第八章-实数-学案-知识清单 2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学第八章“实数”知识清单系统梳理了算术平方根、平方根、立方根、无理数、实数五大核心内容，通过“概念-表示方法-性质-求法”的层级架构，配合例题解析与针对性练习，搭建了从基础定义到实际应用的递进式学习支架。 清单以知识结构框架统领内容，将每个知识点细化为概念解读、性质对比、例题示范等模块，如通过算术平方根与平方根的性质对比表强化理解，例题中设计判断正误题型培养推理意识。练习题涵盖选择、填空、计算等多种形式，既方便学生自主检测巩固，也为教师教学设计提供系统素材，助力提升数学思维与应用能力。

第八章 实数 知识结构 知识清单 1、算术平方根 1.1概念 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 备注：0的算术平方根为0。 1.2表示方法 （根号a），其中a是被开方数。 1.3求法 1）估算 取与被开方数最接近的两个完全平方数的算术平方根相比较。 如估算的大小 ∵4＜7＜9 ∴2＜＜3 2）计算器求取 不同计算器操作方法不一样，一般顺序为先按“”+再输入数字+最后按“＝”即出结果。 例题 例1： 判断下列表述是否正确 1）-2是4的算术平方根 2）5是25的算术平方根 3）3是9的算术平方根 4）0.16的算术平方根是-0.4 答案：1）×；2）√；3）√；4）× 例2： 9的算术平方根是（ ） A.±3 B.±9 C.3 D.-3 答案：C 练习题 习题1： 下列各数中，不是某个数的算术平方根的数是（ ） A.-1 B.0 C.3 D.2 答案：A 习题2： 一块面积为16m2的正方形，其边长为 。 答案：4m 2、平方根 2.1概念 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，即x2=a，则x为a的平方根。求数a平方根的运算叫开平方，a是被开方数。 备注：1）开平方与平方互为逆运算，即 2）算术平方根是平方根中的正数或0。 2.2表示方法 (a≥0)，正负根号a 2.3性质 1）正数有两个平方根，且互为相反数； 2）0的平方根是0； 3）负数没有平方根。 例题 例1： 下列各数中，平方根只有一个的数是（ ） A.-3 B.1 C.3 D.0 答案：D 练习题 习题1： 判断下列表述是否正确 1）-x2一定没有平方根 2）-9的平方根是±3 3）25的平方根是5 4）6是36的一个平方根 答案：1）×；2）×；3）×；4）√ 习题2： 若-xay2与4x3yb是同类项，则(a+b)2的平方根是 。 答案：±5 3、立方根 3.1概念 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，即x3=a，则x为a的立方根。求数a立方根的运算叫开立方。 备注：开立方与立方互为逆运算，即。 3.2表示方法 ，三次根号a，a是被开方数，3是根指数。 3.3性质 1）正数的立方根是正数； 2）负数的立方根是负数； 3）0的立方根是0。 3.4求法 利用计算器求取：先按“”，再输入被开方数，最后按“＝”即出结果。 例题 例1： 若一个数的立方根为，则这个数为（ ） A. B. C. D. 答案：C 例2： 判断下列表述是否正确 1）正数有两个立方根 2）一个数的立方根不是正数就是负数 3）负数没有立方根 4）一个不为零的数的立方根和这个数同号 5）0的立方根为0 答案：1）×；2）×；3）×；4）√；5）√ 练习题 习题1： 判断下列表述是否正确 1）±3是27的立方根 2）4的立方根是2 3）0.001的立方根是0.1 4）-125的立方根为-5 答案：1）×；2）×；3）√；4）√ 习题2： 1）计算 2）已知a的立方根为3，则-a立方根是 答案：1）0；2）-3 4、无理数 4.1定义 无限不循环小数称为无理数，如π、等。 备注: 1）无理数是无限小数，但无限小数不一定无理数； 2）无理数与无理数的加减乘除运算后的结果也不一定是无理数。 4.2主要形式 1）开不尽方的数，如、等； 2）π和含π的数，如π、、π-1等； 3）具有特定结构的无限不循环小数，如0.010010001……； 4）其它无限不循环小数。 4.3判断方法 1）利用定义判定，观察其是否为无限不循环小数； 2）观察其是否可以写成两个整数商的形式，若不能则为无理数。 4.4与有理数的区别 1）无理数为无限不循环小数；有理数为有限小数或无限循环小数。 2）无理数无法写成两个整数的商；有理数可写成两个整数的商。 例题 例1： 下列各数中，无理数是（ ） A. B.2 C.0 D. 答案：D 练习题 习题1： 判断下列表述是否正确 1）无理数都是无限小数 2）无理数都是带根号的数 3）无理数的和还是无理数 4）0.2020020002...（每相邻两个2之间0的个数逐次加1）是有理数 答案：1）√；2）×；3）×；4）× 5、实数 5.1概念 有理数与无理数统称为实数。 5.2分类 1）按定义分类 实数＝有理数（有限小数与无限循环小数）+无理数（无限不循环小数） 其中：有理数包括整数和分数 2）按性质符号分类 实数＝正实数（正有理数+正无理数）+0+负实数（负无理数+负有理数） 5.3实数的相反数、绝对值和倒数 1）相反数：实数a的相反数为-a； 2）绝对值：实数a的绝对值为； 3）倒数：实数a的倒数为(a≠0)。 5.4实数与数轴上点的关系 实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数均可用数轴上的点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数。 5.5实数比大小 1）数轴上右边点表示的实数大于左边点表示的实数； 2）正实数>0>负实数； 3）负实数中绝对值大的反而小。 5.6实数的运算 实数的运算法则、运算顺序同有理数的运算法则和运算顺序。 1）运算法则 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 2）运算顺序 先乘方与开方，再乘除，最后加减；同级次的，从左向右计算；有括号的先算括号里的。 例题 例1： 下列实数中，无理数是（ ） A. B.3.1415 C. D.-1 答案：C 例2： 如图，数轴上表示实数的点可能是（ ） A.点A B.点B C.点C D.点D 答案：B 例3： 若，则a= 答案： 例4： 比较大小： 1） 2） 答案：1）<；2）> 练习题 习题1： 点A在数轴上和原点相距3个单位长度，点B在数轴上和原点相距个单位长度，则A、B两点之间的距离是 。 答案：3+或3- 习题2： 求下列各数的相反数、倒数和绝对值 1） 2） 3）3-π 答案：1）相反数：；倒数：；绝对值： 2）相反数：；倒数：；绝对值： 3）相反数：π-3；倒数：；绝对值：π-3 习题3： 计算：1） 2） 答案：1）3 2）15 学科网（北京）股份有限公司 $