7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦同角三角函数基本关系式，通过“蝴蝶效应”情境导入，引导学生从事物普遍联系角度思考同角三角函数的关系，衔接三角函数定义，搭建知识学习支架。 其亮点在于情境导入激发探究兴趣，知识点表格化呈现清晰，典例研析总结通性通法（如齐次式求值、三角恒等式证明），培养逻辑推理与数学运算素养。分层作业设计满足不同需求，助力学生夯实基础，教师可高效组织教学。

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 1 1.理解同角三角函数基本关系式（逻辑推理）. 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与证明（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林 中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一 场龙卷风.这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，此效应本意是说事物初始 条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.蝴蝶扇翅膀成为龙卷风的导 火索.从中我们还可以看出，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶 与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联 系，这也正验证了哲学理论中事物是普遍联系的观点. 【问题】　既然感觉毫不相干的事物都是互相联系的，那么“同一个角” 的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点　同角三角函数的基本关系式 关系式 文字表述 平方 关系 sin 2α＋ cos 2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的 ⁠ 等于1 商数 关系 ＝ ⁠ 同一个角α的正弦、余弦的 ⁠等于 角α的 ⁠ 平方和　 tan α　 商　 正切　 　　提醒：同角三角函数基本关系式的变形：① sin 2α＝1－ cos 2α；② cos 2α＝1－ sin 2α；③ sin α＝ cos αtan α；④ cos α＝ ；⑤（ sin α± cos α） 2＝1±2 sin α cos α. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？ 提示：平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，它要求 α≠kπ＋ ，k∈Z. 2. “同角”一词的含义是什么？ 提示：一是“角相同”，如 sin 2α＋ cos 2β＝1就不一定成立.二是对任 意一个角（在使得函数有意义的前提下），关系式都成立，即与角的 表达式形式无关，如 sin 215°＋ cos 215°＝1， sin 2（α＋β）＋ cos 2 （α＋β）＝1等. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）对∀x∈R， sin 24x＋ cos 24x＝1. （　√　） （2）对∀x∈R，tan x＝ . （　×　） （3）若 cos α＝0，则 sin α＝1. （　×　） √ × × 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 设θ∈ ，若 sin θ＝ ，则 cos θ＝（　　） A. B. C. D. 解析： ∵θ∈ ， sin θ＝ ，∴ cos θ＝ ＝ ＝ ，故选D. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知tan α＝－ ， ＜α＜π，则 sin α＝ 　​ 　. 解析：由tan α＝ ＝－ ，得 cos α＝－2 sin α.又因为 sin 2α＋ cos 2α＝ 1，所以 sin 2α＋4 sin 2α＝1，即 sin 2α＝ .因为 ＜α＜π，所以 sin α＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜利用同角三角函数的基本关系式求值 【例1】　（1）已知角α是第二象限角，且 cos α＝－ ，则tan α的值是 （　D　） A. B. － C. D. － 解析： 因为α为第二象限角，所以 sin α＝ ＝ ＝ ，所以tan α＝ ＝ ＝－ . D 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）已知 ＝2，则 ＝ 　　​ 　　. 解析： 由 ＝2，化简得 sin α＝3 cos α，所以tan α＝3.原式 ＝ ＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 　（变设问）本例（2）条件不变，计算2 sin 2α－3 sin α cos α的值. 解：因为tan α＝3， 所以原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 求三角函数值的方法 （1）已知 sin θ（或 cos θ）求tan θ常用以下方式求解 （2）已知tan θ求 sin θ（或 cos θ）常用以下方式求解 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分 区间（象限）讨论. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知角α的正切求关于 sin α， cos α的齐次式值的方法 （1）关于 sin α， cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin α， cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以 cos α的n 次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值； （2）若无分母时，把分母看作1，并将1用 sin 2α＋ cos 2α来代换，将分 子、分母同除以 cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知tan θ＝4，则 sin 2θ－3 sin θ cos θ＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　因为tan θ＝4，所以 sin 2θ－3 sin θ cos θ＝ ＝ ＝ ＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 若tan θ＋ ＝4，则 sin θ cos θ＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　∵tan θ＋ ＝4，∴ ＋ ＝4，即 ＝4， sin θ cos θ＝ .故选D. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜三角函数式的化简与证明 角度1　三角函数式的化简 【例2】　若 sin α·tan α＜0，化简 ＋ . 解：因为 sin α·tan α＜0，所以 cos α＜0. 原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 三角函数式的化简技巧 （1）化切为弦，即把正切函数化为正、余弦函数，从而减少函数名称， 达到化繁为简的目的； （2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根 号达到化简的目的； （3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin 2α ＋ cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 角度2　三角函数式的证明 【例3】　求证： ＝ . 证明：法一　因为左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝右边. 所以原式成立. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 法二　由法一知，左边＝ ， 右边＝ ＝ ， 所以左边＝右边，原式成立. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 证明三角恒等式常用的方法 （1）从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化 简到另一边，其依据是相等关系的传递性； （2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同 一个量的两个量相等； （3）比较法：即证左边－右边＝0或证 ＝1； （4）综合法：即由一个已知成立的等式（如公式等）恒等变形得到所要 证明的等式，其依据是等价转化的思想. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知α∈（ － ，0），则 sin α ＋ cos 2α ＝（　　） A. －1 B. －2 cos α－1 C. 1 D. 2 cos α＋1 解析： 　原式＝ sin α ＋ cos 2α ＝ ＋ cos 2α .因为α∈（ － ，0），则 sin α＜0， cos α＞0，所以上 式＝－（1＋ cos α）＋ cos α＝－1. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 证明下列恒等式： （1） sin 2α＋ sin 2β－ sin 2α sin 2β＋ cos 2α cos 2β＝1； 证明： 左边＝ sin 2α（1－ sin 2β）＋ sin 2β＋ cos 2α cos 2β ＝ sin 2α cos 2β＋ sin 2β＋ cos 2α cos 2β＝ cos 2β（ sin 2α＋ cos 2α）＋ sin 2β ＝ cos 2β＋ sin 2β＝1＝右边.故恒等式成立. （2）2（1－ sin α）（1＋ cos α）＝（1－ sin α＋ cos α）2. 证明： 右边＝ sin 2α＋ cos 2α＋1－2 sin α＋2 cos α－2 sin α cos α ＝2－2 sin α＋2 cos α－2 sin α cos α＝2（1－ sin α＋ cos α－ sin α cos α） ＝2（1－ sin α）（1＋ cos α）＝左边.故恒等式成立. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜ sin α± cos α与 sin α cos α关系的应用 【例4】　已知 sin θ＋ cos θ＝ （0＜θ＜π），求 sin θ cos θ和 sin θ－ cos θ 的值. 解：因为 sin θ＋ cos θ＝ （0＜θ＜π）， 所以（ sin θ＋ cos θ）2＝ ， 即 sin 2θ＋2 sin θ cos θ＋ cos 2θ＝ ，所以 sin θ cos θ＝－ . 由上式可知，θ为第二象限的角，所以 sin θ－ cos θ＞0， 所以 sin θ－ cos θ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 　　已知 sin α± cos α， sin α cos α的求值问题，一般利用三角恒等式，采 用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有： （1）（ sin α＋ cos α）2＝1＋2 sin α cos α； （2）（ sin α－ cos α）2＝1－2 sin α cos α； （3）（ sin α＋ cos α）2＋（ sin α－ cos α）2＝2； （4）（ sin α－ cos α）2＝（ sin α＋ cos α）2－4 sin α cos α. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知 cos α－ sin α＝－ ，则 sin α cos α的值为（　　） A. B. ± C. D. ± 解析： 　由已知得（ cos α－ sin α）2＝ sin 2α＋ cos 2α－2 sin α cos α＝1－ 2 sin α cos α＝ ，所以 sin α cos α＝ . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知 sin x＋ cos x＝ ，且0＜x＜π.求 sin x， cos x，tan x的值. 解：∵ sin x＋ cos x＝ ， ① 两边平方，得 sin 2x＋2 sin x cos x＋ cos 2x＝ ， ∴2 sin x cos x＝－ ， ∴（ sin x－ cos x）2＝ sin 2x＋ cos 2x－2 sin x cos x ＝1＋ ＝ . ∵ sin x cos x＜0，而0＜x＜π，∴ sin x＞0， cos x＜0， ∴ sin x－ cos x＞0，则 sin x－ cos x＝ . ② 联立①②两式， 解得 sin x＝ ， cos x＝－ ，故tan x＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是（　　） A. tan α＝－ B. cos α＝－ C. sin α＝－ D. tan α＝ 解析： 　由商数关系可知A、D项均不正确，当α为第二象限角时， cos α ＜0， sin α＞0，故B项正确. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 若 cos α＝－ ，α∈（0，π），则 sin α的值等于（　　） A. － B. C. D. － 解析： 　∵ cos α＝－ ，α∈（0，π），∴ sin α＝ ＝ ＝ .故选C. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos θ＝ ，则下列结论正确的是 （　　） A. θ∈（ ，π） B. cos θ＝－ C. tan θ＝－ D. sin θ－ cos θ＝ √ √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，因为 sin θ＋ cos θ＝ ，则（ sin θ＋ cos θ）2＝1＋2 sin θ cos θ＝ ，所以2 sin θ cos θ＝－ .又因为θ∈（0，π），则 sin θ＞ 0， cos θ＜0，所以θ∈（ ，π），故A正确；对于D，可得（ sin θ－ cos θ）2＝1－2 sin θ cos θ＝ ，且 sin θ－ cos θ＞0，所以 sin θ－ cos θ＝ ， 故D错误；对于B，联立 可得 sin θ＝ ， cos θ＝－ ，故B正确；对于C，可得tan θ＝ ＝－ ，故C正确.故选A、B、C. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 已知 sin θ－ cos θ＝ ，则 sin 3 θ－ cos 3 θ的值为 　　​ 　　. 解析：将 sin θ－ cos θ＝ 两边同时平方，得1－2 sin θ cos θ＝ ，从而可得 sin θ cos θ＝ ， 故 sin 3θ－ cos 3θ＝（ sin θ－ cos θ）（ sin 2θ＋ sin θ cos θ＋ cos 2 θ）＝ × ＝ . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 已知 　　　　.请从下列两个条件中任选一个作答. 条件①：角α的终边与单位圆的交点为M（ x， ）； 条件②：角α满足3 sin 2α－2 cos 2α＋1＝0. （1）求tan α的值； 解： 条件①：因为角α的终边与单位圆的交点为M（ x， ）， 可得x2＋（ ）2＝1，x＝± ，由三角函数的定义可得tan α＝± . 条件②：因为角α满足3 sin 2α－2 cos 2α＋1＝0，又 sin 2α＋ cos 2α＝1， 即3 sin 2α－2 cos 2α＋ sin 2α＋ cos 2α＝0，可得4 sin 2α＝ cos 2α， 又 cos 2α≠0，所以tan2α＝ ，即tan α＝± . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求 sin α cos α－ sin 2α的值. 解： 无论选择①还是②均可得到tan α＝± ， sin α cos α－ sin 2α＝ ＝ ， 当tan α＝ 时， ＝ ＝ ； 当tan α＝－ 时， ＝ ＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 若α为第三象限角，则 ＋ 的值为（　　） A. 3 B. －3 C. 1 D. －1 解析： 　原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1－2＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 若 sin α＝－ ，且α为第四象限角，则tan α的值等于（　　） A. B. － C. D. － 解析： 　因为 sin α＝－ ，且α为第四象限角，所以 cos α＝ ，所以tan α＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知 sin θ＝ ， cos θ＝－ ，若θ是第二象限角，则tan θ的值为 （　　） A. － B. －2 C. － D. － 解析： ∵ sin θ＝ ， cos θ＝－ ，∴ sin 2θ＋ cos 2θ＝ ＋ ＝1，解得a＝0或a＝4.∵θ为第二象限角，∴ sin θ＞0， cos θ＜ 0，∴a＝4，∴ sin θ＝ ， cos θ＝－ ，tan θ＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 化简 sin 21°＋ sin 22°＋ sin 23°＋…＋ sin 289°的结果是（　　） A. 89 B. C. 45 D. 解析： 　∵ sin 1°＝ cos 89°， sin 2°＝ cos 88°，…， sin 89°＝ cos 1°，故设 cos 289°＋ cos 288°＋…＋ cos 22°＋ cos 21°＝t，则2t＝ 89，∴t＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕已知θ∈（0，π），且 sin θ＋ cos θ＝ ，则下列结论正确的是 （　　） A. sin θ cos θ＝－ B. sin θ－ cos θ＝－ C. tan θ＝－ D. sin θ cos θ－ cos 2θ＝－ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由 sin θ＋ cos θ＝ 可得（ sin θ＋ cos θ）2＝ ，即 sin 2θ＋2 sin θ cos θ＋ cos 2θ＝ ，所以2 sin θ cos θ＝－ ，即 sin θ cos θ＝－ ， 即A正确；又θ∈（0，π），所以 sin θ＞0， cos θ＜0，因此 sin θ－ cos θ＞ 0，所以 sin θ－ cos θ＝ ＝ ＝ ＝ ，即B错误；联立 可得 sin θ＝ ， cos θ＝－ ，所以tan θ＝ ＝ ＝－ ，即C错误；代入计算可得 sin θ cos θ－ cos 2θ＝ ×（ － ）－（ － ）2＝－ － ＝－ ，即D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 〔多选〕若1＋ sin θ ＋ cos θ ＝0成立，则角θ不可能位于 （　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析： 　∵1＋ sin θ ＋ cos θ· ＝1＋ sin θ·｜ sin θ｜＋ cos θ｜ cos θ｜＝0.又 sin 2θ＋ cos 2θ＝1，∴ 即π＋2kπ≤θ≤ ＋2kπ（k∈Z）.故角θ不可能在第一、二、四象限. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 已知 ＝1，则α在第 象限. 解析：由 ＝1⇒tan α＝－1＜0，∴α在第二或第四象限. 二或四 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 已知tan θ＝ ，则 ＝ 　​ 　. 解析：∵tan θ＝ ，∴原式＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 已知θ∈（0，2π），且 sin θ， cos θ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实 数根，则实数k＝ ，θ＝ ⁠. 解析：依题意有 sin θ＋ cos θ＝k， ① sin θ cos θ＝k＋1. ② 又∵（ sin θ＋ cos θ）2＝1＋2 sin θ cos θ，∴k2－2k－3＝0.解得k＝3或k ＝－1.∵｜ sin θ cos θ｜＝｜k＋1｜≤1，∴k＝－1.代入①②，得 解得 或 又∵θ∈（0， 2π），∴θ＝π或 . －1 π或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 已知f（α）＝ . （1）若 sin α＋ cos α＝ ，且0＜α＜π，求f（α）的值； 解： 法一 f（α）＝ ，因为 sin α＋ cos α＝ ， 所以（ sin α＋ cos α）2＝ ，即2 sin α cos α＝－ ， 从而（ sin α－ cos α）2＝1－2 sin α cos α＝ .因为0＜α＜π， sin α＞0， 又 sin α cos α＜0，所以 cos α＜0，因此 sin α－ cos α＞0， 从而 sin α－ cos α＝ ， 故f（α）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 法二 由 sin α＋ cos α＝ 及 sin 2α＋ cos 2α＝1， 解得 sin α＝ ， cos α＝ ，或 sin α＝ ， cos α＝ ， 因为0＜α＜π，所以 sin α＝ ， cos α＝ ， 所以 sin α－ cos α＝ ，因此f（α）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）若f（α）＝ ，求 sin 2α－3 sin α cos α的值. 解： 法一 f（α）＝ ＝ ，所以2 sin α＝－4 cos α， 假设 cos α＝0，则由上式知 sin α＝0，与 sin 2α＋ cos 2α＝1矛盾，所以 cos α≠0， 从而tan α＝－2，则 sin 2α－3 sin α cos α＝ ＝ ＝2. 法二 f（α）＝ ＝ ，所以 sin α＝－2 cos α， 又 sin 2α＋ cos 2α＝1，所以5 cos 2α＝1，即 cos 2α＝ ， 因此 sin 2α－3 sin α cos α＝4 cos 2α＋6 cos 2α＝10 cos 2α＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 〔多选〕下列计算或化简结果正确的是（　　） A. ＝2 B. 若 sin θ· cos θ＝ ，则tan θ＋ ＝2 C. 若tan x＝ ，则 ＝1 D. 若α为第一象限角，则 ＋ ＝2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　A正确， ＝ · ＝2；B正确，tan θ＋ ＝ ＋ ＝ ＝2；C不正确， ＝ ＝ ＝2；D正 确，∵α为第一象限角，∴原式＝ ＋ ＝2.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 若tan α＋ ＝3，则 sin α cos α＝ 　​ 　；tan2α＋ ＝ ⁠. 解析：∵tan α＋ ＝3，∴ ＋ ＝3，即 ＝3，∴ sin α cos α＝ ，tan2α＋ ＝ －2tan α· ＝9－2＝7. ​ 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 已知函数f（x）＝（ cos x＋ ）2－tan2x· sin 2x. （1）分别计算f（0），f（ ），f（ ）和f（ ）的值； 解： f（0）＝（1＋1）2－0＝4； f（ ）＝（ ＋ ）2－（ ）2×（ ）2＝ － ＝4； f（ ）＝（ ＋ ）2－12×（ ）2＝ － ＝4； f（ ）＝（ ＋2）2－（ ）2×（ ）2＝ － ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）根据（1）的计算结果，你发现了什么恒等关系？并证明你的结论. 解： 发现结论：f（x）＝（ cos x＋ ）2－tan2x· sin 2x＝4. 下面给予证明：∀x∈R，且x≠kπ＋ （k∈Z），有 f（x）＝ cos 2x＋2＋ － · sin 2x ＝ cos 2x＋2＋ ＝ cos 2x＋2＋ ＝ cos 2x＋2＋（1＋ sin 2x） ＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $