7.1.2 两条直线垂直（教学设计）数学新教材人教版七年级下册

该初中数学教学设计聚焦垂线、垂线段、点到直线的距离等核心概念，及过一点有且只有一条垂线、垂线段最短的性质。通过复习相交线角的关系，追问直角相交引入垂直，构建“相交线→直角相交→垂线”的概念链条，衔接旧知与新知。 特色在于“从一般到特殊”探究，结合三角板画图、灌溉挖渠等实例，培养几何直观与逻辑推理能力，明晰“有且只有”的含义。帮助教师把握重难点，助力学生提升动手操作与知识应用能力，夯实几何基础。

7.1.2 两条直线垂直（教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版七年级下册第七章相交线平行线，第一节相交线第2课时7.1.2 两条直线垂直，内容包括：垂线、垂足的定义及符号表示，垂线的判定与性质，“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实，垂线段的概念、“垂线段最短”的性质，以及点到直线的距离的定义与度量，同时涉及垂线的画法和性质的实际应用。 2.内容解析 本节课是上一课时“两条直线相交”的特殊化延伸，是几何中“从一般到特殊”研究思路的典型体现。垂线作为平面内直线相交的特殊情形，其概念和性质是后续学习三角形高、平行线判定与性质、平面直角坐标系等知识的重要基础，也是解决实际问题（如最短路径、测量距离）的关键工具。本节课的核心是垂线的概念、两个核心性质（过一点有且只有一条垂线、垂线段最短）及点到直线的距离的定义，重点是垂线的画法和性质应用，难点是理解“有且只有”的数学逻辑含义，以及区分垂线段与点到直线的距离。 基于以上分析，确定本节课教学重点是：垂直概念的双重理解（定义与推理）、垂线的两个基本性质（唯一性与垂线段最短）。 1.教学目标 (1)能准确理解垂线、垂足、垂线段的概念，掌握垂线的符号表示，能在图形中识别垂线关系。 (2)会用三角板或量角器过直线上或直线外一点画已知直线的垂线，掌握“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实，理解“垂线段最短”的性质及点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。 (3)经历观察、操作、猜想、验证的探究过程，体会“从一般到特殊”的数学思想，发展几何直观和逻辑推理能力，能运用所学知识解决简单的实际问题，增强应用意识。 2.目标解析 (1)需建立“相交线→直角相交→垂线”的概念链条，明确垂线的定义条件（有一个角是直角），区分垂线的性质（存在性与唯一性、垂线段最短）与概念的不同，厘清垂线段（图形）与点到直线的距离（数量）的本质区别。 (2)通过动手画图、度量验证，提升动手操作能力和几何直观素养；通过解读“有且只有”的逻辑含义，初步培养严谨的数学表达和推理能力；通过实际问题应用，强化知识迁移和解决问题的能力。 (3)从生活实例抽象出垂线模型，渗透数学建模思想；通过性质探究，体会“观察—操作—猜想—验证”的几何研究方法，提升数学抽象和逻辑推理核心素养。 (1)学生已掌握两条直线相交的性质、对顶角和邻补角的概念，会用量角器测量角的度数、用三角板画图，具备初步的几何图形观察能力，能从生活中发现相交线的实例。 (2)学生首次接触“有且只有”这类严谨的数学逻辑用语，容易混淆“存在性”和“唯一性”；对“垂线段最短”的性质缺乏直观感知，易将垂线段与点到直线的距离（图形与长度）混淆；过直线外一点画垂线时，容易出现三角板摆放不规范的问题。 (3)学生喜欢动手操作和生活实例探究，对具象化的问题兴趣浓厚，但抽象思维和逻辑表达能力较弱，需要通过直观演示、反复辨析和分层练习强化理解。 基于以上分析，确定本节课的教学难点:“点到直线的距离”概念的理解与应用；运用垂直性质进行简单的推理计算。 创设情景，引入新课 问题：“两条直线相交时，所成的角有什么关系？若其中一个角是35°，其他三个角分别是多少度？”.复习巩固邻补角互补、对顶角相等的性质。 追问：“如果其中一个角是90°，其他三个角是多少度？此时两条直线的位置关系有什么特殊性？”，引导学生观察特殊相交的特点。 （设计意图：复习相关知识点，引入新课.） 探究点1　探究垂直定义 情境展示：展示生活中的垂线实例（墙角的两条边、旗杆与地面、十字路口的道路），提问“这些图形中两条直线的相交有什么共同特点？”，引出本节课主题——两条直线垂直。 归纳定义：结合复习提问，引导学生总结垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。 教师强调符号表示：如直线AB与CD垂直，记作“AB⊥CD”，垂足为Ｏ，一般在垂足处标注字 母和符号“┐”。 　　　 追问1：垂直是两条直线的位置关系，如果a是b的垂线，那么b也是a 的垂线吗？ （b也是a 的垂线） 追问2：“当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，这两条直线互相垂直”，反过来，如果AB⊥CD，那么∠AOD 是多少度?你能写出这个推理过程吗？ （∠AOD ＝90〫，因为AB⊥CD，所以∠AOD ＝90〫） 辨析概念：出示3组图形（一组垂直、两组非垂直相交），让学生判断是否为垂线，并说明理由；提问“两条线段或射线垂直，是指它们本身垂直吗？”，明确“线段、射线垂直即它们所在直线垂直”的规则。 （设计意图：探究并强化对两直线垂直的理解.） 探究点2　过一点画直线的垂线 分组操作：学生分别过直线上一点A和直线外一点B画的垂线，记录能画出的垂线数量。 动手画图：让学生尝试用三角板和量角器画已知直线的垂线。 　　　　　 （教师：引导学生用三角尺来画垂线，利用的是三角尺的直角.用量角器画时，实际上是画出过点A或B的另一条直角边.） （设计意图：初步感知垂线的画法，为后续探究性质铺垫。） 总结归纳：引导学生发现“无论点在直线上还是直线外，都只能画出一条垂线”，引出基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 难点解析：拆解“有且只有”的含义——“有”表示存在性（能画出），“只有”表示唯一性（仅一条），结合生活实例（过一点只能画一条直线与已知直线垂直，如过地面上一点只能画一条线与墙面垂直）帮助理解。 探究点3. 探究“垂线段最短” 情境导入：“灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？”，引发学生思考。 动手测量：让学生在直线外取一点P，画PO⊥于O，再在上取不同点A、B、C，连接PA、PB、PC，测量PO、PA、PB、PC的长度，比较大小。 　　　　　　　　　　　 总结归纳：引导学生得出“垂线段最短”的性质，明确垂线段的定义（过直线外一点作直线的垂线，这点与垂足之间的线段）。 距离定义：点到直线的距离：强调“直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离”，区分垂线段（图形）与距离（长度），并让学生用刻度尺测量刚才画出的垂线段PO的长度，练习距离度量。 追问1：你发现指出点P到直线的距离是什么吗？ （线段PO的长度） 追问2：距离是数量还图形？ （距离是数量，不是图形） 追问3：点到直线的距离是怎样转化的？ （点到直线的距离是转化为两点间的距离，即点和垂足间的距离） 典型例题 例1.如图，AB⊥CD，垂足为O，∠AOC=90°，求∠AOC、∠AOD、∠BOC、∠BOD的度数。 　　　　　 【分析】画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线.对于(3)，需要先延长线段AB，这时，垂足在AB的延长线上. 【详解】解:因为AB⊥CD，垂足为O，根据垂直定义，得∠AOC=∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°. （设计意图：巩固垂直定义） 例2.如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. 　　 【分析】根据两直线垂直定义，直接得出结论. 【详解】解:如图所示： 　　　　　 （设计意图：巩固垂线的画法） 例3．如图，，垂足为，经过点，求、的度数． 【分析】根据对顶角相等，角互余的关系即可求解． 【详解】解：直线交于点， ∴（对顶角相等），且， ∴， ∵，即， ∴，且， ∴． （设计意图：强化垂直定义和角的位置，角的数量关系．） 课堂练习： 1.当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系?为什么? 2.如图，分别过点P画直线AB，CD的业线，并量出点P到直线AB的距离. 3.如图，在三角形ABC中、∠C-90°. (1)分别指出点A到直线CB，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度1 (2)三条边AB，AC，CB中哪条边最长?为什么? 　　 参考答案：1.这两条直线互相垂直.因为它们相交所成的四个角都等于 90°.　　2.略. 3.(1) 点A 到直线CB，点B 到直线AC的距离分别是线段AC，BC的长度; (2)根据“垂线段最短”，可知线段AB最长. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．如图，要从水渠引水到村庄A，在水渠的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由． 【详解】解：如图，线段即为所求． 理由：垂线段最短． 2．如图，分别过点P作的两边的垂线． 【详解】解：如图所示，即为所求． （设计意图：强化画直线的垂线） 1.（2025蒙城检测）如图，于点，于点，其中长度能表示点到直线（或线段）的距离的线段有 条．    【详解】∵，， ∴线段是点B到直线距离的线段； 线段是点A到直线距离的线段； 线段是点C到直线距离的线段； 线段是点A到直线距离的线段； 线段是点B到直线距离的线段； 故答案为：5． 2.（2025淮安检测）直线与直线相交于C，画图：过点P作，垂足为R，交于N． 【详解】解：如图所示，即为所求． 3．（2025包河校检测）如图，直线相交于点O，，垂足为O．若，求的度数．      【详解】解：， ， ， ， . （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1. 知识总结：“本节课学到了哪些核心概念（垂线、垂线段、点到直线的距离）和性质（过一点有且只有一条垂线、垂线段最短）？” 2. 方法总结：“我们是如何研究垂线的？（从相交线的一般情况到直角相交的特殊情况，通过操作验证得出性质）” 3. 易错提醒：强调“有且只有”的逻辑含义，区分垂线段与点到直线的距离，画图时三角板的正确摆放方法。 (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：教材习题7.1第2、3、4、6题. 探究性作业：教材习题7.1第8题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练，为后续探究铺垫 ） 主板书 7.1.2 两条直线垂直 探究点1　探究垂直定义 探究点2　过一点画直线的垂线 探究点3. 探究“垂线段最短” 课堂小结 副板书 典型例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $