7.3.2 第2课时 正弦型函数的性质（习题课）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦正弦型函数的周期、单调性、最值及对称性，通过典例研析搭建从定义法、公式法到图像法的学习支架，衔接正弦函数基础，引导学生逐步掌握性质应用。 其亮点在于以“通性通法”总结培养数学思维，通过对称性探究发展几何直观，分层作业设计提升模型意识。如例2用换元法求单调区间，例3结合定义域求最值，帮助学生提升解题严谨性，教师可直接用于习题课教学，高效落实核心素养。

第二课时　正弦型函数的性质（习题课） 1 典例研析 01 目录 拓视野　正弦函数图象对称性问题的探究 02 课时作业 03 2 01 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜正弦型函数的周期 【例1】　求下列函数的周期： （1）y＝ sin ； 解： 法一（定义法）　y＝ sin ＝ sin ＝ sin ， ∴周期为π. 法二（公式法）　y＝ sin 中ω＝2， T＝ ＝ ＝π. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）y＝2 sin ； 解： ∵ω＝ ，∴T＝ ＝6π. （3）y＝｜ sin x｜. 解： 作图如下. 观察图象可知周期为π. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 求三角函数周期的方法 （1）定义法：利用周期的定义，对定义域内每一个x判断是否存在非零常 数T，使f（x＋T）＝f（x），若存在，则T是它的一个周期； （2）公式法：正弦型函数y＝A sin （ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数， 且A≠0，ω≠0）的周期T＝ ； （3）图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 若函数f（x）＝ sin （ω＞0）的最小正周期为π，则ω的值等 于（　　） A. 2 B. 1 C. D. 解析： 　由已知得 ＝π，解得ω＝1.故选B. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知函数f（x）＝ sin 3x＋｜ sin 3x｜，则f（x）为（　　） A. 周期函数，最小正周期为 B. 周期函数，最小正周期为 C. 周期函数，最小正周期为2π D. 非周期函数 √ 解析： 　画出f（x）＝ sin 3x＋｜ sin 3x｜的部分图象， 如图所示.由图象可知，函数为周期函数，最小正周期为 ，故选A. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜正弦型函数的单调性 【例2】　求函数y＝1＋ sin ，x∈[－4π，4π]的单调递减区间. 解：y＝1＋ sin ＝－ sin ＋1. 由2kπ－ ≤ x－ ≤2kπ＋ （k∈Z）， 解得4kπ－ ≤x≤4kπ＋ π（k∈Z）. 又∵x∈[－4π，4π]， ∴函数y＝1＋ sin 的单调递减区间为 ， ， . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 求正弦型函数的单调区间的策略 （1）结合正弦函数的图象，熟记它的单调区间； （2）在求形如y＝A sin （ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的函数的单调区间 时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”， 即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间.当A＞0时y＝ A sin z与y＝ sin x的单调性相同，当A＜0时，y＝A sin z与y＝ sin x的单 调性相反； （3）求形如y＝A sin （ωx＋φ），x∈D的单调区间时，先求y＝A sin （ωx＋φ），x∈R的单调区间，再把所求的单调区间和区间D取交集即 得y＝A sin （ωx＋φ），x∈D上的单调区间. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　求函数y＝ sin 的单调递增区间. 解：法一　函数y＝ sin x的单调递增区间为［－ ＋2kπ， ＋2kπ］， k∈Z. 令－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z， 解得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z， 所以函数y＝ sin 的单调递增区间为 ， k∈Z. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 法二　令2x－ ＝ ，解得x＝ ， 所以函数y＝ sin 在x＝ 处取得最大值. 又函数的最小正周期为π，根据周期性与单调性的关系可知，函数y＝ sin 的一个单调递增区间为 ，即 ， 所以函数y＝ sin 的单调递增区间为［－ ＋kπ， ＋kπ］， k∈Z. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜正弦型函数的最值（值域） 【例3】　已知函数f（x）＝2 sin （ ωx－ ）＋1，ω＞0的最小正周期 为π. （1）求ω和f（x）的对称中心； 解： 因为f（x）的最小正周期为π，所以 ＝π，则ω＝2，所以f （x）＝2 sin （ 2x－ ）＋1，由2x－ ＝kπ（k∈Z）得x＝ ＋ （k∈Z）， 所以f（x）的对称中心为（ ＋ ，1）（k∈Z）. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求f（x）在［0， ］上的最值并求相应的x的值. 解： 由（1）知f（x）＝2 sin （ 2x－ ）＋1，因为x∈［0， ］， 所以2x－ ∈［－ ， ］， 所以 sin （ 2x－ ）∈［－ ，1］，所以当2x－ ＝－ ，即x＝0时，f （x）取得最小值1－ ； 当2x－ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取得最大值3. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 求正弦型函数的最值（值域）的策略 　　求函数y＝A sin （ωx＋φ）的值域与最值问题时，要在x取值范围的 基础之上，把ωx＋φ看成整体，通过正弦函数的最值情况来求解. 　　当A＞0时， sin （ωx＋φ）最大时y＝A sin （ωx＋φ）就最大， sin （ωx＋φ）最小时y＝A sin （ωx＋φ）就最小； 　　当A＜0时， sin （ωx＋φ）最大时y＝A sin （ωx＋φ）就最小， sin （ωx＋φ）最小时y＝A sin （ωx＋φ）就最大. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　已知函数f（x）＝ sin ＋ ，若f（x）在区间 上的最 大值为 ，求m的最小值. 解：由题意得－ ≤x≤m，∴－ ≤2x≤2m， ∴－ ≤2x－ ≤2m－ .∵函数f（x）的最大值为 ，∴y＝ sin 在 上的最大值为1， ∴2m－ ≥ ，∴m≥ .∴m的最小值为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 拓视野　正弦函数图象对称性 问题的探究 目 录 1. 下列图案中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？有没有既是轴 对称又是中心对称的图形？ 2. 正弦函数的图象如图.利用图象探索正弦函数图象的对称性. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【问题探究】 1. 正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有， 请说明理由. 提示：由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对称轴， 经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴，对称轴方程为x ＝ ＋kπ，k∈Z. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果 没有，请说明理由. 提示：由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数个对称 中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标为（kπ， 0），k∈Z. 3. 画出函数y＝ sin ｜x｜的图象，并利用图象说明它的对称性. 提示：画出函数图象如图，由图象可知，函数y＝ sin ｜x｜的图象是轴对称图形，对称轴为y轴，它不 是中心对称图形. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【迁移应用】 1. 已知函数y＝ sin 的图象在R上关于原点对称，则φ的值可 以是（　　） A. 0 B. － C. D. π 解析： 　因为y＝ sin 的函数图象在R上关于原点对称，所 以y＝ sin 为奇函数，则只需 ＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ － ，k∈Z，显然当k＝0时，φ＝－ 满足题意. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 求函数y＝2 sin 的对称轴方程及对称中心坐标. 解：由x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝ π＋kπ，k∈Z. 由x － ＝kπ，k∈Z，得x＝ ＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐标为 ， k∈Z. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 函数f（x）＝ sin 的最小正周期为（　　） A. B. π C. 2π D. 4π 解析： 　函数f（x）＝ sin 的最小正周期T＝ ＝4π. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 〔多选〕已知函数f（x）＝2 sin （ x－ ），则（　　） A. f（x）的最小正周期为 B. f（x）的单调递增区间为［－ ＋ ， ＋ ］（k∈Z） C. 直线x＝ 是f（x）图象的一条对称轴 D. f（x）在［0， ］上的值域为[－ ，2] √ √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，函数f（x）的最小正周期为 ＝ ，A正确；对于 B，由－ ＋2kπ≤ x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，得－ ＋ ≤x≤ ＋ ，k∈Z，f（x）的单调递增区间为［－ ＋ ， ＋ ］ （k∈Z），B正确；对于C，f（ ）＝2 sin （ × － ）＝0≠±2，直 线x＝ 不是f（x）图象的对称轴，C错误；对于D，当x∈［0， ］ 时， x－ ∈［－ ， ］，－ ≤2 sin （ x－ ）≤2，D正确. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 求函数y＝3 sin （x∈[0，π]）的单调递增区间. 解：函数y＝3 sin ＝－3 sin ， 令2kπ＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，求得kπ＋ ≤x≤kπ＋ ， k∈Z， 又x∈[0，π]，所以函数的单调递增区间为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 函数y＝2 sin （x∈[－π，0]）的单调递增区间是（　　） A. B. C. D. 解析： 　法一　由－ ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，得－ ＋ 2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z. 由于x∈[－π，0]，所以所求单调递增区间为 . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 法二　当x＝ 时，函数y＝2 sin 取得最大值，且其最小正周期为 2π，则函数y＝2 sin （x－ ）的一个单调递增区间为 ，即 ［－ ， ］，所以当x∈[－π，0]时，所求单调递增区间为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 函数y＝3 sin 的图象的一条对称轴方程是（　　） A. x＝0 B. x＝ C. x＝－ D. x＝ √ 解析： 　令 sin ＝±1，得2x＋ ＝kπ＋ （k∈Z），即x＝ π ＋ （k∈Z），取k＝1，得x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 若函数f（x）＝3 sin （ωx＋φ）对任意x都有f ＝f ，则 有f ＝（　　） A. 3或0 B. －3或0 C. 0 D. －3或3 解析： 　由f ＝f 知，x＝ 是函数的对称轴，解得f ＝ －3或3.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知函数f（x）＝2 sin ，若对任意的x∈R都有f（x1）≤f （x）≤f（x2）成立，则｜x1－x2｜的最小值是（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 解析： 　函数f（x）的最小正周期T＝ ＝4.由于对任意的x∈R都有f （x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则f（x1）＝f（x）min＝－2，f（x2）＝ f（x）max＝2，从而｜x1－x2｜的最小值为 ＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕已知函数f（x）＝ sin （ 2x－ ），则（　　） A. f（x）的最小正周期为π B. 将函数y＝f（x）图象上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数y ＝ sin 2x的图象 C. f（x）图象的一个对称中心是（ ，0） D. 当x∈［0， ］时，函数f（x）的值域是［－ ， ］ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，f（x）的最小正周期为 ＝π，A正确；对于B，f （ x＋ ）＝ sin ［2（ x＋ ）－ ］＝ sin （ 2x＋ ），B错误；对于C， f（ ）＝ sin （ 2× － ）＝0，（ ，0）是f（x）图象的对称中心， C正确；对于D，当x∈［0， ］时，2x－ ∈［－ ， ］，f（x）∈ ［－ ， ］，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 将函数y＝ sin 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍（纵坐 标不变），所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　依题意，原函数经图象变换后，得到函数y＝ sin 的图 象.令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），解得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z），则函数y＝ sin 的单调递增区间为 （k∈Z）.结合选项可知，当k＝0时，函数y＝ sin 在区间 上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的图象经过 （ ， ），（ ，－ ）两点，若f（x）在区间（ ， ）上单调递 减，则ω＝ 　​ 　；φ＝ 　​ 　. 解析：依题意，f（π）＝0，所以 即 k∈Z，解得ω＝ ，所以 ＋φ＝（2k＋1） π.因为｜φ｜＜π，所以φ＝ . ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 已知f（x）＝2 sin （x∈R）为奇函数，则当正数φ取最 小值时，函数f（x）的图象的对称轴方程是 ⁠. 解析：因为f（x）＝2 sin （x∈R）为奇函数，所以f（0） ＝2 sin ＝0，所以2φ＋ ＝kπ（k∈Z），即φ＝ － （k∈Z），所以当k＝1时，正数φ取得最小值 ，此时f（x）＝－2 sin 2x.令2x＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z），故所求函数f （x）图象的对称轴方程是x＝ ＋ （k∈Z）. x＝ ＋ （k∈Z）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 已知函数f（x）＝ sin （ ωx＋ ）（ω＞0）在区间[0，2π]上有4个不 同的零点，则实数ω的取值范围为 ⁠. 解析：∵0≤x≤2π，∴ ≤ωx＋ ≤2ωπ＋ .∵函数f（x）＝ sin （ ωx ＋ ）（ω＞0）在区间[0，2π]上有且仅有4个零点，∴4π≤2ωπ＋ ＜5π， 解得 ≤ω＜ ，即ω的取值范围是［ ， ）. ［ ， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ）（ ω＞0，｜φ｜＜ ），从条件 ①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数f（x）存在 且唯一，并完成下列两问. （1）求函数f（x）的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解： 若选择条件①③， 由f（0）＝－1，得f（0）＝2 sin φ＝－1，即 sin φ＝－ ，｜φ｜＜ ，则 φ＝－ . 又函数f（x）的一个零点为x＝ ，则f（ ）＝2 sin （ ω－ ）＝0， 则ω不能确定，所以函数f（x）不唯一，所以不能选择条件①③. 选择条件①②， 由f（0）＝－1，得f（0）＝2 sin φ＝－1，即 sin φ＝－ ，｜φ｜＜ ，则 φ＝－ . 因为函数f（x）图象的两条相邻对称轴间的距离为 ，所以函数的最小正 周期T＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 因为T＝ ＝π，ω＞0，则ω＝2，所以f（x）＝2 sin （ 2x－ ）. 选择条件②③， 因为函数f（x）图象的两条相邻对称轴间的距离为 ，所以函数的最小正 周期T＝π. 因为T＝ ＝π，ω＞0，则ω＝2. 因为函数f（x）的一个零点为x＝ ，即f（ ）＝0， 所以2× ＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－ ，k∈Z，又｜φ｜＜ ，则φ＝ － ， 所以f（x）＝2 sin （ 2x－ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若函数f（x）在区间［－ ，m］上单调递减，求实数m的最大值. 条件①：f（0）＝－1； 条件②：函数f（x）图象的两条相邻对称轴间的距离为 ； 条件③：函数f（x）的一个零点为x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解： 因为函数y＝ sin x的单调递减区间为［ ＋2kπ， ＋2kπ］， k∈Z， 所以2x－ ∈［ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z，则x∈［ ＋kπ， ＋ kπ］，k∈Z， 所以［－ ，－ ］是f（x）＝2 sin （ 2x－ ）的一个单调递减区间， 若函数f（x）在区间［－ ，m］上单调递减，则［－ ，m］⊆［－ ，－ ］， 所以实数m的最大值为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 〔多选〕已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ ω＞0，｜φ｜＜ ）的最 小正周期为π，f（ x－ ）是奇函数，则（　　） A. ω＝2，φ＝－ B. f（x）的图象关于直线x＝－ 对称 C. f（x）在［－ ， ］上单调递减 D. 将f（x）的图象向左平移 个单位长度后得到函数y＝ cos 2x的图象 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由题意可知T＝ ＝π，解得ω＝2，又f（ x－ ）是奇函 数，可得f（ － ）＝0，即 sin （ － ＋φ）＝0，又｜φ｜＜ ，可得φ＝ － ，即A正确；对于B，可得f（x）＝ sin （ 2x－ ），当x＝－ 时， 可得f（ － ）＝ sin （ － － ）＝－1，取得最小值，因此f（x）的图 象关于直线x＝－ 对称，即B正确；对于C，当x∈［－ ， ］时，2x － ∈［－ ， ］，由正弦函数y＝ sin x的单调性可得f（x）在［－ ， ］上不是单调递减的，即C错误；对于D，将f（x）的图象向左平移 个单位长度后得到 sin ［2（ x＋ ）－ ］＝ sin （ 2x＋ ）＝ cos 2x的图象，即D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到函数g（x）＝3 sin ωx＋b（ω＞0，b∈R）的图象，若函数g（x）的最小正周期为 ，且 当x∈［－π， ］时，g（x）＞－1恒成立.写出一个符合条件的函数f （x）的解析式为f（x）＝ ⁠. 