云南红河州一中实验中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试卷

2025—2026年（下学期）红河州一中实验学校 高二年级3月月考·数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1． 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤，如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套，则小李同学不同的搭配种数为（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 2. 已知集合，全集和集合．若，则可能正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则（     ） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，，则它的前7项和（ ） A 18 B. 21 C. 24 D. 28 5. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（ ） A B. C. D. 7. 若方程恰有两个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 过原点作曲线的两条切线，，切点分别为，，则的面积为（ ） A. 16 B. 15 C. 10 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 10. 已知是定义在的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 是的极小值点 D. 存在实数，使得直线与图象恰有1个公共点 11. 如图，在棱长为2正方体中，为线段上的动点，为的中点，则（ ） A. B. 直线与所成角的最大值为 C. 过点作该正方体的截面，则截面的面积为 D. 三棱锥外接球半径的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则不等式的解集为________. 13. 已知数列通项公式，则数列前9项和为______. 14. 已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线（，）有公共的焦点，其中，分别为左、右焦点，是与在第一象限的公共点.若线段的垂直平分线经过坐标原点，则当取最小值时，为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 16. 已知数列中，，. （1）证明：是等差数列；（2）求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 18. 如图，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长. 19. 已知双曲线过点，一条渐近线方程为. （1）求双曲线的标准方程； （2）若点为双曲线左支上一点，，求的最小值； （3）过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 高二年级3月月考·数学答案 1. B 2. B 3. C 4. D 5. B 6. 【答案】A【详解】 令，，则，因为，所以，所以在上单调递减，所以等价于，即，所以，即不等式的解集为．故选：A． 7. 【答案】A【详解】，即为，表示双曲线的上支，，表示过且斜率为的直线，由题意知与的图象恰有两个不同的交点，即直线与双曲线两个交点都在轴上方，当直线与双曲线相切时，由，得，令，解得，当时，切点为在轴下方，舍去；当时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点，所以当直线与双曲线有两个交点且都在轴上方时，实数的取值范围是．故选：A. 8. 【答案】A【详解】因为，所以， 设切点，所以在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为， 又点在曲线上，所以， 所以在处的切线方程为， 因为此切线过点，所以）， 解得，即，当时，，当时，， 所以不妨设，所以直线的方程为，整理得，又到的距离，则. 9. 【答案】ABC【详解】由题意得：，而，解得：或当时，，满足题意；当时，，不合题意，舍去，故A正确； 由于，所以，则，其中，故是等比数列，B正确；，C正确；，则，则，故数列是公差为1的等差数列，D错误.故选：ABC 10. 【答案】AC【详解】由题设，A对，若，则，故，由为偶函数，则，B错，由上时，，则，令，即在上单调递增，又，故在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，C对，由C分析，或时，且，所以、上，又为偶函数，则、上，所以直线与的图象恒有2个交点，D错.故选：AC 11. 【答案】ACD【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，所以，设，其中，即， 所以点，又，，，所以，，，所以，故A正确； ，因为，所以， 所以， 函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值，所以，所以，当时，直线与所成角最大，因为，故直线与所成角的最大值不为，故B错误；取中点，连接，因为为的中点，所以，截面即为四边形，又，所以，又因，故四边形为等腰梯形，如图，作，垂足为，所以， 所以，所以等腰梯形的面积，即截面的面积为，故C正确；取的中点，因为为直角三角形，所以为外接圆的圆心，设外接球的球心为，根据外接球的性质，则平面，设球心，则， ， 因为，所以， 即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值，所以，所以，即三棱锥外接球半径的取值范围为，故D正确. 12. 【答案】【详解】当时，，易知为单调递增函数，故，满足；当时，，解得，故不等式的解集为 13. 【答案】【详解】，数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列．则，．则数列的前9项和． 14. 【答案】【详解】设半焦距为，，，为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则，由，，则，，，所以，从而有， ， 当且仅当，即时，等号成立；故答案为：． 15. 【答案】（1） （2）极大值为，无极小值. 16. （1），是首项为，公差为的等差数列.（2） 17. 【解析】（1）函数的定义域为, 则，令，可得或，令，可得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为和 （2）由（1）知：在上单调递增，在上单调递减， 故当时，，由已知：在上有解，在上有解，在上有解，，； 令，则， 在上单调递增，， 令，，则在上单调递增， 则，故.的取值范围为. 18. 【解析】（1）由平面平面，平面平面，平面，，得直线平面，而四边形是正方形，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， 依题意，是平面的一个法向量，又， 则，而直线平面，所以平面. （2）， 设平面CPB的法向量为 ，则，取，得，设平面PQB的法向量为 ，则，取，得 ，设平面与平面夹角为，则， ，所以平面与平面夹角的正弦值为. （3）由点H在PD上，设，则， 依题意，，而，解得，所以线段的长为. 19. 【解析】（1）因为双曲线过点，一条渐近线方程为，所以，解得，则双曲线的标准方程为； （2）因为点为双曲线左支上一点， 设，，则，即，又因为， 所以， 因为，，则时，取得最小值. （3）证明：当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时可取，，则； 当过点的直线斜率存在时， 设直线方程为，，，不妨设，， 因为直线过双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则或，联立，消去并整理得， 所以， 由韦达定理得， 所以 .综上所述，为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $