21.2.2平行四边形的判定（3知识点+9题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

21.2.2平行四边形的判定 （3知识点+9题型+过关检测） 【题型1 判断能否构成平行四边形】 2 【题型2 添一个条件成为平行四边形】 3 【题型3 数图形中平行四边形的个数】 4 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 5 【题型5 证明四边形是平行四边形】 5 【题型6 全等三角形拼平行四边形问题】 6 【题型7 利用平行四边形的判定与性质求解】 7 【题型8 利用平行四边形性质和判定证明】 8 【题型9 平行边形性质和判定的应用】 9 · 理解并熟记平行四边形的五大判定定理，厘清判定定理和性质定理的互逆关系，能精准区分“性质”和“判定”的适用场景，杜绝混淆使用。 · 熟练运用判定定理判断一个四边形是否为平行四边形，会根据题目条件补充合适条件使四边形成为平行四边形，掌握规范的几何证明步骤。 · 能结合平行四边形的性质与判定，解决线段求解、角度计算、几何证明、动点分析、图形计数等综合题型，灵活处理各类几何综合问题。 · 掌握数平行四边形个数、三点定平行四边形、全等三角形拼平行四边形等特色题型的解题方法，提升几何识图、分类讨论和逻辑推理能力。 知识点1：平行四边形的判定定理（五大方法）03 知识•梳理 判定口诀：两组对边分别平，两组对边分别等，一组对边平且等，两组对角分别等，对角线互相平分 1. 定义判定（基础）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 数学语言：在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC ⇒ 四边形ABCD是平行四边形。 2. 边判定1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 数学语言：AB=CD，AD=BC ⇒ 四边形ABCD是平行四边形。 3. 边判定2（高频）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 数学语言：AB∥CD，AB=CD ⇒ 四边形ABCD是平行四边形（易错：必须是同一组对边）。 4. 角判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 数学语言：∠A=∠C，∠B=∠D ⇒ 四边形ABCD是平行四边形。 5. 对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 数学语言：对角线AC、BD交于点O，AO=CO，BO=DO ⇒ 四边形ABCD是平行四边形。 知识点2：判定与性质的关系 互逆关系：性质是“已知平行四边形，得边、角、对角线关系”；判定是“已知边、角、对角线关系，证平行四边形”，解题时先判定后用性质，顺序不可颠倒。 知识点3：易错警示 · 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 · 一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，不可作为判定依据。 · 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，只有互相平分才可以判定。 04 题型•汇总 【题型1 判断能否构成平行四边形】 解题思路： 紧扣五大判定定理，逐一核对题目给出的边、角、对角线条件，排除不符合定理的情况，重点避开易错陷阱，牢记只有符合判定口诀的条件才能判定。 解题口诀：判平四，记定理，条件逐一来分析，陷阱选项要避开 【典例1】．新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 跟随训练1-1．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 跟随训练1-2．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【题型2 添一个条件成为平行四边形】 解题思路： 先分析题目已给出的条件，结合五大判定定理，补充缺少的条件，优先选择高频判定（一组对边平行且相等、对角线互相平分），答案不唯一，只要符合判定定理即可。 解题口诀：补条件，看已知，缺啥补啥记定理，平行相等平分都可以 【典例2】．小吴和小李一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在中，以，为边作． 小吴：如图2，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，四边形即为所求． 小李：如图3，分别以点A，点C为圆心，相同长度（大于）为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，连接交于点O，作射线，并截取，连接，，四边形即为所求． (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”） ①小吴的作法______；②小李的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程） 跟随训练2-1．在四边形中，对角线，相交于点O．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是_______________．（写出一种情况即可） 跟随训练2-2．如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 【题型3 数图形中平行四边形的个数】 解题思路： 有序计数，避免重复和遗漏，按照“单个小平行四边形→由2个小平行四边形组合→由多个小平行四边形组合”的顺序分层计数，规则网格图形可横向、纵向分别计数后再计算总数。 解题口诀：数个数，按顺序，先单后组分层数，不重复不遗漏 【典例3】．如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 跟随训练3-1．如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成_____个平行四边形． 跟随训练3-2．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 解题思路： 核心方法：分类讨论，将已知三点连成的线段分别作为平行四边形的边或对角线，分三种情况讨论，平面内共有3个符合条件的点，坐标系中可结合中点公式、平移法确定坐标。 解题口诀：三点定平四，分边分对角，三种情况不重不漏 【典例4】．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 跟随训练4-1．在平面直角坐标系中有四个点，坐标分别为、、、，现将点进行平移，下面哪种平移方案不能使、、、围成的四边形是平行四边形（   ） A．将点D先向左平移1个单位，再向上平移6个单位 B．将点D先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．将点D先向左平移1个单位，再向上平移7个单位 D．将点D先向左平移11个单位，再向下平移2个单位 跟随训练4-2．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 【题型5 证明四边形是平行四边形】 解题思路： 几何证明核心题型，先审题提取已知条件，结合平行线、全等三角形、角相等等结论，选择最简便的判定定理（优先一组对边平行且相等、对角线互相平分），步骤严谨，每一步注明依据，规范书写。 解题口诀：证平四，选定理，条件够了就判定，步骤依据要写清 【典例5】．如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 跟随训练5-1．如图，点，，，在同一直线上，，，．连接，． 求证： (1)四边形是平行四边形； (2)四边形是平行四边形． 跟随训练5-2．如下图，四边形的对角线，交于点，延长到点，连接．已知，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【题型6 全等三角形拼平行四边形问题】 解题思路： 全等三角形的对应边相等、对应角相等，将两个全等三角形的对应边重合，可拼成平行四边形，重合的边为对角线，每组对应边分别平行且相等，符合平行四边形判定。 【典例6】．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 跟随训练6-1．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 跟随训练6-2．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【题型7 利用平行四边形的判定与性质求解】 解题思路： 解题步骤：先根据条件判定四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质（对边相等、对角相等、对角线平分）求解线段长度、角度大小、周长面积，先判定后性质，顺序不可乱。 解题口诀：先判定，后性质，求边求角很容易 【典例7】．如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为，，，，顺次连接、、、四点形成封闭图形，该图形的面积为(        ) A．4 B．5 C．6 D．7 跟随训练7-1．如图，在梯形中，，则_____． 跟随训练7-2．如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 【题型8 利用平行四边形性质和判定证明】 解题思路： 综合证明题，先通过判定定理证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形性质推导线段相等、角相等、线段平行，常结合全等三角形、中位线等知识，层层推导，逻辑连贯。 【典例8】．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练8-1．如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 跟随训练8-2．如图，平行四边形中，是对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足． (1)求证：； (2)连接，与互相平分吗？为什么？ 【题型9 平行边形性质和判定的应用】 解题思路： 实际应用与综合题型，结合生活场景或复杂几何图形，先提取平行四边形模型，用判定定理证明，再用性质解决实际测量、线段和差、周长面积计算等问题，灵活转化条件。 【典例9】．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 跟随训练9-1．如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 跟随训练9-2．已知：四边形是平行四边形，点E是边的中点，连接，过点A作，垂足为点G，交边于点F，点H是线段上一点，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交C边于点K，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长至点M，连接、，若，，，求的长． 【题型10 平行边形中动点问题】 解题思路： 动态几何题型，设出动点速度、时间，表示出动点运动后的线段长度，根据平行四边形判定定理，列出等量关系（对边相等、平行、对角线平分），解方程求出时间或位置，注意分类讨论动点不同位置。 解题口诀：动点题，设时间，表示线段列方程，判定定理找等量 【典例10】．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 跟随训练10-1．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 跟随训练10-2．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 05 过关•检测 1．四边形的对角线、相交于点，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C．且 D．， 2．四边形的对角线与相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B．， C．， D．， 3．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 4．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 6．已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（    ） ①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①和③和④ C．②和③ D．②和③和④ 7．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是_____________． 8．在四边形中，，，，，那么四边形的周长为____________． 9．如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 10．如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则____________s时，四边形是平行四边形． 11．如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为___． 12．已知：如图，在中，E，F分别是，的中点． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 13．如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 14．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 15．已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 16．在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.2平行四边形的判定 （3知识点+9题型+过关检测） 【题型1 判断能否构成平行四边形】 2 【题型2 添一个条件成为平行四边形】 4 【题型3 数图形中平行四边形的个数】 9 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 11 【题型5 证明四边形是平行四边形】 13 【题型6 全等三角形拼平行四边形问题】 16 【题型7 利用平行四边形的判定与性质求解】 19 【题型8 利用平行四边形性质和判定证明】 22 【题型9 平行边形性质和判定的应用】 25 · 理解并熟记平行四边形的五大判定定理，厘清判定定理和性质定理的互逆关系，能精准区分“性质”和“判定”的适用场景，杜绝混淆使用。 · 熟练运用判定定理判断一个四边形是否为平行四边形，会根据题目条件补充合适条件使四边形成为平行四边形，掌握规范的几何证明步骤。 · 能结合平行四边形的性质与判定，解决线段求解、角度计算、几何证明、动点分析、图形计数等综合题型，灵活处理各类几何综合问题。 · 掌握数平行四边形个数、三点定平行四边形、全等三角形拼平行四边形等特色题型的解题方法，提升几何识图、分类讨论和逻辑推理能力。 知识点1：平行四边形的判定定理（五大方法）03 知识•梳理 判定口诀：两组对边分别平，两组对边分别等，一组对边平且等，两组对角分别等，对角线互相平分 1. 定义判定（基础）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 数学语言：在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC ⇒ 四边形ABCD是平行四边形。 2. 边判定1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 数学语言：AB=CD，AD=BC ⇒ 四边形ABCD是平行四边形。 3. 边判定2（高频）：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 数学语言：AB∥CD，AB=CD ⇒ 四边形ABCD是平行四边形（易错：必须是同一组对边）。 4. 角判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 数学语言：∠A=∠C，∠B=∠D ⇒ 四边形ABCD是平行四边形。 5. 对角线判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形； 数学语言：对角线AC、BD交于点O，AO=CO，BO=DO ⇒ 四边形ABCD是平行四边形。 知识点2：判定与性质的关系 互逆关系：性质是“已知平行四边形，得边、角、对角线关系”；判定是“已知边、角、对角线关系，证平行四边形”，解题时先判定后用性质，顺序不可颠倒。 知识点3：易错警示 · 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形（可能是等腰梯形）。 · 一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，不可作为判定依据。 · 对角线相等的四边形不一定是平行四边形，只有互相平分才可以判定。 04 题型•汇总 【题型1 判断能否构成平行四边形】 解题思路： 紧扣五大判定定理，逐一核对题目给出的边、角、对角线条件，排除不符合定理的情况，重点避开易错陷阱，牢记只有符合判定口诀的条件才能判定。 解题口诀：判平四，记定理，条件逐一来分析，陷阱选项要避开 【典例1】．新情境  王师傅加工了一批如图所示的平行四边形零件，交付验收时需要检查该零件是否为平行四边形，下列检查方法错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据平行四边形的证明方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； B、，，一组对边平行，另一组对边相等，不能得到四边形是平行四边形； C、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形； D、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到四边形是平行四边形． 跟随训练1-1．在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 跟随训练1-2．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是____________（填序号）． ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法、熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等可以判定平行四边形． 【详解】解：对于①，，，不能保证另一组对边平行或相等，故不能判定； 对于②，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于③，，，满足一组对边平行且相等，故能判定； 对于④，， 又 ∴四边形是平行四边形，故能判定． 故答案为：②③④． 【题型2 添一个条件成为平行四边形】 解题思路： 先分析题目已给出的条件，结合五大判定定理，补充缺少的条件，优先选择高频判定（一组对边平行且相等、对角线互相平分），答案不唯一，只要符合判定定理即可。 解题口诀：补条件，看已知，缺啥补啥记定理，平行相等平分都可以 【典例2】．小吴和小李一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在中，以，为边作． 小吴：如图2，以点A为圆心，长为半径作弧，以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，连接，，四边形即为所求． 小李：如图3，分别以点A，点C为圆心，相同长度（大于）为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，连接交于点O，作射线，并截取，连接，，四边形即为所求． (1)填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”） ①小吴的作法______；②小李的作法______． (2)请从（1）中任选一项判断，说明理由．（要求：写出推理过程） 【答案】(1)正确；正确 (2)见解析 【分析】本题考查基本尺规作图、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解答的关键． （1）根据基本作图信息，以及平行四边形的判定定理可得结论①和②； （2）选择①：根据两组对边相等的四边形是平行四边形可判断； 选择②：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断． 【详解】（1）解：①小吴的作法正确；②小李的作法正确． 故答案为：正确；正确． （2）解：选择①： 由作图知，， ∴四边形为平行四边形． 故小吴的作法正确； 选择②： 由作图知，，垂直平分， ∴， ∴四边形为平行四边形． 故小李的作法正确． 跟随训练2-1．在四边形中，对角线，相交于点O．如果，请你添加一个条件，使得四边形成为平行四边形，这个条件可以是_______________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定方法，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法即可得结论． 【详解】解：添加， ∵， ∴四边形的一组对边平行且相等，故四边形是平行四边形； 添加， ∵， ∴四边形的两组对边分别平行，故四边形是平行四边形； 添加， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的两组对角分别相等，故四边形是平行四边形； 添加 ∵， ∴，， ∴， ∴四边形的两组对角分别相等，故四边形是平行四边形． 添加或， ∴， ∵， ∴四边形的两组对边分别平行，故四边形是平行四边形； 添加， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的对角线互相平分，故四边形是平行四边形； 添加， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的对角线互相平分，故四边形是平行四边形； 或， ∴， ∵， ∴四边形的两组对边分别平行，故四边形是平行四边形； 故答案为：或或或或或或或或或． 跟随训练2-2．如图，在中，E，F是对角线上两个不同的点．连接，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，并将其序号填写在下方横线上． ①，点E，F为垂足；②；③；④． 符合条件的选项有 ； (2)选择其中一个条件，写出证明过程． 【答案】(1)①②④ (2)见解析 【分析】根据平行四边形的性质得出相等的角和边，通过证明三角形全等，得出相等的边，利用平行四边形的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：添加一个条件使得四边形是平行四边形的选项是①②④； （2）选择① 证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； 选择② 证明：∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴． 同理，, ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择④ 证明：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】重点掌握平行四边形的性质定理和判定定理，借助全等三角形得出相等的边． 【题型3 数图形中平行四边形的个数】 解题思路： 有序计数，避免重复和遗漏，按照“单个小平行四边形→由2个小平行四边形组合→由多个小平行四边形组合”的顺序分层计数，规则网格图形可横向、纵向分别计数后再计算总数。 解题口诀：数个数，按顺序，先单后组分层数，不重复不遗漏 【典例3】．如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握有两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 则图中共有个平行四边形，它们分别是，，， 故答案为：；，，． 跟随训练3-1．如图，线段，相交于点，且点，，与点，，分别四等分线段与，则依次连接这些点可以构成_____个平行四边形． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 根据平行四边形的定义数出具体有几个平行四边形． 【详解】解：根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得： 在四边形中，， ∴四边形是平行四边形 同理可得，四边形，四边形，四边形，均为平行四边形；一共4个； 故答案为：4． 跟随训练3-2．如图，在中，，，，的交点在上，则图中面积相等的平行四边形有（   ）对 A．5 B．3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定与性质可知，平行四边形的对角线将平行四边形的面积平分，可推出3对面积相等的平行四边形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，是对角线， ∴，，． ∵，， ∴，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形、四边形都是平行四边形， ∵是平行四边形的对角线， ∴， ∵是平行四边形的对角线， ∴． ∴， 即， ∴， 同理可得：． 即：，，． 故选：B． 【点睛】本题考查了数图形中平行四边形的个数，利用平行四边形的判定与性质求解，利用平行四边形性质和判定证明，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】 解题思路： 核心方法：分类讨论，将已知三点连成的线段分别作为平行四边形的边或对角线，分三种情况讨论，平面内共有3个符合条件的点，坐标系中可结合中点公式、平移法确定坐标。 解题口诀：三点定平四，分边分对角，三种情况不重不漏 【典例4】．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 跟随训练4-1．在平面直角坐标系中有四个点，坐标分别为、、、，现将点进行平移，下面哪种平移方案不能使、、、围成的四边形是平行四边形（   ） A．将点D先向左平移1个单位，再向上平移6个单位 B．将点D先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 C．将点D先向左平移1个单位，再向上平移7个单位 D．将点D先向左平移11个单位，再向下平移2个单位 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．根据题意画出图形即可解决问题． 【详解】解：根据题意、、、画图如下： A、将点先向左平移1个单位，再向上平移6个单位，得，则是平行四边形，不符合题意； B、将点先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得，则是平行四边形，不符合题意； C、由可得将点先向左平移1个单位，再向上平移7个单位后，不能使、、、围成的四边形是平行四边形，符合题意； D、将点先向左平移11个单位，再向下平移2个单位，得，则是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 跟随训练4-2．在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ________． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 【题型5 证明四边形是平行四边形】 解题思路： 几何证明核心题型，先审题提取已知条件，结合平行线、全等三角形、角相等等结论，选择最简便的判定定理（优先一组对边平行且相等、对角线互相平分），步骤严谨，每一步注明依据，规范书写。 解题口诀：证平四，选定理，条件够了就判定，步骤依据要写清 【典例5】．如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 跟随训练5-1．如图，点，，，在同一直线上，，，．连接，． 求证： (1)四边形是平行四边形； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意易得，，，然后可得，则有，再证明，进而问题可求证； （2）由（1）可得，然后根据平行四边形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ， ，即． 在和中， ， ， ． ， ， 四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）知， ． 又， 四边形是平行四边形． 跟随训练5-2．如下图，四边形的对角线，交于点，延长到点，连接．已知，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得到，然后通过证明，根据全等三角形的性质得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形； （2）过点作于点，根据三角形的面积，平行四边形的面积可得到，最后根据平行四边形的性质求出的面积． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）解：如图，过点作于点， ，． ， ． 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及三角形和平行四边形面积公式，掌握以上知识点是解题的关键． 【题型6 全等三角形拼平行四边形问题】 解题思路： 全等三角形的对应边相等、对应角相等，将两个全等三角形的对应边重合，可拼成平行四边形，重合的边为对角线，每组对应边分别平行且相等，符合平行四边形判定。 【典例6】．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 跟随训练6-1．用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 跟随训练6-2．如图，在中，过点作，是的中点，连接并延长，交于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明是解题的关键． 由，得，而，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型7 利用平行四边形的判定与性质求解】 解题思路： 解题步骤：先根据条件判定四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质（对边相等、对角相等、对角线平分）求解线段长度、角度大小、周长面积，先判定后性质，顺序不可乱。 解题口诀：先判定，后性质，求边求角很容易 【典例7】．如图，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为，，，，顺次连接、、、四点形成封闭图形，该图形的面积为(        ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质与判定．根据题意，得出四边形是平行四边形，再结合平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为，，，， 所以且， 所以四边形是平行四边形， 所以该图形的面积为：． 故选：C． 跟随训练7-1．如图，在梯形中，，则_____． 【答案】11 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．因为，所以四边形是平行四边形，则，由，，得，所以，推导出，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 跟随训练7-2．如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在边BC的延长线上时，；当点D在边BC的反向延长线上时， (3)DF的长为2或10 【分析】（1）要证明，先利用两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，得到；再结合等腰三角形的性质，推出，从而得到；最后通过线段和的关系，结合完成证明； （2）当点在延长线或反向延长线上时，仍先判定四边形为平行四边形，再结合等腰三角形性质证，通过线段的和差关系，分别推导的数量关系； （3）分三种位置情况，代入，结合（1）（2）的结论计算的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，且， ∴． （2）解：当在延长线上时：； 当在反向延长线上时：． （3）解：情况1：在上由（1）知， 代入，得， 解得； 情况2：在延长线上由（2）知， 代入得（无解，舍去）； 情况3：在反向延长线上由（2）知， 代入得， 解得：． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想，掌握利用平行四边形和等腰三角形的性质推导线段关系，结合分类讨论解决多位置问题是解题的关键． 【题型8 利用平行四边形性质和判定证明】 解题思路： 综合证明题，先通过判定定理证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形性质推导线段相等、角相等、线段平行，常结合全等三角形、中位线等知识，层层推导，逻辑连贯。 【典例8】．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可知可证明四边形为平行四边形，可得到 【详解】解：由题意可知： 四边形为平行四边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质,解题的关键是证明四边形为平行四边形. 跟随训练8-1．如图所示，在四边形中，，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据题意易证，进而得到，根据、，证得四边形是平行四边形，同理证得四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线的性质得到． 【详解】解：、， ， ， ， ， 在和中 ， ， 故①正确； 、， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故②③正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 跟随训练8-2．如图，平行四边形中，是对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足． (1)求证：； (2)连接，与互相平分吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)与互相平分，理由见解析 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定与性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． （1）根据平行四边形的性质证明，，结合，，即可得出结论； （2）连接，由，得到，由，推出，得到四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴. （2）解：与互相平分．理由： 连接， ∵, ∴, ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【题型9 平行边形性质和判定的应用】 解题思路： 实际应用与综合题型，结合生活场景或复杂几何图形，先提取平行四边形模型，用判定定理证明，再用性质解决实际测量、线段和差、周长面积计算等问题，灵活转化条件。 【典例9】．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 跟随训练9-1．如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：在中， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 跟随训练9-2．已知：四边形是平行四边形，点E是边的中点，连接，过点A作，垂足为点G，交边于点F，点H是线段上一点，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交C边于点K，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长至点M，连接、，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，利用等量关系得，根据等腰三角形的性质可得G是AH的中点，则可得AG是△ABH的中位线，进而可求证结论． （2）根据平行四边形的性质得，进而可根据平行线的性质可得，又根据等腰三角形的性质结合平行线的性质可得，，根据三角形内角和可得∠KBF=∠BKF，可得△BFK为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质即可求证结论． （3）连接，作，垂足为点R，作交的延长线于点N，根据平行四边形的判定及性质可得，，则，利用勾股定理的逆定理得△AKD为直角三角形，且，则可得，进而可得，利用SAS可得，进而可得，根据利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴△ADH为等腰三角形， ∵， ∴， ∴G是的中点， ∴E是的中点， ∴EG是△ABH的中位线，且EG与DE在同一直线上， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴∠KBF=∠BKF，HF⊥BK， ∴△BFK为等腰三角形， ∴HF为BK的垂直平分线， ∴BH=HK． （3）连接，作，垂足为点R，作交的延长线于点N，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， 设， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴△AKD为直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质、平行四边形的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理及判定定理，巧妙借助辅助线解决问题是解题的关键． 【题型10 平行边形中动点问题】 解题思路： 动态几何题型，设出动点速度、时间，表示出动点运动后的线段长度，根据平行四边形判定定理，列出等量关系（对边相等、平行、对角线平分），解方程求出时间或位置，注意分类讨论动点不同位置。 解题口诀：动点题，设时间，表示线段列方程，判定定理找等量 【典例10】．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求解即可 ； （2）当时，过点A作于点F，则，，得到，根据题意，得，，构造等式求解即可； （3）当时，；当时，， 根据平行四边形的判定，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； （2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 跟随训练10-1．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或时，为直角三角形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题关键． （1）由题意可知，，，根据含角的直角三角形的性质得出，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）分和两种情况，画出图形，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示：当时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 如图所示，当时， 由（1）可得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 跟随训练10-2．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． (1)当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ (2)当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ (3)多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 05 过关•检测 1．四边形的对角线、相交于点，下列条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B． C．且 D．， 【答案】D 【详解】解：A、仅，一组对边平行的四边形可能是梯形，不能判定为平行四边形 B、，仅表明与垂直，无法判定四边形为平行四边形 C、且，这样的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形； D、，，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即四边形的对角线互相平分，所以四边形是平行四边形． 2．四边形的对角线与相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法逐一进行分析判断即可． 【详解】解：A、只有一组对边平行无法判定四边形是平行四边形，故错误； B、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故正确； C、，可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误； D、，可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误， 故选B． 3．如图，的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，过点O作平行于的直线交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形的性质推出，，， 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，因此，推出，证明，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交射线于点F， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，在中，，分别是，的中点，则图中的平行四边形一共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握利用中点条件结合平行四边形性质，有序找出所有满足判定的四边形是解题的关键． 利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合中点条件，有序找出所有满足平行四边形判定的四边形，避免遗漏． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，分别是的中点 ∴ ， ， ， ∴ 根据平行四边形的判定定理，图中的平行四边形有： 四边形：已知条件； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：∵且； 四边形：且； 四边形：且； 综上，图中共有个平行四边形． 故选：D． 5．如图，的四个顶点分别在的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若四边形面积为，则的面积为（     ） A． B．a C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、三角形的面积公式与平行四边形的面积公式等知识正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得作，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据作，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， ∵四边形面积为， 的面积为， 故选：B． 6．已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（    ） ①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①和③和④ C．②和③ D．②和③和④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法，结合已知，逐一分析各附加条件是否足以证明四边形为平行四边形． 【详解】解：如图， ∵， ①若，四边形可能为等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误． ②若， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故②正确． ③若， ∵， ∴，， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故③正确． ④若，该条件不足以证明平行四边形，可能存在反例（如等腰梯形），故④错误． ∴正确条件为②和③， 故选：C． 7．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条，的中点重叠并用钉子固定，则四边形就是平行四边形．这种方法的依据是_____________． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：∵木条，的中点O重叠， ∴， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形 8．在四边形中，，，，，那么四边形的周长为____________． 【答案】24 【分析】先根据两组对角分别相等判定四边形为平行四边形，再利用平行四边形对边相等的性质求出各边长，最后计算周长． 【详解】解：在四边形中，，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长为． 9．如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】已知，当时，四边形是平行四边形，据此即可解答． 【详解】解：当时， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 10．如图，四边形中，，，点在边上以的速度从点出发向点移动，同时点在边上以的速度从点出发向点移动．若，，则____________s时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的判定，动点问题的方程思想，掌握利用平行四边形一组对边平行且相等的判定定理，结合动点速度列方程求解是解题的关键． 设运动时间为秒，利用平行四边形一组对边平行且相等” 的判定定理，结合动点速度表示线段长度，列方程求解． 【详解】解：设时，四边形是平行四边形． 根据题意，得，． ， ． ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得． 故答案为：． 11．如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为___． 【答案】5 【分析】如图所示，作点关于的对称点，且点在上，则，当在同一条直线上时，有最小值，证明四边形是平行四边形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴点在上， ∴，则，当在同一条直线上时，有最小值， ∵点关于的对称点，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称—最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形的性质，对称—最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 12．已知：如图，在中，E，F分别是，的中点． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，，进而得到，即可证明； （2）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵， ∴，，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， 即， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， 即， ∴四边形是平行四边形． 13．如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定证明即可． （2）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：，， ． ， ， ． 平分， ， ． 为边的中点， ． 在和中， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：平分， ， ，， ， ， ． ， ， ， ． 四边形是平行四边形， ． 14．如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质得，，再根据，得，根据平行四边形的判定即可得证； （2）①在中，由勾股定理得，进而得，从而即可得解；②过点作于，根据面积公式得，再证明（），得，从而利用面积公式即可得解． 【详解】（1）证明：连接交于． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②过点作于， ∵，，，， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 故答案为：． 15．已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 16．在中，，P为所在平面内的一点，过点P作交于点E，作交于点D，交于点F．如图①，若点P在边上，此时P、D两点重合，易证、、与之间满足的数量关系是． (1)如图②，当点P在的内部时，猜想、、与之间满足的数量关系，然后证明你的猜想； (2)如图③，当点P在的外部时，若，，求平行四边形的周长 【答案】(1)．证明见解析 (2)14 【分析】（1）如图①，过点P作分别交，于点M，N，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，，即可得出结论； （2）如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点，先证明四边形是平行四边形，，再结合（1）的结论，即可求得答案． 【详解】（1）解：；证明如下： 如图①，过点P作分别交，于点M，N， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：如图②，过点P作交的延长线于点，交的延长线于点， 由（1）得， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 平行四边形的周长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $