17.2 勾股定理的逆定理 第一课时 课件-2024-2025学年人教版数学八年级下册

第十七章 勾股定理 17.2　勾股定理的逆定理 第一课时 1 问题1　你能说出勾股定理的题设和结论吗？ 题设：直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c. 结论：a2＋b2＝c2. 思考　 反过来，若一个三角形的三边具有 a2＋b2＝c2 的数量关系，能否确定这个三角形是直角三角形呢？ B C A b c a 一、新知导入 同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 把一根长绳打上等距离的 13 个结, 分成等长的 12 段,然后以 3 段，4 段，5 段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （13） （12） （11） （10） （9） 一、新知导入 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a， b，c． （1）5，12，13；（2）7，24，25. 想一想． 这三组数都满足 a2＋b2＝c2 吗？ 画一画． 画出图形，它们都是直角三角形吗？ 量一量． 用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数． 二、探究 4 　如何证明这样的结论呢？ 问题2　如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 二、探究 △ABC≌△A′B′C′ 　　 ？ ∠C是直角　　　 △ABC是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2＋b2＝c2． 求证：△ABC 是直角三角形． 构造两直角边分别为 a，b 的 Rt△A′B′C′. 二、探究 证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°， B′C′＝a，A′C′＝b， 则 A′B′ 2＝B′C′ 2＋A′C′ 2＝a2＋b2. ∵　a2＋b2＝c2，∴　A′B′ 2 ＝c2，A′B′＝c． 在 △ABC 和 △A′B′C′ 中， ∴　△ABC≌△A′B′C′(SSS)． ∴　∠C＝∠C′＝90°， 即△ABC是直角三角形. 二、探究 A C a B b c A′ B′ C′ a b c 7 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 特别说明： 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 二、探究 例1　下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ （1）a＝15，b＝8，c＝17；（2）a＝13，b＝14，c＝15. 解：（1）∵　152＋82＝289，172＝289， ∴　152＋82＝172. 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. （2）∵　132＋142＝365，152＝225， ∴　132＋142≠152，不符合勾股定理的逆定理． ∴　这个三角形不是直角三角形. 二、探究 变式练习　若 △ABC 的三边 a，b，c 满足 a：b： c＝ 3：4：5，试判断 △ABC 的形状. 解：设 a＝3k，b＝4k，c＝5k (k＞0), ∵　(3k)2＋(4k)2＝25k2 ，(5k)2＝25k2， ∴　(3k)2＋(4k)2＝(5k)2 ， ∴　△ABC 是直角三角形，且 ∠C 是直角. 二、探究 如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2＋b2＝c2, 那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2＋b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数. 二、探究 常见勾股数. 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25； 8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等. 归纳： 一组勾股数，都扩大相同倍数 k(k为正整数)，得到一组新数，这组新数同样是勾股数. 二、探究 前面我们学习了两个命题，分别为： 命题1　如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2＋b2＝c2. 命题2　如果三角形的三边长 a ，b，c 满足a2＋b2＝c2 ，那么这个三角形是直角三角形. 二、探究 命题1： 直角三角形 a2＋b2＝c2 命题2： 直角三角形 a2＋b2＝c2 题设 结论 它们是题设和结论正好相反的两个命题. 问题1　两个命题的条件和结论分别是什么？ 问题2 两个命题的条件和结论有何联系？ 二、探究 题设、结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理．勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理． 二、探究 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是 否是直角形三角形. 如果三角形的三边长a ，b ，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 注意 最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角. 勾股数一定是正整数 三、归纳总结 1．在 △ABC 中，∠A, ∠B, ∠C 的对边分别 a，b，c . （1）若∠C－∠B＝∠A，则 △ABC 是直角三角形； （2）若 c2＝b2－a2，则 △ABC 是直角三角形，且∠C＝ 90°； （3）若(c＋a)(c－a)＝b2，则 △ABC 是直角三角形； （4）若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则 △ABC 是直角三角形. 以上命题中的假命题个数是（ ）. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 A 四、课堂练习 17 2．已知 a，b，c 是 △ABC 三边的长，且满足关系式 　 ，则△ABC 的形状是________________． 3．若 △ABC 的三边 a，b，c 满足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，则 △ABC 的形状是_______________________． 4．一个三角形的三边长分别为 15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是____cm. 5．“等腰三角形两底角相等”的逆定理为_________________________________________________． 等腰直角三角形 12 有两个角相等的三角形是等腰三角形 四、课堂练习 等腰或直角三角形 6．在 △ABC 中，a＝15，b＝17，c＝8，求此三角形的面积. 解：∵　152＋82＝172，即 a2＋c2＝b2， ∴　△ ABC为直角三角形，且∠B＝90° ∴　△ABC的面积为 8 15 17 A B C 四、课堂练习 五、作业 教科书习题 17.2 第 1，2 题 . $$