3.2 频率的稳定性（第2课时 非等可能事件频率的稳定性）（导学案）数学新教材北师大版七年级下册

3.2 频率的稳定性（第2课时：等可能事件频率的稳定性） （导学案） （1）通过掷硬币试验，进一步感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性；理解概率的定义，知道必然事件、不可能事件、随机事件的概率取值范围；能根据问题的特点，用频率来估计事件发生的概率. （2）经历“猜测—试验—收集试验数据—分析试验结果—验证猜测”的完整探究过程，体会数据的随机性；通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方法. （3）在小组合作试验中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过了解数学家的掷硬币试验，感受数学文化的魅力；通过对实际问题的分析，体会数学的应用价值. 重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率. 难点：理解频率与概率的区别与联系，建立概率的统计定义. 第一环节 自主学习 温故知新： 问题回顾：上节课我们通过掷图钉试验，发现了什么规律？ 学生回答：在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即频率具有稳定性。 追问：这个规律是否具有普遍性？对于掷硬币这样的等可能事件，是否也有同样的规律？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第64-65页的内容 【学法指导】自研课本P64-65页内容 (一)分组试验，获取数据 介绍试验背景：掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后会出现两种情况——正面朝上或正面朝下。你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？ 任务1——小组试验： 两人一组，一人掷硬币，一人记录 每组做20次掷硬币游戏，记录正面朝上、朝下的次数 计算正面朝上的频率（正面朝上次数/试验总次数） 将数据填入教材P145表格 任务2——全班汇总： 各组汇报试验结果 教师将全班数据累计填入汇总表（试验总次数20、40、60……200） 引导学生观察：随着试验次数的增加，正面朝上的频率有什么变化趋势？ （二）绘制图表，探究规律 任务3——绘制折线统计图： 根据全班汇总数据，在教材P145的坐标系中描点. 画出正面朝上频率随试验次数变化的折线统计图. 观察思考： 随着试验次数的增加，正面朝上的频率有什么变化趋势？ 频率是在一个常数附近摆动吗？这个常数大约是多少？ 摆动幅度有什么变化？ 小组讨论：学生交流观察结果. 初步结论：在试验次数很大时，正面朝上的频率都会在0.5附近摆动，即频率具有稳定性. （三）数学史话，验证规律 介绍数学家试验数据：出示历史上数学家所做的掷硬币试验数据： 试验者 投掷次数n 正面出现次数m 正面出现的频率m/n 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维尼 30000 14994 0.4998 思考：这些数据支持你发现的规律吗？ 总结归纳：无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时，事件发生的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.频率的稳定性是由瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明的，他还提出了“大数定律”. (四) 概念建立——概率的定义 教师讲解：由于事件A发生的频率表示该事件发生的频繁程度，频率越大，事件A发生越频繁，这就意味着事件A发生的可能性也越大.因而，我们就用这个常数来表示事件A发生的可能性的大小.我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A). 明确关系：一般地，大量重复的试验中，我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率. 想一想： 事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？ 必然事件发生的概率是多少？ 不可能事件发生的概率是多少？ 归纳总结：必然事件发生的概率为1;不可能事件发生的概率为0; 随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数. 【自研自探】 自研课本P64-65页内容 典型例题 例1.请用“一定”、“很可能”、“可能性极小”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等语言来描述下列事件的可能性． (1)买20注七星彩票，获特等奖500万； (2)袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球； (3)掷一枚均匀的骰子，6点朝上； (4)100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品； (5)早晨太阳从东方升起； (6)小丽能跳高． 【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小，据此逐一判断即可． 【详解】（1）解：买20注七星彩票，获特等奖500万，可能性极小； （2）解：袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球，不太可能； （3）解：掷一枚均匀的骰子，6点朝上，可能； （4）解：100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品，很可能； （5）解：早晨太阳从东方升起，一定； （6）解：小丽能跳高，不可能． 例2 2023中国人工智能大会于10月14日至15日在太原举办．哥哥和弟弟都想去，但他们只有一张主题展览门票，两人商量才去转转盘（如图，转盘盘面被分为面积相等且标有数字1，2，3，4的4个扇形区域）的游戏方式决定谁去参观．规则如下：两人各转动转盘一次，若两次转出的数字之和为奇数，则哥哥去；若两次数字之和为偶数，则弟弟去，该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【分析】本题考察的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比，列表得出所有等可能的情况数，算出指针两次所指数字和都是偶数或都是奇数的概率即可得知该游戏是否公平． 【详解】解：该游戏公平．理由： 列表如下：        第一次 结果 第二次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由列表可知一共有16种可能出现的结果，且每种结果出现的可能相同， 其中两次数字之和为奇数的结果有8种，两次数字之和为偶数的结果有8种， 所以，P（哥哥去），P（弟弟去）， 即P（哥哥去）（弟弟去）． 所以游戏公平． 第二环节 合作探究 1. 讨论如何用图表频率规律？ 2. 讨论什么概率？三种事件的概率. 拓展提升：1.一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表： 试验次数 “帅”字面朝上的频数 “帅”字面朝上的频率 (1)求出上表中数据和的值； (2)根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数） 【详解】（1）解：；． （2）解：估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是． 课堂练习：课本随堂练习 参考答案：1.（1）从左到右依次填写：0.900,0.800,0.820,0.880,0.840,0.858,0.861;(2)略;(3）概率大约是0.861. 1．（2025•深圳）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动， ∴小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为， 故选：C． 2．（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴6个面中要有3个面标有“1”，有2个面标有“2”， ∴只能有一个面标有“3”， ∴该木块不可能是选项A． 故选：A． 3．（2025•湖南）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中抽中戏剧类社团活动的结果有1种， ∴抽中戏剧类社团活动的概率为． 故选：D． 知识总结：（1）频率的稳定性：在试验次数很大时，事件发生的频率都会在一个常数附近摆动.（2）概率的定义：刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A).（3）概率的取值范围：必然事件概率为1，不可能事件概率为0，随机事件概率在0与1之间.（4）频率与概率的关系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值；大量重复试验中，常用频率来估计概率. 方法总结：（1） 统计思想：用数据说话，用频率估计概率.(2) 转化思想：将不确定事件的概率问题转化为频率分析问题.（3）数形结合：折线统计图直观展示频率变化趋势. 易错提醒：（1）频率不等于概率：频率是试验值，会随试验次数变化；概率是理论值，是稳定的常数.（2）以偏概全：不能用少量试验的频率代表概率，试验次数太少时结论不可靠.(3)概率为0.5不等于各一半：概率为0.5表示可能性相等，但不意味着在少量试验中一定各占一半.(4)混淆三类事件的概率：随机事件的概率在0和1之间，不等于0也不等于1. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 频率的稳定性（第2课时：等可能事件频率的稳定性） （导学案） （1）通过掷硬币试验，进一步感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性；理解概率的定义，知道必然事件、不可能事件、随机事件的概率取值范围；能根据问题的特点，用频率来估计事件发生的概率. （2）经历“猜测—试验—收集试验数据—分析试验结果—验证猜测”的完整探究过程，体会数据的随机性；通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方法. （3）在小组合作试验中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过了解数学家的掷硬币试验，感受数学文化的魅力；通过对实际问题的分析，体会数学的应用价值. 重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率. 难点：理解频率与概率的区别与联系，建立概率的统计定义. 第一环节 自主学习 温故知新： 问题回顾：上节课我们通过掷图钉试验，发现了什么规律？ 学生回答：在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即频率具有稳定性。 追问：这个规律是否具有普遍性？对于掷硬币这样的等可能事件，是否也有同样的规律？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第64-65页的内容 【学法指导】自研课本P64-65页内容 (一)分组试验，获取数据 介绍试验背景：掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后会出现两种情况——正面朝上或正面朝下。你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？ 任务1——小组试验： 两人一组，一人掷硬币，一人记录 每组做20次掷硬币游戏，记录正面朝上、朝下的次数 计算正面朝上的频率（正面朝上次数/试验总次数） 将数据填入教材P145表格 任务2——全班汇总： 各组汇报试验结果 教师将全班数据累计填入汇总表（试验总次数20、40、60……200） 引导学生观察：随着试验次数的增加，正面朝上的频率有什么变化趋势？ （二）绘制图表，探究规律 任务3——绘制折线统计图： 根据全班汇总数据，在教材P145的坐标系中描点. 画出正面朝上频率随试验次数变化的折线统计图. 观察思考： 随着试验次数的增加，正面朝上的频率有什么变化趋势？ 频率是在一个常数附近摆动吗？这个常数大约是多少？ 摆动幅度有什么变化？ 小组讨论：学生交流观察结果. 初步结论：在试验次数很大时，正面朝上的频率都会在0.5附近摆动，即频率具有稳定性. （三）数学史话，验证规律 介绍数学家试验数据：出示历史上数学家所做的掷硬币试验数据： 试验者 投掷次数n 正面出现次数m 正面出现的频率m/n 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维尼 30000 14994 0.4998 思考：这些数据支持你发现的规律吗？ 总结归纳：无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时，事件发生的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.频率的稳定性是由瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明的，他还提出了“大数定律”. (四) 概念建立——概率的定义 教师讲解：由于事件A发生的频率表示该事件发生的频繁程度，频率越大，事件A发生越频繁，这就意味着事件A发生的可能性也越大.因而，我们就用这个常数来表示事件A发生的可能性的大小.我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A). 明确关系：一般地，大量重复的试验中，我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率. 想一想： 事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？ 必然事件发生的概率是多少？ 不可能事件发生的概率是多少？ 归纳总结：必然事件发生的概率为1;不可能事件发生的概率为0; 随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数. 【自研自探】 自研课本P64-65页内容 典型例题 例1.请用“一定”、“很可能”、“可能性极小”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等语言来描述下列事件的可能性． (1)买20注七星彩票，获特等奖500万； (2)袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球； (3)掷一枚均匀的骰子，6点朝上； (4)100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品； (5)早晨太阳从东方升起； (6)小丽能跳高． 例2 2023中国人工智能大会于10月14日至15日在太原举办．哥哥和弟弟都想去，但他们只有一张主题展览门票，两人商量才去转转盘（如图，转盘盘面被分为面积相等且标有数字1，2，3，4的4个扇形区域）的游戏方式决定谁去参观．规则如下：两人各转动转盘一次，若两次转出的数字之和为奇数，则哥哥去；若两次数字之和为偶数，则弟弟去，该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由． 第二环节 合作探究 1. 讨论如何用图表频率规律？ 2. 讨论什么概率？三种事件的概率. 拓展提升：1.一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表： 试验次数 “帅”字面朝上的频数 “帅”字面朝上的频率 (1)求出上表中数据和的值； (2)根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数） 课堂练习：课本随堂练习 1．（2025•深圳）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2025•湖南）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（　　） A． B． C． D． 知识总结：（1）频率的稳定性：在试验次数 时，事件发生的频率 摆动.（2）概率的定义：刻画事件A发生的 ，称为事件A发生的概率，记为 .（3）概率的取值范围：必然事件概率为 ，不可能事件概率为 ，随机事件概率在 与 之间.（4）频率与概率的关系：频率是概率的 ，概率是频率的 ；大量重复试验中，常用 来估计 . 方法总结：（1） 统计思想：用数据说话，用 估计概率.(2) 转化思想：将不确定事件的概率问题转化为 .（3）数形结合：折线统计图直观展示 . 易错提醒：（1）频率不等于 ：频率是 ，会随试验 ；概率是理论值，是 .（2）以偏概全：不能用少量试验的频率代表 ，试验次数太少时结论 .(3)概率为0.5不等于 ：概率为0.5表示 ，但不意味着在少量试验中一定 .(4)混淆三类事件的概率：随机事件的概率在 和 之间，不等于 也不等于 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $