7.2.4 第2课时 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧，通过情境对话“作业做了吗”等引发学生对“奇变偶不变，符号看象限”的思考，结合新知初探、自我诊断等环节，衔接诱导公式①-④，构建完整知识支架。 其亮点在于以问题驱动激发数学眼光，通过典例研析分层训练提升推理能力，通性通法总结强化模型观念。如例1利用诱导公式求值，跟踪训练巩固方法，助力学生掌握解题策略，教师可借此高效实施分层教学。

第二课时　诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧ 1 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 2 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　　同学们听了老师的记忆口诀后，更是摸不着头脑，老师随后做了解 释，同学们脑洞大开，都拍手叫绝. 【问题】　你知道“奇变偶不变，符号看象限”的含义吗？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点　诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧ 1. 诱导公式⑤ sin ＝ ； cos ＝ ⁠. 2. 诱导公式⑥ sin ＝ ； cos ＝ ⁠. cos α　 sin α　 cos α　 － sin α　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 诱导公式⑦ sin ＝ ； cos ＝ ⁠. － cos α　 sin α　 4. 诱导公式⑧ sin ＝ ； cos ＝ ⁠. － cos α　 － sin α　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　　提醒：对诱导公式的理解：（1）公式⑤～⑧中的角α是任意角； （2）诱导公式①～⑧中的角可归纳为k· ±α的形式，可概括为“奇变偶 不变，符号看象限”.①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言 的；②“奇”“偶”是对诱导公式k· ±α中的整数k来讲的；③“象限” 指k· ±α中，将α看成锐角时，k· ±α所在的象限，根据“一全正，二正 弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 角 －α与角α的终边有什么样的位置关系？ 提示：如图，角 －α与角α的终边关于y＝x对称. 2. 点P1（a，b）关于y＝x对称的对称点坐标是什么？ 提示：点P1（a，b）关于y＝x对称的对称点坐标是P2（b，a）. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧中的角α只能是锐角. （　×　） （2） sin ＝ cos α. （　×　） （3）若α为第二象限角，则 sin ＝ cos α. （　√　） （4） cos ＝－ sin α. （　√　） × × √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知 sin （ ＋θ）－3 cos （θ－ ）＝0，则tan θ＝ 　　－ 　　. 解析：由 sin －3 cos ＝0，可得－ cos θ－3 sin θ＝0，tan θ ＝－ . 3. 已知 sin ＝ ，那么 cos α＝ 　　​ 　　. － ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜利用诱导公式求值 【例1】　（1）已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°＝（　B　） A. B. C. － D. － 解析： sin 239°tan 149°＝ sin （270°－31°）·tan（180°－ 31°）＝－ cos 31°·（－tan 31°）＝ sin 31°＝ ＝ . B 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）已知 cos （π＋α）＝－ ，α为第一象限角，则 cos ＝ ⁠ ⁠； 解析： 因为 cos （π＋α）＝－ cos α＝－ ，所以 cos α＝ ，又α为第 一象限角，则 cos ＝－ sin α＝－ ＝－ ＝－ . － 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）已知 sin ＝ ，则 cos ＝ 　​ 　　. 解析： cos ＝ cos ＝ sin ＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 解决化简求值问题的策略 （1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则， 即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以 保证三角函数名称最少； （2）对于kπ±α和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名， 而后一套公式必须变名. 注意：常见的互余关系有： －α与 ＋α， ＋α与 －α等；常见的互补关 系有： ＋θ与 －θ， ＋θ与 －θ等. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 若 cos （ ＋θ）＋ sin （ θ＋ ）＝－ ，则 的值为 （　　） A. － B. C. － D. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 因为 cos （ ＋θ）＋ sin （ θ＋ ）＝－ ，所以 sin θ＋ cos θ ＝ ，（ sin θ＋ cos θ）2＝ ，即 sin 2θ＋ cos 2θ＋2 sin θ cos θ＝ ，得 sin θ cos θ＝－ .所以 ＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知 cos （ α－ ）＝－ ，且0＜α＜π，则 cos （ α＋ ）＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 因为0＜α＜π，故－ ＜α－ ＜ ，又 cos （ α－ ）＝－ ， 所以 ＜α－ ＜ ， sin （ α－ ）＝ ＝ ，又 cos （ α＋ ）＝ cos ［ ＋（ α－ ）］＝－ sin （ α－ ），所以 cos （ α＋ ）＝－ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜利用诱导公式化简 【例2】　化简：（1） sin cos ； 解： 原式＝ · sin ［－（ －α）］（－ sin α） ＝ · （－ sin α） ＝ ·（－ cos α）（－ sin α） ＝－ cos 2α. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2） sin （－α－5π） cos － sin cos （α－2π）. 解： 原式＝ sin （－α－π） cos － sin ［π＋（ ＋ α）］· cos [－（2π－α）] ＝ sin [－（α＋π）] cos ＋ sin cos （2π－α） ＝－ sin （α＋π） sin α＋ cos α cos α ＝ sin 2α＋ cos 2α ＝1. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 用诱导公式进行化简时的注意点 （1）化简后项数尽可能的少； （2）函数的种类尽可能的少； （3）分母尽量不含三角函数的符号； （4）能求值的一定要求值； （5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 化简： － . 解：∵ sin （4π－α）＝ sin （－α）＝－ sin α， cos ＝ cos ＝ cos ＝－ sin α， sin ＝ sin ＝－ sin ＝－ cos α， tan（5π－α）＝tan（π－α）＝－tan α， sin （3π－α）＝ sin （π－α）＝ sin α， ∴原式＝ － ＝－ ＋ ＝ ＝ ＝1. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜诱导公式的综合应用 【例3】　已知f（α）＝ . （1）化简f（α）； 解： f（α）＝ ＝ ＝－ sin α. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若 cos ＝－ ，求f（α）的值. 解： 因为 cos ＝－ ， 即 cos ＝ cos ＝ cos ＝ sin α＝－ ，即 sin α＝－ ， 由（1）知f（α）＝－ sin α＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 （变结论）本例的条件不变，若 cos （3π－α）＝ ，求f 的值. 解：由 cos （3π－α）＝ 可得 cos α＝－ ，由本例可知f ＝－ sin ＝－ sin ［8π－（ －α）］＝ sin ＝ cos α＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 诱导公式综合应用要“三看” 　　一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析 两角的关系； 二看函数名称：一般是弦切互化； 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分 母同乘一个式子变形. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 已知f（α）＝ . （1）化简f（α）； 解： f（α）＝ ＝ ＝－ cos α. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若α是第三象限角，且 cos （ α－ ）＝ ，求f（α）的值； 解： 因为 cos （ α－ ）＝ cos （ α＋ ）＝－ sin α＝ ，所以 sin α ＝－ .又因为α是第三象限角， 所以 cos α＝－ ＝－ ＝－ ，所以f（α）＝－ cos α＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. sin 95°＋ cos 175°＝（　　） A. sin 5° B. cos 5° C. 0 D. 2 sin 5° 解析： 　原式＝ sin （90°＋5°）＋ cos （180°－5°）＝ cos 5°－ cos 5°＝0.故选C. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. （2025·济南期末）已知 sin （ α－ ）＝ ，则 cos （ α＋ ）＝ （　　） A. － B. C. － D. 