7.2.2 单位圆与三角函数线-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“单位圆与三角函数线”，通过“水车转动”情境抽象出单位圆模型，连接三角函数定义与有向线段（MP、OM、AT）的关系，搭建从代数定义到几何表示的学习支架，帮助学生理解正弦线、余弦线、正切线的意义。 其亮点在于以数学眼光观察现实情境，通过典例研析（如比较三角函数值、解三角不等式）培养直观想象，利用单位圆几何直观落实数学抽象，如“拓视野”中证明正弦函数单调性。学生能深化对三角函数几何意义的理解，教师可借助系统案例提升教学效率。

7.2.2　单位圆与三角函数线 1 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切（数学抽象）. 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题（直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 拓视野　三角函数在单位圆中的几何表示及应用 03 课时作业 04 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进 水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学 们能想到些什么呢？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【问题】　将图中的水车抽象出一个数学模型，建立平 面直角坐标系（如图所示），设水车的轮廓为单位圆. 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点 P，过点P作PM⊥x轴.过点A（1，0）作单位圆的切 线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，你能得到 sin α， cos α，tan α与 ， ， 的关系吗？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点一　单位圆 1. 在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆. 2. 角α的 和 分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵 坐标. 余弦　 正弦　 【想一想】 1. 单位圆的圆心和半径分别是什么？ 提示：单位圆的圆心在原点，半径为单位长度即半径等于1. 2. 角α的终边与单位圆的交点是否可以表示为（ cos α， sin α）？ 提示：可以. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　角 的终边与单位圆的交点的坐标是 　　​ 　　. 解析：由于角 的终边与单位圆的交点横坐标是 cos ＝－ ，纵坐标是 sin ＝ ，所以角 的终边与单位圆的交点的坐标是 . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点二　三角函数线 　正弦线、余弦线和正切线都称为 ⁠. 三角函数线　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　　提醒：三角函数线的特征：①位置：三条三角函数线中有两条在以坐 标原点为圆心的单位圆内，一条在以坐标原点为圆心的单位圆外；②方 向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向x轴上 的垂足；正切线由切点指向切线与α的终边（或其反向延长线）的交点； ③正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”；④书 写：起点（比如点A）在前，终点（比如点B）在后，写为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 三角函数线的长度与三角函数的值有何关系？ 提示：三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值. 2. 三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？请说明理由. 提示：能，当三角函数线与x轴（或y轴）正向同向时，所表示三角函数值 为正的，与x轴（或y轴）正向反向时，所表示三角函数值为负的. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）余弦线 也可写成 . （　×　） （2）三角函数线的长度等于三角函数值. （　×　） （3）三角函数线的方向表示三角函数值的正负. （　√　） （4）当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在. （　√　） × × √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 如图所示，在单位圆中角α的正弦线，正切线分别是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 解析： 　α为第三象限角，故正弦线为 ，正切线为 ，所以C正确. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 角 和角 有相同的（　　） A. 正弦线 B. 余弦线 C. 正切线 D. 不能确定 解析： 　 与 的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜三角函数线的意义 【例1】　（1）角α（0＜α＜2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦 符号相异，那么α的值为（　　） A. B. C. D. 或 √ 解析：D　根据三角函数值的符号可知，当角α在二、四象限时，角α 的正弦、余弦符号相反.又角α的正、余弦线的长度相等，0＜α＜2π，所以 α＝ 或 . 解析： 　根据三角函数值的符号可知，当角α在二、四象限时，角α 的正弦、余弦符号相反.又角α的正、余弦线的长度相等，0＜α＜2π，所以 α＝ 或 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）作出 π的正弦线、余弦线和正切线. 解：在直角坐标系中作单位圆，如图所示，以Ox轴 为始边作角 π，角的终边与单位圆交于点P，作 PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点 A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则 sin π＝ ， cos π＝ ，tan π＝ ，即 π的正弦线为 ，余弦线为 ，正切线为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交 点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. 2. 作正切线时，应从A（1，0）点引单位圆的切线交角的终边于一点T， 即可得到正切线 ，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应 将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边（　　） A. 在x轴上 B. 在y轴上 C. 在直线y＝x上 D. 在直线y＝－x上 解析： 　根据正弦线的定义知，｜ sin α｜＝1，所以 sin α＝±1，所以角 α的终边在y轴上. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 有下列说法：① 和 的正弦线长度相等；② 和 的正切线长度相 等；③ 和 的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 解析： 　 和 的正弦线关于y轴对称，长度相等； 和 两角的正切线 长度相等； 和 的余弦线长度相等.故①②③都正确，故选C. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜利用三角函数线比较大小 【例2】　利用三角函数线比较下列各组数的大小： （1） sin 与 sin ； 解：如图所示，设 的终边与单位圆交于点P1， 的终边与单位圆交于点P2. （1）过点P1作P1M1垂直x轴于点M1，过点P2作P2M2垂直x轴于点M2， 则 ， 分别是 ， 的正弦线. ∵｜ ｜＞｜ ｜，且 与 的方向都与y轴的正方向相 同，∴ sin ＞ sin . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2） cos 与 cos ； 解： 易知 ， 分别是 ， 的余弦线. ∵｜ ｜＜｜ ｜，且 与 的方向都与x轴的正方向相反， ∴ cos ＞ cos . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）tan 与tan . 解： 过点A（1，0）作x轴的垂线，交 的终边的反向延长线于点 T1，交 的终边的反向延长线于点T2，则 ， 分别是 ， 的 正切线. ∵｜ ｜＞｜ ｜，且 与 的方向都与y轴的正方向相反， ∴tan ＜tan . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤 （1）角的位置标注清楚； （2）比较三角函数线的有向线段的长度； （3）确定有向线段的正负. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　若－ ＜α＜－ ，比较 sin α， cos α，tan α的大小. 解：如图，在单位圆中，作出－ ＜α＜－ 内的任意一个 角α及其余弦线、正弦线、正切线 ， ， . 由图知，｜ ｜＜｜ ｜＜｜ ｜， ∴－｜ ｜＜－｜ ｜＜｜ ｜， 即 sin α＜ cos α＜tan α. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜利用三角函数线解简单三角不等式（组） 【例3】　在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出 角α的集合. （1） sin α≥ ； 解： 作直线y＝ 交单位圆于A， B两点，连接OA，OB，则OA与OB围 成的区域（如图①所示的阴影部分，包 括边界），即为角α的终边的范围. 故满足要求的角α的集合为{α｜2kπ＋ ≤α≤2kπ＋ ，k∈Z}. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2） cos α≤－ . 解： 作直线x＝－ 交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC 与OD围成的区域（如图②所示的阴影部分，包括边界），即为角α的终边 的范围. 故满足条件的角α的集合为{α｜2kπ＋ ≤α≤2kπ＋ ，k∈Z}. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 利用三角函数线解简单的三角不等式的步骤 （1）在单位圆中作出边界角的终边； （2）利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范 围； （3）将图中角的范围用不等式表示出来. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　求y＝lg（1－ cos x）的定义域. 解：如图所示，∵1－ cos x＞0， ∴ cos x＜ ， ∴2kπ＋ ＜x＜2kπ＋ （k∈Z）， ∴函数定义域为（ 2kπ＋ ，2kπ＋ ）（k∈Z）. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 拓视野　三角函数在单位圆中 的几何表示及应用 能力提升 目 录 　　设角α的顶点在原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相 交于点P，如图①，过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直y轴于点 N，则点P的坐标为（ cos α， sin α），其中 cos α＝OM， sin α＝ON，即 角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.以A 为原点建立y'轴与y轴同向，y'轴与α的终边（或其反向延长线）相交于点T （或T'），如图②，则tan α＝AT（或AT'）. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 我们把有向线段OM，ON和AT（或AT'）分别叫做α的余弦线、正弦线和 正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【问题探究】 1. 设角α＝x rad，且0＜x＜ ，于是x， sin x，tan x都是实数，请你给x一 个具体的值，比较三个实数的大小. 提示：我们先给x一个具体的值来进行比较：取x＝ ，则 sin x＝ ，tan x ＝ .因为 ＝ ＜ ，所以 sin ＜ .又tan ＝ ＝ ＞ ，所以tan ＞ .从而可得 sin ＜ ＜tan .即当x＝ 时， sin x＜x＜tan x. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 你在第1问中得到的大小关系是否对区间 上的任意x都成立？ 提示：设角α的顶点与圆心O重合，始边与x轴的非负半轴 重合，终边与单位圆相交于点P，如图所示.过点P作 PM⊥x轴于点M，过x轴正半轴与以坐标原点为圆心的单 位圆的交点A作该单位圆的切线AT，交α的终边于点T，连 接AP，则MP＝ sin x，AT＝tan x，S△OAP＜S扇形AOP ＜ S△OAT. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 所以 sin x＜ x＜ tan x，即 sin x＜x＜tan x. 因此当x∈ 时， sin x＜x＜tan x. 因为S△OAP＝ OA·MP＝ sin x， S扇形AOP＝ x·12＝ x， S△OAT＝ OA·AT＝ tan x， 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【迁移应用】 　利用三角函数线证明：正弦函数在 上是增函数. 解：设0≤α1＜α2≤ ，分别作出α1，α2的正弦线 ， ，如图所示. ∵｜ ｜＜｜ ｜，且 与 的方向都与y 轴的正方向相同，∴ sin α1＜ sin α2， 故正弦函数在 上是增函数. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 若角α的正切线位于第一象限，则角α是（　　） A. 第一象限的角 B. 第一、第二象限的角 C. 第三象限的角 D. 第一、第三象限的角 解析： 　由正切线的定义知，当角α是第一、第三象限的角时，正切线都 在第一象限. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 已知θ∈（ ， ），在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是 ， ， ，则 sin θ， cos θ，tan θ的大小关系是（　　） A. sin θ＞ cos θ＞tan θ B. sin θ＞tan θ＞ cos θ C. tan θ＞ cos θ＞ sin θ D. tan θ＞ sin θ＞ cos θ 解析： 画出图象如图所示，由图可知，tan θ＞ sin θ＞ cos θ. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 函数y＝ 的定义域为 　​ 解析：利用三角函数线，画出满足条件的终边的范围 （如图阴影部分所示）.因此所求定义域为{x｜2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z}. ​ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边. （1） sin α＝ ； 解： 作直线y＝ 交单位圆于P，Q 两点，连接OP，OQ，则OP与OQ为角α 的终边，如图甲. （2） cos α＝－ . 解： 作直线x＝－ 交单位圆于M，N两点，连接OM，ON，则OM 与ON为角α的终边，如图乙. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 04 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 〔多选〕下列命题正确的是（　　） A. α一定时，单位圆中的正弦线一定 B. 单位圆中，有相同正弦线的角相等 C. α和α＋π有相同的正切线 D. 具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上 解析： 　由三角函数线的定义A、D正确，B、C不正确.B中有相同正弦 线的角可能不等，如 与 ；C中当α＝ 时，α与α＋π都没有正切线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 〔多选〕已知 的正弦线为 ，正切线为 ，则有（　　） A. 与 的方向相同 B. ｜ ｜＝｜ ｜ C. sin ＝｜ ｜ D. tan ＝｜ ｜ 解析： 　三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的. sin ＝｜ ｜＞0，tan ＝｜ ｜＞0. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 已知角α的正弦线的方向与y轴正方向相同，余弦线的方向与x轴正方向 相反，但它们的长度相等，则（　　） A. sin α＋ cos α＝0 B. sin α－ cos α＝0 C. tan α＝0 D. sin α＝tan α 解析： 　由题意，得 sin α＞0， cos α＜0，且｜ sin α｜＝｜ cos α｜，所 以 sin α＋ cos α＝0.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 有三个命题：① 与 的正弦线相等；② 与 的正切线相等；③ 与 的余弦线相等.其中真命题的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 解析： 　根据三角函数线定义可知， 与 的正弦线相等， 与 的正 切线相等， 与 的余弦线相反. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 设a＝ sin （－1），b＝ cos （－1），c＝tan（－1），则有（　　） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. c＜a＜b D. a＜c＜b 解析： 　如图，作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线， 因为－ ＜－1＜－ ，所以b＝ cos （－1）＞0，a＝ sin （－1）＜0，c＝tan（－1）＜0，又正切线的长度大于正 弦线的长度，所以a＞c，即c＜a＜b. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 〔多选〕如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半 轴交于点A（1，0）.已知点B（x1，y1）在圆O上，点T的坐标是（x0， sin x0），则下列说法中正确的是（　　） A. 若∠AOB＝α，则 ＝α B. 若y1＝ sin x0，则x1＝x0 C. y1＝ sin x0，则 ＝x0 D. 若 ＝x0，则y1＝ sin x0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由于单位圆的半径为1，根据弧长公式有 ＝1·α＝α， 所以A正确；由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点，y1是对应∠AOB 的正弦值，即y1＝ sin x0，所以x1是对应∠AOB的余弦值，即x1＝ cos x0，所以B错误；当y1＝ sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错 误；反过来，当∠AOB＝x0，即 ＝x0时，y1＝ sin x0一定成立，所 以D正确.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 使不等式 cos θ＞ sin θ＞tan θ成立的一个θ的值是 ⁠. 解析：结合单位圆中的正弦线、余弦线及正切线，可知当－ ＋2kπ＜θ＜ 2kπ（k∈Z）时， cos θ＞ sin θ＞tan θ.故答案为 （答案不唯一）. （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 把 sin ， sin ， cos ，tan 由小到大排列为 　 cos ＜ sin ＜ sin ⁠. 解析：如图所示，在平面直角坐标系中，以O 为圆心作单位圆，分别作出已知角，则 sin ＝｜ ｜＞0， sin ＝｜ ｜＞0，tan ＝｜ ｜＞0， cos ＝－｜ ｜＜0.而0 ＜｜ ｜＜｜ ｜＜｜ ｜，∴ cos ＜ sin ＜ sin ＜tan . cos ＜ sin ＜ sin ＜tan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 函数y＝ 的定义域为 　 （k∈Z）　. 解析：要使函数有意义，有1－2 sin x≥0，得 sin x≤ ， 如图，确定正弦值为 的角的终边OP与OP'，其对应的 一个角分别为 π， π，所求函数定义域为［2kπ＋ π，2kπ＋ π］（k∈Z）. （k∈Z） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. 利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： （1）tan α＝－1； 解： 如图①所示，过点（1，－1） 和原点作直线交单位圆于点P和P'，则 OP和OP'就是角α的终边， ∴∠xOP＝ ＝π－ ，∠xOP'＝－ ， ∴满足条件的所有角α的集合是{α｜α＝－ ＋kπ，k∈Z}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解：如图②所示，过点 作x轴 的平行线，交单位圆于点P和P'， 则 sin ∠xOP＝ sin ∠xOP'＝－ ， ∴∠xOP＝ ，∠xOP'＝ ， ∴满足条件的所有角α的集合是{α｜ ＋2kπ＜α＜ ＋2kπ，k∈Z}. （2） sin α＜－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 〔多选〕已知tan α＞tan β，那么下列命题成立的是（　　） A. 若α，β是第一象限角，则 cos α＞ cos β B. 若α，β是第二象限角，则 sin α＜ sin β C. 若α，β是第三象限角，则 cos α＜ cos β D. 若α，β是第四象限角，则 sin α＞ sin β √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　对于A，若α，β是第一象限角，且tan α＞tan β，作出三角函数 线，如图1所示，则 cos α＝｜ ｜， cos β＝｜ ｜，所以 cos α＜ cos β，所以A错误；对于B，若α，β是第二象限角，且tan α＞tan β，作出三角 函数线，如图2所示，则 sin α＝｜ ｜， sin β＝｜ ｜， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 所以 sin α＜ sin β，所以B正确；对于C，若α，β是第三象限角，且tan α＞ tan β，作出三角函数线，如图3所示，则 cos α＝－｜ ｜， cos β＝ －｜ ｜，所以 cos α＞ cos β，所以C错误；对于D，若α，β是第四象限 角，且tan α＞tan β，作出三角函数线，如图4所示，则 sin α＝－｜ ｜， sin β＝－｜ ｜，所以 sin α＞ sin β，所以D正确. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 已知点P（ sin α－ cos α，tan α）在第一象限，若α∈[0，2π），则α的 取值范围为 ⁠. 解析：∵点P在第一象限，∴ ∴ 结合单 位圆中三角函数线及0≤α＜2π，可知 ＜α＜ 或π＜α＜ .即α的取值范围 为（ ， ）∪（ π， ）. （ ， ）∪（ π， ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 已知α∈ ，求证：1＜ sin α＋ cos α＜ . 证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P（x， y），过P作PM⊥Ox，PN⊥Oy，M，N分别为垂足. 所以MP＝y＝ sin α，OM＝x＝ cos α， 在△OMP中，OM＋MP＞OP， 所以 sin α＋ cos α＞1. 因为S△OAP＝ OA·MP＝ y＝ sin α， S△OBP＝ OB·NP＝ x＝ cos α， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 S扇形OAB＝ π×12＝ ， 又因为S△OAP＋S△OBP＜S扇形OAB， 所以 sin α＋ cos α＜ ，即 sin α＋ cos α＜ ， 所以1＜ sin α＋ cos α＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $