20.2.1 勾股定理的逆定理 课件2025-2026学年人教版 数学八年级下册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过复习两角互余判定直角三角形引入，结合古埃及打结实例和动手画测2.5,6,6.5等边长三角形，引导学生从边的数量关系提出猜想，搭建从角的关系到边的关系的学习支架。 其亮点在于以情境探究和动手操作培养数学眼光，通过构造全等三角形证明逆定理发展推理思维，结合比例、代数配方等变式题和中考题强化数学语言应用。采用“猜想-证明-应用-拓展”流程，小结明确逆定理内容、作用及注意事项，助力学生构建知识体系，也为教师提供分层教学与考点对接的实用素材。

人教版（新教材）数学八年级下册 第二十章 勾股定理 20.2.1 勾股定理的逆定理 1 复习引入 2 新知讲解 3 典例讲解 5 课堂检测 4 新知讲解 6 变式训练 7 中考考法 8 小结梳理 学习目录 学习目标 1. 理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形. (重点) 2. 探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用.(难点) 3.会认识并判断勾股数，由特殊到一般寻找勾股数规律. 学习目标 如果∠A +∠B = 90°，那么△ABC 就是一个直角三角形，∠C 为直角. 即有如下的直角三角形的判定方法： 两个角互余的三角形是直角三角形. 思考：如何判定一个三角形是直角三角形？ 除了根据角的关系判定，还能根据其他的关系判定吗？ 情景导入 由勾股定理可以知道，直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，反过来，如果三角形的三边长满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方，那么这个三角形是不是直角三角形呢？ A C B a b c 情景导入 如图给出了确定直角的一张方法：把一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距，4 个结间距，5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 这种做法真能得到一个直角三角形吗？ 探究新知 3 4 5 32 + 42 = 52 这个三角形三边有什么关系吗？ 一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？ 探究新知 观察：(1) 下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长 (单位：cm) 画三角形： ① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5. (2) 量一量：用量角器分别测量上述各三角形的度数. 2.5 6 6.5 4 7.5 8.5 探究新知 (3) 想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想. 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 猜想 是直角三角形. 探究新知 △ABC≌△ A′B′C′ 　　 ∠C 是直角　　　 △ABC 是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′ 【证一证】 已知：如图，△ABC的三边长 a，b，c，满足a2+b2=c2． 求证：△ABC 是直角三角形． 探究点1： 勾股定理的逆定理 探究新知 证明：作 Rt△A′B′C′，使 B′C′ = a，A′C′ = b，∠C′ = 90°. 所以△ABC≌△A′B′C′(SSS). 因此∠C = ∠C′ = 90°， 即△ABC 是直角三角形. A C a B b c 在△ABC 和△A′B′C′ 中 根据勾股定理，A′B′ 2 = B′C′ 2 + A′C′ 2 = a2 + b2. 因为 a2 + b2 = c2，所以 A′B′ = c . A C a B b c BC = a = B′C′，AC = b = A′C′， AB = c = A′B′. 探究新知 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理 这是判定直角三角形的一个依据. 形 数 探究新知 例1 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是 直角三角形： (1) a = 15，b = 8，c = 17； (2) a = 13，b = 14，c = 15. 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 探究新知 解：(1) 因为 82 + 152 = 64 + 225 = 289，172 = 289， 所以 152 + 82 = 172， (2) 因为 142 + 132 = 196 + 169 = 365，152 = 225， 所以 132 + 142 ≠ 152. 根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形. (1) a = 15，b = 8，c = 17； (2) a = 13，b = 14，c = 15. 探究新知 思维轴 1 找 2 算 3 判 最长边 算出两短边的平方和与最长边的平方 判断等量关系 最长边为斜边，其所对应的角为直角 利用边的关系判断直角三角形 探究新知 【变式题1】若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a∶b∶c = 3∶4∶5，试判断 △ABC 的形状. 解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k (k＞0)， ∵ (3k)2 + (4k)2 = 25k2，(5k)2 = 25k2， ∴ (3k)2 + (4k)2 = (5k)2， ∴△ABC 是直角三角形，且∠C 是直角. 归纳：已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形. 探究新知 【变式题2】(1) 若△ABC 的三边 a，b，c，且 a + b = 4，ab = 1，c = ，试说明△ABC 是直角三角形. 解：∵ a + b = 4，ab = 1， ∴ a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 16 - 2 = 14. 又∵ c2 = 14， ∴ a2 + b2 = c2， ∴△ABC 是直角三角形. 探究新知 (2) 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c. 试判断△ABC 的形状. 解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c， ∴ a2－6a + 9 + b2－8b + 16 + c2－10c + 25 = 0. 即 (a－3)² + (b－4)² + (c－5)² = 0. ∴ a = 3，b = 4，c = 5.∴ a2 + b2 = c2. ∴△ABC 是直角三角形. 探究新知 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数. 探究新知 常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25； 8，15，17；9，40，41；10，24，26 等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数 k ( k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如：3，4，5 6，8，10 扩大 2 倍 探究新知 【练一练】 1.下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可. 探究新知 返回 1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是(　　) A．a∶b∶c＝5∶12∶13 B．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 C．a＝9k，b＝40k，c＝41k(k>0) D．a＝32，b＝42，c＝52 D 中考考法 22 中考考法 23 中考考法 24 返回 【点易错】已知三角形三边的长，常常借助勾股定理的逆定理来探究三角形是不是直角三角形．在利用公式a2＋ b2＝c2时，一定要注意c是最大边，即∠C＝90°. 【答案】D 中考考法 25 返回 3．[2025西安雁塔区月考]如图，在由小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，点A，B，C，D中能与点M，N构成一个直角三角形的是(　　) A．点A B．点B C．点C D．点D D 中考考法 26 返回 4．[2025扬州]清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为____________． 11，60，61 中考考法 27 返回 5．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，BD＝2，则∠ACB＝________． 90° 中考考法 28 6．如图，把一块△ABC土地划出一个△ACD后，测得CD＝3 m，AD＝4 m，BC＝12 m，AB＝13 m，其中∠ACB＝90°． 中考考法 29 (1)判断△ACD的形状，并说明理由； 【解】△ACD是直角三角形． 理由：∵∠ACB＝90°，BC＝12 m，AB＝13 m， ∴由勾股定理得AC＝5 m. 又∵CD＝3 m，AD＝4 m，∴AD2＋CD2＝25＝AC2. ∴△ACD是直角三角形，且∠ADC＝90°. 中考考法 30 (2)求图中阴影部分的面积． 中考考法 31 返回 【点方法】将求四边形面积的问题可转化为求两个直角三角形面积的和或差的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度、三边长度等． 中考考法 32 返回 7．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边的长分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是(　　) C 中考考法 33 8．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为(　　) A．30 B．24 C．20 D．48 中考考法 34 返回 【答案】B 中考考法 35 9．如图是3×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，顶点称为格点．线段AB，CD的端点均在格点上，且交于点O，则∠BOD的度数为(　　) A．30° B．45° C．50° D．60° 中考考法 36 返回 【点拨】如图，取格点E，连接AE，BE，易知AE∥CD，∴∠BAE＝∠BOD.由勾股定理得AB2＝12＋22＝5，EB2＝ 12＋22＝5，AE2＝12＋32＝10， ∴AB2＋BE2＝AE2，AB＝BE. ∴△ABE是等腰直角三角形． ∴∠BAE＝45°.∴∠BOD＝45°. 【答案】B 中考考法 37 m 中考考法 38 勾股定理 的逆定理 内容 作用 注意 如果三角形的三边长 a，b， c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形 最长边不一定是 c，∠C也不一定是直角 勾股数一定是正整数 课堂小结 谢谢观看！ 2．若△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)2＋＋|c－3|＝0，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【点拨】由题意得解得∴a2＋b2＝c2，且a＝b.∴△ABC是等腰直角三角形，故选D. 【解】图中阴影部分的面积＝AC×BC－AD×CD＝ ×5×12－×4×3＝24(m2)． 【点拨】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE.∵AD为BC边上的中线，∴DC＝BD.又∵∠ADB＝∠EDC，∴△ADB≌△EDC.∴CE＝AB＝6，S△ADB＝S△EDC.∴S△ABC＝S△ACE.又∵AE＝2AD＝8，AC＝10，∴AC2＝AE2＋CE2.∴△ACE为直角三角形，且∠E＝90°.∴S△ABC＝S△ACE＝CE·AE＝×6×8＝24. 10．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，a＝m2－，c＝m2＋，m是大于1的奇数，则b＝________(用含m的式子表示)． $