3 sin （ x－ ）＋3（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析：由题得T＝ ＝ ，解得ω＝ ，则g（x）＝3 sin x＋b.当x∈ ［－π， ］时， ∈［－ ， ］，当 ＝－ ，即x＝－ 时，函数g （x）取得最小值，g（x）min＝3 sin （ － ）＋b＝b－3，则b－3＞－ 1，即b＞2，所以g（x）＝3 sin x＋b，b＞2.则f（x）＝3 sin ［ （ x － ）］＋b＝3 sin （ x－ ）＋b，b＞2.因此函数f（x）的解析式可 以为f（x）＝3 sin （ x－ ）＋3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 已知函数f（x）＝A sin （A＞0，ω＞0）的最小正周期为π， 且该函数图象上的最低点的纵坐标为－3. （1）求函数f（x）的解析式； 解： ∵f（x）的最小正周期为π，又ω＞0，T＝ ＝π，∴ω＝ ＝2. 又函数f（x）图象上的最低点纵坐标为－3，且A＞0，∴A＝3. ∴f（x）＝3 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程. 解： 由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 可得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z， ∴函数f（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］，k∈Z， 由2x＋ ＝ ＋kπ，得x＝ ＋ ，k∈Z， ∴函数f（x）的对称轴方程为x＝ ＋ ，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 〔多选〕已知函数f（x）＝3 sin （ωx＋φ）（ x∈R，ω＞0，｜φ｜ ＜ ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. f（x）＝3 sin （ x－ ） B. f（ω1x）（ω1＞0）在（ 0， ）上单调递增，则ω1的取 值范围为（ 0， ］ C. 不等式f（x）≥ 的解集为［6kπ＋ ，6kπ＋ ］，k∈Z D. 将f（x）的图象向右平移 个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得函数图象的对称中心为（ － ＋3kπ，0），k∈Z √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由图象可得，最小正周期T＝（ － ）×4＝6π，∴ω＝ ＝ ，将点（ ，3）代入f（x）＝3 sin （ωx＋φ）得3＝3 sin （ × ＋ φ），∴ ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z. ∵｜φ｜＜ ，∴φ＝ ，故f（x）＝3 sin （ x＋ ），A错误.f（ω1x）＝3 sin （ x＋ ），由x∈（ 0， ）得 x＋ ∈（ ， ＋ ），由f（ω1x）（ω1＞0）在（ 0， ）上单调递增得 ＋ ≤ ，解得0＜ω1≤ ， ∴ω1的取值范围为（ 0， ］， B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 由f（x）≥ 得，3 sin （ x＋ ）≥ ，即 sin （ x＋ ）≥ ，∴ ＋2kπ≤ x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，故不等式的解集为［6kπ＋ ，6kπ＋ ］，k∈Z，C正确.将f（x）的图象向右平移 个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得函数图象的对称中心的纵坐标为2，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 某同学用“五点法”画函数f（x）＝A sin （ωx＋φ） 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x A sin （ωx＋φ） 0 5 －5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式； 解： 根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－ .数据补全如 下表： ωx＋φ 0 ​ π ​ 2π x ​ ​ ​ ​ ​ A sin （ωx＋φ） 0 5 0 －5 0 函数解析式为f（x）＝5 sin . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解： 由（1）知f（x）＝5 sin ， 所以g（x）＝5 sin . 由于y＝ sin x的图象的对称中心为（kπ，0），k∈Z. 所以令2x＋2θ－ ＝kπ，解得x＝ ＋ －θ，k∈Z. 由于函数y＝g（x）的图象关于点 成中心对称，则 ＋ －θ＝ ，解得θ＝ － ，k∈Z. 由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值 . （2）将y＝f（x）的图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到 y＝g（x）的图象.若y＝g（x）的图象的一个对称中心为 ，求θ 的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $