为α∈[0，2π]， cos α＝－ ，所以α是第二或第三象限角，符 合 cos α＝－ 的角有两个，根据 cos ＝ ， cos ＝ cos （ π－ ）＝－ cos ＝－ ， cos （ π＋ ）＝－ cos ＝－ ，得α＝ 或α＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）α∈R. 分别求角α. 解： 由余弦函数的周期性知，当α＝ ＋2kπ或α＝ ＋2kπ （k∈Z）时， cos α＝－ ，即所求的角α的集合为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜已知正切函数值求角 【例3】　已知tan α＝－1，若满足：（1）α∈（ － ， ）； 解： 由正切函数在开区间（ － ， ）上是增函数，可知符合tan α＝ －1的角只有一个，α＝－ . （2）α∈[0，2π]； 解： ∵tan α＝－1＜0，∴α是第二或第四象限角.又α∈[0，2π]，由 正切函数在区间（ ，π］，（ ，2π］上单调递增知符合tan α＝－1的角 有两个.∵tan（α＋π）＝tan α＝－1，∴α＝ 或 . （3）α∈R. 分别求角α. 解： 由正弦函数的周期性可知α＝－ ＋kπ（k∈Z）. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 已知正切值求角的方法 （1）若为特殊角的正切值，根据角的范围确定角的大小和角的个数； （2）若为非特殊角的正切值，对应关系如下表： tan x＝a （a∈R） x∈（ － ， ） x∈[0，2π]（ x≠ 且x≠ ） x＝arctan a a≥0 a＜0 x1＝arctan a， x2＝π＋arctan a x1＝π＋arctan a， x2＝2π＋arctan a 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. tan 2x＋1＝0在区间（1，3）内的解是 ⁠. 解析：tan 2x＋1＝0，得tan 2x＝－1，所以2x＝kπ＋ （k∈Z），x＝ ＋ （k∈Z）.当k＝－1时，x＝－ ＋ ＝－ ∉（1，3）；当k＝0 时，x＝ ∈（1，3）；当k＝1时，x＝ ＋ ＝ ∈（1，3）；当k＝2 时，x＝π＋ ＝ ∉（1，3）.综上，tan 2x＋1＝0在区间（1，3）内的 解是 或 . 或 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 写出方程 sin 3x＝1在x∈（ ，π）内的解集 　{ ， }　. 解析：∵ sin 3x＝1，∴ sin 3x＝ ，∴3x＝ ＋2kπ（k∈Z），或3x ＝ ＋2kπ（k∈Z），∴x＝ ＋ （k∈Z），或x＝ ＋ （k∈Z）.∵x∈（ ，π），∴所求解集为{ ， }. { ， } 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 若 sin α＝－ ，α∈（ － ，0），则α＝（　　） A. － B. － C. － D. － 解析： 　由 sin α＝－ ＝－ sin ＝ sin （ － ），α∈（ － ，0），解得 α＝－ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. ＝（　　） A. B. 0 C. 1 D. － 解析： 　因为arc sin ＝ ，arc cos ＝ ，arctan（－ ）＝－ ，所以原式＝ ＝1. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕方程tan（ 2x＋ ）＝ 在区间[0，π]上的解为（　　） A. 0 B. C. D. π 解析： 　当x∈[0，π]时，2x＋ ∈［ ， ］，由tan（ 2x＋ ）＝ ，得2x＋ ＝ 或2x＋ ＝ 或2x＋ ＝ ，解得x＝0或x＝ 或x＝ π，所以方程tan（ 2x＋ ）＝ 在区间[0，π]上的解为0， ，π. √ √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知 sin α＝－ 且α∈（0，2π），则α等于（　　） A. B. C. 或 D. 或 解析： 　 sin α＝－ ＜0，故α为第三象限角或第四象限角，又α∈（0， 2π），故α＝ 或 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知 cos x＝－ ，x∈[0，π]，则x＝（　　） A. arc cos B. π－arc cos C. －arc cos D. π＋arc cos 解析： 　arc cos ∈（0， ），所以π－arc cos ∈ .所以 cos x＝ － ，x∈[0，π]，x＝π－arc cos . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 函数y＝arctan － 的一个值域是（　　） A. B. C. D. 解析： 　因为 ≥0，所以arctan ∈ ，则arctan － ∈ ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 若P（－1，2）是钝角α的终边上一点，则角α可以表示为（　　） A. arc sin B. arc cos C. arctan（－2） D. 以上都不对 解析： 　由题意可得 sin α＝ ， cos α＝－ ，tan α＝－2，又 α∈ ，可知α＝π－arc sin ＝arc cos ＝π＋arctan（－2）.故 选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 已知等腰三角形的顶角为arc cos ，则底角的正切值是（　　） A. B. － C. D. 解析： 　由题意得三角形顶角为arc cos ＝ ，底角为 ＝ .故 tan ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 〔多选〕以下为三角方程 sin x＝ （x∈[0，2π））的解的是（　　） A. arc sin B. π－arc sin C. D. 解析： 　因为 sin x＝ ，x∈[0，2π），所以x＝arc sin ，或x＝π－arc sin ，所以方程的解集为 .故选A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. arc cos ＝ 　​ 　. 解析：因为 cos ＝ ，且0＜ ＜1，所以arc cos ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 已知角A是△ABC的一个内角，若tan A≥－ ，则角A的取值范围 是 ⁠. 解析：因为角A是△ABC的一个内角，所以A∈（0，π）.又tan A≥－ ，所以由正切函数y＝tan x图象可得A∈（ 0， ）∪［ ，π）. （ 0， ）∪［ ，π） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 已知函数f（x）＝ cos ωx，g（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）， 且g（x）的最小正周期为π.若f（α）＝ ，α∈[－π，π]，则α的取值集 合为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析：因为g（x）＝ sin （ω＞0）的最小正周期为π，所以 ＝ π，解得ω＝2，所以f（x）＝ cos 2x.由f（α）＝ ，得 cos 2α＝ ，即 cos 2α＝ ，所以2α＝2kπ± ，k∈Z. 则α＝kπ± ，k∈Z. 因为 α∈[－π，π]，所以α∈ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 求值：（1） ； 解： ∵arc sin ＝ ，arc cos ＝ ， arctan （－1）＝－ ∴原式＝ ＝－1＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2） sin （arc sin ）＋arc sin ＋ cos ＋arc cos . 解： ∵arc sin ＝ ，∴ sin ＝ sin ＝ . ∵ sin ＝ ，∴arc sin ＝arc sin ＝ . ∵arc cos ＝ ，∴ cos ＝ cos ＝ ， ∵ cos ＝－ ，∴arc cos ＝arc cos ＝ ，∴原式＝ ＋ ＋ ＋ ＝π＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 〔多选〕下列式子，正确的有（　　） A. arc sin ＝1 B. arc sin ＝－ C. arc sin ＝ D. sin ＝ 解析： 　对于A，在arc sin x中－1≤x≤1，而 ＞1.故A式无意义；对 于B，在 上只有 sin ＝－ ，所以arc sin ＝－ ，故B正 确；对于C、D，由定义知是正确的.故选B、C、D. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 求值：arc cos （ － ）＋arc sin ［ sin （ － ）］＋arc sin （ － ）＝ 　​ 　. 解析：因为 cos ＝－ ，所以arc cos （ － ）＝ .因为 sin （ － ） ＝－ ， sin （ － ）＝－ ，所以arc sin ［ sin （ － ）］＝arc sin （ － ）＝－ .因为 sin （ － ）＝－ ，所以arc sin （ － ）＝－ . 故原式＝ － － ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 设函数f（x）＝tan . （1）求函数f（x）的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； 解： 由 － ≠kπ＋ ，得到函数的定义域为 ；周期T＝2π； 由kπ－ ＜ － ＜kπ＋ （k∈Z），解得f（x）的单调递增区间为 （k∈Z），无减区间； 由 － ＝ 得x＝ ＋kπ（k∈Z），故f（x）的对称中心为 （k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求不等式－1≤f（x）≤ 的解集. 解： 由题意，kπ－ ≤ － ≤kπ＋ （k∈Z）， 解得 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ（k∈Z）， 可得不等式－1≤f（x）≤ 的解集为{x｜ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ， k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（ A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的部分图 象如图所示，若f（x0）＝4 ，则x0可能为（　　） A. B. C. － D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由图象可得，A＝8，T＝6π，则ω＝ ＝ .又f（－π）＝8 sin （ － ＋φ）＝0，得－ ＋φ＝kπ，即φ＝ ＋kπ，k∈Z，又｜φ｜＜ ， 所以φ＝ ，则f（x）＝8 sin （ x＋ ）.因为f（x0）＝4 ，即8 sin （ x0＋ ）＝4 ，即 sin （ x0＋ ）＝ ，所以 x0＋ ＝ ＋2kπ或 x0＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z，解得x0＝－ ＋6kπ或x0＝ ＋6kπ，k∈Z，所以x0 ＝ 符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 求函数y＝arc sin （ sin x）的定义域、值域，判断它的奇偶性、单调 性、周期性. 解：对于函数y＝arc sin （ sin x），根据－1≤ sin x≤1，求得x∈R，故函 数的定义域为R. 根据反正弦函数的定义可得y∈ . 再根据y＝f（x）＝arc sin （ sin x）满足f（－x）＝arc sin [ sin （－ x）]＝arc sin [－ sin x]＝－arc sin （ sin x）＝－f（x）， 故函数f（x）为奇函数. 在R上，当x增大时，函数t＝ sin x不具备单调性，故函数y＝arc sin （ sin x）在定义域R上不具备单调性. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 再根据y＝f（x）＝arc sin （ sin x）满足f（x＋2π）＝arc sin [ sin （x＋ 2π）]＝arc sin （ sin x）＝f（x）， 可得函数y的一个周期为2π. 由于不存在T∈（0，2π），使f（x＋T）＝f（x）对于定义域内的任意x 都成立，故函数y的最小正周期为2π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $