3.2频率的稳定性（第2课时）教案 2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下册

第三章 概率初步 2 频率的稳定性 第2课时 一、教学目标 1.通过掷硬币活动，经历猜测、试验、收集数据、分析试验结果等过程，初步体会频率与概率的关系； 2.进一步体会试验次数较大时，频率具有稳定性； 3.理解并掌握用频率来估计概率的方法； 4.学会根据问题的特点，用统计来估计事件发生的概率，培养学生分析问题、解决问题的能力. 二、教学重难点 重点：进一步体会试验次数较大时，频率具有稳定性. 难点：理解并掌握用频率来估计概率的方法. 三、教学过程设计 环节一 创设情境 【情境导入】 教师活动：教师出示问题，引发学生思考. 师：抛掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后，会出现两种情况： 提问：你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？ 预设答案：相同. 师：通过试验赶快验证一下吧！ 设计意图：通过抛硬币的实际情境，引发学生思考并猜想，激发学生的探索欲，为学习本节课知识做铺垫. 环节二 探究新知 【操作思考】 抛掷一枚硬币，你认为正面朝上和正面朝下的可能性相同吗？ (1)两人一组做20次掷硬币的游戏，并将数据记录在下表中： 样例数据： 教师带领学生回忆频率的含义：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值称为事件A发生的频率. 提问： 通过试验，与你们的猜想一致吗？ 预设答案： 有点不太一样呢，可能试验次数有点少，我们把全班同学的试验结果汇总一下看看吧！ 总结全班的试验结果，汇总在表格中. (2)累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总填入下表： 样例数据： 设计意图：经历猜测、试验、收集数据、分析试验结果等过程，进一步体会频率与概率的关系. (3)根据上表，完成下面的折线统计图： 教师根据表中数据绘制统计图并全班交流. (4)根据下面的折线统计图，你发现了什么规律？ 预设答案： 当试验的次数较少时，折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度较大. 随着试验的次数的增加，折线在“0.5水平直线”的上下摆动的幅度会逐渐变小. 设计意图：通过绘制统计图，观察统计图中的变化趋势，理解频率与概率之间的关系. 下表列出了一些历史上的数学家所做的掷硬币实验的数据： 提问：表中的数据支持你发现的规律吗？ 预设答案： 试验次数很大时，频率稳定在0.5左右. 表中的数据支持所发现的规律. 【拓展】 第一个从理论上证明频率具有稳定性这一规律的是数学家雅科布·伯努利(Jakob Bernoulli，1654-1705). 伯努利用大数定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性，即当试验次数n很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小.根据实际推断原理，在实际应用中，当试验次数n很大时，就可以用事件发生的频率来估计事件发生的概率. 事件A发生的概率P(A)，刻画了事件A发生的可能性的大小. P(A)越大，事件A发生的可能性也越大， P(A)越小，事件A发生的可能性也越小. 频率与概率既有密切的联系，又有本质的差别. 概率是随机事件的本质属性， 频率是随机事件在试验中的统计结果. 设计意图：通过拓展知识，加深学生对知识的理解与掌握，拓宽学生的知识面. 【归纳】 频率的稳定性： 无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上(钉尖朝上)的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性. 由于事件A发生的频率，表示该事件发生的频繁程度，频率越大，事件A发生越频繁，这就意味着事件A发生的可能性也越大，因而，我们就用这个常数来表示事件A发生的可能性大小. 概率： 我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A). 一般地，大量重复的试验中，我们常用随机事件A发生的频率来估计事件A发生的概率. 设计意图：通过总结概括，培养学生语言组织与概括的能力，加深对知识的理解与掌握. 【尝试思考】 事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？必然事件发生的概率是多少？不可能事件发生的概率又是多少? 预设答案： 若A是必然事件，则事件A发生的次数m＝n，所以，因此P(A)＝1，即必然事件发生的概率为1. 若A是不可能事件，则事件A发生的次数m＝0，所以，因此P(A)＝0，即不可能事件发生的概率为0. 【归纳】 必然事件发生的概率为1； 不可能事件发生的概率为0； 随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数. 设计意图：通过频率与概率的知识，归纳总结确定事件、不可能事件及随机事件的概率，为解决实际问题奠定理论基础. 【思考交流】 (1)小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是，你同意他的想法吗?与同伴进行交流. 预设答案： 不同意. 因为概率是针对大量试验而言的，大量试验中存在的规律并不一定在一次试验中存在. (2)掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，那么，掷10次硬币定会有5次正面朝上吗?如何理解正面朝上的概率是?与同伴进行交流. 预设答案： 不会. 因为概率是针对大量试验而言的，当试验的次数越来越大时，正面朝上的频率会稳定到. 【回顾反思】 回顾你做过的抛瓶盖和掷硬币试验，你对事件发生的频率与概率的关系有怎样的理解? 预设答案：频率是概率的一个近似值，而概率是频率的长期稳定值. 环节三 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【典型例题】 例1 对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： (1) 完成上表； (2)根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是多少？ (3)如果重新再抽取1000个乒乓球进行质量检查，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 答案： (1) (2)在这批乒乓球中任取一个，它为优等品的概率大约是0.825. (3)不一样，因为随机事件在一次试验中发生与否是不确定的，所以如果再抽取1000个乒乓球进行质量检查，记录下来的数据一般是不同的. 例2 小凡做了5次抛掷均匀硬币的试验，其中有3次正面朝上，2次正面朝下，他认为正面朝上的概率约为，正面朝下的概率约为 .你同意他的观点吗？你认为他再多做一些试验，结果还是这样吗？ 答案：不同意，结果不一样. 解析： 因为试验的次数不多(只有5次)，此时用频率来估计概率，其误差一般较大，所以，认为正面朝上的可能性大约为，朝下的可能性约为是不大合适的. 由于硬币是均匀的，所以再多做一些试验，正面朝上的频率和正面朝下的频率一般会稳定在附近. 设计意图：通过练习，让学生掌握利用频率估计概率的方法，提高学生应用所学知识解决实际问题的能力. 环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 【随堂练习】 1.下列事件发生的可能性为0的是(　　) A.掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上 B.小明从家里到学校用了10分钟，从学校回到家里却用了15分钟 C.今天是星期天，昨天必定是星期六 D.小明步行的速度是每小时40千米 答案：D 2.2025年4月30日，苏州吴江蚕种全部发放完毕，共计发放蚕种6460张（每张上的蚕卵有200粒左右），涉及6个镇，各镇随即开始孵化蚕种，小李所记录的蚕种孵化情况如表所示，则可以估计蚕种孵化成功的概率为( ) A．0.95 B．0.9 C．0.85 D．0.8 答案：B 3.抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为，那么，抛掷100次硬币，你能保证恰好50次正面朝上吗？ 答：不能保证. 因为概率是针对大量试验而言的，大量试验中存在的规律并不一定在一次试验中存在，概率是，不能保证在2次试验中恰好发生1次，也不能保证在100次试验中恰好发生50次，只是当试验的次数越来越大时，正面朝上的频率会稳定到. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯. 环节五 课堂小结 以思维导图的方式呈现： 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $$