7.3.4 正切函数的性质与图象（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第七章三角函数 能力提升 解：(1)要使函数f(x)=1gcos2x有意义， NENG LI TI SHENG 12.比较下列各组数的大小： 则c0s2x>0,即-受+2kx<2<号+2kx,k∈Z. sg与msg:2ow(）5a 7x 一草十<<至十，∈五， 解：1cos1=cas晋es1号=s 函数的定义域为 {红-至+x<<年+x,∈Z, 因为0管<行<：而y=c0sr在(0，x)上单调 由于在定义域内0<cos2x≤1， 递减， .1gc0s2x≤0，.函数的值域为(-∞，0]. (2):f(-x)=lg cos[2·（-x]=lg cos2.x 所以s>cs即casl5>c 91 =f(x), .该函数是偶函数. 8 8 (3)cos2x的周期为元，即cos2(x十元)= cos 22. 6 .f(x十π)=1g cos2(x十π)=lg cos2x=f(x). ∴该函数的周期为元 :0<<晋<受y=0sx在(0，受)上是减 (4)y=lgu是增函数 函数， 当x∈（军+x,kx]水k∈Z)时，u=c0s2x是增 “cosg>cos吞 函数； 即-c0s<-cos若∴cos( 当x∈[x,至+kx](k∈Z)时，u=cos2红是减 函数 13.已知函数f(x)=1gcos2x. (1)求它的定义域、值域；(2)讨论它的奇偶性： 因此，数y=lgos2x在(-平+，kx]k∈上 (3)讨论它的周期性；(4)讨论它的单调性。 是增函数：在[x,年十标（∈刀上是减函教。 7.3.4正切函数的性质与图像 课程标准 素养解读 L.能够借助单位圆中的正切线画出函数y=tanx的图像 通过正切函数图像和性质的学习培养学生数学 2.掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性 直观想象和数学运算素养 并能利用其性质解决相关问题 课前。预习学案 对应学生用书P43 [情境引入] 2.你还有其它方法吗？ 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故.一儿曰：“日初 出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者 提示，描点法作y=anx在x∈[-受，受]上的草 凉乎？”事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早 图，指出三点(-至，-1)，(0,0)，（受，1），两线x 晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地，在相同的时间、 相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸 收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题 [知识梳理] 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？ [知识点一]正切函数 1.仿照利用正弦线作正弦曲线的作法，你能作出正切 函数的图像吗？ 对于任意一个角2，只要x≠受十x,k∈乙.就有唯 提示：还可以利用单位圆中的正切线作正切函数y 一确定的正切值tanx与之对应，因此y=tanx是 =tanx的图像. 一个函数，称为正切函数。 81· 必修第三册 数学B [知识点二] 正切函数的图像与性质 2.正切函数在定义域上是单调函数吗？ 解析式 y=tan x 提示：不是，正切函数在每一个单调区间(-无 ,艺十x)(k∈)内都是增画数.但在整个定义 域内不是，比如180°>30°，但tan180°=0< 图像 一T 3m tan30°- 3 3.如何画正切函数的简图？ 定义域 xu≠罗+x,k∈Z刀 提示：画正切函数图像常用三，点两线法：“三，点”是 指（一工 值域 R ，-1)，0,0)，（至，1），“两线”是指x 最小 π 受和1=受大改画出正切函数在（一 上 正周期 的简图后向左、向右扩展即得正切曲线 奇偶性 奇函数 [预习自测] 在开区间（受+x,受+）（∈2☑ 1.函数y=tan(x一 单调性 )的单调递增区间是 上都是增函数 答案：(-至+要+，k∈7 2.函数y=tan(x十x)是 对称性 对称中心（受0∈ A.奇函数 B.偶函数 零点 kπ，k∈Z C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 ?思考1.正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称 答案：A 中心是什么？是轴对称图形吗？ 3.函数y=tan(2+平)的定义域是 提示y=m是中心对称周形，对称中心为（受， A{≠-} B{} 0)(k∈Z),不是轴对称图形. C{≠m-∈ZD{≠+∈Z 答案：D 课堂。互动学案 对应学生用书P44 题型一与正切函数有关的定义域、值域问题！ 在（受·）内，满足上建不等式的x的取值范国 [例1](1)求函数y=√tanx+1十lg(1-tanx)的定 义域； 是[晋) (2)求函数y=tan (2x+)x∈(2]的 又y=tanx的周期为元， 值域 所以-买十kr≤x<天十k元，k∈Z. [思路点拨](1)先列不等式组，然后借助正切函 所以的定义为[一至十+)，k乙 数的图像与性质解不等式：(2)令？=2x十无，转 (2)令=2x+吾， 化为求tan之的值域。 [解] (1)由题意得 (tanx+1≥0 即-1≤tanx (晋引 1-tan x>0' <1. - ·82· 第七章三角函数 :y=tan 在（号]上是增数， 汇思路点拔丁“解答(1)时先将函数化为y三 tan(-)人y≤an， -1<y≤√3. a(仔：-)，得把之x-至整体代入 ∴函数的值域为(-1，]. (-受十x,受十∈Z这个区间内，解出x便 规律方法 可.解答(2)的关键是利用tan2=tan(2-π)，tan3 tan(3一元)，把角化归到同一单调区间内，再利用 1,求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求 y=tam在（一·）上的单调性判断其大小关 函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数 系。 y=anx有意义，即x≠受十m,k∈乙，面对于 [解] y=tam(+) 构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求 tam(合-)： 解.解形如tanz>a的不等式的步骤： 作图像→作在（一 )上的正切函数图像 22 求界点一→ 求在(-受，受)上使1mx=a成立的x值 得2kx-受<<2km+,A∈乙。 求范围一求在(- 受音)上使amx>a成立的x的范国 所以西数y(合十到)龄单网运波区同足 定义域一据正切函数的周期性，写出定义域 (2x受2x+2e7 2.求正切函数的值域的方法 (2)tan2=tan(2-π)，tan3=tan(3-π). ①结合图像. 因为受<2<x,所以-受<2-0 ②利用单调性. ③在复杂情况下，利用换元法，设t=wa十9， 因为号<3<，所以<3-<0， 再求解. 显然-受<2-x<3-x<1<受， ◇[变式训练] 1.(1)函数y=ln(tanx)的定义域 又y=tan 在（受）内是增函数， (2)函数y=tan2x一2tanx+3的最小值 所以tan(2-元)<tan(3- π)<tan1. 为 即tan2<tan3<tanl. 解析：(1)由题意得 x≠x十受(k∈Z, 规律方法 1.求函数y=Atan(awz十p)(A,w,9都是常数)的 tan 2>0, 单调区间的方法 ≠x十5（∈Z, (1)若w>0,由于y=tanx在每一个单调区间 即 上都是增函数，故可用“整体代换”的思想， kr<<x+受（∈Z 令kx一晋<au十p<x十受k∈7，求得1 故定义城为(k元，k元十受)(h∈Z). 的范围即可 (2)若w<0,可利用诱导公式先把y=Atan(wx (2)y=(tanx-1)2+2,由于tanx∈R,所以当 十g)转化为y=Atan[-(-wa-p)]= tanx=1时，函数取最小值2. Atan(一awa一p),即把x的系数化为正值， 答案：1(kx,kx+受)(k∈)(2)2 再利用“整体代换”的思想，求得x的范围 即可. 题型二与正切函数有关的函数单调性问题” 2.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同 [例2习1求函数y=an(+军)的单阔区间： 单调区间内 (2)比较tanl、tan2、tan3的大小. (2)运用单调性比较大小关系。 ·83· 必修第三册 数学B ◇[变式训练] (2)函数的定义城是{≠受+，k∈Z小， 2.求函数y=3an(石-)的单调区间. 又，sin(-x)+tan(-x)=-(sinx十tanx), 解：v=3am(任-着)-3an(芹-) .函数y=sinx十tanx是奇函数。 规律方法 (1)一般地，函数y=Atan(wa十p)+b(A≠0，w> 得4<r<x+∈Z 0)的周翔为T一云，信答使用此公式来求周期 ∴y=31am(后-)的单调递减区间为 (2)判断奇偶性一定要先求定义域，判断其是否关 于原点对称.若不对称，则函数无奇偶性，若对称， (4x一誓x+)cz 再判断f(一x)与f(x)间的关系. 题型与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 ◇[变式训练] [例3](1)求f()=tan(2z+晋)的周期： 3.已知函数y=tan(ou十于)(w<0)的周期为乏，求 该函数的定义域、值域.并判断函数的奇偶性. (2)判断y=sinx十tanx的奇偶性 汇思路点拨了“()利用公式法或定义法求函数的 解：y=tan(wr十子)(o<0)的周期为六=受，解 周期；(2)利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶 得w=2或w=一2. 性. 因为w<0,所以w=一2， [解](1)方法一： 故y=tan(-2x+平)=-tan(2a-平). 4 :am(2x++ta2+) 由2x-云≠kx+受(k∈， 即tme(e)小]m(2r+) 解得x≠经+紧〔C. f代x)=ta(2x+)的周期是受 所以孩函数的定义域为≠经+晋，kE,值 方法二：，y=tanx的周期是元. 域为R ∴.f(x)=tan 2+罗)的周期是受 由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数 既不是奇函数也不是偶函数 随堂。步步夯实 对应学生用书P46 1.下列说法正确的是 2.函数y=tan(x十)的定义域是 A.y=tanx是增函数 B.y=tanx在第一象限是增函数 A.{红z∈R且x≠x十否，k∈Z C.y=tanx在某一区间上是减函数 B{zx∈R且x≠x-否，k∈Z D.y=tanx在区间(kx一受，kx+受)(k∈Z)上是 C.{x∈R且x≠2kx+晋，k∈Z 增函数 解析：D[y=tanx有无数个递增区间(kπ一 D.xx∈R且x≠2kx-否k∈Z kx十受)k∈Z),无递减区间，且在定义域上不是增 解析：A十管≠受十，k∈Z 函数.] x≠天+kπ，k∈Z.] 6 ·84· 第七章三角函数 3.关于函数y=tan(2x一 )，下列说法正确的是 解析：”一受十领<3x十晋<受十x,∈乙 ( 43 A.是奇函数 B在区间(0，受)上单调递诚 答案：+经，+∈ C(答，0)为图像的一个对称中心 5求函数y=ta(行x+)的定义域，周期、单调区 D.最小正周期为元 间和对称中心 解折：C[令fx)=am(2x子.由2x-晋≠kx 解：由x+≠x+受，k∈，得≠3+是， 十受（∈Z),解得x≠领+登(k∈Z),即定义战为 ∈Z, 2 12 故定义城为{≠+是7小 ≠经+晋6CZ,由于该函数的定又城不关 于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函 3 数，故A错误；由正切函数的图像知y=tan(2.x 号)没有单调递减区间，故B错误：C中，：（否）= 由-受十m<十<受十xk∈Z, 6 得-是+3<<是+3，k∈Z, tan0=0,故（否0）为图像的一个对称中心，C正 确；D中，y=tan(2x一 )的最小正周期T=受，D 故增区间为（号+36，+30）, 错误.] 4 4.函数y=2tan3a+4 5的单调递增区间是 所以对称中心为（侵&0小( 课后。素养提升 对应学生课时P27 基础过关 JI CHU GUO GUAN A[2x-,2kx+],k∈7 1.函数y=tam(年-的定义域是 (2x2十)6cZ A{z≠年a∈R} C[x-4x+号]，k∈7 B{≠-普∈R风 D(x-4x+]∈Z C.{x≠kx+,k∈Z,∈R} D{≠+是ez.eR 解析：B[由题意，画数fx)=a(臣一晋) 解桥：D[由y=an(任-一tan(一) 令-受十kr<受-吾<受十m,∈Z, ≠k饭十受，及∈，从而得≠kx十是，k x一4 解得2x-<x<2x+经k∈7 ∈z.] 即函数f(x)的单调递增区间 2.函数f()=tan(兰-)的单调递增区间是 是(2x-要，2x+智）： k∈Z,故选B.] ·85· 必修第三册 数学B 3.在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y= 解析：AD[由题意，对于A,当x= 君时，函数y cos(2a+吾)，①y=1an(2z-)中，最小正周期 为π的所有函数为 tam(+)=tan，无意义，所以点（0）是画 A.②④ B.①③④ 数的对称中心，所以A正确；对于B,根据正切函数 C.①②③ D.①③ 的性质可知.函数y=tan气t十骨)的图像没有对称 解析：C[①y=cos2x=cos2x,T=元. ②由图像知，函数的周期T=元. 轴，所以不正确；对于C,令 受十<x+晋<受 ③T=元. ④T=受 十km,k∈Z,解得-5+kx<<否十k,k∈7，即 综上可知，最小正周期为π的所有函数为①②③.] 函簧的单调运增区间为〔晋+红，看十，k 4关于函数f(x)=tan2x-),有以下命题，正确 7,当-1时，画数的单调通增区间为（晋，得）所 的是 以不正确；当k=0时，函数的单调递增区间为 A.函数f)的周期是受 (晋，晋)所以D正确] B.函数f(x)的定义域是 7.正切函数y=am（受)的周期是 {红∈R且x≠经+答，k∈Z 解析：本题考查正切函数的周期的求法.由正切函 C.y=f(x)是奇函数 数y=tan(or十g)的周期公式T=a,可求得函 D.y=f)的一个单调递增区间为（一受，受） 数y=tan 解析：A了)=m(2z一子)的月期T-受，故A正 2 缩c)的定义线为{exR且受+密4e,故 答案：2r B不正确；f(x)是非奇非偶函数，故C不正确； 8.函数y=tam(3r-等)的定义城为 解析：要使函数有意义，自变量x的取值应满足32 f(x)的单调递增区间为 故D不正确.] 晋≠kx十受Z,得x≠经+爱(k∈画 5.函数y=tan(sinx)的值域为 盛的定义战为{u≠管爱∈7小 A[] [ 答案：{≠管+ C.[-tan 1,tan 1] D.以上均不对 解析：C[令t=sinx,当z∈R时，一1≤sinx≤1， 9.(多空题)函数fx)=an2x在[-百，否]上的最 即函数y=tant,在t∈[-1,1]上是单调增函数， 大值为 ,最小值为 .-tanl≤tant≤tanl, ∴.y=tan(sinx)的值域为[-tan1,tan1].] 解析：-<r≤否<2≤于 6.(多选题)下列关于函数y=an(+牙)的说法正 “()=tan2x在[一吾看]上为增函数， 确的是 fx=f()=an管-5， A图像关于点（无0成中心对称 f)=f()=am()=-E B.图像关于直线x= 吾成轴对称 答案：W5一√3 C.在区间 ，5π上单调递增 66 10.求函数y=√√3一tanx的定义域和值域. 解：由√3-tanx≥0，并结合图像可求定义域，进 D.在区间 晋，)上单调递增 而可求值域. ·86· 第七章三角函数 作出函数y=tanx在 (受)上的图像，如因 3 所示. an(2x一吾)户-1的解集为 因为W3-tanx≥0，所以tanx {≤<经+晋z ≤，结合图易得x一受<☑ 1.设函数f)=amou+(。>0.0g<号)已 ≤kx+晋(k∈Z,里然有y≥0， 知函数y=f(x)的图像与x轴相邻两个交点的距 故所求函数的定义城为如一受，kx十晋]∈刀， 离为受，且图像关于点M(一答0]对称。 值域为[0，十∞). (1)求f(x)的解析式： 11.不求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小. (2)求f(x)的单调区间： (1)tan167°与tan173°；(2)tan （)与 (3)求-1≤f(x)≤√3的解集. 解：(1)由题意知正切函数图像与x轴相邻两交点 的距离为一个周期，得函数f(x)的最小正周期T 解：(1)：90°<167°<173°<180°， 又y=tanx在90°<x<270°范围内是增函数， 因为w>0,所以w=2,所以f(x)=tan(2x十p). .tan167°<tan173. (2)''tan 11π 因为函数y=人)的因像关于点M一君0)对称， 4 所以2x（音)十p-经k∈Z. tn() 13rtan5 2π 又0<<<数y=an上在 因为0<9<，所以9=平故f(x) ()上是增数， a2x+) “tan子<am答，即a(华)a(-1g) (2)由1知，f)=ta（2x+军) 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.求下列不等式的解集： 将2x十牙看成一个整体，代入正切函数的单调 tan-1：2tam(2x-若)）户-1. 区间. 解：作出函数y=tanx,x∈ 令-受+k红<2x十至<受十k,∈,得-十 （受受)的图像，如周所示。 <<晋+经，， 2 1)在（-受，)内，满足1am 所以函数的单调递增区间为 ≤一1的x的取值范围为一 (+告+)7无单调递减同。 <《一至，结合函数图像，可知 3》由D,知fr)=tam(2x+)月 tanx≤-1的解集为 由-1≤am2+),得-一+≤2x+ {红x一晋<x-子e∈Z ≤5+kπ，k∈Z, (2)由tan≥-1得x-牙<<受+x,k∈乙 解得一年+经≤≤景+经，∈2 由m≤2x<x+受7经≤ 所以一1≤f(x)≤√5的解集为 {-晋+经≤≤+经cz ·87·