专项提升训练03：圆锥的体积（考点梳理+例题讲解+专项练习）2025-2026学年六年级下册数学北师大版

专项提升训练03：圆锥的体积 考点梳理 1 考点一、圆柱与圆锥体积的关系 1 考点二、圆锥的体积 2 考点三、组合体的体积（圆锥） 2 考点四、立体图形的切拼（圆锥） 3 例题讲解 4 题型一、圆柱与圆锥体积的关系 4 题型二、圆锥的体积 4 题型三、组合体的体积（圆锥） 4 题型四、立体图形的切拼（圆锥） 5 专项练习 5 练习一、圆柱与圆锥体积的关系 5 练习二、圆锥的体积 6 练习三、组合体的体积（圆锥） 7 练习四、立体图形的切拼（圆锥） 8 考点梳理 考点一、圆柱与圆锥体积的关系 1. 实验推导背景 通过“等底等高”的圆柱与圆锥容器进行倒水（或沙）实验，探究两者体积之间的数量关系。 2. 实验过程 (1)条件：选取底面半径和高均相等的圆柱形容器与圆锥形容器（即“等底等高”）； (2)操作：将圆锥形容器装满水（或沙），倒入圆柱形容器中，重复操作直至圆柱形容器装满； (3)现象：需倒3次圆锥形容器的水（或沙）才能装满圆柱形容器。 3. 核心结论 (1)等底等高时：圆锥的体积是圆柱体积的 ，即 ； (2)公式关联：若圆柱体积公式为 （ 为底面积，h 为高），则圆锥体积 。 4. 注意事项 (1)必须满足“等底等高”条件，否则上述关系不成立（如底面积相等但高不同，或高相等但底面积不同，体积关系均不固定）； (2)实验中需确保圆锥容器完全装满，圆柱容器无泄漏，以保证结果准确性。 考点二、圆锥的体积 1. 定义 圆锥的体积是指圆锥所占空间的大小，单位通常为立方厘米（）、立方米（）等。 2. 推导过程 基于“等底等高的圆柱与圆锥体积关系”推导： (1)已知等底等高时 ； (2)圆柱体积公式为 （，r 为底面半径）； (3)因此，圆锥体积公式为 h。 3. 计算公式 (1)已知底面半径 (r) 和高 (h)： h； (2)已知底面直径 (d) 和高 (h)：先由 d = 2r得，代入公式： h； (3)已知底面周长 (C) 和高 (h)：先由 得 ，代入公式：； (4)已知底面积 和高 (h)：。 4. 注意事项 (1)计算时需确保底面积（或半径、直径、周长）与高的单位统一（如底面积单位为，高单位为 cm，体积单位为 ）； (2)公式中 通常取 3.14，若题目要求保留 ，需按要求书写（如 h）； (3)圆锥体积大小仅与底面积和高有关，与侧面展开图的形状（扇形）无关。 考点三、组合体的体积（圆锥） 1. 定义 由圆锥与其他立体图形（如圆柱、长方体、正方体等）组合而成的立体图形的体积，根据组合方式（叠加、挖空等），等于各组成部分体积之和或差。 2. 常见组合类型及计算方法 (1)圆锥与圆柱组合（如圆锥在圆柱上方、圆柱中挖去圆锥）： ①　叠加组合（圆锥在圆柱上方，等底等高）：体积 = 圆柱体积 + 圆锥体积 = ； ②　挖空组合（圆柱中挖去等底等高的圆锥）：体积 = 圆柱体积 - 圆锥体积 = 。 (2)圆锥与长方体/正方体组合（如圆锥放在长方体上）： 体积 = 长方体/正方体体积 + 圆锥体积（圆锥底面与长方体重叠，不影响体积计算）。 (3)圆锥与圆锥组合（如两个圆锥上下拼接，共用底面）： 体积 = 上面圆锥体积 + 下面圆锥体积（需分别计算两个圆锥的底面积和高，若底面积相同，可合并为 ）。 3. 分析步骤 （1）明确组合体由哪些基本立体图形组成（如圆锥、圆柱、长方体等）； （2）确定各基本图形的已知条件（底面积、高、半径等）； （3）根据各图形体积公式，分别计算体积； （4）根据组合方式（叠加、挖空），将各部分体积相加或相减，得到组合体体积。 考点四、立体图形的切拼（圆锥） 1. 定义 通过切割、拼接圆锥，将其转化为其他立体图形（如近似圆柱、圆台等），用于推导体积公式或解决体积相关问题，切拼过程中体积不变（表面积可能变化）。 2. 常见切拼方法及应用 (1)沿高垂直切割： 将圆锥沿底面直径和高切开，得到两个完全相同的“半圆锥”，每个半圆锥的体积 = 原圆锥体积÷2。此时表面积增加两个等腰三角形的面积，三角形的底 = 圆锥底面直径（d），高 = 圆锥的高（h），即。 (2)与圆柱组合切拼推导体积公式： 借助等底等高的圆柱和圆锥，通过“3个圆锥体积等于1个圆柱体积”的关系，反向推导圆锥体积公式（如将圆柱切拼为3个等底等高的圆锥，验证）。 (3)斜切圆锥： 沿与底面不平行的方向斜切圆锥，得到的立体图形为“圆台”（上、下底面为大小不同的圆），其体积可通过“大圆锥体积 - 小圆锥体积”计算（需确定两个圆锥的高和底面积关系）。 3. 切拼的核心结论 (1)切拼前后，立体图形的体积不变； (2)切割会增加表面积（新增切面面积），拼接可能减少表面积（重叠面不再计入）； (3)切拼是“转化思想”的体现，通过将圆锥与熟悉的圆柱、长方体等图形关联，帮助理解体积计算原理。 例题讲解 题型一、圆柱与圆锥体积的关系 【例题1】一个圆柱形橡皮泥，底面积是10平方厘米，高是6厘米，把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是( )，如果捏成等高的圆锥，圆锥底面积是( )。 【练习1】一个圆柱比和它等底等高的圆锥的体积大72cm3，这个圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 题型二、圆锥的体积 【例题2】一个圆锥体的底面直径是2dm，高是3dm，它的体积是( )dm3。 【练习2】计算下面圆锥的体积。 题型三、组合体的体积（圆锥） 【例题3】按要求计算，求下面立体图形的体积。 【练习3】求下列图形的体积。（单位：厘米） 题型四、立体图形的切拼（圆锥） 【例题4】一个圆锥的底面半径是6厘米，高是5厘米。从它的顶点向下沿着高将它等分切成两半，表面积增加( )平方厘米。 【练习4】把一个圆锥从顶点沿高将它切开分成两半后，表面积增加了24cm2，已知圆锥的底面半径为4cm，那么这个圆锥的体积是( )。 专项练习 练习一、圆柱与圆锥体积的关系 1．一个底面积为12.56m2，高为6cm的圆柱铅块，可以熔铸成( )个等底等高的圆锥，每个圆锥的体积是( )m3。 2．一个圆柱削去12立方米，正好削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆柱的体积是( )立方米。 3．等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少( )，如果它们的体积一共是48立方分米，那么圆柱的体积是( )立方分米。 4．一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱比圆锥的体积大48dm3，那么圆柱的体积是( )dm3，圆锥的体积是( )dm3。 5．如图，把一根圆柱形木料削成两个完全相同的圆锥，削去部分的体积是( )。 练习二、圆锥的体积 1．圆锥的体积是120cm3，高15cm，底面积是( )cm2。 2．一个圆锥的体积是75.36cm3，这个圆锥的底面直径是6cm，高是( )cm。 3．一个圆锥的底面直径是8cm，高是9cm，则它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3。 4．如图，将直角三角形分别以，两条直角边为轴旋转一周，所成的两个立体图形的体积分别是( )和( )。 5．计算下面圆锥的体积。 6．求圆锥的体积。 7．如图，以直角三角形的边为轴旋转得到一个立体图形。计算这个立体图形的体积。 练习三、组合体的体积（圆锥） 1．求下面立体图形的体积。 2．求下面物体的体积。 3．求图中立体图形的体积。 4．计算如图组合图形的体积。（单位：dm） 5．ABCD是直角梯形，以AB为轴将梯形旋转一周，求得到的立体图形的体积。 6．计算下面图形的体积。（单位：分米） 练习四、立体图形的切拼（圆锥） 1．下图，将圆锥沿高竖切，分割成完全相同的两部分，表面积比原来多了30平方厘米。已知圆锥的高是5厘米，那么原来圆锥的体积是( )立方厘米。（π取3.14） 2．一个底面周长为15.7分米、高6分米的圆锥，沿着高把它分成完全相同的两个部分，这两个部分的表面积之和比原来圆锥的表面积增加了( )平方分米。 3．如图，圆柱直径4dm，高2dm，体积是( )dm3；如果把它加工成最大的圆锥，圆锥的体积是( )dm3。 4．如图，一个圆锥在高的一半处平行于底面切开为两部分。上面部分是一个( )，下面部分是一个( )，上面部分和下面部分的体积比是( )∶( )。 5．用下面的正方体木块制作一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少？ 6．把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了24平方厘米。圆锥的高是6厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练03：圆锥的体积 考点梳理 1 考点一、圆柱与圆锥体积的关系 1 考点二、圆锥的体积 2 考点三、组合体的体积（圆锥） 2 考点四、立体图形的切拼（圆锥） 3 例题讲解 4 题型一、圆柱与圆锥体积的关系 4 题型二、圆锥的体积 5 题型三、组合体的体积（圆锥） 6 题型四、立体图形的切拼（圆锥） 7 专项练习 8 练习一、圆柱与圆锥体积的关系 8 练习二、圆锥的体积 11 练习三、组合体的体积（圆锥） 15 练习四、立体图形的切拼（圆锥） 19 考点梳理 考点一、圆柱与圆锥体积的关系 1. 实验推导背景 通过“等底等高”的圆柱与圆锥容器进行倒水（或沙）实验，探究两者体积之间的数量关系。 2. 实验过程 (1)条件：选取底面半径和高均相等的圆柱形容器与圆锥形容器（即“等底等高”）； (2)操作：将圆锥形容器装满水（或沙），倒入圆柱形容器中，重复操作直至圆柱形容器装满； (3)现象：需倒3次圆锥形容器的水（或沙）才能装满圆柱形容器。 3. 核心结论 (1)等底等高时：圆锥的体积是圆柱体积的 ，即 ； (2)公式关联：若圆柱体积公式为 （ 为底面积，h 为高），则圆锥体积 。 4. 注意事项 (1)必须满足“等底等高”条件，否则上述关系不成立（如底面积相等但高不同，或高相等但底面积不同，体积关系均不固定）； (2)实验中需确保圆锥容器完全装满，圆柱容器无泄漏，以保证结果准确性。 考点二、圆锥的体积 1. 定义 圆锥的体积是指圆锥所占空间的大小，单位通常为立方厘米（）、立方米（）等。 2. 推导过程 基于“等底等高的圆柱与圆锥体积关系”推导： (1)已知等底等高时 ； (2)圆柱体积公式为 （，r 为底面半径）； (3)因此，圆锥体积公式为 h。 3. 计算公式 (1)已知底面半径 (r) 和高 (h)： h； (2)已知底面直径 (d) 和高 (h)：先由 d = 2r得，代入公式： h； (3)已知底面周长 (C) 和高 (h)：先由 得 ，代入公式：； (4)已知底面积 和高 (h)：。 4. 注意事项 (1)计算时需确保底面积（或半径、直径、周长）与高的单位统一（如底面积单位为，高单位为 cm，体积单位为 ）； (2)公式中 通常取 3.14，若题目要求保留 ，需按要求书写（如 h）； (3)圆锥体积大小仅与底面积和高有关，与侧面展开图的形状（扇形）无关。 考点三、组合体的体积（圆锥） 1. 定义 由圆锥与其他立体图形（如圆柱、长方体、正方体等）组合而成的立体图形的体积，根据组合方式（叠加、挖空等），等于各组成部分体积之和或差。 2. 常见组合类型及计算方法 (1)圆锥与圆柱组合（如圆锥在圆柱上方、圆柱中挖去圆锥）： ①　叠加组合（圆锥在圆柱上方，等底等高）：体积 = 圆柱体积 + 圆锥体积 = ； ②　挖空组合（圆柱中挖去等底等高的圆锥）：体积 = 圆柱体积 - 圆锥体积 = 。 (2)圆锥与长方体/正方体组合（如圆锥放在长方体上）： 体积 = 长方体/正方体体积 + 圆锥体积（圆锥底面与长方体重叠，不影响体积计算）。 (3)圆锥与圆锥组合（如两个圆锥上下拼接，共用底面）： 体积 = 上面圆锥体积 + 下面圆锥体积（需分别计算两个圆锥的底面积和高，若底面积相同，可合并为 ）。 3. 分析步骤 （1）明确组合体由哪些基本立体图形组成（如圆锥、圆柱、长方体等）； （2）确定各基本图形的已知条件（底面积、高、半径等）； （3）根据各图形体积公式，分别计算体积； （4）根据组合方式（叠加、挖空），将各部分体积相加或相减，得到组合体体积。 考点四、立体图形的切拼（圆锥） 1. 定义 通过切割、拼接圆锥，将其转化为其他立体图形（如近似圆柱、圆台等），用于推导体积公式或解决体积相关问题，切拼过程中体积不变（表面积可能变化）。 2. 常见切拼方法及应用 (1)沿高垂直切割： 将圆锥沿底面直径和高切开，得到两个完全相同的“半圆锥”，每个半圆锥的体积 = 原圆锥体积÷2。此时表面积增加两个等腰三角形的面积，三角形的底 = 圆锥底面直径（d），高 = 圆锥的高（h），即。 (2)与圆柱组合切拼推导体积公式： 借助等底等高的圆柱和圆锥，通过“3个圆锥体积等于1个圆柱体积”的关系，反向推导圆锥体积公式（如将圆柱切拼为3个等底等高的圆锥，验证）。 (3)斜切圆锥： 沿与底面不平行的方向斜切圆锥，得到的立体图形为“圆台”（上、下底面为大小不同的圆），其体积可通过“大圆锥体积 - 小圆锥体积”计算（需确定两个圆锥的高和底面积关系）。 3. 切拼的核心结论 (1)切拼前后，立体图形的体积不变； (2)切割会增加表面积（新增切面面积），拼接可能减少表面积（重叠面不再计入）； (3)切拼是“转化思想”的体现，通过将圆锥与熟悉的圆柱、长方体等图形关联，帮助理解体积计算原理。 例题讲解 题型一、圆柱与圆锥体积的关系 【例题1】一个圆柱形橡皮泥，底面积是10平方厘米，高是6厘米，把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是( )，如果捏成等高的圆锥，圆锥底面积是( )。 【答案】 18厘米/18cm 30平方厘米/30cm2 【分析】圆柱形橡皮泥捏成圆锥，圆柱和圆锥的体积相等。等体积等底面积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高×3＝圆锥的高；等体积等高的圆柱和圆锥，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍，圆柱底面积×3＝圆锥底面积。 【详解】6×3＝18（厘米） 10×3＝30（厘米） 把它捏成等底的圆锥，这个圆锥的高是18厘米，如果捏成等高的圆锥，圆锥底面积是30平方厘米。 【练习1】一个圆柱比和它等底等高的圆锥的体积大72cm3，这个圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 108 36 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积就是3份，那么圆柱的体积比圆锥的体积多3－1＝2份。已知圆柱比圆锥的体积大72cm3，且多2份，所以每份的体积是72÷2＝36cm3。因为圆锥的体积是1份，所以圆锥的体积是36cm3。因为圆柱的体积是3份，所以圆柱的体积是36×3＝108cm3。 【详解】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积就是3份。 3－1＝2（份） 72÷2＝36（cm3） 36×1＝36（cm3） 36×3＝108（cm3） 所以这个圆柱的体积是108cm3，圆锥的体积是36cm3。 题型二、圆锥的体积 【例题2】一个圆锥体的底面直径是2dm，高是3dm，它的体积是( )dm3。 【答案】3.14 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据计算，即可求解。 【详解】×3.14×（2÷2）2×3 ＝×3.14×12×3 ＝×3.14×1×3 ＝3.14（dm3） 它的体积是3.14dm3。 【练习2】计算下面圆锥的体积。 【答案】56.52cm3 【分析】根据圆锥的体积＝，代入数据计算即可。 【详解】×3.14××6 ＝×3.14×9×6 ＝×28.26×6 ＝28.26×2 ＝56.52（cm3） 题型三、组合体的体积（圆锥） 【例题3】按要求计算，求下面立体图形的体积。 【答案】188.4cm3 【分析】看图可知，这个立体图形的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【详解】3.14×（6÷2）2×4＋3.14×（6÷2）2×（12－4）÷3 ＝3.14×32×4＋3.14×32×8÷3 ＝3.14×9×4＋3.14×9×8÷3 ＝113.04＋75.36 ＝188.4（cm3） 这个立体图形的体积是188.4cm3。 【练习3】求下列图形的体积。（单位：厘米） 【答案】159.48立方厘米 【分析】题干中的图形是正方体减去圆锥的体积，正方体的棱长为6厘米，圆锥的底面直径为6厘米，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆锥体积＝，图形的体积＝正方体体积－圆锥体积，据此可计算得出答案。 【详解】图形的体积为： （立方厘米） 题型四、立体图形的切拼（圆锥） 【例题4】一个圆锥的底面半径是6厘米，高是5厘米。从它的顶点向下沿着高将它等分切成两半，表面积增加( )平方厘米。 【答案】60 【分析】从圆锥的顶点沿着高将它切成两半，切面是两个相等的等腰三角形，这个等腰三角形的底是圆锥的底面直径，高是圆锥的高，据此作答即可。 【详解】6×2×5÷2×2 ＝12×5÷2×2 ＝60（平方厘米） 所以表面积增加60平方厘米。 【练习4】把一个圆锥从顶点沿高将它切开分成两半后，表面积增加了24cm2，已知圆锥的底面半径为4cm，那么这个圆锥的体积是( )。 【答案】50.24cm3 【分析】因为把一个圆锥从顶点沿高将它切开分成两半后，切面为两个三角形，所以可以算出一个切面的面积，然后根据三角形面积＝底×高÷2，即可逆推出圆锥的高，再根据圆锥的体积＝πr2h，代入数据，进行解答即可。 【详解】24÷2＝12（cm2） 12×2÷（4×2） ＝24÷8 ＝3（cm） ×3.14×42×3 ＝×3.14×16×3 ＝×50.24×3 ＝×150.72 ＝50.24（cm3） 圆锥的体积是50.24cm3。 【点睛】熟练掌握圆锥的体积公式是解题的关键。 专项练习 练习一、圆柱与圆锥体积的关系 1．一个底面积为12.56m2，高为6cm的圆柱铅块，可以熔铸成( )个等底等高的圆锥，每个圆锥的体积是( )m3。 【答案】 3 0.2512 【分析】因为1cm＝0.01m，所以6cm为6÷100＝0.06m。圆柱体积公式V＝Sh（S是底面积，h是高），已知底面积为12.56m2，高为0.06m，则体积为12.56×0.06＝0.7536m3。等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍。所以一个圆柱铅块可以熔铸成3个等底等高的圆锥。每个圆锥体积就是用圆柱的体积除以3即可。 【详解】等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍。 1m＝100cm 6÷100＝0.06（m） 12.56×0.06＝0.7536（m3） 0.7536÷3＝0.2512（m3） 可以熔铸成3个等底等高的圆锥，每个圆锥的体积是0.2512m3。 2．一个圆柱削去12立方米，正好削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆柱的体积是( )立方米。 【答案】18 【分析】将一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，则圆柱体积是圆锥体积的3倍，假设圆锥体积是1份，圆柱体积是3份，则削去部分的体积是3－1＝2份；削去12立方米，用12立方米除以2求出每份的体积，再乘3即可求出圆柱的体积。 【详解】假设圆锥体积是1份，圆柱体积是3份。 12÷（3－1）×3 ＝12÷2×3 ＝6×3 ＝18（立方米） 所以这个圆柱的体积是18立方米。 3．等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少( )，如果它们的体积一共是48立方分米，那么圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】 36 【分析】等底等高的圆柱和圆锥，假设圆锥的体积是1，则圆柱的体积是3，求出圆锥体积比圆柱体积少多少，再除以圆柱的体积即可；根据等底等高的圆柱与圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，体积之和就是圆锥的4倍，用48÷4，即可求出圆锥的体积。圆锥体积乘3即可求出圆柱体积。 【详解】（3－1）÷3 ＝2÷3 ＝ 48÷（3＋1）×3 ＝48÷4×3 ＝12×3 ＝36（立方分米） 所以等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少，如果它们的体积一共是48立方分米，那么圆柱的体积是36立方分米。 4．一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱比圆锥的体积大48dm3，那么圆柱的体积是( )dm3，圆锥的体积是( )dm3。 【答案】 72 24 【分析】圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，据此可知：圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的3倍，则圆锥体积的（3－1）倍是48dm3，据此用除法求出圆锥的体积，再用圆锥的体积乘3即可求出圆柱的体积。 【详解】48÷（3－1） ＝48÷2 ＝24（dm3） 24×3＝72（dm3） 一个圆柱和一个圆锥等底等高，如果圆柱比圆锥的体积大48dm3，那么圆柱的体积是72dm3，圆锥的体积是24dm3。 5．如图，把一根圆柱形木料削成两个完全相同的圆锥，削去部分的体积是( )。 【答案】188.4 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，由此可知，一个圆锥的体积是底面半径为3dm，高是10÷2＝5（dm）的圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去部分的体积是圆柱体积的1－，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，求削去部分的体积，用底面半径是3dm，高是10÷2＝5（dm）的圆柱体积乘1－，再乘2即可求出消去部分的体积。 【详解】3.14××（10÷2）×（1－）×2 ＝3.14×9×5××2 ＝28.26×5××2 ＝141.3××2 ＝94.2×2 ＝188.4（） 所以削去部分的体积是188.4。 练习二、圆锥的体积 1．圆锥的体积是120cm3，高15cm，底面积是( )cm2。 【答案】24 【分析】已知圆锥的体积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的底面积S＝3V÷h，代入数据计算，即可求出圆锥的底面积。 【详解】120×3÷15 ＝360÷15 ＝24（cm2） 底面积是24cm2。 2．一个圆锥的体积是75.36cm3，这个圆锥的底面直径是6cm，高是( )cm。 【答案】8 【分析】根据圆锥的体积＝×半径的平方×高，用圆锥的体积乘3，再除以（×半径的平方）即可求出高。 【详解】6÷2＝3（cm） 3.14× ＝3.14×9 ＝28.26（） 75.36×3÷28.26 ＝226.08÷28.26 ＝8（cm） 所以高是8cm。 3．一个圆锥的底面直径是8cm，高是9cm，则它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 50.24 150.72 【分析】已知圆锥的底面直径是8cm，那么半径为8÷2＝4cm，根据底面面积公式：S＝πr2，π取3.14，把数据代入公式计算即可得出底面积。圆锥的体积公式为V＝Sh（S是底面积，h是高），高为9cm，把求出的底面积和高代入公式计算即可解答。 【详解】8÷2＝4（cm） 3.14×42＝3.14×16＝50.24（cm2） ×50.24×9＝150.72（cm3） 它的底面积是50.24cm2，体积是150.72cm3。 4．如图，将直角三角形分别以，两条直角边为轴旋转一周，所成的两个立体图形的体积分别是( )和( )。 【答案】 301.44 401.92 【分析】三角形ABC以AB直角边为轴旋转一周，形成的圆锥底面半径是6cm，高是8cm；BC直角边为轴旋转一周，形成的圆锥底面半径是8cm，高是6cm；根据V＝πr2h÷3计算解答。 【详解】3.14×62×8÷3 ＝3.14×36×8÷3 ＝904.32÷3 ＝301.44（） 3.14×82×6÷3 ＝3.14×64×6÷3 ＝1205.76÷3 ＝401.92（） 故所成的两个立体图形的体积分别是301.44和401.92。 5．计算下面圆锥的体积。 【答案】 【分析】已知圆锥的底面积和高，利用圆锥的体积，即可求出这个圆锥的体积。 【详解】 圆锥的体积为。 6．求圆锥的体积。 【答案】150.72立方厘米 【分析】需要先根据圆锥底面直径求出半径，再利用圆锥体积公式V＝πr2h（其中V是体积，r是底面半径，h是高）进行计算。已知圆锥底面直径8厘米、高9厘米，先求半径，再代入公式求解，据此解答。 【详解】求圆锥底面半径：已知圆锥底面直径为8厘米，因为半径r＝直径÷2，所以底面半径r＝8÷2＝4厘米。 计算圆锥体积：根据圆锥体积公式V＝πr2h，r＝4厘米，h＝9厘米，代入可得： V＝×（3.14×42×9） ＝×（3.14×16×9） ＝×（50.24×9） ＝×452.16 ＝150.72（立方厘米） 圆锥的体积150.72立方厘米。 7．如图，以直角三角形的边为轴旋转得到一个立体图形。计算这个立体图形的体积。 【答案】47.1cm3 【分析】从题意可知：以直角三角形的边为轴旋转得到一个高5cm、底面半径3cm的圆锥。根据圆锥的体积：V＝πr2h，代入数据计算即可。 【详解】×3.14×32×5 ＝×3.14×9×5 ＝47.1（cm3） 这个立体图形的体积是47.1cm3。 练习三、组合体的体积（圆锥） 1．求下面立体图形的体积。 【答案】128.74dm3 【分析】图中立体图形由一个圆柱和一个圆锥组成：已知圆柱的底面半径和圆柱的高，根据圆柱的体积公式，可求出圆柱的体积；已知圆锥的底面半径和圆锥的高，根据圆锥的体积公式，可求出圆锥的体积；最后圆柱的体积＋圆锥的体积＝立体图形的体积，据此解答即可。 【详解】圆柱体积：（dm3） 圆锥体积：（dm3） 立体图形的体积：（dm3） 答：立体图形的体积是128.74dm3。 2．求下面物体的体积。 【答案】351.68cm3 【分析】由图可知，这个物体由圆锥和圆柱两部分组成，，，把图中的数据代入公式计算，分别求出圆柱和圆锥的体积，最后求出它们的和，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝351.68（cm3） 所以，这个物体的体积是351.68cm3。 3．求图中立体图形的体积。 【答案】251.2cm3 【分析】观察图形可知，组合体的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解。 【详解】3.14×（8÷2）2×2＋×3.14×（8÷2）2×9 ＝3.14×42×2＋×3.14×42×9 ＝3.14×16×2＋×3.14×16×9 ＝100.48＋150.72 ＝251.2（cm3） 组合体的体积是251.2cm3。 4．计算如图组合图形的体积。（单位：dm） 【答案】110.56dm3 【分析】观察图形可知，组合图形的体积＝圆锥的体积＋长方体的体积，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】×3.14×（4÷2）2×3＋7×7×2 ＝×3.14×22×3＋7×7×2 ＝×3.14×4×3＋7×7×2 ＝12.56＋98 ＝110.56（dm3） 组合图形的体积是110.56dm3。 5．ABCD是直角梯形，以AB为轴将梯形旋转一周，求得到的立体图形的体积。 【答案】50.24dm3 【分析】以AB为轴将梯形旋转一周，得到的立体图形相当于从一个底面半径2dm，高5dm的圆柱中挖去一个底面半径2dm，高（5－2）dm的圆锥，这个立体图形的体积＝圆柱体积－圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【详解】3.14×22×5－3.14×22×（5－2）÷3 ＝3.14×4×5－3.14×4×3÷3 ＝62.8－12.56 ＝50.24（dm3） 得到的立体图形的体积是50.24dm3。 6．计算下面图形的体积。（单位：分米） 【答案】81.64立方分米 【分析】已知圆柱和圆锥的底面直径都是4分米，圆柱的高是8分米，圆锥的高是4.5分米，这个图形的体积＝圆柱的体积－圆锥的体积。先用直径÷2求出半径，再根据圆柱的体积：V＝πr2h，圆锥的体积：V＝πr2h，分别代入数据计算，求出体积，再相减即可。 【详解】（4÷2）2×3.14×8－×（4÷2）2×3.14×4.5 ＝22×3.14×8－×22×3.14×4.5 ＝4×3.14×8－×4×3.14×4.5 ＝100.48－18.84 ＝81.64（立方分米） 这个图形的体积是81.64立方分米。 练习四、立体图形的切拼（圆锥） 1．下图，将圆锥沿高竖切，分割成完全相同的两部分，表面积比原来多了30平方厘米。已知圆锥的高是5厘米，那么原来圆锥的体积是( )立方厘米。（π取3.14） 【答案】47.1 【分析】根据题意，将圆锥沿高竖切成两部分，表面积比原来多了30平方厘米，增加的表面积是2个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积；先用增加的表面积除以2，求出一个三角形面积； 根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，据此求出圆锥的底面直径； 再根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出原来圆锥的体积。 【详解】一个截面的面积：30÷2＝15（平方厘米） 圆锥的底面直径：15×2÷5＝6（厘米） 圆锥的体积： ×3.14×（6÷2）2×5 ＝×3.14×32×5 ＝×3.14×9×5 ＝47.1（立方厘米） 那么原来圆锥的体积是47.1立方厘米。 2．一个底面周长为15.7分米、高6分米的圆锥，沿着高把它分成完全相同的两个部分，这两个部分的表面积之和比原来圆锥的表面积增加了( )平方分米。 【答案】30 【分析】将圆锥沿着高分成完全相同的两个部分，即增加的表面积就是这两个横截面的面积之和，这两个横截面是两个等腰三角形，等腰三角形的高即为圆锥的高，等腰三角形的底即为圆锥的底面直径。再根据三角形的面积＝底×高÷2的公式再乘上2即可求出答案。 【详解】根据分析可得： 圆锥的底面直径：（分米） 增加的表面积： （平方分米） 所以这两个部分的表面积之和比原来圆锥的表面积增加了30平方分米。 【点睛】本题关键是清楚圆锥沿着高分出的横截面的形状。 3．如图，圆柱直径4dm，高2dm，体积是( )dm3；如果把它加工成最大的圆锥，圆锥的体积是( )dm3。 【答案】 25.12 【分析】根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算即可求解； 如果把圆柱加工成最大的圆锥，那么圆锥和圆柱等底等高；根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，由此求出圆锥的体积。 【详解】圆柱的体积： 3.14×（4÷2）2×2 ＝3.14×4×2 ＝25.12（dm3） 圆锥的体积： 25.12×＝（dm3） 圆柱的体积是25.12dm3，圆锥的体积是dm3。 【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积公式的运用，明确等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系是解题的关键。 4．如图，一个圆锥在高的一半处平行于底面切开为两部分。上面部分是一个( )，下面部分是一个( )，上面部分和下面部分的体积比是( )∶( )。 【答案】 圆锥 圆台 1 7 【分析】将圆锥从顶点量得的一半高度处平行于底面截开，所得上半部分与原圆锥相似，再根据圆锥的体积公式：体积＝，计算出上面部分的体积；下半部分是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，圆台的体积可以通过用原圆锥的体积减去上半部分的体积得到。根据图片中给出的数据代入计算即可。 【详解】10÷2＝5（厘米） 4÷2＝2（厘米） 8÷2＝4（厘米） （3.14×2×2×5÷3）∶（3.14×4×4×10÷3－3.14×2×2×5÷3） ＝20∶140 ＝1∶7 上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆台，上面部分和下面部分的体积比是1∶7。 【点睛】熟悉圆锥体积公式，了解什么图形是圆台，圆台也可以看作是“截断的圆锥”。 5．用下面的正方体木块制作一个最大的圆锥，圆锥的体积是多少？ 【答案】2093立方厘米 【分析】用这个正方体木块制成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径是20厘米，高是20厘米，根据圆锥的体积＝底面积×高×＝πr2h，代入数据计算即可解答。 【详解】3.14×（20÷2）2×20× ＝3.14×102×20× ＝3.14×100×20× ＝6280× ＝2093（立方厘米） 答：圆锥的体积是2093立方厘米。 6．把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了24平方厘米。圆锥的高是6厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】25.12立方厘米 【分析】把一个圆锥沿着高切开，增加两个等腰三角形，等腰三角形的底＝圆锥底面半径，等腰三角形的高＝圆锥的高，增加的表面积÷2＝一个等腰三角形的面积，根据三角形的底＝面积×2÷高，求出圆锥底面半径，再根据圆锥体积＝底面积×高×，列式解答即可。 【详解】24÷2＝12（平方厘米） 12×2÷6＝4（厘米） （立方厘米） 答：圆锥的体积是25.12立方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $