第八章 实数 复习与回顾（导学案）数学新教材人教版七年级下册

该初中数学导学案聚焦第八章实数复习，涵盖平方根、算术平方根、立方根的概念性质及表示，实数分类、运算和数轴对应等核心知识。通过“数系扩充”问题导入，引导学生回顾从自然数到有理数再到实数的脉络，借助思维导图和对比表格搭建知识梳理支架。 资料以自主学习与合作探究结合为特色，通过小组构建知识网络培养抽象能力，典型例题覆盖考点提升运算能力，中考题融入强化应用意识，易错提醒助力规范推理，帮助学生系统掌握知识，发展数学思维与解决问题能力。

第八章 实数 复习与回顾 （导学案） （1）系统梳理平方根、算术平方根、立方根的概念、性质及表示方法；掌握实数的分类、相反数、绝对值及简单运算；能用有理数估计一个无理数的大致范围；理解实数与数轴上的点一一对应. （2）经历知识梳理和体系建构的过程，学会用思维导图等方式整理知识；通过典型例题的探究，进一步感悟分类讨论、类比、数形结合等数学思想方法. （3）在复习过程中体会知识之间的内在联系，感受数系扩充的和谐美；通过解决综合问题，培养严谨细致的学风和学习数学的自信心. 重点：构建实数章节知识体系，熟练掌握平方根、立方根及实数的相关概念和运算. 难点:灵活运用平方根和算术平方根的性质解决问题（如被开方数的非负性、双重非负性等）；理解实数与数轴的一一对应关系并应用于比较大小和计算. 第一环节 自主学习 温故知新： 问题引入：我们在小学认识了自然数，七年级上册学习了有理数，现在又学习了实数.数的范围是如何一步步扩充的？每次扩充解决了什么问题？ 学生回顾： 【学法指导】 新知自研：自研课本全章的内容 【学法指导】自研课本全章内容 （一）构建知识网络 任务：以小组为单位，用思维导图或知识树的形式梳理本章知识. 梳理框架：平方根、算术平方根、立方根（概念、表示、性质、开方与乘方的关系） 实数（定义、分类、与数轴的关系、相反数绝对值倒数） 实数的运算（运算法则、运算律、近似计算） 呈现完整的知识结构图： 重点强调： （1）平方根与算术平方根的区别与联系：联系是算术平方根是平方根的非负部分；区别是平方根有两个（除0外），算术平方根只有一个非负数。 （2）平方根与立方根的性质对比： 名称 正数 0 负数 平方根 算术平方根 立方根 （二）核心概念辨析 问题1：判断下列说法是否正确，并说明理由. (1) 16的平方根是4. (2) 算术平方根等于它本身的数只有0和1. (3) 立方根等于它本身的数有0和±1. (4) 带根号的数都是无理数. 问题2：已知一个数的平方根是±(a+2)，算术平方根是3a-1，求这个数. 【自研自探】 自研课本全章内容 典型例题 考点一：平方根、立方根的性质应用 例1：已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算术平方根是4，求3a-4b的平方根. 考点二：实数的分类与无理数识 例2：将下列各数填入相应的括号内： 有理数集合：{ … } 无理数集合：{ … } 强调：常见无理数类型：①化简后含π的数；②开方开不尽的数；③有规律但不循环的小数. 考点三：实数与数轴 例3：数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数. 例4：比较大小：－2与. 考点四：实数的运算 例5：计算： (1) (2) (3) 第二环节 合作探究 1.讨论本章知识网络. 2.讨论本意的核心概念. 拓展提升： 1.已知a、b、c满足，求的立方根. 课本课复习题8，第7、8题. 1．（2025•天津）估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．（2025•广安）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数﹣﹣无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．（2025•浙江）|﹣5|　 　 ． 4.（2025•河北）计算：|2|﹣（﹣2）2×（）． 知识总结：（1）一个核心：实数的概念与分类（ 统称实数）.（2）两种运算：开平方与开立方（ 互为逆运算）.（3）三条性质：平方根的 、立方根的 、实数与数轴上点的 性.（4）四个概念： 根、 根、 根、 数. 方法总结：（1）类比思想：类比有理数学习实数的 、 、 等.（2）数形结合：借助数轴比较 、表示 .（3）分类讨论：处理平方根时注意 两种情况.（4）逼近思想：用有理数估计 的范围. 易错提醒：（1）概念混淆：平方根与算术平方根混淆，如求16的平方根误答为4（正确应为 ）.（2）符号遗漏：求平方根时漏掉负号，如＝4（ ），但－＝－4，±＝±4.（3）无理数判断错误：认为带根号的数都是无理数（如是 ）.（4）运算顺序错误：先算 ，再算 ，最后 ，有括号先算 内.（5）绝对值化简错误：如|－2|化简时忽略＜2，正确应为 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 实数 复习与回顾 （导学案） （1）系统梳理平方根、算术平方根、立方根的概念、性质及表示方法；掌握实数的分类、相反数、绝对值及简单运算；能用有理数估计一个无理数的大致范围；理解实数与数轴上的点一一对应. （2）经历知识梳理和体系建构的过程，学会用思维导图等方式整理知识；通过典型例题的探究，进一步感悟分类讨论、类比、数形结合等数学思想方法. （3）在复习过程中体会知识之间的内在联系，感受数系扩充的和谐美；通过解决综合问题，培养严谨细致的学风和学习数学的自信心. 重点：构建实数章节知识体系，熟练掌握平方根、立方根及实数的相关概念和运算. 难点:灵活运用平方根和算术平方根的性质解决问题（如被开方数的非负性、双重非负性等）；理解实数与数轴的一一对应关系并应用于比较大小和计算. 第一环节 自主学习 温故知新： 问题引入：我们在小学认识了自然数，七年级上册学习了有理数，现在又学习了实数.数的范围是如何一步步扩充的？每次扩充解决了什么问题？ 学生回顾：正整数→正分数→有理数（引入负数）→实数（引入无理数），数的扩充是为了满足生活和生产实际的需要. 【学法指导】 新知自研：自研课本全章的内容 【学法指导】自研课本全章内容 （一）构建知识网络 任务：以小组为单位，用思维导图或知识树的形式梳理本章知识. 梳理框架：平方根、算术平方根、立方根（概念、表示、性质、开方与乘方的关系） 实数（定义、分类、与数轴的关系、相反数绝对值倒数） 实数的运算（运算法则、运算律、近似计算） 呈现完整的知识结构图： 重点强调： （1）平方根与算术平方根的区别与联系：联系是算术平方根是平方根的非负部分；区别是平方根有两个（除0外），算术平方根只有一个非负数。 （2）平方根与立方根的性质对比： 名称 正数 0 负数 平方根 两个，互为相反数 0 没有 算术平方根 一个，正数 0 没有 立方根 一个，正数 0 一个，负数 （二）核心概念辨析 问题1：判断下列说法是否正确，并说明理由. (1) 16的平方根是4.（×，应为±4） (2) 算术平方根等于它本身的数只有0和1.（√） (3) 立方根等于它本身的数有0和±1.（√） (4) 带根号的数都是无理数.（×，如√4是有理数） 问题2：已知一个数的平方根是±(a+2)，算术平方根是3a-1，求这个数. 引导学生分析：算术平方根是平方根的非负部分，所以3a-1≥0，且(3a-1)²＝(a+2)². 解得a＝3/2或a＝-1/4（舍去，因为算术平方根非负），这个数为(3×1.5-1)²＝(3.5)²＝12.25. 【自研自探】 自研课本全章内容 典型例题 考点一：平方根、立方根的性质应用 例1：已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算术平方根是4，求3a-4b的平方根. 分析：由2a+1＝9得a＝4；由5×4+2b-2＝16得b＝-1；3a-4b＝12+4＝16，平方根为±4. 变式：若一个正数的平方根是2x-1和-x+2，求这个正数. 分析：两个平方根互为相反数，所以2x-1＋(-x+2)＝0，解得x＝-1，平方根为±3，这个正数为9. 考点二：实数的分类与无理数识 例2：将下列各数填入相应的括号内： 有理数集合：{ … } 无理数集合：{ … } 强调：常见无理数类型：①化简后含π的数；②开方开不尽的数；③有规律但不循环的小数. 考点三：实数与数轴 例3：数轴上A，B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数. 分析：AB的距离为－(－1)＝＋1，AC的距离也为＋1。设C表示的数为x，则－1－x＝＋1， 解得x＝－2－. 例4：比较大小：－2与. 方法1：估值法——≈2.236，－2≈0.236＜0.5. 方法2：平方法——(－2)²＝9－4≈0.224，＝0.25，所以前者小. 考点四：实数的运算 例5：计算： (1) (2) (3) 学生板演，教师点评，强调运算顺序和绝对值化简. 第二环节 合作探究 1.讨论本章知识网络. 2.讨论本意的核心概念. 拓展提升： 1.已知a、b、c满足，求的立方根. 【解析】因为且， 所以即 所以所以的立方根是. 课本课复习题8，第7、8题. 参考答案：7. 0,士1,士2，士3.数轴表示略. 8.正方形的周长较大，在面积相等的圆和正方形中，圆的周长小于正方形的周长. 1．（2025•天津）估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025•广安）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数﹣﹣无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【解答】解：∵1＜2＜4， ∴12， 即的值在1和2之间， 故选：A． 3．（2025•浙江）|﹣5|　 　 ． 【解答】解：原式＝5﹣3＝2， 故答案为：2． 4.（2025•河北）计算：|2|﹣（﹣2）2×（）． 【解答】解：原式＝24×（） ＝2（44） ＝2（2﹣1） ＝21 ＝1． 知识总结：（1）一个核心：实数的概念与分类（有理数和无理数统称实数）.（2）两种运算：开平方与开立方（与乘方互为逆运算）.（3）三条性质：平方根的双重非负性、立方根的唯一性、实数与数轴上点的一一对应性.（4）四个概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数. 方法总结：（1）类比思想：类比有理数学习实数的相反数、绝对值、运算律等.（2）数形结合：借助数轴比较大小、表示无理数.（3）分类讨论：处理平方根时注意正负两种情况.（4）逼近思想：用有理数估计无理数的范围. 易错提醒：（1）概念混淆：平方根与算术平方根混淆，如求16的平方根误答为4（正确应为±4）.（2）符号遗漏：求平方根时漏掉负号，如＝4（正确），但－＝－4，±＝±4.（3）无理数判断错误：认为带根号的数都是无理数（如是有理数）.（4）运算顺序错误：先算乘方开方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号内.（5）绝对值化简错误：如|－2|化简时忽略＜2，正确应为2－. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $