21.2.1平行四边形及其性质（3知识点+9题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（人教版）

21.2.1平行四边形及其性质 （3知识点+9题型+过关检测） 【题型1 平行四边形的概念和性质】 2 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 3 【题型3 利用平行四边形的性质求线段长度】 4 【题型4 利用平行四边形的性质证明】 4 【题型5 平行四边形性质的其他应用】 5 【题型6 求平行线间的距离】 6 【题型7 利用平行线间距离解决问题】 7 【题型8 平行四边形中折叠问题】 8 【题型9 利用平行四边形性质解决存在性问题】 9 · 理解并掌握平行四边形的定义，明确定义既是判定也是性质，能规范表示平行四边形，准确识别对边、对角、对角线等相关概念。 · 熟练背诵并运用平行四边形边、角、对角线的三大核心性质，理解性质的推导过程，会用性质进行角度计算、线段长度求解和几何证明。 · 掌握平行线间距离的定义和性质，能区分距离与线段的不同，利用平行线间距离处处相等解决面积、线段相等问题。 · 突破折叠、存在性等特殊题型，规范解题步骤，会利用平行四边形性质解决几何存在性问题，提升几何推理和综合解题能力。03 知识•梳理 知识点1：平行四边形的定义 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 表示方法：用符号“▱”表示，四边形ABCD是平行四边形，记作▱ABCD，顶点字母按顺时针或逆时针顺序书写。 定义双重性：两组对边分别平行→平行四边形（判定）；平行四边形→两组对边分别平行（性质）。 知识点2：平行四边形的核心性质 性质口诀：对边平行且相等，对角相等邻角补，对角线互相平分 1. 边的性质：平行四边形的两组对边分别平行，且分别相等；数学语言：在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补（和为180°），内角和为360°；数学语言：∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°。 3. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分（注意：对角线不一定相等，不一定垂直）；数学语言：对角线AC、BD交于点O，则AO=CO，BO=DO。 4. 对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点，不是轴对称图形。 5. 周长与面积：周长=2×(一组邻边之和)；面积=底×高（S=ah），等底等高的平行四边形面积相等。 知识点3：平行线间的距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度，叫做这两条平行线间的距离。 核心性质：平行线间的距离处处相等；夹在平行线间的平行线段长度相等。 2.平行四边形的面积： 1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等； 2.平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图 3.平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系： 【题型1 平行四边形的概念和性质】04 题型•汇总 解题思路： 基础概念辨析题，紧扣定义和三大性质，重点区分“对角线互相平分”和“对角线相等”，排除错误选项，牢记普通平行四边形对角线只平分、不相等、不垂直。 解题口诀：概念辨析抓核心，对边对角要记清，对角线只平分，别和相等混为一谈 【典例1】．平行四边形不具有的特点是（    ） A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线相等 D．平行四边形邻角互补 跟随训练1-1．下列说法正确的是（    ） A．平行四边形邻边相等 B．平行四边形对边平行 C．平行四边形对角互补 D．平行四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形 跟随训练1-2．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.其中正确说法的序号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 解题思路： 核心用“对角相等、邻角互补”两大角度性质，已知一个角，可直接推出其余三个角；结合平行线性质、角平分线、三角形内角和，分步计算，优先找邻角互补关系。 解题口诀：求角度，很简单，对角相等直接换，邻角互补一百八 【典例2】．在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图，将沿对角线折叠，使点C落在处，若，则为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则的度数是______． 【题型3 利用平行四边形的性质求线段长度】 解题思路： 高频基础计算题，核心用“对边相等、对角线互相平分”，结合周长公式列方程求解，已知周长和一边长，可求邻边长；已知对角线一半，可求对角线全长。 解题口诀：算线段，对边等，对角线平分各一半，周长两倍邻边和 【典例3】．如图，在中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 跟随训练3-1．如图，在中，的平分线交于点，连接，若，，，则的长为______． 跟随训练3-2．如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 【题型4 利用平行四边形的性质证明】 解题思路： 几何证明题，先由平行四边形性质推出对边平行且相等、对角相等、对角线平分，再结合三角形全等、平行线性质、对顶角相等，推导线段相等、角相等，每一步注明依据，步骤严谨。 解题口诀：证明题，用性质，先找平四边，再证三角形全等 【典例4】．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中： ①； ②； ③； ④ 一定成立的有的结论有___________．（填正确结论的序号） 跟随训练4-2．如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 【题型5 平行四边形性质的其他应用】 解题思路： 综合应用题，涵盖角平分线、周长面积综合、线段和差等题型，常结合等腰三角形性质（平行+角平分线=等腰），注意分类讨论，避免漏解。 【典例5】．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 跟随训练5-1．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 跟随训练5-2．兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 【题型6 求平行线间的距离】 解题思路： 平行线间距离是垂线段长度，不是斜线段长度，结合平行四边形面积公式求解：距离（高）=面积÷底，已知面积和底，可直接反推距离。 解题口诀：求距离，找垂线，面积除以底，答案就出现 【典例6】．平面内自上而下有三条直线a，b，c，且，若a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（    ） A．3cm B．7cm C．2cm D．5cm 跟随训练6-1．如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是___________． 跟随训练6-2．如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【题型7 利用平行线间距离解决问题】 解题思路： 核心利用“平行线间距离处处相等，等底等高的平行四边形面积相等”，解决面积比较、线段相等问题，将不规则图形转化为规则图形，简化计算。 【典例7】．如图，点P是线段上方一动点，，，当最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-2．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，．点是边上的一个动点，当时，则的度数为_______． 【题型8 平行四边形中折叠问题】 解题思路： 折叠核心：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等；结合平行四边形对边平行、对角相等的性质，找出等腰三角形或直角三角形，列方程求解边长、角度。 解题口诀：折叠题，抓全等，对应边角都相等，结合平四找等腰 【典例8】．在中，E为上一点，将沿折叠至处，与交于点F．若，则∠FEG度数为_____． 跟随训练8-1．如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的面积为（    ） A．30 B．60 C． D． 跟随训练8-2．直线分别交平行四边形边、于直、，将图形沿直线对折，点、分别落在点、处．若，，，当点落在边上任意点时，设点为直线上的动点，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 【题型9 利用平行四边形性质解决存在性问题】 解题思路： 多在坐标系中考查，核心利用“对边平行且相等、对角线互相平分”，分类讨论已知点为边或对角线的情况，用中点坐标公式或平移法求未知点坐标，杜绝漏解。 解题口诀：存在性，分情况，对点连线找中点，平移坐标算坐标 【典例9】．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在网格点上，在网格内存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______． 跟随训练9-1．如图，线段AB两点的坐标分别为、，在x轴的下方存在点C，使以点A，B，C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为______． 跟随训练9-2．如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向B运动，两点同时出发，当点Q运动到点B时，点P也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当_____时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形． 1．如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（   ）05 过关•检测 A． B． C． D． 2．如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 3．如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 5．如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 6．如图，已知的两条对角线相交于点，其周长为，的周长比的周长大，则____________，____________． 7．如图，在中，对角线与相交于点O，，E为中点，若，，则的长是_____ 8．如图，在平行四边形中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好垂直于边，则的长是________． 9．在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，则长为________． 10．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A，B，C的坐标分别为，点P在四边形内部，且，则点P的坐标为______． 11．如图，在中，的角平分线交于点E，点F在线段上，，连接交于点P． (1)求证：； (2)若，，求的长． 12．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分 (1)若，求的度数； (2)求证：. 13．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到．图中标出了点B的对应点．利用网格点和直尺，完成下列各题： (1)补全； (2)画出边上的高线； (3)连接，，则这两条线段之间的关系是_____； (4)点Q为格点（异于点），且，则图中满足要求的Q点共有______个． 14．如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 15．如图，在中，E为上一点，F为上一点，且与交于点G，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.1平行四边形及其性质 （3知识点+9题型+过关检测） 【题型1 平行四边形的概念和性质】 2 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 3 【题型3 利用平行四边形的性质求线段长度】 5 【题型4 利用平行四边形的性质证明】 8 【题型5 平行四边形性质的其他应用】 11 【题型6 求平行线间的距离】 13 【题型7 利用平行线间距离解决问题】 15 【题型8 平行四边形中折叠问题】 18 【题型9 利用平行四边形性质解决存在性问题】 21 · 理解并掌握平行四边形的定义，明确定义既是判定也是性质，能规范表示平行四边形，准确识别对边、对角、对角线等相关概念。 · 熟练背诵并运用平行四边形边、角、对角线的三大核心性质，理解性质的推导过程，会用性质进行角度计算、线段长度求解和几何证明。 · 掌握平行线间距离的定义和性质，能区分距离与线段的不同，利用平行线间距离处处相等解决面积、线段相等问题。 · 突破折叠、存在性等特殊题型，规范解题步骤，会利用平行四边形性质解决几何存在性问题，提升几何推理和综合解题能力。03 知识•梳理 知识点1：平行四边形的定义 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 表示方法：用符号“▱”表示，四边形ABCD是平行四边形，记作▱ABCD，顶点字母按顺时针或逆时针顺序书写。 定义双重性：两组对边分别平行→平行四边形（判定）；平行四边形→两组对边分别平行（性质）。 知识点2：平行四边形的核心性质 性质口诀：对边平行且相等，对角相等邻角补，对角线互相平分 1. 边的性质：平行四边形的两组对边分别平行，且分别相等；数学语言：在▱ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC。 2. 角的性质：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补（和为180°），内角和为360°；数学语言：∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°。 3. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分（注意：对角线不一定相等，不一定垂直）；数学语言：对角线AC、BD交于点O，则AO=CO，BO=DO。 4. 对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线交点，不是轴对称图形。 5. 周长与面积：周长=2×(一组邻边之和)；面积=底×高（S=ah），等底等高的平行四边形面积相等。 知识点3：平行线间的距离 1.定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度，叫做这两条平行线间的距离。 核心性质：平行线间的距离处处相等；夹在平行线间的平行线段长度相等。 2.平行四边形的面积： 1.平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等； 2.平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图 3.平行四边形内任意一个分得的四个三角形的四个三角形面积有如下关系： 【题型1 平行四边形的概念和性质】04 题型•汇总 解题思路： 基础概念辨析题，紧扣定义和三大性质，重点区分“对角线互相平分”和“对角线相等”，排除错误选项，牢记普通平行四边形对角线只平分、不相等、不垂直。 解题口诀：概念辨析抓核心，对边对角要记清，对角线只平分，别和相等混为一谈 【典例1】．平行四边形不具有的特点是（    ） A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线相等 D．平行四边形邻角互补 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质判断即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：平行四边形不具有的特点是对角线相等， 故选：． 跟随训练1-1．下列说法正确的是（    ） A．平行四边形邻边相等 B．平行四边形对边平行 C．平行四边形对角互补 D．平行四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：A．平行四边形邻边不一定相等，故选项错误，不符合题意； B．平行四边形对边平行，故选项正确，符合题意； C．平行四边形对角相等但不一定互补，故选项错误，不符合题意； D．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 跟随训练1-2．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.其中正确说法的序号是（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确， 平行四边形是中心对称图形，故②正确， 平行四边形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确， 平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确， 故选：D． 【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 解题思路： 核心用“对角相等、邻角互补”两大角度性质，已知一个角，可直接推出其余三个角；结合平行线性质、角平分线、三角形内角和，分步计算，优先找邻角互补关系。 解题口诀：求角度，很简单，对角相等直接换，邻角互补一百八 【典例2】．在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据于点，可证得，再根据求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 跟随训练2-1．如图，将沿对角线折叠，使点C落在处，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行四边形的性质求出，再根据折叠的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，, ∴， ∴． 根据折叠的性质得， 在中，， ∴． 跟随训练2-2．如图，是平行四边形的对角线，点E在上，，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】设，由平行四边形的性质得，可得，，由得,，得出，根据列方程求得即可得解． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴,， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【题型3 利用平行四边形的性质求线段长度】 解题思路： 高频基础计算题，核心用“对边相等、对角线互相平分”，结合周长公式列方程求解，已知周长和一边长，可求邻边长；已知对角线一半，可求对角线全长。 解题口诀：算线段，对边等，对角线平分各一半，周长两倍邻边和 【典例3】．如图，在中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线定义，推导出和均为等腰三角形，从而求出和的长，最后利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴，． ∴，． ∴． ． 跟随训练3-1．如图，在中，的平分线交于点，连接，若，，，则的长为______． 【答案】3 【分析】根据平行四边形的性质得到，由角平分线的性质得到，推出，利用三角形的内角和求出，从而求出，可得，由等边对等角推出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 跟随训练3-2．如图，在中，过点D作，垂足为E，过点B作，垂足为F．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的面积计算公式，以及同底等高的平行四边形与三角形之间的面积的数量关系，掌握以上知识是解题的关键．由得到，，由此可得，再根据，可得，最后将，，代入上式，可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【题型4 利用平行四边形的性质证明】 解题思路： 几何证明题，先由平行四边形性质推出对边平行且相等、对角相等、对角线平分，再结合三角形全等、平行线性质、对顶角相等，推导线段相等、角相等，每一步注明依据，步骤严谨。 解题口诀：证明题，用性质，先找平四边，再证三角形全等 【典例4】．如图，四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 无法判断， 故选：D． 跟随训练4-1．如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中： ①； ②； ③； ④ 一定成立的有的结论有___________．（填正确结论的序号） 【答案】②③④ 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出，得出对应线段之间关系进而得出答案． 【详解】解：①∵是的中点， ∴， 设点C到的距离为， ∴，， ∴， 故①错误； ②∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③延长，交延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ④设， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故④正确． 故答案为：②③④． 跟随训练4-2．如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得， ，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型5 平行四边形性质的其他应用】 解题思路： 综合应用题，涵盖角平分线、周长面积综合、线段和差等题型，常结合等腰三角形性质（平行+角平分线=等腰），注意分类讨论，避免漏解。 【典例5】．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 跟随训练5-1．如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 跟随训练5-2．兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 【答案】见解析 【分析】关键是掌握平行四边形是中心对称图形．先找出平行四边形的对称中心，过中心和P作直线即可． 【详解】解：如图所示 连接、相交于点O，则点O是平行四边形的对称中心。 过O、P作直线分别交、于E、F，则一人分四边形，另一人分四边形． 【题型6 求平行线间的距离】 解题思路： 平行线间距离是垂线段长度，不是斜线段长度，结合平行四边形面积公式求解：距离（高）=面积÷底，已知面积和底，可直接反推距离。 解题口诀：求距离，找垂线，面积除以底，答案就出现 【典例6】．平面内自上而下有三条直线a，b，c，且，若a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为2cm，则a与c之间的距离是（    ） A．3cm B．7cm C．2cm D．5cm 【答案】B 【分析】本题考查了平行线之间的距离．由平行线之间的距离的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 故选：B． 跟随训练6-1．如图，，、分别平分和，于E，且，则与之间的距离是___________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，两条平行线之间的距离等，熟练掌握相关知识点，作出适当的辅助线是解题的关键； 过点P作的垂线，交于点M，交于点N，先说明与之间的距离等于线段的长，再利用角平分线的性质定理求出的长． 【详解】解：如图，过点P作的垂线，交于点M，交于点N， 则，， ， ， ， 与之间的距离等于线段的长， ，，平分， ， 同理可得，， ， 与之间的距离等于． 故答案为：． 跟随训练6-2．如图，在中，是上一点，过的中点，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】16 【分析】本题考查全等三角形的判定与平行线的性质，关键是连接，先证三角形全等得到面积等量关系，再通过面积和差推导完成等面积转换，将不规则的四边形的面积转化为可直接计算的的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中点， ∴． 又∵， ∴，， ∴， ∴， ， ， ∵的面积为， 即阴影部分的面积为16． 故答案为：． 【题型7 利用平行线间距离解决问题】 解题思路： 核心利用“平行线间距离处处相等，等底等高的平行四边形面积相等”，解决面积比较、线段相等问题，将不规则图形转化为规则图形，简化计算。 【典例7】．如图，点P是线段上方一动点，，，当最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称性质，等腰三角形的判定与性质，平行线之间距离处处相等，外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出点P到的距离是，则点P在直线上，且，与之间的距离是，作点A 关于直线的对称点，记为点，证明是等腰直角三角形，，故，则当最小值时，即点P与点C重合，，即可作答． 【详解】解：∵点P是线段上方一动点，，， ∴， 即点P到的距离是， ∴点P在直线上，且，与之间的距离是， 依题意，作点A 关于直线的对称点，记为点， 连接交直线于点， 即，，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 则， 则当最小时，即点P与点C重合， ∴， 故选：D． 跟随训练7-1．如图，这是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线．若，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．过点作，交延长线于点，先求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵在中，的长是， ∴， ∵，分别表示一楼、二楼地面的水平线， ∴， ∴乘电梯从点到点上升的高度是， 故选：A． 跟随训练7-2．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，．点是边上的一个动点，当时，则的度数为_______． 【答案】75°/75度 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线间距离相等．直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半；等腰三角形的两底角相等．掌握直角三角形和等腰三角形的性质是解题的关键． 过点作，由，则有，根据，可计算出，在中，，则有，所以，根据等腰三角形性质即可计算出． 【详解】解：过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，则有， ∴， ∴为等腰三角形， ∴． 故答案为：． 【题型8 平行四边形中折叠问题】 解题思路： 折叠核心：折叠前后图形全等，对应边、对应角相等；结合平行四边形对边平行、对角相等的性质，找出等腰三角形或直角三角形，列方程求解边长、角度。 解题口诀：折叠题，抓全等，对应边角都相等，结合平四找等腰 【典例8】．在中，E为上一点，将沿折叠至处，与交于点F．若，则∠FEG度数为_____． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，再根据三角形外角的性质、邻补角互补、折叠的性质可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠至处，与交于点F， ∴， ∴． 跟随训练8-1．如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的面积为（    ） A．30 B．60 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，由平行四边形的性质得到，由折叠得，证明，推出，进而得出，求得的长，根据平行四边形的面积公式求面积即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得， ， ， ∵F为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的面积为． 故选：D． 跟随训练8-2．直线分别交平行四边形边、于直、，将图形沿直线对折，点、分别落在点、处．若，，，当点落在边上任意点时，设点为直线上的动点，则的最小值是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形、轴对称最短路径问题等知识，连接交于，连接，，作交的延长线于．因为、关于直线对称，推出，推出，推出当点P与重合时，的值最小，最小值为的长； 【详解】解：如图所示，连接交于，连接，，作交的延长线于． 、关于直线对称， ， ， 当点与重合时，的值最小，最小值等于的长； 在中，， ， ， 在中，， 的最小值为， 故选：D． 【题型9 利用平行四边形性质解决存在性问题】 解题思路： 多在坐标系中考查，核心利用“对边平行且相等、对角线互相平分”，分类讨论已知点为边或对角线的情况，用中点坐标公式或平移法求未知点坐标，杜绝漏解。 解题口诀：存在性，分情况，对点连线找中点，平移坐标算坐标 【典例9】．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在网格点上，在网格内存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，根据题意得，，，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，， 当为对角线时，； 当为对角线时，； 当为对角线时，； ∴点的坐标为或或． 跟随训练9-1．如图，线段AB两点的坐标分别为、，在x轴的下方存在点C，使以点A，B，C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为______． 【答案】（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣）/（﹣，﹣）或（﹣6，﹣4） 【分析】先证明OB＝AB，再分△ABO≌△BAC和△ABO≌△ABC两种情况，画出图形，再进行求解即可． 【详解】解：∵线段AB两点的坐标分别为、， ∴OB＝，AB＝， ∴OB＝AB， 以点A，B，C为顶点的三角形与全等，存在两种情况： ①△ABO≌△BAC，如图1， ∴OA＝BC，AC＝BO， ∴四边形ACBO是平行四边形， ∵点A（﹣4,0），点（﹣2，﹣4），点O（0，0）） ∴点C的坐标是（﹣6，﹣4）； ②△ABO≌△ABC时，如图2，连接OC交AB于点P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥x轴于点E， ∵AC＝AO，BC＝BO， ∴AB是OC的垂直平分线， ∴∠APO＝90°， ∵， ∴ 由勾股定理得， AP＝， ∵， ∴PF＝， ∴OF＝， ∵PFCE，OP＝PC， ∴ OE＝2OF＝，CE＝2PF＝， ∴点C的坐标是（﹣，﹣）； 综上所述，点C的坐标是（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣）． 故答案为：（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣） 【点睛】.此题考查了平面直角坐标系中两点间距离公式、平行四边形的判定和性质、勾股定理、垂直平分线的判定和性质、全等三角形的性质等知识，分情况讨论是解决此题的关键． 跟随训练9-2．如图，在四边形中，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C出发，以的速度向B运动，两点同时出发，当点Q运动到点B时，点P也随之停止运动．若设运动的时间为秒，当_____时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形． 【答案】或4或2或3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，利用分类讨论的思想求解是解本题的关键． 如图，由题意可得：，，则，，再分六种情况讨论①当时， ②当，③当时，解得：，④当时，⑤当时，⑥当时，再逐一检验即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∵，， ∴，，    当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴时， 解得，不合题意，舍去； 当四边形是平行四边形时，则， ∴时， 解得：； 当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：， 综上所述．当t的值为或4或2或3时，在A、B、C、D、P、Q六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形． 故答案为：或4或2或3． 1．如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（   ）05 过关•检测 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ∵ ． 2．如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知，当时，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ∵为边上的一动点， ∴时有最小值，即有最小值， 此时在中，，， ， 即最小值为． 3．如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、面积转化，掌握利用平行四边形的对角线性质和全等三角形证明线段与面积关系是解题的关键． 逐一分析四个结论，结合平行四边形性质与全等三角形判定判断正误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，． 在中： ∴， ∴，．故①②正确． ∵，， ∴， 即，故④正确． 无法确定，故③不正确． 综上所述，正确结论的个数为． 故选：C． 4.如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质和垂直平分线的判定的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题先证得是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，求得，即，即可得到，可以判断①正确；依据，，可得②正确；假设③正确，那么，即，那么不能构成，可判断③错误； 根据点是的中点，点是的中点，进而得出是的中位线，则可得出，可判断④正确；然后即可求解． 【详解】解：在中， ，，平分，点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴平分， 故②正确，符合题意； 已知：，， 假设③正确，那么， 即，那么不能构成， ∴③错误，不符合题意； ∵点是的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， 故④正确，符合题意； 综上所述，正确的为①②④， 故选：D． 5．如图，已知直线，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】由可推出与中边上的高相等，又有两个三角形有公共底，根据三角形面积公式即可确定关系． 【详解】解：∵直线， ∴与中边上的高相等， ∵， ∴． 6．如图，已知的两条对角线相交于点，其周长为，的周长比的周长大，则____________，____________． 【答案】 【详解】解：的对角线、相交于点，其周长为， ，，，， ①； 的周长比的周长大， ， ②， ①②得：， ， ． 7．如图，在中，对角线与相交于点O，，E为中点，若，，则的长是_____ 【答案】10 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而求出的长，再根据中点的定义求出的长，最后在中利用勾股定理求出的长，即可得出的长 【详解】解：四边形是平行四边形 ， 为中点， 在中，由勾股定理得： 8．如图，在平行四边形中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好垂直于边，则的长是________． 【答案】 【分析】设，则，容易判断是线段的垂直平分线，因此．在直角中，使用勾股定理构造方程并求解即可． 【详解】解：设，则， 根据题意可得，是线段的垂直平分线， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴． 9．在中，以A为圆心，长为半径画弧交边于点E，再分别以B、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点G，若，，则长为________． 【答案】10 【分析】连接，设交于点O，由作图过程可知，，，可得，再证明，可得，进而可得四边形为菱形，则，可得． 【详解】解：连接，设交于点O， 由作图过程可知，，， ， 四边形为平行四边形， ∴， ，， ， ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形， ， ． 10．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A，B，C的坐标分别为，点P在四边形内部，且，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，根据点的坐标得出线段的长度，然后根据面积得出，求出相关三角形的面积，最后利用面积求出，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作轴于点， ∵， ∴轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点P的坐标为． 11．如图，在中，的角平分线交于点E，点F在线段上，，连接交于点P． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，进而可证，由角平分线的定义得，从而得出，可证，进一步可证结论成立； （2）作于点H，由等腰三角形的性质求出．证明是等边三角形，得出，由30度角的性质得出，利用勾股定理求出，然后根据三线合一即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵的角平分线交于点E， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，作于点H， ∵，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，平分 (1)若，求的度数； (2)求证：. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可． （2）证明可得结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， （2）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ． 13．如图，在方格纸内将经过一次平移后得到．图中标出了点B的对应点．利用网格点和直尺，完成下列各题： (1)补全； (2)画出边上的高线； (3)连接，，则这两条线段之间的关系是_____； (4)点Q为格点（异于点），且，则图中满足要求的Q点共有______个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)且； (4)6 【分析】（1）根据平移的性质作出图形即可； （2）利用网格的特点作出边上的高线即可； （3）根据平移的性质即可解答； （4）利用三角形的面积公式结合平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：高线如图所示； （3）解：且； （4）解：如图，满足要求的Q点共有6个， ． 14．如图，在中，，于点E，点P是上的动点，连接． (1)若，，，求的长； (2)过点P作交于点F，过点B作于点H，交于点N，若，，求证：． 【答案】(1)的长为1 (2)证明见解析 【分析】（1）设，则，在中，，在中，，建立方程即可求解； （2）连接，证明，可得，，有，再证明，可得，则，则由即可得结论． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为1． （2）证明：连接， ∵， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在中，E为上一点，F为上一点，且与交于点G，求证：． 【答案】见详解 【分析】过点C作于点N，于点H，连接，根据等积法可得，进而即可得到结论． 【详解】解：过点C作于点N，于点H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $