微专题01 用频率估计概率的综合应用（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

微专题01 用频率估计概率的综合应用 题型1 频率计算 频率计算类：根据试验数据求事件发生的频率 此类题型要求根据给定的试验次数和事件发生次数，计算事件发生的频率。 频率的计算公式为： 1．（25-26九年级上·四川南充·期末）抛掷质地均匀的硬币，随着抛掷次数增多，计算正面向上的频率，下列说法正确的是（   ） A．频率大于 B．频率趋近 C．频率小于 D．频率等于 【答案】B 【分析】本题考查了频率估计概率，根据概率的统计定义，对于质地均匀的硬币，正面向上的概率为，随着抛掷次数增多，频率会趋近于概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵硬币质地均匀， ∴正面向上的概率为，根据大量重复试验中频率的稳定性，当抛掷次数逐渐增多时，频率逐渐接近概率， ∴频率趋近于， 故选：． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 【答案】D 【分析】本题考查频率与概率，掌握大量重复实验下的频率即为概率是解题的关键． 【详解】A. 从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率约为，不符合题意； B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率为，不符合题意； C. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率为，不符合题意； D. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率约为，符合题意； 故选D． 4．（2024·贵州贵阳·一模）某研究小组利用计算机模拟投掷硬币的实验统计数据如下表： 实验次数n 30 2000 10000 20000 100000 500000 10000000 “正面朝上”的次数m 15 1001 4965 9988 50145 249955 5000153 “正面朝上”的频率 0.5 0.5005 0.4965 0.4994 0.50104 0.49991 0.5000153 下列推断合理的是（   ） A．投掷30次时，“正面朝上”的频率是0.5，所以“正面朝上”的概率是0.5 B．当实验次数为50000时，“正面朝上”的频率一定是05. C．随着实验次数的增加，“正面朝上”的频率总在0.5附近，显示出一定的稳定性，可以估计“正面朝上”的概率是 0.5 D．如果实验次数超过10000000时，频率要小于0.5 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率解答． 【详解】解：A、进行多次试验频率才能反映其概率，故选项不符合题意； B、当实验次数为50000时，“正面朝上”的频率接近0.5，但不一定是0.5，故选项不符合题意； C、随着实验次数的增加，“正面朝上”的频率总在0.5附近，显示出一定的稳定性，可以估计“正面朝上”的概率是0.5，故选项符合题意； D、如果实验次数超过10000000时，频率接近0.5，故选项不符合题意． 故选：C． 5．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）在一个不透明的布袋中有黑白两种球共40个，每个球除颜色外无其他差别．小明做摸球试验，从袋中随机摸出一个球后再放入袋中，记录下颜色，不断重复试验，将数据统计如下（频率精确到0．001）： 摸球的次数 100 200 300 400 500 600 700 800 摸到白球的次数 63 124 178 244 303 357 422 摸到白球的频率 0.630 0.620 0.593 0.606 0.596 0.603 0.601 (1)计算：___________；___________； (2)请估计：当越来越大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）； (3)求不透明的布袋中黑球和白球的个数． 【答案】(1)0.610，481 (2)0.6 (3)白球24个，黑球16个 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，频率与频数分布表，熟知相关知识是解题的关键 （1）根据频率等于频数除以总数计算求解即可； （2）根据表格中的数据可得随着实验次数的增加，频率逐步稳定在附近，据此可得答案； （3）大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此可得摸到白球的概率，则可求出白球的个数，进而求出黑球的个数． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：观察表格可知，随着实验次数的增加，频率逐步稳定在附近， ∴当越来越大时，摸到白球的频率将会接近； （3）解：∵当越来越大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率为， ∴白球的个数为(个)， ∴黑球的个数为(个)． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示： 射击次数 10 20 50 100 200 500 1000 2000 击中10环次数 8 19 44 93 178 453 899 1802 击中10环频率 (1)计算表中击中10环的各个频率； (2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9 【分析】本题考查有理数除法，由频率估计概率等． （1）按表格中所给数据计算即可； （2）在大次数的试验中，某一事件发生的频率逐渐接近该事件发生的概率，并围绕概率作小幅波动，结合（1）中计算所得数据可以估计出这么运动员射击一次，击中10环的概率． 【详解】（1）解：计算结果如下表： 射击次数n 10 20 50 100 500 1000 2000 击中10环次数m 8 19 44 93 178 453 899 1802 击中10环频率 （2）解：∵由（1）中的计算结果可知，这名运动员的频率随着射击次数的增加，击中10环的频率逐渐稳定在附近，并围绕作小幅波动， ∴由此估计这名运动员射击一次，击中10环的概率为． 题型2 概率估计 概率估计类：用频率的稳定值估计事件的概率 此类题型要求根据大量重复试验中事件发生的频率（稳定在某个常数附近），估计该事件的概率。 核心依据是“频率的稳定性”：当试验次数足够大时，频率会趋近于概率。 1．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）刘家峡大红枣果实色泽鲜红、皮薄、肉厚、核小、清脆、质地细嫩、香甜可口．现跟踪调查了刘家峡大红枣树苗的移植成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计刘家峡大红枣树苗移植成活的概率是（   ） A．0．80 B．0.85 C．0.90 D．0.95 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等． 由图可知，成活的频率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，故成活的概率估计值约是． 故选：C． 2．（25-26九年级上·河南安阳·月考）某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 85 156 243 316 400 640 800 “射中10环”的频率 0.85 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80 0.80 根据频率的稳定性，估计这名运动员射箭一次时“射中10环”的概率是（    ） A．0．78 B．0.79 C．0.80 D．0.81 【答案】C 【分析】本题考查用频率估计概率．观察数据可知，随着射箭次数的增加，“射中10环”的频率逐渐稳定在0.80附近，因此可用0.80作为概率的估计值． 【详解】解：根据表格数据，当射箭次数为300次时，频率为0.81；随着次数增加到500次、800次、1000次时，频率仍稳定在0.80，虽然400次时频率为0.79． 这表明频率围绕0.80上下波动并趋于稳定，故估计概率为0.80． 故选C． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同．小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率．并将多次实验结果制成如表： 投球的次数 100 200 300 500 1000 1500 2000 3000 摸到白球的频数 70 144 219 372 748 1127 1502 2247 摸到白球的频率 根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是______精确到 【答案】0.75 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率． 【详解】解：摸到白球的频率约为， 当n很大时，估计摸到白球的概率是 故答案为： 4．（25-26九年级上·山西晋中·期中）某生物科技公司为检测该公司罗氏虾苗的成活率，在同等条件下，大量地投放虾苗，并统计成活情况，计算成活的频率，如下表： 投放总量 400 750 1500 3500 7000 … 成活量 369 662 1335 3203 6335 … 成活的频率 … 根据表格，估计这种罗氏虾苗成活的概率为______．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，解题的关键是掌握频率和概率的关系． 根据频率估计概率的原理，当试验次数大量时，事件发生的频率会稳定在概率附近，观察表中成活的频率，随着投放量的增加，频率在附近波动，因此估计概率为． 【详解】解：由表可知，成活频率分别为、、、、，观察其稳定值，接近，约为， 故这种罗氏虾苗成活的概率估计为， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·北京东城·期末）某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率 （保留小数点后三位） 0.870 0.930 0.892 0.887 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____________（精确到0.1）． 【答案】0.9 【分析】本题考查的知识点是利用频率估计概率，解题关键是熟练掌握利用频率估计概率的方法．利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案． 【详解】解：由表格数据，移植棵数为时，成活频率为； 移植棵数为时，成活频率为； 移植棵数为时，成活频率为； 移植棵数为时，成活频率为； 移植棵数为时，成活频率为； 移植棵数为时，成活频率为． 随着移植棵数增加，成活频率逐渐稳定在附近， 因此估计银杏树苗移植成活的概率为， 精确到为． 故答案为． 6．（25-26九年级上·山西长治·期末）山西省举行古建筑行业技能比拼大赛，孙师傅的徒弟计划参加．为判断徒弟是否适合参赛，孙师傅从徒弟手工制作的榫卯结构零件中随机抽查，检验其合格率，并将结果绘制成如下表格．由表格内容可知，若从手工制作的零件中随机抽取一个，则零件合格的概率为______．（结果精确到0.01） 抽取的零件个数 20 50 100 500 1000 合格率 0.93 0.94 0.96 0.95 0.95 【答案】0.95 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据频率估计概率可直接进行求解即可． 【详解】解：由表格数据，合格率在大量抽取时稳定于0.95， 故从手工制作的零件中随机抽取一个，零件合格的概率为0.95． 故答案为0.95． 题型3 参数求解 参数求解类：利用频率估计结果反推未知参数 此类题型要求根据频率的稳定值和已知条件，建立方程求解未知参数（如球的数量、总人数等）。 通常的步骤是：先根据频率估计概率，再用概率公式列方程求解。 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外无其他差别的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则a的值大约为（   ） A．21 B．18 C．15 D．12 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估计概率，以及利用概率求数量．熟练掌握概率是频率的稳定值，以及概率的计算公式是解题的关键． 先利用频率估计概率，再利用概率公式列出方程求解． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在左右， ∴摸到红球的概率约为0.25， 即， ∴， 经检验符合题意. 因此的值约为12 故选D． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在，则红色卡片的数量约为（   ） A．2张 B．8张 C．15张 D．18张 【答案】B 【分析】本题考查概率的定义，熟练掌握其定义和概率公式是解题的关键． 频率稳定在，表明抽到红色卡片的概率约为，利用概率公式计算红色卡片数量即可． 【详解】解：抽到红色卡片的频率稳定在， 则抽到红色卡片的概率约为， 因此，红色卡片的数量约为（张）， 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北承德·期末）在一个不透明的口袋中装有白球和红球共20个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______个． 【答案】8 【分析】此题考查了利用频率估计概率，由摸到红球的频率稳定在，因此概率约为，用总球数乘以概率可得红球数量． 【详解】∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴口袋中红球可能有（个）． 故答案为：8． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共40个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则红球有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解用频率估计概率这一统计思想是解题的关键；根据频率估计概率，摸到红球的频率稳定在，因此摸到红球的概率为0.1，从而红球数量为总球数乘以概率． 【详解】解：摸到红球的频率稳定在附近，因此估计摸到红球的概率为0.1． 红球数量为． 故答案为4． 5．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）一个不透明袋子里，装有红球5个、黑球2个，黄球若干个，这些球除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出1个球是红球的概率是，则袋子里黄球个数是______个． 【答案】3 【分析】本题考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．设黄球个数为x个，根据概率公式得：，解得x的值即可． 【详解】解：设黄球个数为x个， ， 解得， 故答案为：3． 6．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0．1，获得二等奖的概率为0．2，获得三等奖的概率为0．3． (1)求未获奖的概率； (2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； (3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 【答案】(1)0.4 (2)20 (3) 【分析】本题主要考查的是用概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）用减去获得一、二、三等奖的概率即可得出结果； （2）用乘以获得一等奖的概率即可得出结果； （3）列举得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵获得一等奖的概率为0.1，获得二等奖的概率为0.2，获得三等奖的概率为0.3， ∴未获奖的概率为； （2）解：∵获得一等奖的概率为0.1， ∴（人）， 故获得一等奖的学生人数为人； （3）解：由题意可得：从四位同学中随机选取人，所有等可能的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁），共种，其中刚好选中甲和丙两位同学的情况有1种， 故刚好选中甲和丙两位同学的概率为． 题型4 实际应用 实际应用类：将频率估计方法应用于实际问题 此类题型要求用频率估计概率的思想解决实际问题，如生物种群数量估计、产品质量检测、游戏公平性判断等。 1．（25-26九年级上·全国·单元测试）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 【答案】C 【分析】此题考查用样本估计总体、频率等知识，根据题目给出的数据判断即可． 【详解】解：A、10片枇杷树叶的长宽比中出现次数最多的是2，故枇杷树叶长宽比为2的频率最大，故选项正确，不符合题意； B、∵， ∴核桃树叶的长宽比大约为，故选项正确，不符合题意； C、核桃树叶的长宽比大约为，是个估计值， 不是准确值， 小明测量一片核桃叶的长为，它的宽不一定为，故选项错误，符合题意； D、∵枇杷树叶长宽比约为：，小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶， 又∵， ∴该树叶更有可能是枇杷树树叶．故选项正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 【答案】90 【分析】此题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解答此题的关键是判断出：大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.901左右．根据频率稳定性，当试验种子数较大时，发芽频率趋近于概率，取1000粒时的频率0.901作为概率估计值，再计算种子中能发芽的重量． 【详解】解：由试验数据可知，试验种子数为1000粒时，发芽频率为0.901， 该值可作为发芽概率的估计值． 因此，种子中能发芽的种子重量约为，精确到个位为． 故答案为∶． 3．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 【答案】(1)， (2)估计该市学生作业优秀的概率为 【分析】本题考查频数与频率的关系，用频率估计概率，理解“大量重复试验中，频率会稳定在概率附近”是解题关键． （1）根据“优秀频率优秀数量抽取作业数量”的关系式，代入已知的抽取数量、优秀频率计算；代入已知的优秀数量、抽取数量计算； （2）观察表格，可知当抽取作业数量增大时，优秀频率逐渐稳定在附近，利用“大量重复试验中，频率稳定在概率附近”的规律，可得出该市学生作业优秀的概率． 【详解】（1）解：优秀的频率公式为，当，频率为， ， ； 当时，， ． 答：，． （2）解：观察图表可知，当抽取作业的数量逐渐增大时，优秀频率稳定在附近，则可估计该市学生作业优秀的概率为． 答：估计该市学生作业优秀的概率为． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)，1802 (2) (3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率. （1）根据成活率成活数移植棵树，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式计算即可. 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9. 故答案为：0.9. （3）解：（棵） 答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗. 5．（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 【答案】(1)0.5 (2)290 【分析】本题考查了频率的计算，利用频率估计概率，大量反复实验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）对于不同批次的定点投篮命中率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法； （2）投中的次数=投篮次数×投中的概率，依此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：根据频率估计概率的原理，当试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在概率附近， 观察表格数据，当投篮次数n越来越大时，投中频率在0.5附近摆动， 因此可以估计投中的概率约为0.5， 故答案为：0.5； （2）解：， 所以估计这名同学投篮580次，投中的次数约是290次． 6．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝_；b＝_； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是_；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ 【答案】(1)0.962，0.96； (2)0.96； (3)14400只． 【分析】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确． （1）用频数除以总数即可； （2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率为0.96； （3）用总数量乘以优等品的概率即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.962，0.96； （2）解：从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96． 故答案为：0.96 （3）解：这批公仔中优等品大约有（只）， 答：估计这批公仔中优等品大约有14400只． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 用频率估计概率的综合应用 题型1 频率计算 频率计算类：根据试验数据求事件发生的频率 此类题型要求根据给定的试验次数和事件发生次数，计算事件发生的频率。 频率的计算公式为： 1．（25-26九年级上·四川南充·期末）抛掷质地均匀的硬币，随着抛掷次数增多，计算正面向上的频率，下列说法正确的是（   ） A．频率大于 B．频率趋近 C．频率小于 D．频率等于 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 4．（2024·贵州贵阳·一模）某研究小组利用计算机模拟投掷硬币的实验统计数据如下表： 实验次数n 30 2000 10000 20000 100000 500000 10000000 “正面朝上”的次数m 15 1001 4965 9988 50145 249955 5000153 “正面朝上”的频率 0.5 0.5005 0.4965 0.4994 0.50104 0.49991 0.5000153 下列推断合理的是（   ） A．投掷30次时，“正面朝上”的频率是0.5，所以“正面朝上”的概率是0.5 B．当实验次数为50000时，“正面朝上”的频率一定是05. C．随着实验次数的增加，“正面朝上”的频率总在0.5附近，显示出一定的稳定性，可以估计“正面朝上”的概率是 0.5 D．如果实验次数超过10000000时，频率要小于0.5 5．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）在一个不透明的布袋中有黑白两种球共40个，每个球除颜色外无其他差别．小明做摸球试验，从袋中随机摸出一个球后再放入袋中，记录下颜色，不断重复试验，将数据统计如下（频率精确到0．001）： 摸球的次数 100 200 300 400 500 600 700 800 摸到白球的次数 63 124 178 244 303 357 422 摸到白球的频率 0.630 0.620 0.593 0.606 0.596 0.603 0.601 (1)计算：___________；___________； (2)请估计：当越来越大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.1）； (3)求不透明的布袋中黑球和白球的个数． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示： 射击次数 10 20 50 100 200 500 1000 2000 击中10环次数 8 19 44 93 178 453 899 1802 击中10环频率 (1)计算表中击中10环的各个频率； (2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？ 题型2 概率估计 概率估计类：用频率的稳定值估计事件的概率 此类题型要求根据大量重复试验中事件发生的频率（稳定在某个常数附近），估计该事件的概率。 核心依据是“频率的稳定性”：当试验次数足够大时，频率会趋近于概率。 1．（25-26九年级上·甘肃临夏·期末）刘家峡大红枣果实色泽鲜红、皮薄、肉厚、核小、清脆、质地细嫩、香甜可口．现跟踪调查了刘家峡大红枣树苗的移植成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计刘家峡大红枣树苗移植成活的概率是（   ） A．0．80 B．0.85 C．0.90 D．0.95 2．（25-26九年级上·河南安阳·月考）某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 85 156 243 316 400 640 800 “射中10环”的频率 0.85 0.78 0.81 0.79 0.80 0.80 0.80 根据频率的稳定性，估计这名运动员射箭一次时“射中10环”的概率是（    ） A．0．78 B．0.79 C．0.80 D．0.81 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同．小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率．并将多次实验结果制成如表： 投球的次数 100 200 300 500 1000 1500 2000 3000 摸到白球的频数 70 144 219 372 748 1127 1502 2247 摸到白球的频率 根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是______精确到 4．（25-26九年级上·山西晋中·期中）某生物科技公司为检测该公司罗氏虾苗的成活率，在同等条件下，大量地投放虾苗，并统计成活情况，计算成活的频率，如下表： 投放总量 400 750 1500 3500 7000 … 成活量 369 662 1335 3203 6335 … 成活的频率 … 根据表格，估计这种罗氏虾苗成活的概率为______．（结果精确到） 5．（25-26九年级上·北京东城·期末）某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示： 移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000 成活的棵数b 87 279 535 887 6337 13581 成活的频率 （保留小数点后三位） 0.870 0.930 0.892 0.887 0.905 0.905 根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为_____________（精确到0.1）． 6．（25-26九年级上·山西长治·期末）山西省举行古建筑行业技能比拼大赛，孙师傅的徒弟计划参加．为判断徒弟是否适合参赛，孙师傅从徒弟手工制作的榫卯结构零件中随机抽查，检验其合格率，并将结果绘制成如下表格．由表格内容可知，若从手工制作的零件中随机抽取一个，则零件合格的概率为______．（结果精确到0.01） 抽取的零件个数 20 50 100 500 1000 合格率 0.93 0.94 0.96 0.95 0.95 题型3 参数求解 参数求解类：利用频率估计结果反推未知参数 此类题型要求根据频率的稳定值和已知条件，建立方程求解未知参数（如球的数量、总人数等）。 通常的步骤是：先根据频率估计概率，再用概率公式列方程求解。 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外无其他差别的球，这a个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则a的值大约为（   ） A．21 B．18 C．15 D．12 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在，则红色卡片的数量约为（   ） A．2张 B．8张 C．15张 D．18张 3．（25-26九年级上·河北承德·期末）在一个不透明的口袋中装有白球和红球共20个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______个． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）一个不透明的口袋中装有红、白两种颜色的球共40个，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验发现，摸到红球的频率稳定在附近，则红球有______个． 5．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）一个不透明袋子里，装有红球5个、黑球2个，黄球若干个，这些球除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出1个球是红球的概率是，则袋子里黄球个数是______个． 6．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）黔西南州某中学为丰富学生课余生活，举办了“校园文化艺术节”，其中书法比赛设置一、二、三等奖若干名．已知获得一等奖的概率为0．1，获得二等奖的概率为0．2，获得三等奖的概率为0．3． (1)求未获奖的概率； (2)若该校有200名学生参加书法比赛，求获得一等奖的学生人数； (3)某班从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选取2人参加此次书法比赛，求刚好选中甲和丙两位同学的概率． 题型4 实际应用 实际应用类：将频率估计方法应用于实际问题 此类题型要求用频率估计概率的思想解决实际问题，如生物种群数量估计、产品质量检测、游戏公平性判断等。 1．（25-26九年级上·全国·单元测试）综合与实践课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．10位同学每人随机收集核桃树、枇杷树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶长，宽（单位：）的数据后，计算每片叶子的长宽比，绘制出折线统计图如下： 根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A．枇杷树叶长宽比为2的频率最大 B．核桃树叶的长宽比大约为 C．小明测量一片核桃叶的长为，小明断定它的宽一定为 D．小亮同学收集到一片长、宽的树叶，判断它是一片枇杷树叶 2．（25-26九年级上·浙江台州·期末）某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 3．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 4．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 5．（25-26九年级上·江西南昌·月考）下表是一名同学在罚球线上投篮的实验结果，根据表中数据，回答问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 28 60 78 104 125 153 250 投中频率 0.56 0.60 0.52 0.52 0.50 0.51 0.50 (1)这名同学投篮一次，投中的概率约为多少？（精确到0.1） (2)根据（1）中所求概率，估计这名同学投篮580次，能投中多少次？ 6．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）某玩具公司承接了第19届杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题： 抽取的公仔数n 10 100 1000 2000 3000 优等品的频数m 9 96 962 1920 2880 优等品的频率 0.9 0.96 a 0.96 b (1)a＝_；b＝_； (2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是_；（精确到0.01） (3)若该公司这一批次生产了15000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？ / 学科网（北京）股份有限公司 $