3.2 频率的稳定性（第1课时 非等可能事件频率的稳定性）（导学案）数学新教材北师大版七年级下册

3.2 频率的稳定性（第1课时：非等可能事件频率的稳定性） （导学案） （1）理解频率的概念，知道频率的计算方法；通过试验感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性；能用频率估计事件发生的可能性大小. （2）经历“猜测—试验—收集数据—分析结果—得出结论”的完整探究过程，体会统计思想；通过绘制折线统计图，培养数据分析能力. （3）在小组合作试验中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过数学史介绍（伯努利），感受数学文化的魅力；树立用数据说话的理性精神. 重点：通过试验理解当试验次数较大时，事件发生的频率具有稳定性. 难点：大量重复试验得到频率稳定值的分析，以及对频率与概率关系的初步感知. 第一环节 自主学习 温故知新： 情境创设：小明和小丽想用掷图钉来决定谁去参加夏令营。小明说：“掷一枚图钉，落地后如果是钉尖朝上，我就去；如果是钉尖朝下，小丽就去。”小丽认为这个办法不公平。你同意谁的观点？为什么？ 学生猜测：学生可能凭直觉认为两种结果可能性不同，也可能认为各占一半. 追问：直觉不一定可靠，我们怎样才能验证自己的猜测？ 引导学生想到做试验. 【学法指导】 新知自研：自研课本第64-65页的内容 【学法指导】自研课本P64-65页内容 （一）分组试验，获取数据 介绍频率定义：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。 任务1——小组试验 两人一组，一人掷图钉，一人记录. 每组做20次掷图钉游戏，记录钉尖朝上、朝下的次数. 计算钉尖朝上的频率（钉尖朝上次数/试验总次数）. 填入教材P140表格. 任务2——全班汇总. 各组汇报试验结果. 教师将全班数据累计填入汇总表（试验总次数20、40、80、120……400） 引导学生观察：各组数据是否一致？为什么有差异？ 教师点拨：试验次数较少时，频率波动较大，甚至与猜测有矛盾，这是正常现象。要得到可靠结论，需要增加试验次数. （二）绘制图表，探究规律 任务3——绘制折线统计图 根据全班汇总数据，在教材P141的坐标系中描点 画出钉尖朝上频率随试验次数变化的折线统计图 观察思考： 随着试验次数的增加，钉尖朝上的频率有什么变化趋势？ 频率是在一个常数附近摆动，还是毫无规律？ 摆动幅度有什么变化？ 小组讨论：学生交流观察结果. 归纳结论：在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即钉尖朝上的频率具有稳定性. （三）数学史话，深化认识 介绍数学家试验：出示历史上数学家掷硬币的试验数据（如布丰、皮尔逊等） 试验者 投掷次数 正面出现次数 正面频率 布丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 思考：这些数据支持我们发现的规律吗？ 介绍伯努利：频率的稳定性是由瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明的，他还提出了“大数定律”，这是概率论的重要基石. 【自研自探】 自研课本P64-65页内容 典型例题 1.问题：某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心次数m 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心频率m/n （1）完成上表 （2）观察频率变化，有什么规律？ （3）估计该运动员击中靶心的可能性有多大？ 学生独立完成，教师巡视指导. 第二环节 合作探究 讨论频率的稳定性？ 拓展提升： 问题1：小凡做了5次掷图钉试验，其中有3次钉尖朝上。据此他认为钉尖朝上的可能性比钉尖朝下的可能性大。你同意他的说法吗？ 学生讨论：5次试验次数太少，频率不稳定，不能代表普遍规律. 问题2：小明和小丽一起做了1000次掷图钉试验，其中有640次钉尖朝上。据此他们认为钉尖朝上的可能性比钉尖朝下的可能性大。你同意吗？ 学生讨论：1000次试验次数较大，频率相对稳定，可以作为估计依据. 课堂练习：课本随堂练习 参考答案：目的是让学生利用已收集到的数据，再次经历汇总数据、绘制折线统计图、分析试验结果的过程，最后得到类似的结论：在试验次数很大时，盖口向下的频率也会在一个常数附近摆动，即盖口向下的频率也一样具有稳定性. 1．（2025•江西）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是 ； A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 【解答】解：（1）由题意可得， 若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是随机事件， 故答案为：B. 2．（2025•湖北）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 【解答】解：A．投掷一枚硬币，正面向上，是随机事件，故该项不符合题意； B．从只有红球的袋子中摸出黄球，是不可能事件，故该项符合题意； C．任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件，故该项不符合题意； D．射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故该项不符合题意； 故选：B． 知识总结：（1）频率的稳定性：在试验次数很大时，事件发生的频率都会在一个常数附近摆动.（2）重要结论：试验次数越多，频率越稳定，越能反映事件发生的可能性大小. 方法总结：（1）探究路径：猜测→试验→收集数据→分析数据→得出结论.（2）统计思想：用数据说话，用频率估计可能性. 易错提醒：（1）不能用少量试验的频率代表普遍规律，试验次数太少时结论不可靠.（2）忽略条件：频率的稳定性是在“大量重复试验”的条件下成立的. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 频率的稳定性（第1课时：非等可能事件频率的稳定性） （导学案） （1）理解频率的概念，知道频率的计算方法；通过试验感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性；能用频率估计事件发生的可能性大小. （2）经历“猜测—试验—收集数据—分析结果—得出结论”的完整探究过程，体会统计思想；通过绘制折线统计图，培养数据分析能力. （3）在小组合作试验中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过数学史介绍（伯努利），感受数学文化的魅力；树立用数据说话的理性精神. 重点：通过试验理解当试验次数较大时，事件发生的频率具有稳定性. 难点：大量重复试验得到频率稳定值的分析，以及对频率与概率关系的初步感知. 第一环节 自主学习 温故知新： 情境创设：小明和小丽想用掷图钉来决定谁去参加夏令营。小明说：“掷一枚图钉，落地后如果是钉尖朝上，我就去；如果是钉尖朝下，小丽就去。”小丽认为这个办法不公平。你同意谁的观点？为什么？ 追问：直觉不一定可靠，我们怎样才能验证自己的猜测？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第64-65页的内容 【学法指导】自研课本P64-65页内容 （一）分组试验，获取数据 介绍频率定义：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值m/n称为事件A发生的频率。 任务1——小组试验 两人一组，一人掷图钉，一人记录. 每组做20次掷图钉游戏，记录钉尖朝上、朝下的次数. 计算钉尖朝上的频率（钉尖朝上次数/试验总次数）. 填入教材P140表格. 任务2——全班汇总. 各组汇报试验结果. 教师将全班数据累计填入汇总表（试验总次数20、40、80、120……400） 引导学生观察：各组数据是否一致？为什么有差异？ 教师点拨：试验次数较少时，频率波动较大，甚至与猜测有矛盾，这是正常现象。要得到可靠结论，需要增加试验次数. （二）绘制图表，探究规律 任务3——绘制折线统计图 根据全班汇总数据，在教材P141的坐标系中描点 画出钉尖朝上频率随试验次数变化的折线统计图 观察思考： 随着试验次数的增加，钉尖朝上的频率有什么变化趋势？ 频率是在一个常数附近摆动，还是毫无规律？ 摆动幅度有什么变化？ 小组讨论：学生交流观察结果. 归纳结论：在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即钉尖朝上的频率具有稳定性. （三）数学史话，深化认识 介绍数学家试验：出示历史上数学家掷硬币的试验数据（如布丰、皮尔逊等） 试验者 投掷次数 正面出现次数 正面频率 布丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 思考：这些数据支持我们发现的规律吗？ 介绍伯努利：频率的稳定性是由瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明的，他还提出了“大数定律”，这是概率论的重要基石. 【自研自探】 自研课本P64-65页内容 典型例题 1.问题：某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 20 50 100 200 500 1000 击中靶心次数m 9 16 41 88 168 429 861 击中靶心频率m/n （1）完成上表 （2）观察频率变化，有什么规律？ （3）估计该运动员击中靶心的可能性有多大？ 第二环节 合作探究 讨论频率的稳定性？ 拓展提升： 问题1：小凡做了5次掷图钉试验，其中有3次钉尖朝上。据此他认为钉尖朝上的可能性比钉尖朝下的可能性大。你同意他的说法吗？ 问题2：小明和小丽一起做了1000次掷图钉试验，其中有640次钉尖朝上。据此他们认为钉尖朝上的可能性比钉尖朝下的可能性大。你同意吗？ 课堂练习：课本随堂练习 1．（2025•江西）校园数学文化节期间，某班开展多轮开盲盒做游戏活动．每轮均有四个完全相同的盲盒，分别装着写有“幻方”、“数独”、“华容道”、“鲁班锁”游戏名称的卡片，每位参与者只能抽取一个盲盒，盲盒打开即作废． （1）若随机抽取一个盲盒并打开，恰好装有“数独”卡片的事件是 ； A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 2．（2025•湖北）在下列事件中，不可能事件是（　　） A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球 C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心 知识总结：（1）频率的稳定性：在试验次数很大时，事件发生的频率都会 摆动.（2）重要结论：试验次数 ，频率越 ，越能反映事件发生的 . 方法总结：（1）探究路径： → → → → .（2）统计思想：用 说话，用 估计可能性. 易错提醒：（1）不能用少量试验的 代表 规律，试验次数 时结论不可靠.（2）忽略条件：频率的稳定性是在“ ”的条件下成立的. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $