7.1 相交线 教学设计 2025-2026学年数学人教版七年级下册

该初中数学教学设计聚焦相交线核心知识，涵盖邻补角、对顶角、垂线及同位角等概念与性质。通过木条转动模型导入，从基本角关系到垂直再到三线八角，构建递进式学习支架，衔接前后知识脉络。 资料特色在于以生活模型驱动探究，如用木条转动观察角关系、灌溉问题引出垂线段最短，体现数学眼光。通过量角推理对顶角相等培养推理意识，规范几何语言表达强化数学语言，助力学生直观理解概念，为教师提供可操作的互动探究活动，提升教学效率。

7.1　相交线 7.1　相交线（第1课时） 教学目标 1．理解邻补角和对顶角的概念． 2．掌握“对顶角相等”的性质． 教学重点 “对顶角相等”的性质． 教学难点 能正确辨认两条相交直线所形成的邻补角和对顶角，能推出“对顶角相等”的性质． 教学过程 新课导入 如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，并把它们想象成两条直线，就得到一个相交线的模型，在转动木条的过程中，它们所成的角也在变化，你能发现这些角之间不变的关系吗？ 【设计意图】从现实生活中发现并提出简单的数学问题吸引学生的注意，同时为得出两条直线相交所成角的关系提供生活背景． 新知探究 一、探究学习 【问题】如图，任意画两条相交的直线，形成四个角，∠1和∠2有怎样的位置关系？∠l和∠3呢？ 【师生活动】教师引导学生从角的定义出发，分别说出∠1与∠2，∠1与∠3的位置关系．在学生直观地感知到两个角有“相邻”“相对”的关系时，引导学生用几何语言准确表达，进而得到“邻补角”“对顶角”的定义． 【答案】∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线． ∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线． 【追问】分别量一下各个角的度数，∠1和∠2的度数有什么关系？∠1和∠3呢？ 【师生活动】学生用量角器量出各个角的度数，从而发现它们之间的数量关系． 【答案】∠1＝50°，∠2＝130°，∠3＝50°，∠4＝130°． ∠1＋∠2＝180°，∠1＝∠3． 还可以得到：∠3＋∠4＝180°，∠2＝∠4． 【追问】利用信息技术工具，改变两条直线相交所成角的大小，各个角之间的关系还保持吗？为什么？ 【答案】各个角之间的关系仍保持． 理由：由图知∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝180°， 所以∠1＝∠3． 同理可得∠2＝∠4． 【设计意图】让学生充分经历动手操作、独立思考的探究过程，并且在这一过程中，渗透由特殊到一般的研究问题的方法，使学生经历从实验几何到论证几何的过渡． 二、新知精讲 【新知】两个角有 公共顶点 和 一条公共边 ，它们的另一边互为 反向延长线 ，具有这种位置关系的两个角，互为 邻补角 ．如下图中的∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1都互为 邻补角 ． 【特别提醒】1．邻补角互补． 2．互为邻补角的两个角满足： （1）有公共顶点和一条公共边；（2）另一边互为反向延长线． 3．邻补角是成对出现的，单独一个角或两个以上的角不能互为邻补角． 4．邻补角的两种类型： （1）由两条直线相交形成； （2）由一条直线和一条端点在该直线上的射线形成，如图中的∠1和∠2． 【新知】两个角有 公共顶点 ，且它们的两边分别互为 反向延长线 ，具有这种位置关系的两个角，互为 对顶角 ．如下图中的∠1和∠3，∠2和∠4都互为 对顶角 ． 【思考】如图，可以得到对顶角的什么性质？ 【师生活动】教师引导学生对图形进行观察分析，可以得到： ∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，由“同角的补角相等”，可以得出∠1＝∠3． 类似地，可得∠2＝∠4． 【答案】对顶角的性质：对顶角相等． 【特别提醒】1．两条直线相交是形成对顶角的前提条件． 2．两直线相交，对顶角有2对． 【动图】观察动图，直观地感受“对顶角相等”． 三、典例精讲 【例1】如图，直线AB，CD，EF相交于一点O，请找出∠COF的邻补角． 【师生活动】学生组内讨论，解答本题，教师提问． 【答案】解：∠COF的邻补角有∠DOF和∠COE． 【归纳】两步寻找邻补角： 第1步：固定角的一边； 第2步：将另一边反向延长． 由固定边和另一边的反向延长线组成的角就是原角的邻补角． 【设计意图】通过寻找邻补角，考查学生对邻补角定义的掌握情况，同时总结出寻找邻补角的步骤． 【例2】下列四个图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（　　）． A． B． C． D． 【师生活动】教师引导学生对各选项进行分析：选项A，D，均有一边不互为反向延长线，故不是对顶角； 选项B，有一边不互为反向延长线，且两角没有公共顶点，故不是对顶角； 选项C，符合对顶角的概念． 【答案】C 【归纳】抓住两个特征，判断两角是否互为对顶角： （1）两角有公共顶点； （2）两角的两边分别互为反向延长线． 同时具有以上两个特征的角互为对顶角，二者缺一不可． 【方法总结】反向延长法： 找一个角的对顶角时，分别反向延长这个角的两边，以这两条反向延长线为边的角即原角的对顶角． 【设计意图】考查学生对对顶角定义的掌握情况，知道在判断是不是对顶角的时候可以使用反向延长法． 【例3】如图，直线a，b相交，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4的度数． 【师生活动】学生独立完成计算，组内交流对计算结果进行纠错． 【答案】解：由∠1和∠2互为邻补角，得 ∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°． 由对顶角相等，得 ∠3＝∠1＝40°，∠4＝∠2＝140°． 【例4】如图，直线AB，CD，EF两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝80°，求∠4的度数． 【师生活动】学生对图形中的各角进行分析：∠1与∠2互为对顶角，∠3与∠4互为邻补角．先根据∠1与∠2的关系及∠1与∠3的关系，∠2＝80°，求出∠1及∠3的度数，再根据∠3与∠4的关系求出∠4的度数． 【答案】解：因为∠1和∠2互为对顶角， 所以∠1＝∠2＝80°． 又因为∠1＝2∠3，所以∠3＝∠1＝40°． 因为∠3和∠4互为邻补角， 所以∠4＝180°－∠3＝140°． 【归纳】在运用邻补角及对顶角的概念和性质解决问题时，要牢记邻补角互补，对顶角相等． 【设计意图】例3和例4考查学生使用邻补角和对顶角的性质对角度进行计算，巩固学生对这两种角的性质的掌握． 课堂小结 7.1　相交线（第2课时） 教学目标 1．认识垂线，理解“互相垂直”和“垂足”的含义． 2．能够过一点画已知直线的垂线． 3．掌握垂线的性质，理解“垂线段最短”，并能进行应用． 教学重点 垂线的画法及性质． 教学难点 理解垂线段最短，并能进行应用． 教学过程 新课导入 垂直是相交的一种特殊情形．如图，在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b．当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化． 【设计意图】结合上节课学过的相交线的相关知识，通过角度变化引出本节课要学习的新内容． 新知探究 一、探究学习 【新知】当∠α＝90°时，这两根木条垂直． 一般地，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”． 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫作 垂足 ．在下图中，AB⊥CD， 垂足 为O． 【师生活动】结合图形，对新知识进行学习，并通过填空的形式让学生掌握新概念． 【提醒】1．垂直是两条直线的位置关系，如果a是b的垂线，那么b也是a的垂线． 2．垂线是直线，不是线段或射线，不能测量其长度． 3．线段、射线的垂直是指它们所在的直线垂直． 【新知】根据两条直线垂直的定义可知，如果两条直线相交所成的四个角中有一个角等于90°，那么这两条直线互相垂直． 下图中，如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝90°， 那么AB⊥CD． 这个推理过程可以写成下面的形式： 因为 ∠AOD＝90° ， 所以 AB⊥CD ． 【问题】如果AB⊥CD，那么∠AOD是多少度？你能得出什么结论？ 【师生活动】教师引导学生进行反向思考，从而推出∠AOD的度数． 【答案】如果AB⊥CD，那么∠AOD是90°． 得出结论：垂直的定义既是判定也是性质，即 【思考】在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，例如窗户上互相垂直的木条、网球拍上互相垂直的网线（如图）. 你能再举出其他例子吗？ 【探究】用三角尺或量角器画已知直线l的垂线． 【师生活动】教师引导学生思考这样的垂线能画出多少条，总结出用三角尺画垂线的方法：第1步：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 第2步：沿另一直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 【答案】如图，能画出无数条垂线： 【问题】（1）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ （2）经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 【师生活动】学生组内交流，在画垂线的基础上总结出过直线上一点画已知直线的垂线的方法： 第1步：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合； 第2步：沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点； 第3步：沿此直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 【答案】（1）经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出一条． （2）仿照过直线上一点画已知直线的垂线，画出经过直线l外一点B的垂线，这样的垂线能画出一条． 【提醒】过一点画已知直线的垂线，其本质就是利用三角尺（或量角器），使过一点的直线与已知直线所形成的夹角为90°． 【归纳】垂线的性质 经过一点（在已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线．由此得到关于垂线的基本事实：在同一平面内，过一点 有且只有一条 直线与已知直线垂直． 【动图】仔细观察下面的动图，进一步感受“过直线上一点”“过直线外一点”垂线的画法． 【设计意图】通过画经过一点的已知直线的垂线，动手操作，体会垂线的存在性和唯一性，加深对这一基本事实的认识． 【思考】如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？ 【师生活动】教师引导学生找到解决这一问题的关键点：要解决这个问题，我们需要找到河渠中到点P的距离最近的点，所以问题转变成如何确定这个点，为了确定这个点，需要先解决下面的问题． 【问题】如图，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，我们称PO为点P到直线l的 垂线段 ．A是直线l上除点O外一点，连接PA．测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？你也可以利用信息技术工具，在直线l上拖动点A，改变点A的位置，探究PO与PA的长度关系． 【师生活动】教师引导学生通过画图，测量等多种方法，比较线段的长短． 【答案】画出图形如下： 所以可以得到：垂线段PO最短． 【归纳】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成： 垂线段最短 ． 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离． 【特别提醒】垂线是直线，垂线段是线段，这两者是图形；点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能画，可以测量． 【问题】现在你知道水渠该怎么挖了吗？在图中画出来． 【答案】如图，AP即为最短的渠道． 【动图】仔细观察下面的动图，直观地感受“垂线段最短”． 【设计意图】学生通过动手操作，得到垂线段最短的性质． 二、典例精讲 【例1】如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线． 【师生活动】学生动手操作画出垂线，教师点评． 【答案】解：如图所示． 【例2】（1）过点P分别画OA，OB的垂线． （2）过点A画BC的垂线． 【师生活动】学生动手操作画出垂线，教师点评． 【答案】解：（1）画出垂线如图所示． （2）画出垂线如图所示． 【设计意图】通过画图，考查学生对垂线定义的掌握，同时知道画垂线要标出垂直符号． 【例3】如图． （1）点B到直线AD的距离是线段______的长度；点D到直线AB的距离是线段_______的长度． （2）在线段DA，DB，DC中，_________最短；在线段BA，BE，BD中，________最短． 【师生活动】教师引导学生对图形进行分析：（1）点B到直线AD的距离是指过点B向AD所画垂线段的长度，由图可知即为线段BE的长度．同理，线段DC的长度即为点D到直线AB的距离． （2）利用“垂线段最短”这一性质进行判断． 【答案】（1）BE　　DC　　（2）DC　　BE 【归纳】最短（或最近）问题的两依据 （1）两点之间，线段最短；（2）垂线段最短． 【设计意图】考查学生能否对“点到直线的距离”和“垂线段”的概念进行区分． 课堂小结 7.1　相交线（第3课时） 教学目标 1．理解同位角、内错角、同旁内角的概念． 2．能从图形中识别同位角、内错角、同旁内角． 教学重点 理解同位角、内错角、同旁内角的概念． 教学难点 能从图形中识别同位角、内错角、同旁内角． 教学过程 新课导入 前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形，接下来，我们进一步研究同一平面内一条直线与两条直线分别相交的情形． 如图，直线AB，CD与EF相交(也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，构成八个角．我们已经学习了有公共顶点的角的关系，下面我们看那些没有公共顶点的两个角的关系． 【设计意图】结合图形，发现与前面学过的邻补角、对顶角具有不同位置关系的角，明确研究对象． 新知探究 一、探究学习 【问题】先看图中的∠1和∠5，它们具有什么位置关系？你能进行概括吗？ 【师生活动】教师引导学生结合图形对这两个角的位置关系进行分析，找出两者的共同点，进行概括． 【答案】∠1和∠5这两个角分别在直线AB，CD的同一侧(上方)，并且都在直线EF的同侧(右侧)． 【新知】如果两个角满足以下位置关系： （1）两个角分别在两条被截直线的 同一侧 ； （2）两个角都在截线的 同侧 ，那么这两个角叫作 同位角 ．如上图中的∠1和∠5． 【提醒】（1）同位角中的“同”可理解为“相同”，“位”可理解为“位置”，即具有相同位置的角． （2）一定要分清“截线”与“被截直线”． 【思考】上图中，∠2和∠6是同位角吗？图中还有没有其他的同位角？若有，请指出来． 【师生活动】学生结合前面给出的同位角的概念，得出答案：∠2和∠6是同位角． 图中其他同位角：∠3和∠7，∠4和∠8． 【设计意图】借助具体的两个角，结合图形，帮助学生理解同位角的概念． 【问题】∠3和∠5，∠3和∠6具有怎样的位置关系？请分别进行描述． 【师生活动】仿照前面对同位角位置关系的描述，学生独立对这两对角的位置关系进行概括，教师进行指导补充． 【答案】∠3和∠5这两个角都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF的两侧(∠3在直线EF的左侧，∠5在直线EF的右侧)． ∠3和∠6也都在直线AB，CD之间，但它们在直线EF的同一旁(左侧)． 【新知】如果两个角满足以下位置关系： （1）两个角都在两条被截直线 之间 ； （2）两个角分别在截线的 两侧 ，那么这两个角叫作 内错角 ．如上图中的∠3和∠5． 【提醒】内错角中的“内”可理解为“两条被截直线之间”，“错”可理解为“交错”，即截线的两侧． 【新知】如果两个角满足以下位置关系： （1）两个角都在两条被截直线 之间 ； （2）两个角都在截线的 同侧 ，那么这两个角叫作 同旁内角 ．如上图中的∠3和∠6． 【提醒】同旁内角中的“同旁”可理解为“截线的同侧”，“内”可理解为“两条被截直线之间”． 【追问】上图中，还有没有其他的内错角与同旁内角？若有，请指出来． 【师生活动】教师引导学生结合内错角和同旁内角的概念，得出答案．内错角：∠4和∠6；同旁内角：∠4和∠5． 【设计意图】通过对两对角的位置关系进行分析比对，得出内错角和同旁内角的概念． 二、典例精讲 【例1】下列选项中，∠1和∠2是同位角的是（　　）． A． B． C． D． 【师生活动】教师引导学生结合同位角的概念，对四个选项进行分析，得出结论：只有选项D中的∠1和∠2是两条直线被第三条直线所截形成的，且符合同位角的特征． 【答案】D 【归纳】判断两个角是否为同位角： （1）形成两个角的线只能有三条，即两条直线被第三条直线所截； （2）两个角不具有公共的顶点，两个角位于截线的同旁，被截直线的同侧． 【设计意图】考查学生对同位角概念的掌握程度，让学生知道如何判断两个角是否为同位角． 【例2】在图中找出∠1的内错角． 【师生活动】结合内错角的概念，学生独立对图形进行分析，找到∠1的内错角． 【答案】解：∠1的内错角有两个，分别为∠CGB，∠FGB． 【归纳】三步寻找某个角的内错角： 第1步：找到这个角的两边； 第2步：添加这个角的两边之外的第三边寻找基本图形，即弄清哪条直线是截线，哪两条直线是被截直线； 第3步：进行判断，即满足在两条被截直线之间，且在截线的两侧的两个角是内错角，否则不是． 【设计意图】考查学生对内错角概念的掌握程度，同时指导学生如何通过三步寻找某个角的内错角． 【例3】在图中找出∠A的同旁内角． 【师生活动】学生独立解决问题，教师提问． 【答案】解：∠A的同旁内角有三个，分别为∠ACD，∠ACB，∠B． 【归纳】找某个角的同旁内角的方法： 第1步：找到这个角的两边； 第2步：添加这个角的两边之外的第三边寻找基本图形，即弄清哪条直线是截线，哪两条直线是被截直线； 第3步：进行判断，即满足在两条被截直线之间，且在截线的同侧的两个角是同旁内角，否则不是． 【设计意图】巩固学生对同旁内角概念的掌握程度，同时让学生掌握寻找某个角的同旁内角的方法． 【例4】如图，直线DE，BC被直线AB所截． （1）∠1和∠2，∠1和∠3，∠1和∠4各是什么位置关系的角？ （2）如果∠1＝∠4，那么∠1和∠2相等吗？∠1和∠3互补吗？为什么？ 【师生活动】学生组内交流解决，教师巡视纠错． 【答案】答：（1）∠1和∠2是内错角，∠l和∠3是同旁内角，∠l和∠4是同位角． （2）如果∠1＝∠4，又由对顶角相等，可得∠2＝∠4，因此∠1＝∠2． 因为∠4和∠3互补，即∠4＋∠3＝180°．又因为∠1＝∠4，所以∠l＋∠3＝180°，即∠1和∠3互补． 【归纳】找同位角、内错角、同旁内角的口诀： 一看三线；二找截线；三根据位置来分辨． 【设计意图】对同位角、内错角、同旁内角进行综合考查，在复习了概念的同时也涉及了角度的计算． 课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $