7.2.4 第1课时 诱导公式①、②、③、④-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦诱导公式①-④，通过南京眼、生命之环的对称美导入，引导学生结合单位圆对称性探究π±α、-α与α的终边关系，衔接同角三角函数关系，搭建从几何直观到公式推导的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实对称现象抽象出数学关系，通过逻辑推理推导公式，结合“函数名不变，符号看象限”口诀及“负化正、大化小”等通性通法，提升学生数学运算能力。例题分层设计，助力教师高效教学，培养学生理性思维与应用意识。

7.2.4　诱导公式 1 1.能借助对称，会推导三角函数的诱导公式（逻辑推理）. 2.会用诱导公式进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明（数学运算）. 课标要求 第一课时　诱导公式①、②、③、④ 3 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 4 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现了自己的和谐之美. 而三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的 代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的 关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直 径所在直线为对称轴的轴对称图形. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【问题】　你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与 π±α，－α有什么样的对称关系？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点　诱导公式①、②、③、④ 公式 公式① 公式② 公式③ 公式④ 角 α＋2kπ （k∈Z） －α π－α π＋α 图示 数学·必修第三册（B 版） 目 录 公式 公式① 公式② 公式③ 公式④ 与角α终 边的关系 相同 关于 ⁠轴 对称 关于 ⁠轴 对称 关于 ⁠ 对称 正弦 sin （α＋ 2kπ）＝ ⁠ （k∈Z） sin （－α） ＝ ⁠ ⁠ sin （π－α） ＝ ⁠ sin （π＋α） ＝ ⁠ x　 y　 原点　 sin α － sinα　 sin α　 － sin α　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 公式 公式① 公式② 公式③ 公式④ 余弦 cos （α＋ 2kπ）＝ （k∈Z） cos （－α） ＝ ⁠ cos （π－α） ＝ ⁠ cos （π＋α） ＝ ⁠ ⁠ 正切 tan（α＋ 2kπ）＝ （k∈Z） tan（－α） ＝ ⁠ tan（π－α） ＝ ⁠ tan（π＋α） ＝ ⁠ 记忆 口诀 函数名不变，符号看象限 cos α cos α　 － cos α　 － cos α tan α　 －tan α　 －tan α　 tan α　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　　提醒：诱导公式的记忆：诱导公式①、②、③、④的记忆口诀是“函 数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号 则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是 公式记忆的方便，实际上α可以是任意角. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 根据三角函数的诱导公式①，终边相同的角的同名三角函数值有何 关系？ 提示：终边相同的角，其同名三角函数的值相等. 2. 角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2 （ cos （－α）， sin （－α））与点P（ cos α， sin α）有怎样的关系？ 提示：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的 交点P3（ cos （π－α）， sin （π－α））与点P（ cos α， sin α）有怎 样的关系？ 提示：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）点P（x，y）关于x轴的对称点是P'（－x，y）. （　×　） （2）诱导公式中的符号是由角α的象限决定的. （　×　） （3）诱导公式①、②、③、④中函数的名称都不变. （　√　） （4）公式tan（α－π）＝tan α中，α＝ 不成立. （　√　） × × √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. cos ＝（　　） A. B. C. － D. － 解析： 　 cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知tan α＝ ，则tan（2π－α）＝（　　） A. － B. C. － D. 解析： 　∵tan α＝ ，∴tan（2π－α）＝－tan α＝－ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. sin 300°的值为 ⁠. 解析： sin 300°＝ sin （360°－60°）＝ sin （－60°）＝－ sin 60°＝ － . － 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜给角求值问题 【例1】　求下列各三角函数式的值： （1） cos 210°； 解： cos 210°＝ cos （180°＋30°）＝－ cos 30°＝－ . （2） sin ； 解： sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3） sin ； 解： sin ＝－ sin ＝－ sin ＝－ sin ＝ sin ＝ . （4）tan（－855°）. 解： tan（－855°）＝－tan 855°＝－tan（2×360°＋135°）＝－ tan 135°＝－tan（180°－45°）＝tan 45°＝1. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式②或③来转化； （2）“大化小”：用公式①将角化为0°到360°间的角； （3）“小化锐”：用公式②或④将大于90°的角转化为锐角； （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 （1） sin 750°＝ 　　​ 　　； cos （－2 040°）＝ 　　－ 　　； 解析： sin 750°＝ sin （2×360°＋30°）＝ sin 30°＝ ； cos （－2 040°）＝ cos 2 040°＝ cos （5×360°＋240°）＝ cos 240°＝ cos （180°＋60°）＝－ cos 60°＝－ . ​ － 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）计算： sin － cos ＝ ⁠. 解析： 原式＝－ sin － cos ＝－ sin （4π＋π＋ ）－ cos ＝ sin ＋ cos ＝ ＋ ＝1. 1 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜化简、求值问题 【例2】　化简下列各式： （1） ； 解： 原式＝ ＝ ＝－ ＝－tan α. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2） ； 解： 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝－1. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3） sin （ 2kπ＋ ） cos （ kπ＋ ）（k∈Z）. 解： 当k为偶数时，原式＝ sin cos ＝ sin （ π－ ） cos （ π＋ ）＝－ sin cos ＝－ . 当k为奇数时，原式＝ sin cos （ π＋ ）＝ sin （ π－ ） cos （ 2π＋ ）＝ sin cos ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 三角函数式化简的常用方法 （1）依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个 角的三角函数. （2）切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正弦或余弦函数. （3）注意“1”的应用：1＝ sin 2α＋ cos 2α＝tan . （4）用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨 论，然后再运用诱导公式进行化简. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 化简： （n∈Z）. 解：当n＝2k时，原式＝ ＝1； 当n＝2k＋1时，原式＝ ＝1. 综上，原式＝1. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜给值（式）求值问题 【例3】　已知 cos ＝ ，求： （1） cos 的值； 解： cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ . （2） cos 的值. 解： cos ＝ cos ＝ cos ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 1. （变设问）在本例条件下，求 sin 2 的值. 解： sin 2 ＝ sin 2 ＝ sin 2 ＝1－ cos 2 ＝1 － ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. （变条件）若将本例中条件“ cos ＝ ”改为“ sin ＝ ，α∈ ”，如何求得（1）的值？ 解：因为α∈ ，则α－ ∈ . 所以 cos ＝－ cos ＝－ cos ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 解决条件求值问题的2技巧 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 若 sin （π＋α）＝ ，α∈ ，则tan（π－α）＝（　　） A. － B. － C. － D. － 解析： 因为 sin （π＋α）＝－ sin α，根据条件得 sin α＝－ ，又 α∈ ，所以 cos α＝－ ＝－ .所以tan α＝ ＝ ＝ .所以tan（π－α）＝－tan α＝－ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知 sin ＝－ ，则 sin ＝ 　　－ 　　. 解析：∵ － ＝2π，∴α－ ＝ －2π.∵ sin ＝－ ，∴ sin （α－ ）＝ sin ＝ sin （α＋ ）＝－ . － 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. （2025·烟台期末） cos （ － ）＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　 cos （ － ）＝ cos ＝ cos （ 8π－ ）＝ cos ＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 〔多选〕下列式子化简正确的是（　　） A. sin ＝ B. cos （ － ）＝ C. sin （2 026π－α）＝－ sin α D. tan（α－2 025π）＝－tan α √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对于A， sin ＝ sin （ π＋ ）＝－ sin ＝－ ，故A错误； 对于B， cos （ － ）＝ cos ＝ ，故B正确；对于C， sin （2 026π－α） ＝ sin （－α）＝－ sin α，故C正确；对于D，tan（α－2 025 π）＝tan α， 故D错误. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 点P（ cos 2 025°， sin 2 025°）落在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　2 025°＝6×360°－135°，所以 cos 2 025°＝ cos （－ 135°）＝ cos 135°＜0， sin 2 025°＝ sin （－135°）＝－ sin 135°＜ 0，所以点P在第三象限. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 的化简结果为 ⁠. 解析：原式＝ ＝1. 1 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 求下列各式的值： （1） sin （－1 395°） cos 1 110°＋ cos （－1 020°） sin 750°； 解： 原式＝ sin （－4×360°＋45°） cos （3×360°＋30°）＋ cos （－3×360°＋60°） sin （2×360°＋30°）＝ sin 45° cos 30°＋ cos 60° sin 30°＝ × ＋ × ＝ ＋ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2） sin · cos ·tan . 解： 原式＝ sin · cos ·tan ＝ sin · cos ·tan ＝ sin · cos ·tan ＝－ sin · cos ·tan ＝－ × × ＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. sin （ － ）－ cos 的值为（　　） A. 0 B. 1 C. ＋ D. － 解析： 　 sin （ － ）－ cos ＝ sin （ －6π）－ cos （ 4π－ ） ＝ sin － cos （ － ）＝ －（ － ）＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 化简 sin （π－2）－ cos （4π－2）的结果为（　　） A. sin 2－ cos 2 B. －1 C. 2 sin 2 D. －2 sin 2 解析： 　原式＝ sin 2－ cos 2，故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知 sin （30°＋α）＝ ，60°＜α＜150°，则 cos （150°－α）的值 为（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　由 sin （30°＋α）＝ ，60°＜α＜150°，则90°＜30°＋α＜ 180°，所以 cos （30°＋α）＝－ ，则 cos （150°－α）＝ cos [180°－ （30°＋α）]＝－ cos （30°＋α）＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 若 sin （π－α）＝log8 ，且α∈ ，则 cos （π＋α）＝（　　） A. B. － C. ± D. 以上都不对 解析： 　因为 sin （π－α）＝ sin α＝lo 2－2＝－ ，所以 cos （π＋α） ＝－ cos α＝－ ＝－ ＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕下列各式正确的是（　　） A. sin （α＋180°）＝－ sin α B. cos （－α＋β）＝－ cos （α－β） C. sin （－α－360°）＝－ sin α D. cos （－α－β）＝ cos （α＋β） 解析： 　 sin （α＋180°）＝－ sin α， cos （－α＋β）＝ cos [－（α －β）]＝ cos （α－β）， sin （－α－360°）＝－ sin （α＋360°）＝－ sin α， cos （－α－β）＝ cos [－（α＋β）]＝ cos （α＋β）. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 〔多选〕在△ABC中，三个内角分别为A，B，C. 下列结论正确的是 （　　） A. sin （B＋C）＝ sin A B. 若 cos A＞0，则△ABC为锐角三角形 C. cos （B＋C）＝ cos A D. 若 sin （π－A）＝ sin B，则A＝B 解析： 　由A＋B＋C＝π，故A正确，C错误；对B，若 cos A＞0，可 得A为锐角，△ABC不一定是锐角三角形，B错误；由 sin （π－A）＝ sin A＝ sin B，A，B∈（0，π）知，A＝B，故D正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 可化简为 ⁠. 解析： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－ sin θ. 1－ sin θ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 已知 sin （α＋π）＝ ，且 sin α cos α＜0，则 ＝ ⁠. 解析：∵ sin （α＋π）＝ ，∴ sin α＝－ . 又∵ sin α cos α＜0，∴ cos α＞0， cos α＝ ＝ ，∴tan α＝－ . 原式＝ ＝ ＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 已知 cos （75°＋α）＝ ，α是第三象限角，则 sin （α－105°） ＝ ⁠. ​ 解析：因为 cos （75°＋α）＝ ，所以 cos （α－105°）＝ cos （105°－ α）＝ cos [180°－（75°＋α）]＝－ cos （75°＋α）＝－ ，又α是第三 象限角，即180°＋360°k＜α＜270°＋360°k，k∈Z，所以75°＋ 360°k＜α－105°＜165°＋360°k，k∈Z，由 cos （α－105°）＝－ ＜0得90°＋360°k＜α－105°＜165°＋360°k，k∈Z，所以 sin （α－ 105°）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知f（α）＝ . （1）化简f（α）； 解： f（α）＝ ＝－ cos α. （2）若α是第三象限角，且 sin （α－π）＝ ，求f（α）的值； 解：∵ sin （α－π）＝－ sin α＝ ，∴ sin α＝－ .又α是第三象限角， ∴ cos α＝－ ＝－ ＝－ .∴f（α）＝－ cos α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）若α＝－ ，求f（α）的值. 解： ∵－ ＝－6×2π＋ ，∴f（ － ）＝－ cos （ －6×2π＋ ）＝－ cos ＝－ cos （ 2π－ ）＝－ cos ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 已知 sin ＝ ，则 sin 的值为（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　 sin ＝ sin ＝ sin ＝－ sin ＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 已知函数f（x）＝a sin （πx＋α）＋b cos （πx＋β）＋x，且f（2 026）＝0，则f（2 027）＝ ⁠. 解析：因为f（x）＝a sin （πx＋α）＋b cos （πx＋β）＋x，所以f（2 026）＝a sin （2 026π＋α）＋b cos （2 026π＋β）＋2 026＝a sin α＋b cos β ＋2 026＝0，得到a sin α＋b cos β＝－2 026，所以f（2 027）＝a sin （2 027π＋α）＋b cos （2 027π＋β）＋2 027＝a sin （π＋α）＋b cos （π＋β） ＋2 027＝－a sin α－b cos β＋2 027＝－（－2 026）＋2 027＝4 053. 4 053 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 是否存在角α和β，当α∈ ，β∈（0，π）时，等式 sin （3π－ α）＝ sin （2π＋β）， cos （－α）＝－ cos （π＋β）同时成立？ 若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：存在α＝ ，β＝ 使等式同时成立.理由如下： 由 sin （3π－α）＝ sin （2π＋β）， cos （－α）＝－ cos （π ＋β）得， sin α＝ sin β， cos α＝ cos β，两式平方相加得， sin 2α＋3 cos 2α＝2，得到 sin 2α＝ ，即 sin α＝± .因为α∈ ，所以α＝ 或α＝－ .将α＝ 代入 cos α＝ cos β，得 cos β＝ ，由于β∈（0，π），所以β＝ .将α＝－ 代入 sin α＝ sin β，得 sin β＝－ ，由于β∈（0，π），这样的角β不存在.综上可知，存在α ＝ ，β＝ 使等式同时成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $