7.3.5 已知三角函数值求角（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 7.3.5 已知三 课程标准 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法 2.了解符号arcsin z,arccos x,arctan x的含义，并能) 些符号表示非特殊角 课前。 [情境引入] 大海中航行需要正确地 计算航行的方向，需要掌握包 括三角函数在内的广泛的数 学知识 [问题] 已知sinx= 号，你能求出满足条件的角 x吗？ 提示x=十2km或x=2+2r,k∈Z. P [知识梳理] [知识点一]已知正弦值求角 (1)方法1一利用三角函数线 以射线OP与OP'为终边的角构 成sinx=a的解集. 终边在图中阴影部分（不含边界） 的角构成sinx<a的解集，终边在空白部分（不含 边界)的角构成sinx>a的解集， (2)方法2一利用三角函数图像 ①交点P与P'的横坐标为[0,2π]内使sinx=a 成立的x的值，即为sinx=a在[0,2x]上的解. ②曲线上加粗部分（不含边 y 界)对应的x值构成sinx< v=d a在[0,2x]上的解集；其余 部分（不含边界）对应的x值 y=sinx 构成sinx>a在[0,2x]上的解集 ③结合正弦函数的周期性把①②中的解集扩展到 整个定义域内. [知识点二]已知余弦值求角 (1)方法1—利用三角函数线 以射线OP与OP'为终边的角构成cosx=a的 解集. ·88 数学B 角函数值求角 素养解读 用这 通过知值求角提升数学运算及数学抽象素养 预习学案 对应学生用书P46 终边在阴影部分（不包含边界）的 角构成cosx<a的解集，终边在 空白部分的角构成cosx>a的 解集. (2)方法2——利用三角函数图像 ①交点P与P'的横坐标为[0,2x]内使cosx=a 成立的x的值，即为cosx=a在[0,2π]上的解. ②曲线上加粗部分（不含边 界)对应的x值构成cosx y=cos x <a在[0,2x]上的解集；其 余部分（不含边界）对应的 x值构成cosx>a在[0,2π]上的解集 ③结合余弦函数的周期性把①②中的解集扩展到 整个定义域内. [知识点三]已知正切值求角 (1)方法1一利用三角函数线 以射线OP与OP'为终边的角 构成tanx=a的解集.终边在图 中阴影部分（不含边界）的角构 成tanx<a的解集，终边在空白 -1 部分（不含边界）的角构成tanx >a的解集. (2)方法2—一利用三角函数图像 ①交点P的横坐标为（一受，受）内 使tanx=a成立的x的值，即为 amx=a在一受受上的解。 ②曲线上加粗部分（不含边界）对 应的x值构成tanx<a在（一受·受）上的解集， 其余部分（不含边界）对应的x值构成tanx>a 在（受·受）上的解集。 ③结合正切函数的周期性把①②中的解集扩展到 整个定义域内 [知识点四]arcsin x,arccos z,arctan z的含义 (1)任意给定一个y∈[-1,1]，当sinx=y且x∈ (一受，受)时，通常记作x=esin义 (2)在区间[0,2π]内，满足cosx=y,y∈[-1,1]的x 只有一个，记作x=arccos y. (3)在区间（一受，）内调足anx=yy∈R的x 只有一个，记作x=arctan y. ?思考已知角x的一个三角函数值，所求得的角 一定只有一个吗？为什么？ 提示：不一定，这是因为角的个数要根据角的取 值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角 函数值的角不止一个，则所求的角也就不止 课堂 ⊙ 题型 已知正弦值求角或角的范围 [例1] 已知f(x)=2sin(2-晋) (1)x∈[-受，]且f(x)=-5,求x的值： (2)解不等式f(x)<一√. [思路点拨]根据角的范围确定角的值 [解] a2sin(2x-)=-, .角2x一 的正孩线向下，且 长度为 ,如图 N OM .角2x- 号的终边为OP D 或OP', 又n()()- 2x-号=-+2m或2x-号= 2x+2k元，k ∈Z, 即x=kx或-否十kr,k∈Z, 又“x[-受，]x=-晋或x=0. ·8 第七章三角函数 [预习自测] 1.下列等式不成立的是 A.2sin +1=0 B.tanx+2020=0 C.cosx=√3 D.tan =0 答案：C 2.若a是三角形内角，且sina=2,则a等于( A.30 B.30°或150° C.60 D.120°或60 解析：B[,sin30°= 2,sin(180°-30)=sin30 1 .a=30°或150°.] 3.已知sinx=- 答案：一牙 互动学案 对应学生用书P47 (②)原不等式可化为sin2一一 由(1)及图可知 2红+2kπ<2x- 元十2k， k∈Z. 解得-正十kπ<x<k元，k∈Z, 6 原不等式的解集为 规律方法 已知正弦、余弦三角函数值求特殊角的方法 (1)利用单位圆中的三角函数线，先求一个周期内 的角，再加上周期的整数倍，即得到所有的角 (2)利用三角函数的图像，作出一个周期内的三角 函数图像，找出一个周期内的角，再加上周期 的整数倍即可 ⊙[变式训练] 1.已知sinx=5 ()当∈[-受，]时，求x的取值集合： (2)当x∈[0,2元]时，求x的取值集合； (3)当x∈R时，求x的取值集合. 9 必修第三册 解：(1)y=sin在[一受，受]上是增画数，且知 ·满足条件的角只有x=, ·x的取值集合为{得} (2)'.'sin “x为第一或第二象限角且sin晋=sin(x一受) 21 ·在[0,2m]上特合条件的角为x=号或心=受 3 x的取位案合为得管} (3)当x∈R时，x的取值集合为 {=2kx+晋或=2kx+,k∈Z, 题型二 已知余弦值求角或角的范围 [例2)(1已知ms3+)-则= (2)不等式c0(3x+)大2的解集为 汇思路点拨]利用三角函数线求解，注意整体代 换思想的应用 [解析](1)利用三角函数线可知，x∈[0,2x]时， 令3x+至-等十2x或江+至-号+2,0∈7 解得=希+2或x=1+2,Z. 36 3 36 (2)由(1)及三角函数线知，号+2k元<3x+至< 43 十2kπ，k∈Z, 解得无+<<+2，∈7 [答案](1第+或+，6cZ 2需+要<要，c} ·9 数学B 规律方法 利用余弦曲线求解cosx≥a或cosx≤a(a<1 的步骤 (1)作出余弦函数在一个周期内的图像（选取的 个周期不一定是[0,2π]，应根据不等式来确定)； (2)作直线y=a与函数图像相交； (3)在一个周期内确定x的取值范围； (4)根据余弦函数周期性确定最终的范围. ⊙[变式训练 2.已知cosx=- 之，求满足下列条件的角x的取值 1 集合：(1)x∈[0,2π]；(2)x∈R 解析：(1)法一由c0sx= <0可知，角x对 2 应的余孩线方向朝左，且长度为子作出示意图如 图①所示. 2π4π -Y=cOsx 12m 2 ① ② 由图可知角x的终边可能是OP,也可能是OP' 所以当x∈[0,2]时x的取位集合为肾，} 法二作出y=cosx在[0,2π]上的图像及直线y 之，如图②所示，由图可知 4二一21 2-cos 3 cos 3 所以当x∈[0,2]时x的取位集合为得，} (2)当x∈R时，由(1)知，符合条件的角是所有与 管终边相同的角发所有与经终垃相同的角，即上 的取值集合为 {女=2张x+行或x=2十誓，k∈Z: 题型己知正切值求角或角的范围 [例3] (1)已知f(x)=√5，求x: (2)解不等式f(x)≥√3. [思路点拨]利用正切线直接求解， [解] >0 角子x十吾对应的正切线向下，且 长度为√， 如图角2十否的终边为0T或0T, 63 即x=天+2kx,k∈Z. 3 (2)由(1)及三角函数线知子十k<2x十石<5十 3 F62 kπ，k∈Z, 解得十2kr≤x<+2k元，k∈Z, 3 3 ∴原不等式的解集为 {登+2x≤<经+26x,kez 3 规律方法 1.利用单位圆中正切线，先求出一个周期内的角， 再加上kπ即可由正切函数值求角，也可以利用 正切函数的图像求解， 2.求解与正切函数有关的函数的定义域时，除了 考虑函数解析式的限制外，同时要注意正切函 数的自身限制条件： ◇[变式训练] 3.函数y=√tanx十I十lg(1-tanx)的定义域为 9 第七章三角函数 A[kx-军kπ+军)∈Z B[2x经，2x晋]6eZ C.[2kx+若，2kx+ ]∈Z D[2x-至26x+)∈7 解析：A[由题意得an+1≥0， 即-1≤tanx (1-tanx>0, <1,在（受，受）内，满足上述不等式的工的取值 范国是[一牙，)，又y=anx的周期为元，所以所 求函数的定义为[飞x-红+军)k∈五] 题型四用arcsin y,arccos y或arctan y表示角_ [例4]已知cosa=- a∈(，罗)，用合适的符 号表示满足条件的角a的值。 汇思路点拨]利用定义直接求解，要注意角的范围， [解]由余弦函数在[0，π]上是减函数和cosa= 号可知，在[0，]内符合条件的角有且只有一个 .cosa=一 arco(吉)[登小 a0<x-areo(局）大受 即<2 arcos(号)大经 由于c0s(2πa)=C0sa=一 .'.a=2x-arccos 必修第三册 规律方法 (1)方程y=sinx=a,a≤1的解集可写为{x|z =2kπ+arcsin a,或(2k+1)π-arcsin a,k∈ Z},也可化简为{x|x=kπ十（-1)arcsin a,k ∈Z}. (2)方程cosx=a,|a≤1的解集可写成{xx= 2kπ土arccos a,k∈Z}. (3)方程tanx=a,a∈R的解集为{x|x=kπ十 arctan a,k∈Z}. ◇[变式训练】 41已知sim2-号，求x的值. (2)已知tana=-2,a∈(0,2r),求a的值. 随堂。 1.下列叙述错误的是 A.arctany表示 个（受，受）内的角 B.若x=arcsin y,y≤1，则sinx=y C.若tan号=y,则x=2 aretany D.arcsin y,arccos y中的y∈[-l,1] 答案：C 2.已知sm(2x+)号x∈（受，受）则x的 值为 A至 B.-开 C.-或 D一平或君 解斩：B[由题意得，2x十至-平+2x或2x十晋 44 π+2k元，k∈Z, = 4 解得x=受十m或x=3西+x,kEZ, 4 又rx（受)=-年] ·9 数学B 解：(1：x∈[受]时，simx=x arcsin 3. .当x∈R时，x=arcsin 号+2x支x=-asin号 十2kπ，k∈Z. (2)设c（-受，受)，且tan=-2, ∴.B=arctan(-2), .a=B+kπ=arctan(-2)+kπ，k∈Z, 又a∈(0,2π)， ∴.a=arctan(-2)十元或arctan(-2)+2元. 步步夯实 对应学生用书P49 3已知) (-,)则马 解析：在(0,2π)内，cos 4 2 意-要+20元或一危-平+2，∈Z, x一24 “x=5x+2k元或x=4级+2k元，k∈Z, 6 3 叉x∈（-元，π)，∴x=一 3 答案：-2或5π 39 6 4.已知tanx= ，且x∈(0,2x),则x= 1 解析：，tanx= 1 ,心x∈(0，r)时，2=arctan2 所以x∈(r,2元)时，x=π十arctan乞， 答案：arctan2或r十arctan之 5已知sm号=写，且a是第二象限的角，求角 2 解：a是第二象限的角， “号是第一或第三象限的角。 sin 2=- <0心号是第三象限的角. 在[0,2x]内找到满足条件的号， 3 sin 3 2 课后。 基础过关 JI CHU GUO GUAN 1.若a是三角形纳角，且sma=号则。等于 A.30 B.30°或150° C.60 D.120°或60 解析：B[sin30°= 2,sin(180°-30)=sin30° 1 7a=30或150.] 2.已知co(+）厚则r的值为 2 ( A.x=于+2kπ，k∈7 B.x=2+2k元，k∈Z 3 r+2k元，k∈Z C.x=6 D.以上均不正确 解析：D[由cos +)- 2x成+音-否+2x,k∈Z.所以z= +26m 或2-5+26，∈7.] 3方程n(2x+) √在区间[0,2π)上的解的个 数是 A.5 B.4 C.3 D.2 解析：B[由tam(2x+号)-5，得2z+号-吾+标 (k∈Z), ·9 第七章三角函数 在[0,2们内满足条件的角号=x+晋-经 ∴所以满足条件的号=20x十经（∈D. 即a=x+受（便∈. 素养提升 对应学生课时P29 x=经(k∈).又x∈[0,2x), =0,x受 4.若tanx=一√3,0<2<2π，则角x等于( A.号或 B.或 C誓或罗 n.或 解析：D[,tanx=一√5<0，x为第二或第四 象限角 符合条件tanz,=原的锐角=于。 =- --tan3 23 5.若方程sinx2在x∈[停]上有两个不同的 实根，则a的取值范围是 A.[-1,1] B.(-1,2) C.(-1,1-√3] D.[-1,1-3] 解析：C[在同一坐标系中作出函数y=sinx,x∈ [后小的圈像（圈略），易知，当<1号<1，即 1<a≤1一√3时，两图像有两个不同的交点，即方程 simx22在x[管x]上有两个不同的实根.] 必修第三册 6(多题)者in(2z+)号，r[,2x,则 等于 A.元 C. D.2 解析：AC[由n(2x+)-号。 根据正弦曲线可得2x十平=平十2m或2x十年 要+2xk∈7 所以=饭或=至十，A∈7 因为x∈[，2x),所以心=元或x=5.] 7.函数f()=an(2z+若) 一1在(0，x)上的零点是 解析：由an(2x十若)-1， 得2x+答-至+x,k∈7， 则x=器+受，2， 又0，x则=员成经。 答案或贸 8.不等式2sinx-1≥0的解集为 解析：2sinx-1≥0，即sin≥号画出y=sind ∈[0,2]的图像及直线y=号，如图所示. ↑y ÷由图知，当晋<x≤晋x∈[0,2x]时，sinx≥ 5元 1 又由终边相同的角的同一三角函数值相等，得不 等式 ·9 数学B sin≥的解桑是 {红2x+吾≤≤2x+语k7 答案：{红2x十百≤x≤2kx+否k∈Z 9.(多空题)函数f(x)=log2(2sinx+1)的定义域为 解析：要使函数有意义，则必有2sinx+1>0, 即sinx>-21 1 结合正弦曲线或单位圆， 如图所示， 2 7严的终边 的终边 6 6 可知函数y=log2(2sinx+1)的定义域 为{-吾+2<<吾+2x,6∈7 f(后)-log(2sn)1og(（2x号+1=1og:2 =1. 答案：{-若+2m<<7石+2，∈Z:1 10已知sm号-号，且a是第二象限的角，求角a 解：，α是第二象限的角， “受是第一咸第三象限的角 :sim号=号<05号是第三象限的角， 2 在[0,2x]内找到满足条件的受， π=3 .sin 32' ·在[0,2]内满足条件的角号=元+受=红 33 ·所有满足条件的受=2x十红（∈Z), 3 即a=4kx+8(hZ. 1.已知(x十)号，求下列范围内的的值. [):(2[要-吾 解：由o(+)-号>0可 知，角3x十于对应的余弦线方向 向右，且长度为号，如周所示。 因为cos -2 所以3十=- 十2kr, 4 或3x+至=至+26x,∈7 所以x=一 +2或=,6乙 3 3 1)若x[p,号)则x=0或受 2)若【一晋，-)则x=晋或- 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.求函数y=√anx十I+lg(1-tanx)的定义域. (tanx+1≥0， 解：由题意，得 即-1≤tanx<1. (1-tanx>0, 在（受，）内，满足上遂不等式的x的取值范 国是[一平，平)又y=anx的周期为元， 所以画数的定义城是[红一牙x十军)k∈Z)。 13.(2019·四川广安高二期未)已知函数y Asin(wx十p)(A>0,w>0,g<7)的图像过点 P器0，图像上与P点最近的一个最高点的坐 标为后5 ·95 第七章三角函数 (1)求函数解析式. (2)指出函数的增区间. (3)求使y≤0的x的取值范围. 解：(1)因为图像最高点的坐标为弩5 所以A=5.因为-苔-危一： 所以T=元， 所以w 2==2,所以y=5sin(2x十9). 代入点（55得sim(+9=1. 所以+9=2x+受，k∈Z. 3 则9=-天十2kπ，k∈Z, 6 因为9<受，所以9=一吾， 所以y=5sin(2x-晋) (2)因为函数的增区间满足2kx一受≤2x-晋≤ 6 2+受(4cz)所以2x-吾<2r≤2x+(h ∈，所以kx-晋≤≤x+答∈》 所以函数的增区间为 [kx-吾x+]∈Z), (8)因为5sin2-)0. 所以2hx-r≤2x-石≤2kx(k∈Z, 6 所以级一晋≤长x十登(E. 故所求x的取值范围是 [x一受x+]∈D.