解析： 　因为 sin （ α－ ）＝ ，所以 sin （ －α）＝－ ，所以 cos （ α＋ ）＝ cos ［ －（ －α）］＝ sin （ －α）＝－ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕（2025·宁波期末）设A，B，C分别是△ABC的三个内角，则 （　　） A. cos （A＋B）＝ cos C B. cos ＝ sin C. sin （A＋B）＝ sin C D. sin ＝ sin 解析： 　 cos （A＋B）＝ cos （π－C）＝－ cos C，A错误. cos ＝ cos ＝ cos （ － ）＝ sin ，B正确. sin （A＋B）＝ sin （π－ C）＝ sin C，C正确. sin ＝ sin ＝ sin （ － ）＝ cos ，D错误. √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 化简： ＝ ⁠. 解析：原式＝ ＝ ＝ － sin θ. － sin θ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过 点（2，3），则 sin （ ＋α）＝（　　） A. B. C. － D. － 解析： 　由题意结合三角函数的定义可得 cos α＝ ＝ ，由诱 导公式可得 sin （ ＋α）＝ sin （ ＋α）＝ cos α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知 sin ＝ ，α∈ ，则tan α的值为（　　） A. －2 B. 2 C. － D. 解析： 　由已知得 cos α＝ ，又α∈ ，所以 sin α＝－ ＝－ ＝－ .因此，tan α＝ ＝－2 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 若 sin （180°＋α）＋ cos （90°＋α）＝－a，则 cos （270°－α）＋2 sin （360°－α）的值是（　　） A. － a B. － a C. a D. a 解析： 　由条件得－ sin α－ sin α＝－a，故 sin α＝ ，原式＝－ sin α－2 sin α＝－3 sin α＝－ a. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知f（ sin x）＝ cos 3x，则f（ cos 10°）的值为（　　） A. － B. C. － D. 解析： f（ cos 10°）＝f（ sin 80°）＝ cos 240°＝ cos （270°－ 30°）＝－ sin 30°＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕已知f（x）＝ sin x＋ cos x，则下列结论不正确的是（　　） A. f（x＋π）＝ sin x＋ cos x B. f（π－x）＝ sin x＋ cos x C. f ＝ sin x＋ cos x D. f ＝ sin x＋ cos x 解析： 　f（x＋π）＝ sin （x＋π）＋ cos （x＋π）＝－ sin x－ cos x，f（π－x）＝ sin （π－x）＋ cos （π－x）＝ sin x－ cos x，f（x＋ ）＝ sin （x＋ ）＋ cos （x＋ ）＝ cos x－ sin x，f（ －x）＝ sin （ －x）＋ cos ＝ cos x＋ sin x，故选A、B、C. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. （2025·泉州期末）已知α∈（ ，π）， sin （ α－ ）＝ ，则tan（ α ＋ ）＝（　　） A. － B. － C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　α∈（ ，π），α－ ∈（ ， ），所以 cos （ α－ ）＝－ ＝－ ，所以 sin （ α＋ ）＝ sin ［（ α－ ）＋ ］＝ cos （ α－ ）＝－ ， cos （ α＋ ）＝ cos ［（ α－ ）＋ ］＝－ sin （ α－ ）＝－ ，所以tan（ α＋ ）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 已知角α的终边上有一点P的坐标是（m，2m），m≠0，则 ＝ ⁠. 解析：由角α的终边上有一点P的坐标是（m，2m），可得tan α＝2，则 ＝ ＝ ＝ ＝－3. －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 已知 sin （ ＋θ）＋2 sin （ －θ）＝0，则tan（ ＋θ） ＝ ⁠. 解析：∵ sin ＋2 sin ＝0，∴ sin （ ＋θ）＝2 sin ＝2 sin ［ － ］＝2 cos （ ＋θ），∴tan ＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 已知 sin （ α－ ）＝ ，则 cos （ －α）＝ 　　　－ 　. 解析：由 sin （ α－ ）＝ ，得 sin （ α－ ＋2π）＝ ，即 sin （ α＋ ）＝ ，所以 cos （ －α）＝ cos （ 3π＋ －α）＝－ cos （ －α）＝ － sin （ α＋ ）＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 化简： ＋ . 解：因为 sin ＝ cos α， cos ＝ sin α， cos （π＋α）＝－ cos α， sin （π－α）＝ sin α， cos ＝－ sin α， sin （π＋α）＝－ sin α， 所以原式＝ ＋ ＝－ sin α＋ sin α＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 已知α为锐角，且2tan（π－α）－3 cos ＋5＝0，tan（π＋α）＋6 sin （π＋β）－1＝0，则 sin α＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　由已知得 消去 sin β，得tan α＝3， ∴ sin α＝3 cos α，代入 sin 2α＋ cos 2α＝1，化简得 sin 2α＝ ，则 sin α＝ （α为锐角）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 〔多选〕下列结论正确的是（　　） A. sin （π＋α）＝－ sin α成立的条件是角α是锐角 B. 若 cos （nπ－α）＝ （n∈Z），则 cos α＝ C. 若α≠ （k∈Z），则tan ＝－ D. △ABC中， sin ＝ cos √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由诱导公式知α∈R时， sin （π＋α）＝－ sin α，所以A错 误；当n＝2k（k∈Z）时， cos （nπ－α）＝ cos （－α）＝ cos α，此 时 cos α＝ ，当n＝2k＋1（k∈Z）时， cos （nπ－α）＝ cos [（2k＋ 1）π－α]＝ cos （π－α）＝－ cos α，此时 cos α＝－ ，所以B错误； 若α≠ （k∈Z），则tan ＝ ＝ ＝－ ，所以C 正确；因为在△ABC中，B＋C＝π－A，所以 sin ＝ sin ＝ cos ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 如图，以Ox为始边作角α与β（ 0＜β＜ ＜α＜π），它们的终边分别与 单位圆相交于点P，Q，已知点Q的坐标为（ x， ）. （1）求 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解： 因为点Q在单位圆上且0＜β＜ ，所以x＞0且x2 ＋（ ）2＝1， 解得x＝ ，即Q（ ， ），故 sin β＝ ， cos β＝ ，tan β＝ ， 故原式＝ ＝ ＝ ＝－12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若OP⊥OQ，求P的坐标； 解： 由题意α＝β＋ ，故 sin α＝ sin （ β＋ ）＝ cos β＝ ， cos α＝ cos （ β＋ ）＝－ sin β＝－ ，故P（ － ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）分别计算 cos 2β－ sin 2β和 cos 4β－ sin 4β的值，根据计算结果，请你 提出一个猜想，并证明你的猜想. 解： 由（1）知 sin β＝ ， cos β＝ ， 所以 cos 2β－ sin 2β＝ － ＝ ， cos 4β－ sin 4β＝ －＝ . 根据计算结果猜想：∀x∈R， cos 4x－ sin 4x＝ cos 2x－ sin 2x. 证明： cos 2x－ sin 2x＝（ cos 2x－ sin 2x）·（ cos 2x＋ sin 2x）＝ cos 4x－ sin 4x，故猜想成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 已知f（α）＝ ，则f（α）＝ ⁠， f 的值为 　​ 　　　. 解析：f（α）＝ ＝ cos α，∴f（－ ）＝ cos ＝ cos ＝ cos （8π＋ ）＝ cos ＝ . cos α ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 在①tan（π＋α）＝2；② sin （π－α）－ sin ＝ cos （－α）； ③2 sin ＝ cos ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中，并解决该问题. 问题：已知 　　　　. （1）求 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：若选①，则tan（π＋α）＝2，即tan α＝2； 若选②，则 sin （π－α）－ sin ＝ cos （－α），即 sin α－ cos α＝ cos α， 即 sin α＝2 cos α，tan α＝2； 若选③，2 sin ＝ cos ，即2 cos α＝ sin α，tan α＝2； （1） ＝ ＝ ＝ ＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）当α为第三象限角时，求 sin （－α）－ cos （π＋α）－ cos sin 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：当α为第三象限角时，tan α＝ ＝2， 即 sin α＝2 cos α， 又∵ sin 2α＋ cos 2α＝1，即（2 cos α）2＋ cos 2α＝1，解得 cos α＝－ ， sin α＝－ ＝－ ＝－ ， sin （－α）－ cos （π＋α）－ cos sin ＝－ sin α＋ cos α＋ sin α cos α＝－ － ＋ × ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $