20.2.1 第一课时：勾股定理的逆定理课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章 勾股定理 20.2.1 第一课时：勾股定理的逆定理 学习目标 1. 掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、互逆定理的概念、关系及勾股数. 2. 能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. 重点：勾股定理逆定理 难点：判断一个三角形是直角三角形 复习导入 B C A b c a 问题 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长： ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； ③ a＝4，b＝7.5. c=5 c=6.5 c=8.5 思考 可不可以通过边来确定直角三角形呢？ 探究新知 知识点1 勾股定理的逆定理 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 探究新知 知识点1 勾股定理的逆定理 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a, b, c: ①5,12,13; ②7,24,25; ③8,15,17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5,12,13满足52+122=132, ② 7,24,25满足72+242=252, ③ 8,15,17满足82+152=172. a2+b2=c2 问题3 据此你有什么猜想呢? 猜想 如果三边满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 探究新知 知识点1 勾股定理的逆定理 △ABC≌ △ A′B′C′ 　　 ？ ∠C是直角　　　 △ABC是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 　求证：△ABC是直角三角形． 构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′ 探究新知 知识点1 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 注： (1)满足两条较小边的平方和等于最长边的平方; (2)最长边所对的角为直角; (3)步骤：一找二算三判。 对比归纳 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 结论 区别 联系 在Rt中，∠C=90〫. 由“形”到“数”. 在△中， 由“数”到“形”. 典例解析 题型1 勾股定理的逆定理 例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是 直角三角形： (1) a = 15，b = 8，c = 17； (2) a = 13，b = 14，c = 15. 解：(1) 因为 82 + 152 = 64 + 225 = 289，172 = 289， 所以 152 + 82 = 172， (2) 因为 142 + 132 = 196 + 169 = 365，152 = 225， 所以 132 + 142 ≠ 152. 根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形. 针对训练 1.已知a，b，c是△ABC的三边长，根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形． （1）a=1.5，b=2，c=2.5；（2）a=11，b=26，c=20； （3）a∶b∶c=25∶7∶24. 解(1)∵a2＋b2=1.52＋22=6.25，c2=6.25， ∴a2＋b2=c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角． (2)∵a2＋c2=112＋202=521， b2=262=676， ∴a2＋c2≠b2， ∴△ABC不是直角三角形． （3）设a=25k（k＞0），则b=7k，c=24k，显然a最大． ∵b2＋c2=（7k）2＋（24k）2=625k2，a2=（25k）2=625k2， ∴b2＋c2=a2， ∴△ABC是直角三角形，且∠A是直角． 针对训练 2.已知a，b，c是△ABC的三边长，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2,判断△ABC是不是直角三角形． 解:∵a2＋b2=（m2－n2）2＋（2mn）2=m4＋2m2n2＋n4， c2=（m2＋n2）2=m4＋2m2n2＋n4， ∴a2＋b2=c2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角． 针对训练 3.若△ABC的三边 a,b,c 满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断△ABC的形状. 解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5， 即 a2+b2=c2. ∴△ABC是直角三角形. 针对训练 4.若△ABC的三边a,b,c，且a+b=4,ab=1,c= ，试说明△ABC是直角三角形. 解：∵a+b=4,ab=1, ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2=14. 又∵c2=14, ∴a2+b2=c2, ∴△ABC是直角三角形. 典例解析 题型1 勾股定理的逆定理 例2如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点， 且CE＝ CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由． 解：AF⊥EF.理由如下： 设正方形的边长为4a, 则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2. 在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2. 在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. 在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2， ∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边． ∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF. 针对训练 5.如图，已知正方形OABC的边长为8，边OA在x轴上，边OC在y轴上，点D是x轴上一点，坐标为（2，0），点E为OC的中点，连接BD，BE，ED． （1）求点B的坐标；（2）判断△BED的形状，并证明你的结论． 解：（1）由题意可知，OA=OC=8， ∴点B的坐标为（8，8）． （2）△BED是直角三角形，证明如下： ∵点D是x轴上一点，坐标为（2，0），点E为OC的中点， ∴OD=2，OE=CE=4，DA=6， ∴ED2=OD2＋OE2=20，EB2=BC2＋CE2=80， DB2=BA2＋AD2=100， ∴ED2＋EB2=DB2，∴△BED是直角三角形． 探究新知 知识点2 勾股数 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等. 勾股数拓展性质： 三边满足勾股定理，都扩大相同倍数k(k≠0)，仍然满足. 典例解析 题型2 勾股数 例3下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 针对训练 6.下列四组数据：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③32，42，52；④，，．其中是勾股数的有（　　） A.1组　　 B.2组　　 C.3组　　 D.4组 A 归纳总结 勾股定理 的逆定理 内容 作用 注意 如果三角形的三边长 a，b， c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形 最长边不一定是 c，∠C也不一定是直角 勾股数一定是正整数 作业布置 课堂作业:P38习题20.2的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) $