微专题02 概率的实际应用（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

微专题02 概率的实际应用 题型1 古典概型（等可能事件）概率计算 古典概型是概率实际应用的基础题型，通常涉及有限个等可能结果的场景，如摸球（颜色、标号）、掷骰子（点数）、抽卡片（数字、图案）等。题目要求计算某一事件发生的概率。 古典概型的概率公式为： 其中，n是所有可能的结果数（有限且等可能），m是事件A包含的结果数。 解题步骤： 1. 确定所有可能的结果：列举或计算所有等可能的结果； 2. 确定事件A包含的结果：找出符合事件A的结果； 3. 计算概率：代入公式计算P(A)。 1．（25-26九年级上·山西运城·期中）在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近______．（精确到） 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成份），并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．顾客购买了元的商品，请你分析计算： (1)顾客获得童话书的概率是_______；若要让顾客获得童话书的概率变为，则还需要将_______个扇形涂为黄色； (2)顾客获得彩笔的概率是多少？ 3．（24-25七年级下·山东烟台·期中）（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是_． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 (1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； (2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小金和小水用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏：小金从中任意抽取一张牌（不放回），小水从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关）．然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏． (1)如果小金没有摸到A，那么小水摸到的牌面为A的概率是______； (2)现小金已经摸到的牌面为Q，然后小水摸牌，那么小水获胜的概率为______，小金获胜的概率是______； (3)通过计算，说明当小金摸到的牌面是多少时，小金与小水获胜的概率相同． 6．（2025·广东茂名·模拟预测）综合与实践 主题：池塘里有多少条鱼 活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张； 活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数 50 100 150 200 摸到黑棋的次数 12 26 38 50 摸到黑棋的次数 0.24 0.26 0.253 注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值 黑棋与样本的比值 黑棋个数 3 4 4 2 3 2 2 1 3 2 2.6 0.26 ②方案二：试验次数10次，每次摸10个； 活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； 活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？ 根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题． 题型2 几何概型概率计算 几何概型涉及无限个等可能结果，通常与几何图形（如转盘、方格、不规则图形）相关。题目要求计算某一事件（如“指针指向阴影区域”“飞镖落在黑色方格”“石子落在圆内”）的概率，核心是面积比或角度比。 几何概型的概率公式为： 其中，几何度量可以是面积（如转盘的阴影面积与总面积的比）、角度（如转盘指针指向的角度与360°的比）。 解题步骤： 1. 确定总几何度量：计算所有可能结果的几何度量； 2. 确定事件A的几何度量：计算符合事件A的几何度量； 3. 计算概率：代入公式计算P(A)。 1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）“二维码”是一种用于编码和解码信息的图像，基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图像的形式表现出来．如图，该二维码是边长为4的正方形，数学兴趣小组为了估计黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0．45左右，由此估计黑色部分的总面积为（　　） A．1．8 B．3.6 C．6.8 D．7.2 2．（2025·河南周口·模拟预测）如图，在由边长为的小正方形组成的网格中有一个不规则图形（图中阴影部分）．数学小组想了解阴影部分的面积是多少，采取了以下办法：随机地朝网格投掷飞镖，并记录飞镖落在阴影部分的次数（飞镖落在网格区域外或阴影部分与白色部分的交接处不计试验结果），若干次有效试验的结果如下表：则不规则图形的面积约为（  ） 试验总次数 50 100 150 200 300 400 500 落在阴影部分的次数 23 50 84 110 168 220 275 落在阴影部分的频率 0.46 0.50 0.56 0.55 0.56 0.55 0.55 A． B． C． D． 3．（2025·福建南平·二模）小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山西太原·期末）如图，在一块长方形卡纸上，有不规则的阴影图案．某数学兴趣小组利用该卡纸设计了抛针试验：在同一条件下，往该卡纸上随机抛一枚大头针，重复试验并统计试验总次数及针尖落在阴影部分的次数（如下表）．由统计结果估计，往该卡纸上随机抛一枚大头针，针尖恰好落在阴影部分的概率约为_________．（保留一位小数） 试验总次数 50 100 150 200 250 300 针尖落在阴影部分的次数 31 66 91 119 152 181 针尖落在阴影部分的频率 0.620 0.660 0.607 0.595 0.608 0.603 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共40个，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______（精确到0.1）； （2）任意摸一次球，摸到白球的概率P（白球）=_______； （3）估计盒子里黑球、白球各有多少个． 迁移运用 小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小明输，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率 0.730 0.760 0.755 0.748 0.751 0.750 （1）向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少． （2）小明获胜的机会约为多大？ （3）若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 6．（24-25七年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 题型3 游戏公平性判断与设计 游戏公平性是概率实际应用的重要场景，通常涉及双方获胜概率的比较。题目要求判断游戏规则是否公平（如“摸球游戏”“转盘游戏”），若不公平则需修改规则使其公平；或设计公平的游戏规则（如“抽奖游戏”“猜数游戏”）。 游戏公平的本质是双方获胜的概率相等。判断游戏是否公平的方法是： 1. 计算双方获胜的概率； 2. 比较概率：若相等，则公平；若不等，则不公平。 解题步骤： 1. 明确游戏规则：确定双方的获胜条件； 2. 计算双方获胜的概率：用古典概型或几何概型公式计算； 3. 判断公平性：比较概率，若概率相等，则公平；否则不公平； 4. 修改规则：若不公平，调整获胜条件使双方概率相等。 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期末）小明和小颖在一起做游戏．从一个装有4个红球和3个绿球（每个球除颜色外都相同）的不透明口袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜． (1)小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？ (2)该游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，如何设计该游戏，使该游戏对双方公平． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字），若向上的点数是3的倍数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去． (1)上述方式公平吗？请说明理由； (2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据． 6．（24-25七年级下·山西晋中·期中）小杰和小颖一起做游戏：如图，将一个可以自由转动的转盘等分成12个扇形，并在一些区域涂上颜色．自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域小杰获胜，指针落在黄色区域小颖获胜． 对于此游戏，小杰和小颖分别有着各自的想法． 小杰：转动转盘，当转盘停止时，指针停留的区域共有红色、黄色和空白三种结果，所以指针落在红色区域的概率是； 小颖：我连续转动了2次转盘，指针都停留在了黄色区域，我下次转动转盘，指针还会落在黄色区域． (1)你觉得以上两位同学的想法对吗？为什么？ (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你给转盘的空白扇形涂上适当颜色使游戏公平（在空白扇形上填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种方案）． 题型4 用频率估计概率 用频率估计概率是概率实际应用的关键方法，通常涉及大量重复试验（如“掷硬币”“摸球”“发芽试验”）。题目要求通过试验数据（频率）估计某一事件的概率（如“钉面朝上的概率”“发芽率”“石子落在圆内的概率”）。 频率的稳定性定理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率。即： 解题步骤： 1. 进行大量重复试验：记录事件发生的次数； 2. 计算频率：用事件发生的次数除以试验总次数； 3. 估计概率：当试验次数足够多时，频率的稳定值即为概率； 4. 应用概率：用估计的概率解决问题。 1．（2025·贵州贵阳·二模）在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 200 500 1000 2000 3000 “有2个人生肖相同”的次数 24 53 126 259 522 780 “有2个人生肖相同”的频率 0．24 0．265 0．252 0．259 0．261 0．26 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0．01）大约是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江西赣州·月考）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)表格中的值为________；估计合格产品的概率是________（精确到0.01） (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率； (3)某天甲员工被抽检了1500件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 3．（25-26九年级上·河南安阳·月考）河南洛阳某牡丹园为迎接牡丹文化节，特地对园内名贵牡丹品种“洛阳红”的移植成活率进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． (1)这种牡丹成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______； (2)该牡丹园已经移植“洛阳红”1000株． ①估计这批牡丹成活的株数； ②为满足成活9900株“洛阳红”的要求，估计还需要移植多少株？ 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了估计口袋中红球的数量，七（1）班的学生在数学实验课上分组做摸球试验：将14个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是汇总各小组数据后所制作的班级统计总表： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 65 111 345 568 700 摸到白球的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70 (1)按表格数据格式，表中的_______，______； (2)请估计：当次数很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1） (3)估计在这个不透明的口袋中，红球数量的值． 5．（24-25七年级下·山东济南·月考）实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究．试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 101 93 129 出现红花的频率 0.39 0.41 0.40 (1)表中_____，_____． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第_____组的数据不适合用频率估计概率，理由是_____．你认为一株该植物开出红花的概率是_____（结果精确到0.1）． (3)某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 6．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到白球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.30 0.298 0.301 (1)请你估计，当很大时，摸到白球的频率将会接近____（精确到0.1）； (2)估计盒子里有白球____个； (3)若先从袋子中取出个白球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 概率的实际应用 题型1 古典概型（等可能事件）概率计算 古典概型是概率实际应用的基础题型，通常涉及有限个等可能结果的场景，如摸球（颜色、标号）、掷骰子（点数）、抽卡片（数字、图案）等。题目要求计算某一事件发生的概率。 古典概型的概率公式为： 其中，n是所有可能的结果数（有限且等可能），m是事件A包含的结果数。 解题步骤： 1. 确定所有可能的结果：列举或计算所有等可能的结果； 2. 确定事件A包含的结果：找出符合事件A的结果； 3. 计算概率：代入公式计算P(A)。 1．（25-26九年级上·山西运城·期中）在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近______．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了从图像获取信息． 根据概率曲线图作答即可． 【详解】解：由概率曲线图可知，40人时对应的概率为． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）“六一”儿童节期间，某商厦为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成份），并规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准哪个区域，顾客就可以获得相应的奖品．顾客购买了元的商品，请你分析计算： (1)顾客获得童话书的概率是_______；若要让顾客获得童话书的概率变为，则还需要将_______个扇形涂为黄色； (2)顾客获得彩笔的概率是多少？ 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了概率公式，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是关键． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：顾客获得童话书的概率是； ，； 故要让顾客获得童话书的概率变为，则还需要将个扇形涂为黄色； 故答案为：； （2）解：∵转盘被平均分成16份，绿色区域3份， ∴顾客获得彩笔的概率是； 3．（24-25七年级下·山东烟台·期中）（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是_． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3）乙获胜的概率大，理由见解析 【分析】本题考查几何概率的求法，掌握正方形面积和阴影部分面积的计算方法是解题关键． （1）用阴影部分的面积除以总面积即可； （2）用阴影部分的面积除以总面积即可； （3）分别求出两人获胜的概率即可解答． 【详解】解：（1）根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率：； （2）∵图形的总面积为，阴影部分面积为， ∴点P恰好在阴影部分的概率是：； （3）乙获胜的概率大，理由如下： 由图可知：甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：， ∴， 故乙获胜的概率大． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 (1)在一次试验中，老师共做了400次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图①所示，请估计钉尖朝上的概率； (2)图②是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了由频率估计概率，几何概率，列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握各概率的求法是解题的关键． （1）根据折线统计图，用频率估计概率即可； （2）用丁区域的圆心角度数除360度即可； （3）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，然后找出两名同学选中同一名著的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在， ∴； （2）解：； 5．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小金和小水用一副去掉大、小王的扑克牌做摸牌游戏：小金从中任意抽取一张牌（不放回），小水从剩余的牌中任意抽取一张，谁摸到的牌面大谁就获胜（规定牌面从小到大的顺序为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A，且牌面的大小与花色无关）．然后两人把摸到的牌都放回，重新开始游戏． (1)如果小金没有摸到A，那么小水摸到的牌面为A的概率是______； (2)现小金已经摸到的牌面为Q，然后小水摸牌，那么小水获胜的概率为______，小金获胜的概率是______； (3)通过计算，说明当小金摸到的牌面是多少时，小金与小水获胜的概率相同． 【答案】(1) (2)，， (3)当小金摸到的牌面是8时，小金与小水获胜的概率相同． 【分析】（1）小金没有摸到A，剩余张牌，其中有4张A，根据概率公式，即可求解， （2）小金已经摸到的牌面为Q，剩余张牌中，比Q大的牌有张，比Q小的牌有张， 即可求解， （３）在所有的牌面中，有6个数比8小，由6个数比8大，当小金摸到的牌面是8时，小金与小水获胜的概率相同， 本题考查了，概率公式，解题的关键是：熟练掌握概率公式的运用． 【详解】（1）解：一副扑克去掉大小王后，共有张牌， 小金没有摸到A，还剩张牌，其中有4张A， ∴小水摸到的牌面为A的概率是：， 故答案为：， （2）解：小金已经摸到的牌面为Q，剩余张牌中，比Q大的牌有K，A，共张， ∴小水获胜的概率为：， 比Q小的牌有2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，共张， ∴小金获胜的概率为：， 故答案为：，， （3）解：在2，3，4，5，6，7，8，9，10，J，Q，K，A中， 有6个数比8小，由6个数比8大， 当小金摸到的牌面是8时，小金获胜的概率为：，小水获胜的概率为：， 故当小金摸到的牌面是8时，小金与小水获胜的概率相同． 6．（2025·广东茂名·模拟预测）综合与实践 主题：池塘里有多少条鱼 活动一 情境引入 问题1：一个袋子中装有除颜色外其余都相同的红球、黑球共10个，摸到红球的概率为0.3，则袋子中有红球___________个； 问题2：在一副不完整的扑克牌中有4张A，任意抽取一张，抽到A的概率为0.2，则这副扑克牌有_____________张； 活动二：摸棋试验 分组活动进行摸球试验收集数据，每个小组的盒中有10个黑棋和若干个白棋．利用两种方法估计盒中的总棋数（将全班的小组分成两部分做不同的试验）． （1）试验并填表记录试验数据： ①方案一：每次摸1个棋子，记下棋子的颜色，放回盒中摇均匀，重复试验多次，计算黑棋出现的频率（可用画正字计算次数）． ②方案二：每次摸10个棋子，记下黑棋的个数，放回盒中摇均匀，重复试验10次，计算黑棋与样本的比值； （2）计算试验得出的总棋数（计算结果保留两位小数）； 试验次数 50 100 150 200 摸到黑棋的次数 12 26 38 50 摸到黑棋的次数 0.24 0.26 0.253 注意：每次试验前是否将盒中的棋子摇匀，每次试验后是否将棋子放回、记录数据的方法是否正确、小组成员的参与度等等． ①方案一： 估计黑球的概率是______，总棋数是_____个； 试验次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均值 黑棋与样本的比值 黑棋个数 3 4 4 2 3 2 2 1 3 2 2.6 0.26 ②方案二：试验次数10次，每次摸10个； 活动三 设计方案： 根据刚才的两种方案，小组讨论设计方案估计池塘里鱼的数目． （1）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再捞出一条鱼，观察是否有记号后放回，经过多次重复后，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； （2）先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，等鱼分布均匀后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作为整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此可估计鱼塘中鱼的数量； 活动四 解决问题： 某人对自己鱼塘中的鱼的总条数进行估计，第一次捞出100条，并将每条鱼作出记号放入水中；当它们完全混合于鱼群后，又捞出300条，其中带有记号的鱼有20条，试估计鱼塘中有多少条鱼？ 根据以上活动，完成活动一、活动二的填空，并解决活动四提出的问题． 【答案】活动一：问题1：3；问题2：20；活动二：0.25、0.25、40；活动四：估计鱼塘中有1500条鱼． 【分析】本题考查了概率与统计，用频率估计概率，用样本估计总体，熟练掌握“频率=所求情况数与总情况数之比”是解题的关键． 活动一：问题1：根据红球和黑球共有的个数乘以红球的概率即可得出答案； 问题2：根据A的张数和A的概率，根据除法即可得出答案； 活动二：利用频率估计概率的一般方法估计即可； 活动四：设该人池塘里有x条鱼，根据频率=所求情况数与总情况数之比建立方程求解即可得出答案． 【详解】解：活动一： 袋子中有红球有3个 ； 这副扑克牌有20张； 故答案为：3，20； 活动二：， 表格中摸到黑棋的频率在0.25上下波动，且随着摸棋的次数增加，频率逐渐稳定于0.25， 黑球的概率是； 总棋数是， 故答案为：、40； 活动四：解：设该人池塘里有x条鱼，则： 解得： 经检验，是所列方程的解， ∴估计鱼塘中有1500条鱼． 题型2 几何概型概率计算 几何概型涉及无限个等可能结果，通常与几何图形（如转盘、方格、不规则图形）相关。题目要求计算某一事件（如“指针指向阴影区域”“飞镖落在黑色方格”“石子落在圆内”）的概率，核心是面积比或角度比。 几何概型的概率公式为： 其中，几何度量可以是面积（如转盘的阴影面积与总面积的比）、角度（如转盘指针指向的角度与360°的比）。 解题步骤： 1. 确定总几何度量：计算所有可能结果的几何度量； 2. 确定事件A的几何度量：计算符合事件A的几何度量； 3. 计算概率：代入公式计算P(A)。 1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）“二维码”是一种用于编码和解码信息的图像，基本原理是通过将信息转化成特定的编码方式并以图像的形式表现出来．如图，该二维码是边长为4的正方形，数学兴趣小组为了估计黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0．45左右，由此估计黑色部分的总面积为（　　） A．1．8 B．3.6 C．6.8 D．7.2 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是用频率估计概率、几何概率，解题关键是理解频率与概率的关系，明确黑色部分面积与正方形面积之比等于概率．先计算正方形面积，再由黑色部分面积与正方形面积之比等于概率即可求解． 【详解】解：由题意得，点落入黑色部分的概率为0.45， 该二维码是边长为4的正方形， 估计黑色部分的总面积为， 故选：D． 2．（2025·河南周口·模拟预测）如图，在由边长为的小正方形组成的网格中有一个不规则图形（图中阴影部分）．数学小组想了解阴影部分的面积是多少，采取了以下办法：随机地朝网格投掷飞镖，并记录飞镖落在阴影部分的次数（飞镖落在网格区域外或阴影部分与白色部分的交接处不计试验结果），若干次有效试验的结果如下表：则不规则图形的面积约为（  ） 试验总次数 50 100 150 200 300 400 500 落在阴影部分的次数 23 50 84 110 168 220 275 落在阴影部分的频率 0.46 0.50 0.56 0.55 0.56 0.55 0.55 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率、利用频率估计概率，利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率，再求得整个图形面积，进而可得答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当试验次数逐渐增大时，落在阴影部分的频率稳定在0.55附近， ∴随机地朝网格投掷飞镖，估计落在阴影部分的概率为0.55， 又整个图形面积为， ∴不规则图形的面积约为， 故选：C． 3．（2025·福建南平·二模）小明同学借助软件进行掷点实验，估算面积为的长方形条形码中黑色阴影部分的面积，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概型求面积问题，解题的关键是理解黑色阴影部分占整体的，即可求解． 【详解】解：经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影部分的频率稳定于，则此条形码中黑色阴影部分的面积约为， 故选：C． 4．（24-25七年级下·山西太原·期末）如图，在一块长方形卡纸上，有不规则的阴影图案．某数学兴趣小组利用该卡纸设计了抛针试验：在同一条件下，往该卡纸上随机抛一枚大头针，重复试验并统计试验总次数及针尖落在阴影部分的次数（如下表）．由统计结果估计，往该卡纸上随机抛一枚大头针，针尖恰好落在阴影部分的概率约为_________．（保留一位小数） 试验总次数 50 100 150 200 250 300 针尖落在阴影部分的次数 31 66 91 119 152 181 针尖落在阴影部分的频率 0.620 0.660 0.607 0.595 0.608 0.603 【答案】 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据概率是频率的稳定值，结合表格进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，针尖恰好落在阴影部分的概率约为； 故答案为：． 5．（24-25八年级下·全国·单元测试）一个不透明的盒子里装有黑、白两种球共40个，这些球除颜色外都相同．小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______（精确到0.1）； （2）任意摸一次球，摸到白球的概率P（白球）=_______； （3）估计盒子里黑球、白球各有多少个． 迁移运用 小明做游戏：他蒙上眼睛在一定距离处向地上如图所示的图案内掷小石子，掷中阴影区域小明赢，否则小明输，掷到图案外则重掷．下表是游戏中统计的一组数据． 掷到图案内的次数m 100 150 200 500 800 1000 落在阴影区域的次数n 73 114 151 374 601 750 落在阴影区域的频率 0.730 0.760 0.755 0.748 0.751 0.750 （1）向图案内任意掷小石子，估计小石子落在阴影区域的概率为多少． （2）小明获胜的机会约为多大？ （3）若图案内圆的半径为1，试估计阴影区域的面积． 【答案】（1）0.6；（2）0.6；（3）估计黑球有16个，白球有24个；【迁移运用】（1）0.75；（2）小明获胜的机会为；（3）． 【分析】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解当试验次数很大时，频率稳定在某个常数附近，这个常数就可作为该事件发生概率的估计值． 观察摸球试验中频率数据，确定当n很大时摸到白球频率的接近值，进而得出摸到白球的概率；根据球的总数和摸到白球的概率计算白球和黑球个数；观察掷小石子游戏中频率数据，确定小石子落在阴影区域的概率，进而得出小明获胜机会，再根据圆面积公式和概率关系估计阴影区域面积． 【详解】（1）求当很大时，摸到白球的频率即为摸到白球的概率 －观察表格中摸到白球的频率数据0.65，0.62，0.593，0.604，0.601，0.599，0.601，当很大时，这些频率值稳定在0.6左右，精确到0.1，摸到白球的频率将会接近0.6； （2）当试验次数很大时，频率稳定值可作为概率估计值，所以任意摸一次球，摸到白球的概率白球； （3）已知球的总数为40个，摸到白球概率为0.6，则白球个数为（个）． 黑球个数为（个）； 故答案为：（1）0.6；（2）0.6；（3）估计黑球有16个，白球有24个； 【迁移运用】（1）求小石子落在阴影区域的概率 观察表格中落在阴影区域的频率数据0.730，0.760，0.755，0.748，0.751，0.750，随着试验次数增加，频率稳定在0.75左右， 所以向图案内任意掷小石子，小石子落在阴影区域的概率约为； （2）求小明获胜的机会 因为掷中阴影区域小明赢，而小石子落在阴影区域的概率约为， 所以小明获胜的机会约为； （3）估计阴影区域的面积 设阴影区域面积为，已知内圆半径，则内圆面积， 设整个图案面积为，由小石子落在阴影区域的概率， 则， 又因为，即，解得， 所以阴影区域面积约为， 6．（24-25七年级下·福建漳州·期中）阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 【答案】（1）C；（2）；（3）估计该不规则封闭图形的面积约是平方米；（4）． 【分析】本题考查了利用频率求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，用正方形面积：封闭图形的面积概率建立方程求解； （4）如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆，在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆(可把绿豆近似看成点)，大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解． 【详解】解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在， ∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有比较接近， 故选：C； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 故答案为：； （3）设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是平方米； （4）如图，地面上有一个边长为米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆， 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 绿豆落在圆内（含圆的边）的次数 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， ∴如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为，则， ． 题型3 游戏公平性判断与设计 游戏公平性是概率实际应用的重要场景，通常涉及双方获胜概率的比较。题目要求判断游戏规则是否公平（如“摸球游戏”“转盘游戏”），若不公平则需修改规则使其公平；或设计公平的游戏规则（如“抽奖游戏”“猜数游戏”）。 游戏公平的本质是双方获胜的概率相等。判断游戏是否公平的方法是： 1. 计算双方获胜的概率； 2. 比较概率：若相等，则公平；若不等，则不公平。 解题步骤： 1. 明确游戏规则：确定双方的获胜条件； 2. 计算双方获胜的概率：用古典概型或几何概型公式计算； 3. 判断公平性：比较概率，若概率相等，则公平；否则不公平； 4. 修改规则：若不公平，调整获胜条件使双方概率相等。 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，若干名同学玩扔石子进筐游戏，图①、图②分别是两种游戏方式．关于这两种方式的“公平性”有下列4种说法，其中正确的是（    ） A．两种均公平 B．两种均不公平 C．仅图①公平 D．仅图②公平 【答案】D 【分析】此题考查了游戏公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 对图①、图②分别是两种站立方式分别进行判断即可． 【详解】解：图①中，若干名同学到筐的距离不相等，则图①不公平； 图②中，若干名同学到筐的距离相等，则图②公平； 故选：D． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【答案】(1) (2)选择方法①中“不是3的倍数”，见解析 (3)不公平，猜“是奇数”或“是偶数” 【分析】本题主要考查了应用概率解决游戏公平问题，掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）利用简单概率公式进行求解即可； （2）求出每种方式的概率，然后进行比较即可； （3）根据概率相等设计方法即可． 【详解】（1）解：是的倍数的数有：3，6，9， ∴猜“是的倍数”的概率是， 故答案为：； （2）解：选择方法①中“不是3的倍数”，理由如下： 大于的数有：5，6，7，8，9，10， ∴猜“是大于的数”的概率为：； 不是大于4的数有：1，2，3，4， ∴猜“不是大于的数”的概率为：； 由①可得猜“不是的倍数”的概率是， ∵， ∴选择方法①中“不是3的倍数”； （3）解：不公平，因为两人抽到的概率不相等， 猜“是奇数”或“是偶数”比较公平． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期末）小明和小颖在一起做游戏．从一个装有4个红球和3个绿球（每个球除颜色外都相同）的不透明口袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜． (1)小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？ (2)该游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，如何设计该游戏，使该游戏对双方公平． 【答案】(1)小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是 (2)该游戏对双方不公平，设计该游戏规则见解析 【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据概率公式分别计算出摸到红球和绿球的概率，比较大小即可得出答案； （2）答案不唯一，只需使两者获胜的概率相等即可． 【详解】（1）解：（小明获胜）， （小颖获胜）， 答：小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是． （2）解：该游戏对双方不公平， 设计该游戏规则为：如可以将其中一个红球换成黄球，从袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜，摸到黄球为平局（答案为不唯一，使小明和小颖获胜的概率一样即可）． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）小明和哥哥都很想去看成都蓉城足球比赛，爸爸只买到了一张门票，最后商定通过转盘游戏决定谁去观看比赛．游戏规则是：转动如图1所示的转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，小明去；若转盘指针指向蓝色或黄色，哥哥去（如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动）． (1)求小明去观看足球比赛的概率； (2)你认为这个游戏规则公平吗？若公平，请说明理由：若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则． (3)请你利用图2所示转盘，设计一个转盘游戏，使得哥哥去的概率为，并简要说明游戏规则． 【答案】(1) (2)游戏公平，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何概率模型求概率，读懂题意，搞懂相关事件所占的几何比例是解决问题的关键． （1）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明去观看足球比赛的概率即可得到答案； （2）根据几何概率模型，由转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份；再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动，从而由几何概率模型求概率的方法直接计算小明或哥哥去观看成都蓉城足球比赛的概率，比较大小即可得到答案； （3）根据哥哥去的概率为，设计转盘即可． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （2）解：由题意可知，转盘中每一个扇形面积相同，共有9份，其中红色占4份；白色占1份；蓝色和黄色占4份，再结合如果指针恰好指向白色或指向分割线，则重新转动， （小明去观看足球比赛）； （哥哥去观看足球比赛）； （小明去观看足球比赛）（哥哥去观看足球比赛）， 游戏公平． （3）解：将转盘平均分为8个区域，其中红色占3份；白色占1份，蓝色和黄色占4份，如果指针转动转盘，转盘停止后，若转盘指针指向红色，哥哥去． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字），若向上的点数是3的倍数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去． (1)上述方式公平吗？请说明理由； (2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据． 【答案】(1)不公平，理由见解析， (2)若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去．（不唯一） 【分析】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键． （1）直接得出是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案． （2）保证他们的概率相等即可． 【详解】（1）根据题意可知，抛掷这个骰子得到的数共6种等可能结果，其中是3的倍数是3，6共2种结果， 所以向上的点数是3的倍数的概率为：． 向上的点数不是3的倍数的概率为：． ∴爸爸去的概率大，不公平， （2）保证爸爸、妈妈去的概率相等即可； 如：若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去，此时他们的概率为，所以公平． 6．（24-25七年级下·山西晋中·期中）小杰和小颖一起做游戏：如图，将一个可以自由转动的转盘等分成12个扇形，并在一些区域涂上颜色．自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域小杰获胜，指针落在黄色区域小颖获胜． 对于此游戏，小杰和小颖分别有着各自的想法． 小杰：转动转盘，当转盘停止时，指针停留的区域共有红色、黄色和空白三种结果，所以指针落在红色区域的概率是； 小颖：我连续转动了2次转盘，指针都停留在了黄色区域，我下次转动转盘，指针还会落在黄色区域． (1)你觉得以上两位同学的想法对吗？为什么？ (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你给转盘的空白扇形涂上适当颜色使游戏公平（在空白扇形上填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种方案）． 【答案】(1)两位同学的想法是错误的，原因见解析 (2)不公平，涂色见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算并判断即可得解； （2）根据概率公式计算即可得出． 【详解】（1）解：我认为以上两位同学的想法是错误的． 理由：转盘被等分为12个扇形，自由转动转盘，当转盘停止时，指针落在不同扇形的可能的结果共有12种，这些结果是等可能的．其中红色扇形有2个，黄色扇形有3个，空白扇形有7个，所以指针停留在这三个区域的结果不是等可能的，指针落在红色区域的概率是．因此小杰的想法是错误的． 转盘是均匀的．无论前面转动结果如何，再转一次，结果都不会受到前面的影响，指针落在黄色区域的概率．因此，小颖的想法是错误的． （2）解：不公平． 由（1）可得小杰获胜的概率是，小颖获胜的概率是， ∵， ∴游戏不公平， 只要把一个空白区域的扇形标注成红色即可． 题型4 用频率估计概率 用频率估计概率是概率实际应用的关键方法，通常涉及大量重复试验（如“掷硬币”“摸球”“发芽试验”）。题目要求通过试验数据（频率）估计某一事件的概率（如“钉面朝上的概率”“发芽率”“石子落在圆内的概率”）。 频率的稳定性定理：当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是事件的概率。即： 解题步骤： 1. 进行大量重复试验：记录事件发生的次数； 2. 计算频率：用事件发生的次数除以试验总次数； 3. 估计概率：当试验次数足够多时，频率的稳定值即为概率； 4. 应用概率：用估计的概率解决问题。 1．（2025·贵州贵阳·二模）在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 200 500 1000 2000 3000 “有2个人生肖相同”的次数 24 53 126 259 522 780 “有2个人生肖相同”的频率 0．24 0．265 0．252 0．259 0．261 0．26 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0．01）大约是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率成为解题的关键． 根据表格中的数据即可解答． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率大约是． 故选C． 2．（25-26九年级上·江西赣州·月考）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 49 94 192 285 950 合格频率 0.98 0.94 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)表格中的值为________；估计合格产品的概率是________（精确到0.01） (2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率； (3)某天甲员工被抽检了1500件该产品，估计其中不合格品有多少件？ 【答案】(1)，0.95 (2)0.05 (3)75件 【分析】本题主要考查了频率与频数的关系，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据频数频率总数即可得出的值，由表格可得合格频率越来越稳定在左右，即可得出结果； （2）用减去合格产品的概率即可得出结果； （3）用乘以不合格品的概率即可得出结果． 【详解】（1）解：由表格可得，， 合格频率越来越稳定在左右，即估计合格产品的概率是； （2）解：， 故任抽一件该产品是不合格品的概率为； （3）解：（件）， 故某天甲员工被抽检了1500件该产品，估计其中不合格品有件． 3．（25-26九年级上·河南安阳·月考）河南洛阳某牡丹园为迎接牡丹文化节，特地对园内名贵牡丹品种“洛阳红”的移植成活率进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． (1)这种牡丹成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______； (2)该牡丹园已经移植“洛阳红”1000株． ①估计这批牡丹成活的株数； ②为满足成活9900株“洛阳红”的要求，估计还需要移植多少株？ 【答案】(1)，； (2)①估计这批牡丹成活900株；②估计还需要移植10000株 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量，已知概率求数量，由频率估计概率等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据统计图求解； （2）①根据频率估计总体； ②根据概率估计还需要移植的株数． 【详解】解：（1）这种牡丹成活的频率稳定在附近，估计成活概率为， 故答案为：，； （2）①（株）， 答：估计这批牡丹成活900株； ②（株）， 答：估计还需要移植10000株． 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）在一个不透明的口袋里装有个相同的红球，为了估计口袋中红球的数量，七（1）班的学生在数学实验课上分组做摸球试验：将14个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是汇总各小组数据后所制作的班级统计总表： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的频数 65 111 345 568 700 摸到白球的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70 (1)按表格数据格式，表中的_______，______； (2)请估计：当次数很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1） (3)估计在这个不透明的口袋中，红球数量的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)红球数量的值为6． 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，理解利用频率来估计概率的意义是解题的关键． （1）根据频率=频数÷样本总数，即可求解； （2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在左右； （3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，根据白球的个数求出球的总个数，再利用球的总个数减去白球的个数，即可得出红球的个数． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近． 故答案为：； （3）解：由题意得，摸到白球的概率为， 因此球的总个数为：（个）， 红球个数为：（个）． 即红球数量的值为6． 5．（24-25七年级下·山东济南·月考）实践背景：某小型植物可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究．试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 1 71 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 9 101 93 129 出现红花的频率 0.39 0.41 0.40 (1)表中_____，_____． (2)经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第_____组的数据不适合用频率估计概率，理由是_____．你认为一株该植物开出红花的概率是_____（结果精确到0.1）． (3)某小公园自然存在有大量该植物，经统计其中开红花的该植株有514棵，请你估计该公园此植物植株的总数量． 【答案】(1)， (2)二，试验的植株数太少，； (3)估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 【分析】本题考查了频率，用频率估计概率，样本估计总体数量等知识，理解大量重复试验中，频率趋向于一个稳定的数，这个数即为概率是解题的关键． （1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【详解】（1）解：，． （2）解：第二组的数据不适合用频率估计概率，理由是试验的植株数太少；除第二组外，其余各组的频率在附近摆动，且试验的植株数比较多，可以认为一株该植物开出红花的概率为． （3）解：（棵）； 答：估计该公园此植物植株的总数量为1285棵． 6．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000 摸到白球的次数m 14 33 95 155 241 298 602 摸到白球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.30 0.298 0.301 (1)请你估计，当很大时，摸到白球的频率将会接近____（精确到0.1）； (2)估计盒子里有白球____个； (3)若先从袋子中取出个白球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个白球的概率为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求频率，用频率估计概率，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到白球的频率逐渐靠近于； （2）根据白球的频率逐渐靠近于，从而得出摸到白球的概率，再用总球的个数乘以白球的概率即可得出盒子里白球的数量； （3）由题意得，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：当很大时，摸到白球的频率将会接近． 故答案为：； （2）解：摸到白球的频率将会接近， 盒子里白球的数量为（个）， 故答案为：； （3）解：根据题意得， 解得， 的值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $