专题09 相似三角形的综合应用（高频考点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题09 相似三角形的综合应用 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（9大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 比例线段与相似图形基础 题型二 平行线分线段成比例 题型三 位似图形与坐标变换 题型四 相似三角形判定与性质综合 题型五 相似三角形实际应用 题型六 相似与几何图形（四边形、圆）综合 题型七 相似与一次（反比例）函数综合 题型八 相似三角形与动点问题 题型九 相似在二次函数压轴中的应用 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 相似三角形是中考数学几何板块核心必考模块，分值约 8～16 分，覆盖选择题、填空题、解答题全题型，中档题为主、压轴题为拉分点，侧重考查模型识别、逻辑推理与数形结合能力，是几何综合题的核心解题工具。 基础知识必备：掌握比例的基本性质、合比 / 等比性质及比例线段概念；熟记相似三角形的四大判定定理，能快速识别 A 字型、8 字型、母子型、一线三等角等经典相似模型；熟练运用相似三角形的对应边、角性质，以及周长、面积、对应线段的比例关系；理解位似图形的定义、性质及坐标系中的位似变换规律；能将实际问题转化为相似几何模型，掌握相似与四边形、圆、函数的综合解题思路。 2026中考预测： 题型稳定：比例计算、位似坐标变换、简单相似模型识别为选择填空必考内容，相似三角形的 判定与性质证明计算为解答题必考； 难度分层：基础题侧重单一知识点与简单模型，中档题考查相似与几何图形的综合，压轴题聚 焦动点背景下的相似存在性与函数结合问题； 命题趋势：强化经典模型的灵活运用，注重复杂图形中相似三角形的分离与构造，动态几何、分类讨论类相似问题考查频率提升，部分题目结合生活实际背景考查建模能力。 题型一 比例线段与相似图形基础 【典例01】（2026·福建泉州·模拟预测）已知实数，满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题可根据已知比例关系，设参数表示和，再代入所求分式计算结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 设，，其中， 将，代入，得． 【变式01】若，则下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例性质，熟练掌握比例式和等积式的互化是解题的关键．根据比例式和等积式的互化，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； B、由，得，与已知相符，故此选项比例式成立，符合题意； C、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意； D、由，得，与已知不符，故此选项比例式不成立，不符合题意． 故选：B． 【变式02】已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质及求代数式的值，根据条件利用“设法”是解题的关键． 设，则、、，代入已知等式中，即可求得结果． 【详解】解：设， 则，，， ∴， 故选：A． 【变式03】（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题主要查了比例的性质．根据比例的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：4 【变式04（2026·山西吕梁·一模）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，演奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，若，则琴弦的长为_______． 【答案】 【分析】直接利用题目给出的比例关系，将已知的琴弦总长度代入计算，即可求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式05】（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为___________ （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型二 平行线分线段成比例 【典例01】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式01】（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式02】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 【变式03】（25-26九年级下·辽宁鞍山·月考）如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求出，再由，即可求出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【变式04】（2025·甘肃武威·二模）如图，已知中，，，，．求线段的长； 【答案】 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理—由平行截线求相关线段的长或比值，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 由平行线分线段成比例定理可得，代入题中条件即可得解． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 【变式05】如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长． 【分析】根据平行四边形的判定得出四边形DFCE是平行四边形，证△ADF∽△ABC，得出，代入求出DE、DF即可求出答案． 【解答】解：∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DFCE是平行四边形， ∴DE＝FC，DF＝EC ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ABC， ∴， ∵AC＝8，BC＝12， ∴AF＝2，DF＝3 ∴FC＝AC﹣AF＝8﹣2＝6， ∴DE＝FC＝6，DF＝EC＝3 ∴四边形DECF的周长是DF+CF+CE+DE＝3+6+3+6＝18． 答：四边形DECF的周长是18． 【点评】本题考查的知识点是平行四边形的性质和判定和相似三角形的性质和判定，关键是求出DE＝CF，DF＝CE，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力． 题型三 位似图形与坐标变换 【典例01】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形与矩形是以点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为．若，则的长是（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】D 【分析】先由点的坐标确定矩形的边长；再结合得到新边长；接着利用位似图形对应线段成比例的性质，列出比例式，计算出；最后用减去，得到结论． 【详解】解：∵点的坐标为，矩形与矩形是以点为位似中心的位似图形， ∴，，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式01】（2025·山西阳泉·模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标是．以原点为位似中心，将缩小，相似比为，则点的对应点的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解∶以原点为位似中心，相似比为，把缩小，点A的坐标为， 点A的对应点的坐标为或， 即或． 故选：B． 【变式02】如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，与位似，原点O是位似中心，且， 即与的相似比为， 又∵， ∴点的坐标为，即点的坐标为． 故选：D． 【变式03】已知在直角坐标系中的位置如图所示，以O为位似中心，把放大2倍得到，那么的坐标为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查位似变换和坐标与图形性质．根据点在平面直角坐标系中的位置得到点坐标，结合以原点为位似中心的位似变换放大2倍，那么位似图形对应点的坐标的比等于2或解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∵以O为位似中心，把放大2倍得到， ∴则的坐标为或，即或， 故选：D． 【变式04】如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（   ） A．16 B．24 C．54 D．81 【答案】C 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比． 根据位似图形的性质可得四边形和四边形的周长比为，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形和四边形的周长比为， ∵四边形的周长为36， ∴四边形的周长为． 故选：C 【变式05】如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 相似三角形判定与性质综合 【典例01】（2024·甘肃陇南·一模）如图，在中，点、分别在边、上，，，且． (1)求线段的长； (2)当时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明，得到，然后代入求值即可； （2）先证明，然后判定，得到，求得，作，垂足为点，在中，通过求得，最后通过求得答案． 【详解】（1）解： 在和中，， ， ， ， ∴， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴． 如图1，作，垂足为点， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，解直角三角形的相关计算，平行线分线段成比例，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式01】（2026·安徽·一模）如图，点，是的边上的两点，连接，交于点，的面积为，，则的面积为（   ） A．45 B．48 C．50 D．52 【答案】B 【分析】连接、，利用平行四边形对边平行的性质，证明，结合相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形面积与平行四边形面积的关系，逐步推导平行四边形的面积． 【详解】解：如图，连接、、， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴，且相似比为 ∴ ∵， ∴ ∵， ∴与同底等高， ∵， ∴， ∴ ∵，且与同高， ∴ ∵平行四边形的面积， ∴ 【变式02】（2026·山西吕梁·一模）如图，是直角三角形，，，连接，，若，过点作于点，则的长为______． 【答案】 【分析】先在直角三角形中利用勾股定理求出边长，再通过角的等量代换与比例式证明三角形相似，最后在两个直角三角形中利用勾股定理建立方程求解未知线段，进而得到目标线段的长度． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∵，，， ∴，解得，． 设，则． ∵， ∴， 在中，由勾股定理得； 在中，由勾股定理得． ∴，展开化简得，解得． ∴． 【变式03】（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； （1）由得，由三角形外角得即可解答； （2）由得，题意证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式04】 （2026·上海普陀·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由直角三角形的性质得，即得，又由，得，进而即可求证； （）由直角三角形的性质得，即得，再根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：点是斜边上的中点， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：点是斜边上的中点，， ， ， ∵， ， 即， 解得或不合题意，舍去， 的长为． 【变式05】（2026·河南周口·一模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)求证：∽； (2)若，求的长； (3)过点作的平行线交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】（1）根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质可知是直角三角形，根据旋转的性质可知，使用勾股定理计算即可； （3）根据旋转可构造角度相等，证明，可知． 【详解】（1）证明： 将绕点旋转得到，点的对应点在边上， ∴，，， ，， （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， ， 在中，， ， （3）解：由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 题型五 相似三角形实际应用 【典例01】（2024·广东·模拟预测）如图，在水平桌面上的两个均垂直于桌面，在一条直线上．若．①号的测试距离，则②号的测试距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据题意可证明，则，据此代值求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在水平桌面上的两个均垂直于桌面， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，即②号的测试距离为， 故选：B． 【变式01】（2025·江西·二模）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了相似三角形的应用，连接，设与相交于点，则，根据相似三角形的性质和得出，根据比例的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， 根据题意知 ， ∴， ， 又∵， ∴， ， ， 故选：B． 【变式02】（2026·上海松江·一模）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆的水平距离米，那么旗杆的高度是______________米． 【答案】10.7 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式，求出的长，再根据进行求解即可． 【详解】解：作交于点， 由题意可知：四边形均为矩形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即旗杆的高度是10.7米； 故答案为：10.7． 【变式03】（2025·陕西西安·一模）如图，初三学生小李想测量他家楼下的一棵松树的高度，由于松树周边有花坛无法直接到达松树下面测量，他先通过查询资料得到这栋住宅楼的高度为，在楼顶端C处测得松树顶端A的俯角为，在某一时刻太阳光照射下，松树顶端A的影子落在地面上的点E处，楼顶端C的影子落在地面上的点F处，测得，，已知松树、住宅楼均垂直于地面，且点B，E，D，F在同一条直线上，求松树的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】松树的高度约为 【分析】题目主要考查矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解三角形的应用，过点A作于点H，则四边形为矩形，设，则，再由相似三角形的判定和性质得出，利用正切函数求解即可，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 【详解】解：如图，过点A作于点H，则四边形为矩形， ∴， 设，则， 由题意知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在C处测得A的俯角为， ∴， 解得：． 答：松树的高度约为． 【变式04】（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 【变式05】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 题型六 相似与几何图形（四边形、圆）综合 【典例01】（2026·河南郑州·一模）如图，中，E是上一点，且，连接、交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可求出，证明，根据相似三角形的性质求出，然后根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式01】（2026·广东深圳·一模）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点，容易证明，则，．容易证明四边形是正方形，则，．通过证明可得，利用平行可证明，则，计算得，最后相加即可． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，交的延长线于点，交于点， 由旋转的性质可知，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式02】（2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为，的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是菱形，得，，又，所以，则，，得出，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由四边形是菱形，得，又，所以，即， 解得，在中，，再证明，所以，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍）， ∴的长为，的长为． 【变式03】（2021·江苏无锡·中考真题）如图，四边形内接于，是的直径，与交于点E，切于点B． （1）求证：； （2）若，，求证：． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论； （2）先推出，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵是的直径， ∴∠ABC=90°， ∵切于点B， ∴∠OBP=90°， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵OB=OC， ∴， ∴∠AOB=20°+20°=40°， ∵OB=OA， ∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°， ∴∠ADB=∠AOB=20°， ∵是的直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠CDE=90°-20°=70°， ∴∠CDE=∠OAB， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键． 【变式04】（2026·浙江杭州·一模）如图，内接于，，连结并延长交于点E，交于点D．连结，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）得出，即可； （2）连接，根据圆周角定理求出的度数，再根据等腰三角形的性质求解即可； （3）延长，交于点，连接，先证出，则，再设，则，，，证出，求出的长，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴． （3）解：如图，延长，交于点，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值已舍）， 设，则， ∴， ∴，， 由圆周角定理得：， ∴，即， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得（负值已舍）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】根据两个三角形的面积之比联想到相似三角形，再结合圆周角定理解答． 【变式05】（2026·安徽·二模）如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，为延长线上一点，连接交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明，得出，根据角的和差关系即可得出，得出； （2）根据等腰三角形的性质得出，为的中点，利用直角三角形斜边上的中线的性质得出，进而得出，利用证明，得出，即可得出，利用三角函数的定义即可得答案； （3）先证明，得出，同理可得，，即可证明，根据等腰三角形的性质，结合平行线的性质得出，设，利用勾股定理可求出，证明，根据相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即． （2）解：∵，， ∴，为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， 在中，，即， 解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合，涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义及勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． 题型七 相似与一次（反比例）函数综合 【典例01】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E， ∵反比例函数与直线交于点， ∴联立得，， 解得或， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴将代入， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式01】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接，先证明四边形为平行四边形，则，证明，则，再证明，则， ，则，由轴，得到，则，则，则可求，即可求解的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，连接， 点、在双曲线上， ∴， 轴，轴，轴， ∴， ∵，且共底， ∴在上的高相等， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键． 【变式03】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点M的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案当时，则，可求出；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴； 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或． 【变式04】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点重合），过点作轴，交射线于，若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)点的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题，平行线分线段成比例定理，待定系数法求函数解析式等知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于点，交于点，利用平行线分线段成比例定理求得，求得点的纵坐标为4，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∵点在直线上， ∴，解得， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：作轴于点，交于点， ∵点， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点的纵坐标为4， ∴，解得， ∴点的坐标为． 【变式05】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 【答案】(1) (2)、、 、； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先求得，然后代入求得a的值即可解答； （2）先求得，，设点P的坐标为，则，然后分和两种情况，分别利用相似三角形的性质以及坐标与图形解答即可； （3）先求得、，再分两种情况分别用平行线等分线段定理求解即可． 【详解】（1）解：直线交x轴于点A ，解得：，即， 将代入中可得： ，解得：， 直线的表达式：． （2）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B ∴令，则，即， 直线过点A交y轴于点C 令，则，即 ∴， 设点P的坐标为，则 ①当， ，即 ，即， ∴，； ②当； ，即， ，即， ∴，． 综上，P的坐标为、、、． （3）解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E， ，解得： ， ∴ 同理 ，解得：，即； ①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G， ， ∴，即，解得：； ②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q ， ，解得：． 综上所述：或． 题型八 相似三角形与动点问题 【典例01】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，，点P从点B出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？ 【答案】2.4秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先根据勾股定理求出，进而表示出.再分两种情况：若，则，即可得出方程求出t值；若，则，即可得出方程求出解． 【详解】解：∵， ∴设， 根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴. 则. 设过t秒，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∵， ①若，则， 即， 解得； ②若，则， 即， 解得. 所以过2.4秒或秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【变式01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，在矩形中，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动． 连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当为何值时，与相似； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．在运动过程中，是否存在某一时刻，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，或 【分析】（1）根据，线段的长度小于线段的长度，可推出若与相似，只有这一种情况；根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）由题意得：，；分类讨论若，若，若，三种情况，结合等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； ∵，线段的长度小于线段的长度， ∴若与相似，则； ∴，即， 解得：； 即：，与相似； （2）解：由题意得：， （3）解：由题意得：，； 若，则，解得：； 若，作，如图所示：    则； ∵， ∴，解得：； 若，作，如图所示：    则； ∵， ∴，解得：； 综上所述，当的值为，或时，可使得为等腰三角形； 【点睛】本题考查了几何中的动点问题，涉及了相似三角形、等腰三角形、三角函数等知识点，根据动点作出相应的几何图，找出几何关系是解题关键. 【变式02】（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S． (1)求的长； (2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）根据勾股定理可求出BD的长，进而求得AD的长； （2）利用相似可求出QP的长，然后利用三角形面积公式可求出关系式,注意分在线段和在线段上分别讨论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴=5， ∴AC=AD+DC=5+3=8； （2）解：由（1）得AD=5， ∵AP=x， ∴PD=5-x， ∵过点P作的垂线，与相交于点Q， ∴， ∵， ∴即， 在和中 ， ∴， ∴ ∴ ∵与重叠部分的面积为S ∴的面积为S 即， ∵点P不与点A，D，C重合， ∴， 即． 当在上运动时，如图，设交于点， 则 即 综上所述， 【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形，三角形的面积公式，解题的关键是能找到各个边长的关系． 【变式03】（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当为或时相似 (2)四边形与的面积不能相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质． （1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，分两种情况讨论，根据相似三角形的判定定理列出方程求解即可； （2）作于点，证明，利用相似三角形的性质表示出，根据面积的数量关系列出一元二次方程，根据根的判别式，判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， ∵ ， ∴当时，△CQP∽△CBA， 则，即， 解得； 当时，△CQP∽△CAB， 则 ，即， 解得 ； ∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）解：四边形与的面积不能相等．理由如下：    作于点，如图， ∵， ∴， ∴ ，即 ∴ ， 当四边形与的面积相等时， ， 即 ， ∴ ， 整理得, ∵， ∴此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 【变式04】（2025·福建泉州·二模）如图，在矩形中，，动点P在边上，以每秒１个单位的速度从点B向点A运动；同时动点Q在边上从点B向C运动．把沿着直线翻折，点B的对应点为点G，直线与边相交于点E． (1)如图1，若点P为的中点，连接，求证：． (2)如图2，若点Q的运动速度是点P运动速度的3倍，运动时间为t秒，当t为何值时，点G恰好在直线上？ (3)如图3，连结，交于点F，若且，求点Q的运动速度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点Q的运动速度是每秒3个单位长度 【分析】本题考查矩形中的动点问题，涉及三角形全等的证明、利用勾股定理和方程求解动点位置以及相似三角形判定和应用．解题的关键是根据动点的运动速度和时间表示出相关线段长度，再结合图形的性质列方程求解． （1）利用矩形性质和折叠性质找出全等三角形的对应边和对应角，依据全等判定定理证明； （2）过点作于点，证明， 得到，设，建立方程求解； （3）连接，通过平行线性质、折叠性质得到角的关系，证明，从而得到，设，建立方程求解， 再设，在 中，，建立方程求解，从而求出点Q的运动速度． 【详解】（1）∵点为的中点， ， 在矩形中，， ， ∵沿着直线翻折，点的对应点为点， ， ， 在和中， ， ∴； （2）过点作于点，如图， 则， ， ， ， ， ∵点的运动速度是运动速度的3倍， ， ， ， ， ， ，解得：， 当，点G恰好在直线上； （3）连接， ， ， 由翻折可知：， ， ， ， ，又， 四边形为菱形， ， 在中， ， ， ， ，又， ， ， ， 解得， 设，则， 在 中，， ， 解得， ， 点的运动速度是每秒 3 个单位长度． 【变式05】（2022·山东青岛·中考真题）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用得，即，进而求解； （2）分别过点C，P作，垂足分别为M，N，证得，，求得，再证得，得出，根据即可求出表达式； （3）当时，易证，得出，则，进而求出t值． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， ∵绕点A按逆时针方向旋转得到 ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ 答：当时，t的值为． （2）解：分别过点C，P作，垂足分别为M，N ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：假设存在某一时刻t，使 ∵ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴存在时刻，使． 【点睛】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图形是解决问题的关键，是中考中的常考题． 题型九 相似在二次函数压轴中的应用 【典例01】（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点D坐标为 【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将解析式化为顶点式，得出，确定，然后结合图形求面积即可； （3）设点D坐标为，则，证明得到，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将、代入中， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）， ∴， 当时，， 解得：， ∴， ∴， 连接， ∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：； （3）解：根据题意，设点D坐标为，则， ∵、， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，此时点D坐标为． 【变式01】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的面积最大 (3)或 【分析】（1）将，代入抛物线，即可解得、的值，即求得抛物线的函数表达式； （2）先求出点的坐标为，设点的坐标是，过点作交于点，表示出的面积，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）连接，求得，再求出的解析式，设点，求得分两种情况讨论，即①当时，②当时，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线的解析式为， 令，即， 解得，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， ， 解得， 所以直线的解析式为， 设点的坐标是， 点是直线下方抛物线上的动点， ， 过点作于点，则， ， 的面积， 当时，的面积最大值为， 当时，； （3）解：， ， 如图，连接， 设的解析式为， 将、代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 令，即，解得， 点的坐标为， ，且， ， ， 设点， 点在线段上， ， 则， ， 分情况讨论： ①当时，有， ， 解得，满足， 则此时， 此时点的坐标为． ②当时，有， ， 解得，满足， 此时， 此时点的坐标为， 点的坐标为或． 【点睛】第三小问需要利用分类讨论的思想，优先证明，可将分类情况固定为两种，大大简化题目难度． 【变式02】（2026·福建·一模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由对称轴为直线，以及点的坐标得出与的值，即可求出抛物线解析式； （2）由抛物线的对称轴及的长，确定出与两点的横坐标，代入抛物线解析式求出与两点的纵坐标，得出与两点的坐标，再作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D，则点D即为所求，最后利用待定系数法求出直线的解析式，即可解决问题； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S，则，，进一步得；由已知面积之比求出的长，确定出点的横坐标，代入直线的解析式求出点的纵坐标，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵对称轴为直线，，且两点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 把代入抛物线解析式得：， ∴，． 如图，作点关于轴的对称点为点，连接，，交x轴于点D， 则，， 此时取得最小值，则此时的周长最小． 设直线解析式为，（）， 把代入得，， 解得，， 即直线解析式为， 令得，， 解得，， 即点D的坐标为； （3）解：由（2）得，，， 设直线解析式为，（）， 将代入得，， 解得，， ∴直线解析式为． 如图，设直线与交于点P，过点P作轴，垂足为点H，设与y轴交于点S， 则，， ∴， ∴． ∵直线将的面积分成两部分， ∴或， ∴或． ∵， ∴或， ∴或， ∴点P的横坐标为或． 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式03】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的值最大，最大值为； 或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的表达式为，由题知，则，则，所以，最后通过二次函数的性质即可求解； 要使相似，只有保证是直角三角形即可，然后分当时，当时，两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入，得， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的表达式为：， 由题知，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，最大值为； 存在，理由如下： ∵轴，即轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴要使相似，只有保证是直角三角形即可， 当时，如图， ∴， 此时轴，关于抛物线的对称轴对称， ∴； 当时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由知， ∵，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综上，存在点使与相似，此时的坐标为或． 【变式04】（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 【答案】(1)，顶点 (2)①；②或5 【分析】（1）将点代入抛物线，求出，进而再求顶点坐标即可； （2）①由题易得轴，，证，可得，即可得解； ②设抛物线向上平移了个单位，则，先求出，直线表达式，直线表达式，联立求出点，则，分两种情况讨论：当时，当时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴顶点； （2）解：①对于抛物线，令，得， ， ∵， 则轴，且， 过作，交延长线于点， ， ， ， 由题可知点向上平移到点， 则轴，即， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ∴点向上平移 4 个单位到点，即抛物线向上平移 4 个单位， ∴平移之后的抛物线的表达式为； ②解：设抛物线向上平移了个单位， ∴， 令，得或 6 ， ∴， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 设直线的表达式为， 代入可得，解得：， 故直线的表达式为， 联立， 解得， 即， ， ∵，轴，轴， ∴， ∴分两种情况讨论： 当时， 则，即， 解得； 当时， 则，即， 解得； 综上，平移的距离为5或个单位． 【点睛】本题主要考查了抛物线解析式、抛物线的几何变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式05】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （2）解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． （限时训练：30分钟） 1．下列结论中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，比例的基本性质及其应用，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： 由，设，， 代入，， ∴等式成立，故A正确，不符合题意； 由，两边乘得， 整理得， 即，故B正确，不符合题意； 仅说明与的比为， 但，并非唯一解（如，也满足）， 原结论错误，故C错误，符合题意； ∵，，，， ∴（因，即），故D正确，不符合题意； 故选：C 2．（2026·四川成都·一模）如图，点在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则下列添加的条件中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、不是的边，不能判定，该选项不符合题意； B、由，，判定，该选项符合题意； C、两个三角形的两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，该选项不符合题意； D、比例式中没有的边，不能判定，该选项不符合题意． 故选：B． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ）． A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．小孔到的距离为，由得，即得，据此即可求解． 【详解】解：设小孔到的距离为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：B． 4．（2026·陕西西安·二模）如图，正方形边长为3，点E是上一点，连接交于点F．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】过作于，由正方形的性质推出，，由， 求出，由，得， ，由， 得，进而得 ，由，即可求得的结果． 【详解】解：过作于， ∵四边形是边长为3的正方形， ∴，， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∵ ， ∴． 5．（2026·安徽·二模）如图，中，E为延长线上一点，连接交边于F点，交对角线于G点，若，则长为（    ） A．1.5 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】作，进而得到，证明，得到，设，，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 作交于点，则， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 设，，则， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴或（舍去）； 故． 6．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 7．（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 【答案】 【分析】设尺，可得尺，尺，再由和可得，即得，得到，最后代入解答即可求解． 【详解】解：由题意可得，尺，， 设尺， ∵尺，尺， ∴尺，尺， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴尺． 8．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为：，反比例函数解析式为． (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用系数待定法分别求出一次函数和反比例函数的解析式即可． （2）先求出点C的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点求出点D，设，再根据直角坐标系两点之间的距离公式分别求出，，，由对顶角相等得出，再根据相似三角形的性质分两种情况或代入求解即可． 【详解】（1）解：把代入反比例函数，则， 则反比例函数解析式为：， 把代入， 则， ∴， 再把，代入， 则， 解得：， 则一次函数的解析式为：． （2）解：令时，则， ∴， ∵点D与点A关于点O对称， ∴ 设点， ∵， ∴ 又∵，， ∴，，， ∵与相似，， ∴分两种情况：或， 当时， 即， 解得：， 此时，点， 当， 即， 解得：， 此时， 综上：当点P在x轴的负半轴上，且与相似，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，关于原点对称的点的坐标特点，相似三角形的性质，直角坐标系中两点之间的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键． 9．（2026·河南商丘·一模）焦裕禄纪念碑是焦裕禄纪念园的核心组成部分，位于河南省兰考县城北关的黄河故堤沙丘上，与焦裕禄烈士墓、纪念馆等建筑共同构成中轴对称的纪念性园林，旨在缅怀焦裕禄同志并弘扬其精神．数学小组的同学开展了测量焦裕禄纪念碑高度的实践活动． 课题 测量焦裕禄纪念碑的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，小明在点D处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点G、标杆顶端C和焦裕禄纪念碑顶端A在一条直线上； 步骤二：小亮站在点F处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在E处时，恰好看到标杆顶端C和焦裕禄纪念碑底端B在一条直线上． 测量数据 小亮的眼睛到地面的距离．，，．已知，，，点B，D，G，F在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出焦裕禄纪念碑的高度AB． 【答案】19米 【分析】根据垂直的定义可得，再结合可证明，可求得，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：焦裕禄纪念碑的高度AB为19米． 10．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点． (1)求证：； (2)若半径为5，，求的长和的值． 【答案】(1)见解析 (2),tan 【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、等腰三角形判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及锐角三角函数(正切)的定义． （1）通过连接辅助线，利用切线性质得，结合⊥得，再由推出，通过等角的余角相等及对顶角相等，转化得到，进而用等腰三角形“等角对等边”证得； （2）先由圆半径得，在中用勾股定理求；再证，用相似比求；设，在中用勾股定理列方程求解得；最后根据正切定义计算出的值． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是的直径， ， 半径为， ， 在中，， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴， 在中． 11．（2024·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接AC．    (1)求该抛物线的函数表达式及点A的坐标； (2)点D是轴上方拋物线上的动点，过点作轴于点，是否存在点，使得以B、D、为顶点的三角形与相似（含全等）?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)存在点，使得以B、D、E为顶点的三角形与相似，点的坐标为或 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数图象与x轴的交点坐标，相似三角形的存在性问题，解题的关键是注意利用数形结合及分类讨论思想． （1）利用待定系数法求函数解析式， （2）设点的坐标为，分和两种情况，利用对应边成比例求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， 这个抛物线的函数表达式为． 令， 解得， 点的坐标为． （2）解：存在点，使得以B、D、E为顶点的三角形与相似． 理由如下：设点的坐标为， 则点的坐标为， ． 点， ． ①当时，，即， 解得（舎去）， 此时， 点的坐标为． ②当时，，即， 解得（舍）， 此时点与点重合，点的坐标为． 综上可得：存在点，使得以B、D、E为顶点的三角形与相似，点的坐标为或． 12．（2025·广东深圳·三模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图，连接，，在纸片绕点旋转过程中，的值为______； 【深入探究】 （2）纸片绕点旋转至图的位置，连接交于点，当时，求的值； 【拓展延伸】 在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点，能否构成以为直角边的直角三角形若能，求出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）能，或． 【分析】（1）先判定 进而由相似三角形对应边成比例求解． （2）过点作于点，过点作于点，证明 ，得，，设，，则，，，由勾股定理得，，求出即可； （3）分两种情况，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1），，，， 在和中，，， ． ， 故答案为：； （2）如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ，， ，， ， ， ，， 设，，则，， ， 在中，， ， 在中，， ， 化简得， 把代入得 解得（负值舍去）即， ； （3），，三点能构成以为直角边的直角三角形；理由如下： 如图，当时，此时是直角三角形， 过点作于点， ， ， ，，， 四边形是矩形， ， ， ； 如图，当时，此时是直角三角形，过点作于点，交于点， 设，， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 解得； ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 相似三角形的综合应用 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（9大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 比例线段与相似图形基础 题型二 平行线分线段成比例 题型三 位似图形与坐标变换 题型四 相似三角形判定与性质综合 题型五 相似三角形实际应用 题型六 相似与几何图形（四边形、圆）综合 题型七 相似与一次（反比例）函数综合 题型八 相似三角形与动点问题 题型九 相似在二次函数压轴中的应用 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 相似三角形是中考数学几何板块核心必考模块，分值约 8～16 分，覆盖选择题、填空题、解答题全题型，中档题为主、压轴题为拉分点，侧重考查模型识别、逻辑推理与数形结合能力，是几何综合题的核心解题工具。 基础知识必备：掌握比例的基本性质、合比 / 等比性质及比例线段概念；熟记相似三角形的四大判定定理，能快速识别 A 字型、8 字型、母子型、一线三等角等经典相似模型；熟练运用相似三角形的对应边、角性质，以及周长、面积、对应线段的比例关系；理解位似图形的定义、性质及坐标系中的位似变换规律；能将实际问题转化为相似几何模型，掌握相似与四边形、圆、函数的综合解题思路。 2026中考预测： 题型稳定：比例计算、位似坐标变换、简单相似模型识别为选择填空必考内容，相似三角形的 判定与性质证明计算为解答题必考； 难度分层：基础题侧重单一知识点与简单模型，中档题考查相似与几何图形的综合，压轴题聚 焦动点背景下的相似存在性与函数结合问题； 命题趋势：强化经典模型的灵活运用，注重复杂图形中相似三角形的分离与构造，动态几何、分类讨论类相似问题考查频率提升，部分题目结合生活实际背景考查建模能力。 题型一 比例线段与相似图形基础 【典例01】（2026·福建泉州·模拟预测）已知实数，满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式01】若，则下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式02】已知，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【变式03】（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为________． 【变式04（2026·山西吕梁·一模）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，演奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，若，则琴弦的长为_______． 【变式05】（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为___________ （结果保留根号）． 题型二 平行线分线段成比例 【典例01】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式01】（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式02】（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．9 【变式03】（25-26九年级下·辽宁鞍山·月考）如图，与相交于点，点在线段上，且，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式04】（2025·甘肃武威·二模）如图，已知中，，，，．求线段的长； 【变式05】如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形DECF的周长． 题型三 位似图形与坐标变换 【典例01】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形与矩形是以点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为．若，则的长是（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 【变式01】（2025·山西阳泉·模拟预测）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标是．以原点为位似中心，将缩小，相似比为，则点的对应点的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 【变式02】如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式03】已知在直角坐标系中的位置如图所示，以O为位似中心，把放大2倍得到，那么的坐标为（   ） A． B． C． D．或 【变式04】如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（   ） A．16 B．24 C．54 D．81 【变式05】如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点O位似，点的坐标为，点的坐标为，则 ． 题型四 相似三角形判定与性质综合 【典例01】（2024·甘肃陇南·一模）如图，在中，点、分别在边、上，，，且． (1)求线段的长； (2)当时，求的面积． 【变式01】（2026·安徽·一模）如图，点，是的边上的两点，连接，交于点，的面积为，，则的面积为（   ） A．45 B．48 C．50 D．52 【变式02】（2026·山西吕梁·一模）如图，是直角三角形，，，连接，，若，过点作于点，则的长为______． 【变式03】（25-26九年级上·上海普陀·期末）已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【变式04】 （2026·上海普陀·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且． (1)求证： (2)若，，求的长． 【变式05】（2026·河南周口·一模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)求证：∽； (2)若，求的长； (3)过点作的平行线交的延长线于点，直接写出的值． 题型五 相似三角形实际应用 【典例01】（2024·广东·模拟预测）如图，在水平桌面上的两个均垂直于桌面，在一条直线上．若．①号的测试距离，则②号的测试距离为（   ） A． B． C． D． 【变式01】（2025·江西·二模）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2026·上海松江·一模）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度米，标杆与旗杆的水平距离米，人的眼睛与地面的距离米，当、、三点共线时，人与标杆的水平距离米，那么旗杆的高度是______________米． 【变式03】（2025·陕西西安·一模）如图，初三学生小李想测量他家楼下的一棵松树的高度，由于松树周边有花坛无法直接到达松树下面测量，他先通过查询资料得到这栋住宅楼的高度为，在楼顶端C处测得松树顶端A的俯角为，在某一时刻太阳光照射下，松树顶端A的影子落在地面上的点E处，楼顶端C的影子落在地面上的点F处，测得，，已知松树、住宅楼均垂直于地面，且点B，E，D，F在同一条直线上，求松树的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【变式04】（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【变式05】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 题型六 相似与几何图形（四边形、圆）综合 【典例01】（2026·河南郑州·一模）如图，中，E是上一点，且，连接、交于点F，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式01】（2026·广东深圳·一模）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，以点旋转中心将线段顺时针旋转，得到线段，连接，交边于点，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【变式02】（2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【变式03】（2021·江苏无锡·中考真题）如图，四边形内接于，是的直径，与交于点E，切于点B． （1）求证：； （2）若，，求证：． 【变式04】（2026·浙江杭州·一模）如图，内接于，，连结并延长交于点E，交于点D．连结，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若，，求的长． 【变式05】（2026·安徽·二模）如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，为延长线上一点，连接交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2，若，求的长． 题型七 相似与一次（反比例）函数综合 【典例01】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式01】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点、在双曲线上，直线分别与轴、轴交于点、，与双曲线交于点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求一次函数的表达式，并求的面积． (2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式04】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点重合），过点作轴，交射线于，若，求点的坐标． 【变式05】（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 题型八 相似三角形与动点问题 【典例01】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，，点P从点B出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？ 【变式01】（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，在矩形中，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动． 连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当为何值时，与相似； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．在运动过程中，是否存在某一时刻，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式02】（2022·辽宁大连·中考真题）如图，在中，，，点D在上，，连接，，点P是边上一动点（点P不与点A，D，C重合），过点P作的垂线，与相交于点Q，连接，设，与重叠部分的面积为S． (1)求的长； (2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围． 【变式03】（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【变式04】（2025·福建泉州·二模）如图，在矩形中，，动点P在边上，以每秒１个单位的速度从点B向点A运动；同时动点Q在边上从点B向C运动．把沿着直线翻折，点B的对应点为点G，直线与边相交于点E． (1)如图1，若点P为的中点，连接，求证：． (2)如图2，若点Q的运动速度是点P运动速度的3倍，运动时间为t秒，当t为何值时，点G恰好在直线上？ (3)如图3，连结，交于点F，若且，求点Q的运动速度． 【变式05】（2022·山东青岛·中考真题）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型九 相似在二次函数压轴中的应用 【典例01】（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)求A、B、F三点构成的三角形的面积； (3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标． 【变式01】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，抛物线与轴相交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点是第四象限内抛物线上的一个动点，当点D运动到何处时，的面积最大？求出此时点D的坐标； (3)如图2，点是抛物线的顶点，直线交轴于点，若点是线段上的一个动点，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式02】（2026·福建·一模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在轴上存在一点，使得的周长最小，则点的坐标为_______； (3)若点在直线上，直线将的面积分成两部分，求点坐标． 【变式03】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． 为何值时的面积最大，并求出其最大值； 是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式04】（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点． ①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式； ②如果与相似，求平移的距离． 【变式05】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． （限时训练：30分钟） 1．下列结论中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 2．（2026·四川成都·一模）如图，点在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则下列添加的条件中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔O到的距离为，则小孔O到的距离为（   ）． A．10 B．20 C．30 D．40 4．（2026·陕西西安·二模）如图，正方形边长为3，点E是上一点，连接交于点F．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 5．（2026·安徽·二模）如图，中，E为延长线上一点，连接交边于F点，交对角线于G点，若，则长为（    ） A．1.5 B．2 C． D． 6．（2025·西藏·中考真题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 7．（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为______尺． 8．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． 9．（2026·河南商丘·一模）焦裕禄纪念碑是焦裕禄纪念园的核心组成部分，位于河南省兰考县城北关的黄河故堤沙丘上，与焦裕禄烈士墓、纪念馆等建筑共同构成中轴对称的纪念性园林，旨在缅怀焦裕禄同志并弘扬其精神．数学小组的同学开展了测量焦裕禄纪念碑高度的实践活动． 课题 测量焦裕禄纪念碑的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，小明在点D处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点G、标杆顶端C和焦裕禄纪念碑顶端A在一条直线上； 步骤二：小亮站在点F处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在E处时，恰好看到标杆顶端C和焦裕禄纪念碑底端B在一条直线上． 测量数据 小亮的眼睛到地面的距离．，，．已知，，，点B，D，G，F在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出焦裕禄纪念碑的高度AB． 10．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点． (1)求证：； (2)若半径为5，，求的长和的值． 11．（2024·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接AC．    (1)求该抛物线的函数表达式及点A的坐标； (2)点D是轴上方拋物线上的动点，过点作轴于点，是否存在点，使得以B、D、为顶点的三角形与相似（含全等）?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2025·广东深圳·三模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图，连接，，在纸片绕点旋转过程中，的值为______； 【深入探究】 （2）纸片绕点旋转至图的位置，连接交于点，当时，求的值； 【拓展延伸】 在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点，能否构成以为直角边的直角三角形若能，求出线段的长度；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $