专项提升训练：长方体和正方体的认识及展开图（考点梳理+例题讲解+考点练习）2025-2026学年五年级下册数学苏教版

专项提升训练：长方体和正方体的认识及展开图 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、长方体和正方体的认识及特征 1 考点二、长方体的展开图 2 考点三、正方体的展开图 2 例题讲解 3 题型一、长方体和正方体的认识及特征 3 题型二、长方体的展开图 4 题型三、正方体的展开图 5 考点练习 6 练习一、长方体和正方体的认识及特征 6 练习二、长方体的展开图 10 练习三、正方体的展开图 15 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识及特征 （一）长方体的认识及特征 1.定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 2.各部分名称： (1)顶点：长方体有8个顶点，是三条棱的交点。 (2)棱：长方体有12条棱，按长度可分为3组，每组4条棱长度相等，分别称为长、宽、高（通常把底面中较长的棱称为长，较短的棱称为宽，垂直于底面的棱称为高）。 (3)面：长方体有6个面，一般为长方形（可能有2个相对的面是正方形），相对的面完全相同（面积相等）。 3.关键特征： (1)6个面，相对面完全相同；12条棱，分3组，每组4条棱长度相等；8个顶点。 (2)长方体的大小由长、宽、高决定，通常表示为“长×宽×高”。 （二）正方体的认识及特征 1.定义：长、宽、高都相等的长方体，也叫立方体，是特殊的长方体。 2.各部分名称：与长方体相同，包括顶点、棱、面。 3.关键特征： (1)6个面都是完全相同的正方形，面积相等。 (2)12条棱长度都相等。 (3)8个顶点。 4.与长方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的长方体，具备长方体的所有特征，是长方体的特殊形式。 考点二、长方体的展开图 1.定义：将长方体的6个面沿棱剪开后，平铺形成的平面图形，展开图由6个长方形（可能有2个正方形）组成，相对的面在展开图中不相邻。 2.构成特点： (1) 展开图中，相对的面完全相同，且不相邻（即中间至少间隔一个面）。 (2) 展开图的总棱长等于原长方体棱长总和的2倍（因为每个棱被剪开后露出2个端点，展开图的周长由原长方体的棱构成）。 3.常见类型（按长方形排列方式分类）： (1)一四一型：中间4个长方形相连，上下各1个长方形（共6种）。 (2)二三一型：中间3个长方形相连，上方2个长方形，下方1个长方形（共3种）。 (3)三三型：上下各3个长方形相连（1种）。 (4)二二二型：每2个长方形为一组，分3组上下排列（1种）。 4.判断能否折成长方体： (1)展开图必须有6个面，且相对的面完全相同。 (2)不存在重叠的面，也不能有面缺失。 (3)相对的面在展开图中不相邻，且位置符合长方体面的相对关系。 考点三、正方体的展开图 1.定义：将正方体的6个面沿棱剪开后，平铺形成的平面图形，由6个完全相同的正方形组成。 2.构成特点： (1)6个正方形完全相同，相对的面在展开图中不相邻（中间至少间隔一个正方形）。 (2)展开图中，每个正方形至少与一个其他正方形相连，且无重叠、无缺失。 3.常见类型（共11种，按正方形排列方式分类）： (1)一四一型：中间4个正方形相连，上下各1个正方形（6种，上下两个正方形可在中间4个正方形的任意一侧）。 (2)二三一型：中间3个正方形相连，上方2个正方形，下方1个正方形（3种，上方2个正方形可在中间3个正方形的左侧、右侧或中间）。 (3)三三型：上下各3个正方形相连（1种，呈“阶梯状”排列）。 (4)二二二型：每2个正方形为一组，分3组上下排列（1种，呈“直线阶梯”状）。 4.判断能否折成正方体： (1)展开图必须有6个完全相同的正方形。 (2)避免出现“田”字格（中间4个正方形形成“田”字，无法折成正方体）。 (3)相对面在展开图中的位置规律：①相间（中间隔一个正方形的两个面是相对面）；②“Z”端（呈“Z”字形两端的两个面是相对面）。 例题讲解 题型一、长方体和正方体的认识及特征 【例题1】长方体和正方体都有( )个面、( )条棱、( )个顶点。长方体相对的面( )。正方体的面都是( )。 【答案】 6 12 8 完全相同 正方形 【分析】长方体有6个面，每个面一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面面积相等。有12条棱，12条棱可以分3组：4条长，4条宽，4条高，长、宽、高分别相等。有8个顶点，每个顶点处由长、宽、高三条棱组成。根据正方体的特征，长、宽、高都相等的长方体叫做正方体，正方体是特殊的长方体；所以正方体也有6面、12条棱、8个顶点，正方体的6个都是正方形。 【详解】长方体和正方体都有6个面、12条棱、8个顶点。长方体相对的面完全相同。正方体的面都是正方形。 【练习1】数学课上，明明用学具搭一个长方体框架，搭了其中三根，就能决定这个长方体的形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般情况下长方体六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。决定长方体形状和大小的是长、宽、高，三根学具棒能确定长、宽、高即可，据此分析。 【详解】A．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除； B．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除； C．三根学具棒分别是长方体的长、宽、高，能决定这个长方体的形状与大小； D．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除。 能决定这个长方体的形状与大小的是。 故答案为：C 题型二、长方体的展开图 【例题2】方格图中是一个长方体展开图的三个面，请画出此长方体展开图的另外三个面。 【答案】见详解 【分析】根据长方体的特征，六个面都是长方形，相对的面形状相同、面积相等，由题意可知，图中给出了三个不相对的面，依据“相对面完全相同”的特征，对应画出剩余的三个面。 【详解】由分析可知，作图如下： 【练习2】将一个长方体沿着一些棱剪开，可以得到下面的图形。 与A相对的面是( )，与D相对的面是( )，与F相对的面是( )。 【答案】 E B C 【分析】长方体共有6个面，相对的两个面形状和大小完全一样，把长方体进行展开，展开图中与A相对的面是E，与D相对的面是B，与F相对的面是C。 【详解】根据分析可知，展开图中与A相对的面是E，与D相对的面是B，与F相对的面是C。 题型三、正方体的展开图 【例题3】下列图形中折叠后能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。 【详解】A．出现了“凹”字结构，折叠时会有重叠面，不能围成正方体； B．不符合正方体展开图的任何标准特征； C．属于“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，可以围成正方体； D．不符合正方体展开图的11种特征的任何一种，不能围成正方体。 故答案为：C 【练习3】下图是一个正方体的展开图，从图中可以看出1号面与( )号面相对；6号面的对面是( )号；( )号面和4号面相对。 【答案】 5 3 2 【分析】正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面，据此填空即可。 【详解】从图中可以看出1号面与5号面相对；6号面的对面是3号；2号面和4号面相对。 考点练习 练习一、长方体和正方体的认识及特征 1．一个物体长250毫米，宽180毫米，高7毫米。它最有可能是（    ）。 A．遥控器 B．平板电脑 C．冰箱 D．现代汉语字典 【答案】B 【分析】根据1厘米＝10毫米，250÷10＝25（厘米），180÷10＝18（厘米）； 由题意可知，这个物体的长是25厘米，宽是18厘米，高是7毫米，指甲的宽度大约是1厘米，据此解答。 【详解】A．遥控器的长、宽、高较小，宽不可能是18厘米，所以这个物体不可能是遥控器； B．平板电脑的长约是25厘米，宽约是18厘米，高约是7毫米，所以这个物体最有可能是平板电脑； C．联系生活实际可知，冰箱的长、宽、高远大于题中物体的长、宽、高，所以这个物体不可能是冰箱； D．现代汉语字典厚远超过7毫米，所以这个物体不可能是现代汉语字典。 故答案为：B 2．有一些小棒和橡皮泥团，每种材料的数量如下表，从中选择合适的材料，做一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高分别是（    ）。 材料 7cm 9cm 11cm 数量 8团 10根 6根 3根 A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】长方体有12条棱，分别是4条长、4条宽、4条高，所以选择的小棒长度中，每种长度的小棒数量至少需要4根（特殊情况有两个面是正方形时，会有8条棱长度相同）。由于11cm的小棒只有3根，不满足至少4根的需求，因此含有11cm的组合可直接排除，再结合9cm和7cm小棒的数量，根据长方体棱的数量要求进行选择即可。 【详解】根据分析，可以选择4根9cm的小棒作为长、8根7cm的小棒作为宽和高，因此这个长方体的长、宽、高分别是9cm、7cm、7cm。 故答案为：A 3．一个长12dm，宽6dm，高5dm的长方体盒子，最多能放（    ）个棱长为2dm的正方体木块。 A．36 B．40 C．45 D．90 【答案】A 【分析】分别用长方体盒子的长、宽、高除以正方体棱长，求出沿着长、宽、高最多能放多少个正方体，根据长方体体积公式，用长放正方体的个数×宽放正方体的个数×高放正方体的个数，即可解答。 【详解】12÷2＝6（个） 6÷2＝3（个） 5÷2＝2（个）……1（dm） 6×3×2 ＝18×2 ＝36（个） 一个长12dm，宽6dm，高5dm的长方体盒子，最多能放36个棱长为2dm的正方体木块。 故答案为：A 4．最少需要（    ）个相同的小正方体木块可以拼成一个大正方体。 A．6 B．8 C．9 D．27 【答案】B 【分析】用同样大小的正方体可以拼成一个大正方体，每条棱长上至少需要2个小正方体，由此即可解答。 【详解】2×2×2 ＝4×2 ＝8（个） 所以最少需要8个相同的小正方体木块可以拼成一个大正方体。 故答案为：B 5．长、宽、高都相等的长方体叫作( )。正方体的6个面都是( )，6个面的面积都( )，12条棱的长度都( )。 【答案】 正方体 正方形 相等 相等 【详解】如图： 长、宽、高都相等的长方体叫作（正方体）。正方体的6个面都是（正方形），6个面的面积都（相等），12条棱的长度都（相等）。 6．长方体有( )个面，长方体的面是长方形（也可能有2个相对的面是正方形），相对的面( )。长方体有( )条棱，相对的棱长度( )。长方体有( )个顶点。 【答案】 6 完全相同 12 相等 8 【分析】长方体的面：长方体是由六个面组成的立体图形，这六个面通常是长方形，但在特殊情况下可能有两个相对的面是正方形；相对的两个面的形状相同、面积相等，即完全相同。长方体的棱：长方体有12条棱，分为三组，分别是长、宽、高的各4条棱。 相对的棱是指在长方体中处于相同位置关系的棱，它们的长度相等。 长方体的顶点：长方体有8个顶点，即长方体的八个角的点。 【详解】长方体有6个面；长方体的面是长方形（也可能有2个相对的面是正方形），相对的面完全相同；长方体有12条棱；相对的棱长度相等；长方体有8个顶点。 7．计算长方体、正方体涂色面的面积。          【答案】35平方厘米；25平方厘米 【分析】长方体的涂色面是它的底面，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算求解； 正方体的涂色面是它的底面，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解。 【详解】7×5＝35（平方厘米） 长方体涂色面的面积是35平方厘米。 5×5＝25（平方厘米） 正方体涂色面的面积是35平方厘米。 8．摆一摆，说一说：用下面的纸片，如果要围成一个长方体，可以选择哪几种？每种几张？要围成一个正方体呢？ 【答案】见详解 【分析】根据长方体、正方体的特征以及题中所给的纸片的类型和尺寸解答。 长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 正方体的特征：6个面都是正方形，且面积相等。 【详解】答：要围成一个长方体，可以选择： ①两张10cm×8cm，两张10cm×5cm，两张8cm×5cm； ②两张8cm×8cm，四张10cm×8cm； ③两张8cm×8cm，四张8cm×5cm； ④两张10cm×10cm，四张10cm×8cm； ⑤两张10cm×10cm，四张10cm×5cm。 要围成一个正方体，可以选择： ①六张8cm×8cm； ②六张10cm×10cm。 练习二、长方体的展开图 1．下面的图形沿折痕能围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方体与正方体展开图类似，正方体展开图是由6个相同的正方形组成的，而长方体展开图是由6个长方形组成的（特殊长方体有两个相对面是正方形），对应的长方形相同，然后再根据正方体展开图的11种特征解答即可；正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。 【详解】A．属于正方体展开图“1－4－1”结构，能围成长方体； B．图形中面的排列方式混乱，相对面无法对应，不符合长方体展开图的规则，不能围成长方体； C．展开图中相对面的位置不匹配，不能围成长方体； D．展开图中面的布局不合理，相对面的大小，位置无法正确重合，不能围成长方体。 所以能围成长方体的是。 故答案为：A 2．左图最有可能是下面图（    ）的表面展开图。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方体表面展开图的特征，题干中的长方体有4个面一样大，另两个面一样大，逐一分析每个选项，看哪个选项的立体图形能与给定的展开图对应起来。 【详解】A．是一个普通的长方体，它的六个面中，相对的面大小形状相同。但是观察给定的展开图，它有两个面明显比其他面小一些，而选项A的六个面没有这样的特征，所以选项A不符合。 B．是一个正方体，正方体的六个面都是完全相同的正方形。而给定的展开图明显不是六个相同的正方形组成的，所以选项B不符合。 C．它的各个面的大小比例关系与给定的展开图不匹配。从展开图可以看出有两个相对较小的面，以及四个较大的面，且四个较大的面一样大，选项C的形状和比例与展开图不一致，所以选项C不符合。 D．它的形状和大小关系与给定的展开图相符合。展开图中两个较小的面可以对应选项D长方体的两个侧面，四个较大的面可以对应长方体的上下底面和前后侧面，所以选项D符合。 所以最有可能是下面图中的展开图。 故答案为：D 3．如图，一个长方体展开图，每个面都标有一个数字，如果将这个展开图恢复成长方体，与“5”相对的面是( )。 【答案】“3” 【分析】根据长方体展开图的特征，此图属于长方体展开图的“1－3－2”型，折成长方体后，数字“1”与“4”相对，“2”与“6”相对，“3”与“5”相对。 【详解】由分析得： 在本题中，如果将这个展开图恢复成长方体，与“5”相对的面是“3”。 【点睛】长方体的表面展开图，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。 4．下图沿虚线折叠后会形成一个长方体。 (1)折叠后有2个面会完全重合，这两个面是( )号和( )号（填序号）。 (2)与⑤号相对的面是( )号，与④相对的面是( )号。 【答案】(1) ① ② (2) ③ ⑥ 【分析】把这个图形折成长方体，可以认为④是下面，⑦是前面，③是左面，⑤是右面，①②是后面，⑥是上面，据此可填空。 【详解】（1）把这个图形折成长方体，可以认为④是下面，⑦是前面，③是左面，则①②是后面，这两个面重合。 （2）与⑤号相对的面是③号，与④相对的面是⑥号。 5．下面是一个长方体的展开图。 （1）如果底面数字是1，那么数字( )在上面。 （2）如果数字3在前面，从右面看是数字5，那么数字( )在上面。 （3）相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最大是( )。 【答案】 5 6 15 【分析】根据长方体的特点：相对的面完全相同，题干中，1和5相对，2和6相对，3和4相对；相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最大则是相邻的三个面4、5、6之和，据此解答。 【详解】由分析得： （1）如果底面数字是1，那么数字5在上面。 （2）如果数字3在前面，从右面看是数字5，那么数字6在上面。 （3）相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最大是： 4＋5＋6 ＝9＋6 ＝15 【点睛】此题考查的是长方体的展开图的应用，掌握长方体的展开图并能够根据展开图想象拼接是解题关键。 6．下面方格纸上画出的是一个长方体展开图的前面和上面，请画出这个展开图的其余几个面，并标出名称。 【答案】见详解 【分析】长方体展开图“1-4-1”型的结构为：中间4个面，两边各1个面。结合已有的“上面”和“前面”可知该长方体长3、宽1、高2，补全方法如下： “下面”在“前面”的正下方，长3、宽1，标注“下面”； “左面”在“前面”的左侧，长2、宽1，标注“左面”； “右面”在“前面”的右侧，长2、宽1，标注“右面”； “后面”在“右面”的右侧，长3、宽2，标注 “后面”。（图形不唯一） 【详解】如图： （图形不唯一） 7．如图每个小方格的边长表示1厘米。 （1）在图中再添画一个长方形，使这个图形能围成一个长方体。 （2）如果“”标出的是长方体的前面，请你用“”标出长方体的下面。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）由图可知，该长方体展开图的长是3厘米，高是1厘米，宽是2厘米，图中还少一个长2厘米，宽1厘米的长方形。当一行有4个长方形，上下各有一个长方形的时候，可以围成一个长方体，所以在长3厘米，宽2厘米的右边画一个长2厘米，宽1厘米的长方形。 （2）已知“”是前面，所以展开图的左右两个面就是侧面，长方体展开图中，“前面”的下方（或对应相邻面）即为“下面”，如在展开图的最下面的长3厘米，宽1厘米中标“”。 【详解】（1）在长3厘米，宽2厘米的右边画一个长2厘米，宽1厘米的长方形。（答案不唯一） （2）在展开图的最下面的长3厘米，宽1厘米中标“”。 8．按下面虚线能折成长方体吗？如果能，它的长、宽、高各是多少？（单位：厘米） 【答案】能；长4厘米；宽2.5厘米；高2厘米 【分析】图中的6个面都是长方形，相对的面相同，符合长方体的特征，可以折成长方体。 从展开图中可知，长方体的长是4厘米，长方体的宽是2.5厘米，展开图中的6.5厘米包含2个高和一个宽，由此求出长方体的高。 【详解】长方体的高： （6.5－2.5）÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 答：按图中的虚线能折成长方体，它的长是4厘米，宽是2.5厘米，高是2厘米。 练习三、正方体的展开图 1．下面几何图形展开图中，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有“1－4－1”型，“1－3－2”型，“2－2－2”型和“3－3”型。如果展开图出现田字形，凹字形是不能围成正方体的，如果一行超过4个正方形也不能围成。 【详解】 A．属于正方体展开图的“1－4－1”型，能围成正方体； B．属于正方体展开图的“2－2－2”型，能围成正方体； C．不属于正方体展开图，不能围成正方体； D．属于正方体展开图的“1－3－2”型，能围成正方体。 故答案为：C 2．下面是四幅正方体的展开图，其中“学”与“数”相对的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图知识，相对的面之间一定相隔一个正方形且没有公共顶点，且通常呈现“Z”型或“一四一”型的间隔关系，由此逐项分析。 【详解】A．“学”的相邻面是“数”和“真”，则“学”与“数”不相对，此项错误。 B．“学”的相邻面是“数”和“有”，则“学”与“数”不相对，此项错误。 C．“学”和“数”呈现“Z”型分布，属于相对面，此项正确。 D．“学”的相邻面是“趣”和“真”，“数”的相邻面是“有”和“习”，并且不符合“Z”型或“一四一”型的间隔关系，则“学”与“数”不相对，此项错误。 故答案为：C 3．折一折，将如图的展开图围成一个正方体后，“好”字的对面是( )字。 【答案】边 【分析】正方体展开图的相对面辨别方法：位于同一行或同一列且中间间隔1个正方形面的两个正方形面是正方体的相对面；位于“Z”字两端处的两个正方形面是正方体的相对面。据此解答。 【详解】由图可知，“好”字和“边”字位于同一行，且中间间隔“独”字，所以“好”字的对面是“边”字。 4．如图是一个正方体的表面展开图。在这个正方体中，与c面相对的是( )面，与f面相对的是( )面。 【答案】 a e 【分析】1－4－1型正方体展开图，如果将c面当成下面，则左面是b面，右面是d面，上面是a面，后面是e面，前面是f面，正方体的6个面，上下面相对，左右面相对，前后面相对，据此分析。 【详解】在这个正方体中，与c面相对的是a面，与f面相对的是e面。 5．下图是一个正方体的展开图，已知这个正方体相对的两个面上的数字之和都是10，则a＝( )，b＋c＝( )。 【答案】 9 15 【分析】由图可知：a和1在同一行且中间隔了2，因此a的相对面是1；b在第一行第二列，3在第三行，隔了一列，因此b的相对面是3；c在第一行第一列，2在第二行第二列，隔了一列，因此c的相对面是2。已知相对面数字和为10，先根据a的相对面是1，得出a＝10－1，算出a的值；再分别根据b的相对面是3、c的相对面是2，算出b和c的数值；最后将b和c的数值相加，得到b＋c的结果。 【详解】a和1相对，b和3相对，c和2相对； a＝10－1＝9 b＝10－3＝7 c＝10－2＝8 b＋c ＝7＋8 ＝15 所以a＝9，b＋c＝15。 6．下图是一个正方体的展开图，在原来的正方体上，相对两个面上的数字之和最大是( )。 【答案】10 【分析】正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“Z”字两端处的小正方形是正方体的相对面；据此判断出相对面，然后分别求出每组相对面的和再比较大小即可。 【详解】根据展开图可知：4和6相对，3和1相对，5和2相对； 4＋6＝10 3＋1＝4 5＋2＝7 10＞7＞4 相对两个面上的数字之和最大是（10）。 7．河北地区在历史上被称为“燕赵之地”。有一个正方体小木块，它的六个面分别写“燕”“赵”“风”“情”“万”“千”。分三次把它放在桌面上，如图所示。木块上的“燕”与“( )”相对，“赵”与“( )”相对，“风”与“( )”相对。 【答案】 情 万 千 【分析】这道题依据正方体相邻面一定不相对的结构特征，结合给出的三个摆放视角，通过逻辑推理，用排除法确定每个字的相对面。解题需先提取每个字的相邻面信息，再排除相邻面，剩余的面即为相对面，据此解答。 【详解】1．确定“燕”的相对面 第一个正方体：“燕”与“万”“风”相邻； 第三个正方体：“燕”与“赵”“千”相邻； 由此可知“燕”的相邻面有“万、风、赵、千”，六个面中剩余的面是“情”，因此“燕”与“情”相对。 2．确定“赵”的相对面 第三个正方体：“赵”与“燕”“千”相邻； 第二个正方体：“千”与“情”“万”相邻，且已推出“燕”对“情”； 结合第一个正方体，“万”的相邻面是“燕、风”，可排除“万”与“赵”相邻，因此“赵”与“万”相对。 3．确定“风”的相对面 六个面中已确定燕对情、赵对万，剩余的“风”与“千”必然相对，因此“风”与“千”相对。 所以“燕”与“情”相对，“赵”与“万”相对，“风”与“千”相对。 【点睛】用排除法判断正方体相对面，先找出某一面的所有相邻面，排除后剩下的那个面就是其相对面，这是此类题的通用解法。需要紧扣“相邻面不相对”的正方体特性，从多个视角整合相邻面信息，逐步缩小范围推导结果。 8．请在各图形中分别添加2个同样的小正方形，使其变成正方体的展开图。 【答案】见详解 【分析】把第2行最左面的正方形定为前面，观察后发现原图可以拼成正方体的前、后、右、上面，此时缺少左面和下面，要补全左面和下面，分析它们可以添加的位置即可。 【详解】（1）可以在前面的左边和下边各添加一个正方形，此时它是一个正方体的展开图。如图（1）所示： （2）在上面的左边添加一个正方形，在右面的下边添加一个正方形，此时它是一个正方体的展开图。如图（2）所示： （3）在上面的左边添加一个正方形，在后面的下边添加一个正方形，此时它是一个正方体的展开图。如图（3）所示：   图（1）                       图（2）                    图（3） 【点睛】这道题的核心在于紧扣正方体展开图的结构规律，结合空间想象逐一验证可添加位置的有效性；在分析可添加位置时，要做到不重不漏，先标注原图中每个可能的空缺位置，再逐一验证该位置添加小正方形后，能否折叠成正方体。 9．请在下面的方格里画出一个正方体的展开图，并在相对的面上分别写上A、B、C。 【答案】（答案不唯一）见详解。 【分析】方体的展开图有11种情况。 （1）1—4—1型：    （2）2—3—1型： （3）2—2—2型： （4）3—3型： 所以此题答案不唯一，不防画，正方体的展开图中相对的两个面不相连，即“上下隔一行，左右隔一列”。据此标出相对的面。 【详解】（答案不唯一）如下图： 【点睛】不能作为正方体展开图的有以下几种常见情况： （1）四个以上的正方形排成一排，如或等。 （2）四个正方形排成一排，另两个在这一排同侧，如等。 （3）出现“田”字型排列，如等。 （4）出现“凹”字型排列，如等。 第 2 页 共 19 页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练：长方体和正方体的认识及展开图 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、长方体和正方体的认识及特征 1 考点二、长方体的展开图 2 考点三、正方体的展开图 2 例题讲解 3 题型一、长方体和正方体的认识及特征 3 题型二、长方体的展开图 3 题型三、正方体的展开图 4 考点练习 4 练习一、长方体和正方体的认识及特征 4 练习二、长方体的展开图 5 练习三、正方体的展开图 7 考点梳理 考点一、长方体和正方体的认识及特征 （一）长方体的认识及特征 1.定义：由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 2.各部分名称： (1)顶点：长方体有8个顶点，是三条棱的交点。 (2)棱：长方体有12条棱，按长度可分为3组，每组4条棱长度相等，分别称为长、宽、高（通常把底面中较长的棱称为长，较短的棱称为宽，垂直于底面的棱称为高）。 (3)面：长方体有6个面，一般为长方形（可能有2个相对的面是正方形），相对的面完全相同（面积相等）。 3.关键特征： (1)6个面，相对面完全相同；12条棱，分3组，每组4条棱长度相等；8个顶点。 (2)长方体的大小由长、宽、高决定，通常表示为“长×宽×高”。 （二）正方体的认识及特征 1.定义：长、宽、高都相等的长方体，也叫立方体，是特殊的长方体。 2.各部分名称：与长方体相同，包括顶点、棱、面。 3.关键特征： (1)6个面都是完全相同的正方形，面积相等。 (2)12条棱长度都相等。 (3)8个顶点。 4.与长方体的关系：正方体是长、宽、高都相等的长方体，具备长方体的所有特征，是长方体的特殊形式。 考点二、长方体的展开图 1.定义：将长方体的6个面沿棱剪开后，平铺形成的平面图形，展开图由6个长方形（可能有2个正方形）组成，相对的面在展开图中不相邻。 2.构成特点： (1) 展开图中，相对的面完全相同，且不相邻（即中间至少间隔一个面）。 (2) 展开图的总棱长等于原长方体棱长总和的2倍（因为每个棱被剪开后露出2个端点，展开图的周长由原长方体的棱构成）。 3.常见类型（按长方形排列方式分类）： (1)一四一型：中间4个长方形相连，上下各1个长方形（共6种）。 (2)二三一型：中间3个长方形相连，上方2个长方形，下方1个长方形（共3种）。 (3)三三型：上下各3个长方形相连（1种）。 (4)二二二型：每2个长方形为一组，分3组上下排列（1种）。 4.判断能否折成长方体： (1)展开图必须有6个面，且相对的面完全相同。 (2)不存在重叠的面，也不能有面缺失。 (3)相对的面在展开图中不相邻，且位置符合长方体面的相对关系。 考点三、正方体的展开图 1.定义：将正方体的6个面沿棱剪开后，平铺形成的平面图形，由6个完全相同的正方形组成。 2.构成特点： (1)6个正方形完全相同，相对的面在展开图中不相邻（中间至少间隔一个正方形）。 (2)展开图中，每个正方形至少与一个其他正方形相连，且无重叠、无缺失。 3.常见类型（共11种，按正方形排列方式分类）： (1)一四一型：中间4个正方形相连，上下各1个正方形（6种，上下两个正方形可在中间4个正方形的任意一侧）。 (2)二三一型：中间3个正方形相连，上方2个正方形，下方1个正方形（3种，上方2个正方形可在中间3个正方形的左侧、右侧或中间）。 (3)三三型：上下各3个正方形相连（1种，呈“阶梯状”排列）。 (4)二二二型：每2个正方形为一组，分3组上下排列（1种，呈“直线阶梯”状）。 4.判断能否折成正方体： (1)展开图必须有6个完全相同的正方形。 (2)避免出现“田”字格（中间4个正方形形成“田”字，无法折成正方体）。 (3)相对面在展开图中的位置规律：①相间（中间隔一个正方形的两个面是相对面）；②“Z”端（呈“Z”字形两端的两个面是相对面）。 例题讲解 题型一、长方体和正方体的认识及特征 【例题1】长方体和正方体都有( )个面、( )条棱、( )个顶点。长方体相对的面( )。正方体的面都是( )。 【练习1】数学课上，明明用学具搭一个长方体框架，搭了其中三根，就能决定这个长方体的形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 题型二、长方体的展开图 【例题2】方格图中是一个长方体展开图的三个面，请画出此长方体展开图的另外三个面。 【练习2】将一个长方体沿着一些棱剪开，可以得到下面的图形。 与A相对的面是( )，与D相对的面是( )，与F相对的面是( )。 题型三、正方体的展开图 【例题3】下列图形中折叠后能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【练习3】下图是一个正方体的展开图，从图中可以看出1号面与( )号面相对；6号面的对面是( )号；( )号面和4号面相对。 考点练习 练习一、长方体和正方体的认识及特征 1．一个物体长250毫米，宽180毫米，高7毫米。它最有可能是（    ）。 A．遥控器 B．平板电脑 C．冰箱 D．现代汉语字典 2．有一些小棒和橡皮泥团，每种材料的数量如下表，从中选择合适的材料，做一个长方体框架，这个长方体的长、宽、高分别是（    ）。 材料 7cm 9cm 11cm 数量 8团 10根 6根 3根 A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．一个长12dm，宽6dm，高5dm的长方体盒子，最多能放（    ）个棱长为2dm的正方体木块。 A．36 B．40 C．45 D．90 4．最少需要（    ）个相同的小正方体木块可以拼成一个大正方体。 A．6 B．8 C．9 D．27 5．长、宽、高都相等的长方体叫作( )。正方体的6个面都是( )，6个面的面积都( )，12条棱的长度都( )。 6．长方体有( )个面，长方体的面是长方形（也可能有2个相对的面是正方形），相对的面( )。长方体有( )条棱，相对的棱长度( )。长方体有( )个顶点。 7．计算长方体、正方体涂色面的面积。          8．摆一摆，说一说：用下面的纸片，如果要围成一个长方体，可以选择哪几种？每种几张？要围成一个正方体呢？ 练习二、长方体的展开图 1．下面的图形沿折痕能围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 2．左图最有可能是下面图（    ）的表面展开图。 A． B． C． D． 3．如图，一个长方体展开图，每个面都标有一个数字，如果将这个展开图恢复成长方体，与“5”相对的面是( )。 4．下图沿虚线折叠后会形成一个长方体。 (1)折叠后有2个面会完全重合，这两个面是( )号和( )号（填序号）。 (2)与⑤号相对的面是( )号，与④相对的面是( )号。 5．下面是一个长方体的展开图。 （1）如果底面数字是1，那么数字( )在上面。 （2）如果数字3在前面，从右面看是数字5，那么数字( )在上面。 （3）相交于同一个顶点的三个面上的数字之和最大是( )。 6．下面方格纸上画出的是一个长方体展开图的前面和上面，请画出这个展开图的其余几个面，并标出名称。 7．如图每个小方格的边长表示1厘米。 （1）在图中再添画一个长方形，使这个图形能围成一个长方体。 （2）如果“”标出的是长方体的前面，请你用“”标出长方体的下面。 8．按下面虚线能折成长方体吗？如果能，它的长、宽、高各是多少？（单位：厘米） 练习三、正方体的展开图 1．下面几何图形展开图中，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下面是四幅正方体的展开图，其中“学”与“数”相对的是（    ）。 A． B． C． D． 3．折一折，将如图的展开图围成一个正方体后，“好”字的对面是( )字。 4．如图是一个正方体的表面展开图。在这个正方体中，与c面相对的是( )面，与f面相对的是( )面。 5．下图是一个正方体的展开图，已知这个正方体相对的两个面上的数字之和都是10，则a＝( )，b＋c＝( )。 6．下图是一个正方体的展开图，在原来的正方体上，相对两个面上的数字之和最大是( )。 7．河北地区在历史上被称为“燕赵之地”。有一个正方体小木块，它的六个面分别写“燕”“赵”“风”“情”“万”“千”。分三次把它放在桌面上，如图所示。木块上的“燕”与“( )”相对，“赵”与“( )”相对，“风”与“( )”相对。 8．请在各图形中分别添加2个同样的小正方形，使其变成正方体的展开图。 9．请在下面的方格里画出一个正方体的展开图，并在相对的面上分别写上A、B、C。 第 2 页 共 19 页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $