专项提升训练：长方体和正方体体积、容积的应用（考点梳理+例题讲解+考点练习）2025-2026学年五年级下册数学苏教版

专项提升训练：长方体和正方体体积、容积的应用 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、长方体体积的应用 1 考点二、正方体体积的应用 2 考点三、长方体和正方体的容积 2 考点四、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 2 例题讲解 3 题型一、长方体体积的应用 3 题型二、正方体体积的应用 4 题型三、长方体和正方体的容积 4 题型四、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 5 考点练习 5 练习一、长方体体积的应用 5 练习二、正方体体积的应用 8 练习三、长方体和正方体的容积 10 练习四、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 13 考点梳理 考点一、长方体体积的应用 1.应用场景：主要解决与长方体形状物体体积相关的实际问题，具体包括： (1)空间容纳量：如长方体仓库的储物量、长方体车厢的载货量等，需计算其内部空间体积。 (2)材料用量：如制作长方体混凝土块、长方体钢材的体积，用于计算原材料消耗。 (3)质量计算：已知物体密度时，通过体积×密度=质量（如长方体铁块的质量=体积×铁的密度）。 2.解题步骤： (1)确定参数：获取长方体的长、宽、高（需从外部测量，单位统一为厘米、分米或米）。 (2)选择公式：体积=长×宽×高（V=abh），结果单位为立方单位（如 cm³ 、 dm³ 、 m³ ）。 (3)结果转换：若需表示为容积单位（如升、毫升），利用1 dm³ =1升，1cm³ =1毫升进行换算。 3.关键要点： (1)区分“体积”与“容积”：体积是物体所占空间大小（外部测量），容积是容器容纳物体的体积（内部测量），忽略容器壁厚度时可近似相等。 (2)单位需与实际场景匹配：计量较大物体（如集装箱）用( m³ )，中等物体（如书本）用( dm³ )，较小物体（如橡皮）用( cm³ )。 考点二、正方体体积的应用 1.应用场景：适用于正方体形状物体的体积计算，常见场景包括： (1)容器容积：如正方体水箱、正方体收纳盒的容积计算。 (2)物体体积：如正方体骰子、魔方的体积，或正方体零件的用料体积。 (3)密度相关计算：通过体积和密度求质量（如正方体铝块的质量=棱长³×铝的密度）。 2.解题步骤： (1)确定棱长：获取正方体的棱长（单位统一）。 (2)选择公式：体积=棱长×棱长×棱长（V=a³ ，( a )为棱长）。 (3)结果处理：根据需求转换单位（如将 dm³ 转换为升）。 3.关键要点： (1)棱长的准确性直接影响体积计算结果，需精确测量。 (2) a³ 表示棱长的立方（如棱长为2cm的正方体，体积为 2³=8cm³ ），区别于3 a （表示棱长的3倍）。 考点三、长方体和正方体的容积 1.容积的定义：容器所能容纳物体的体积，通常用于计量液体或可容纳的固体体积。 2.与体积的区别与联系： (1)测量方式：体积从物体外部测量长、宽、高；容积从容器内部测量（需扣除容器壁厚度）。 (2)单位：容积常用升（L）、毫升（mL），也可用体积单位（ dm³ 、 cm³ ），换算关系为1L=1 dm³ ，1mL=1 cm³ 。 3.计算方法： (1)长方体容积： V=abh （ a 、 b 、 h 为内部长、宽、高）。 (2)正方体容积： V=a³ （ a 为内部棱长）。 4.关键要点： (1)若题目未明确“内部尺寸”，默认忽略容器壁厚度，容积=体积。 (2)计量液体容积时优先用升或毫升，如“一个长方体水箱的容积是50L”；计量固体容积时可用体积单位。 考点四、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1.核心方法：排水法 (1)原理：将不规则物体完全浸没在盛有水的长方体或正方体容器中，水面上升的体积等于物体体积。 2.操作步骤： (1)测量容器参数：记录容器的内部长（ a ）和宽（ b ），计算底面积 S=ab 。 (2)记录初始水高：放入物体前，测量水面高度 h₁ 。 (3)放入物体并测量新水高：将物体完全浸没后，测量水面高度h₂ ，计算水面上升高度 Δh=h₂-h₁ 。 (4)计算物体体积： V=S×Δh=ab×(h₂-h₁) 。 3.关键要点： (1)确保物体完全浸没且水未溢出，若物体漂浮，需用重物辅助下沉（如用细针将物体压入水中）。 (2)单位统一：容器长、宽、高需用同一长度单位（如厘米），体积单位为cm³（或换算为毫升）。 (3)若容器为正方体，底面积 S=a² （ a 为棱长），体积公式为 V=a²×Δh 。 例题讲解 题型一、长方体体积的应用 【例题1】一个花坛（如图），底面是边长1.5米的正方形，四周用木条围成，高0.8米。 (1)这个花坛占地多少平方米？ (2)用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米的泥土？（木条的厚度忽略不计） 【练习1】一段方钢长5米，横截面是边长4厘米的正方形。这段方钢的体积是多少立方厘米？如果每立方厘米钢重7.8克，这段方钢重多少千克？ 题型二、正方体体积的应用 【例题2】一个正方体木块，它的棱长是20厘米，已知每立方厘米重0.04千克，这个木块重多少千克？ 【练习2】一个正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成横截面积是9平方厘米的长方体钢材，钢材的长是多少分米？ 题型三、长方体和正方体的容积 【例题3】一辆货车的油箱长1.2米，宽0.5米，高0.4米。（箱壁厚度忽略不计） （1）这辆货车油箱的容积是多少升？ （2）如果每升汽油7.8元，加满一箱油，需要多少钱？ 【练习3】有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7.2厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？ 题型四、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【例题4】将一个体积是24dm3的不规则铁块浸没（水未溢出）在一个长8dm、宽6dm的装有水的长方体容器中，水面会上升多少分米？（容器厚度不计） 【练习4】在一个长8厘米，宽8厘米，高10厘米的长方体玻璃缸中浸没一个棱长4厘米正方体铁块。当铁块从水中取出时，玻璃缸中水面会下降多少厘米？ 考点练习 练习一、长方体体积的应用 1．体育馆新建一个长50米，宽25米，深1.8米的游泳池。 (1)如果在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，按每平方米需要16块瓷砖计算，一共需要多少块？ (2)游泳池中的水面距离池口5分米，池中装水多少立方米？ 2．为了美化校园环境，学校用混凝土浇筑一根高3米，底面边长是0.8米的长方体文化柱。 (1)浇筑这根文化柱需要混凝土多少立方米？ (2)如果要在柱子的四周刷上彩色油漆装饰，刷漆的面积是多少平方米？ 3．一根长方体木料长3米，横截面是一个边长为5分米的正方形，这根木料的横截面面积是多少平方米？体积是多少立方米？ 4．一个长方体油箱长80厘米，宽60厘米，高40厘米，油箱中油面与油箱口的距离为10厘米，每升汽油能行驶12.5千米，这箱汽油能行驶多少距离？ 5．王大伯家要修建一个长8米，宽5米，深2米的蓄水池，现在要给这个蓄水池的内壁和底部贴上瓷砖，至少需要多少平方米瓷砖？贴好瓷砖后，要往蓄水池里注入多少立方米的水才能使水深达1.2米？ 6．如图是一个长方体的空心管，掏空部分的长方体的长为12厘米，宽为7厘米。这个空心管的体积是多少立方厘米？ 7．下面是一个密封的长方体容器，长20厘米，宽10厘米，高40厘米，里面水深30厘米，如果以这个容器的前面为底放在桌上，此时水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 8．如图，若将左边长方体不锈钢材料熔化后锻造出右边的有底无盖长方体不锈钢容器，该不锈钢材料是否足够？请通过计算进行说明。 练习二、正方体体积的应用 1．石雕，指用各种可雕、可刻的石头，创造出具有一定空间的可视、可触的艺术形象，是国家级非物质文化遗产之一。张师傅用一块棱长6分米的正方体石料制作石雕，如果1立方分米的石料重2.5千克，这块石料重多少千克？ 2．学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡烛。 (1)原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？ (2)这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 3．一个长方体的玻璃缸长8分米、宽6分米、高4分米，缸中水深2.8分米。如果放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 4．孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用一根36分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？这个灯笼的体积是多少立方分米？ 5．一个正方体油箱，棱长4分米，装满油后倒入一个长8分米、宽2分米的长方体油箱中，油深多少分米？ 6．食品工人要将长，宽各为30cm、高为15cm的长方体月饼盒装入棱长为45cm的正方体纸盒，最多能装几盒？ 7．把一个棱长是6厘米的正方体钢材，锻造成一个长18厘米，宽8厘米的长方体钢材，长方体钢材的高是多少厘米？（用方程解） 8．下面是一个铸铁工件，工件上有4个棱长为5厘米的正方体空洞。这个工件的体积是多少立方厘米？ 练习三、长方体和正方体的容积 1．外卖给我们的生活带来了很大的便利，这种便利离不开外卖人员的辛苦付出。小淘的叔叔是一名外卖骑手，下面是他的外卖箱的示意图，这样一个外卖箱的容积是多少立方分米？（外卖箱材质厚度忽略不计） 2．如图是一个密封的长方体玻璃容器，从里面量，底面是边长6分米的正方形，高12分米，里面的水深3.5分米。 (1)容器里面的水有多少升？ (2)这个长方体玻璃容器的容积是多少立方分米？ 3．星月小区新建了一个长60米，宽25米，深3米的游泳池。现在向游泳池中注水，当水面离池口还有0.2米时停止注水，此时，游泳池中有水多少立方米？ 4．一个长方体玻璃鱼缸（无盖），长8分米，宽5分米，高4分米。 (1)做这样一个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ (2)在鱼缸里加水，使水面离鱼缸口5厘米，需加水多少升？ 5．一个长方体保温箱从外面量的尺寸为长6分米，宽4分米，高3分米。如果保温板厚5厘米，那么这个保温箱的容积是多少升？ 6．学校劳动实践基地要浇筑一个无盖的混凝土水槽，浇筑完成后，从外面量，水槽长24分米、宽14分米、高8分米，水槽四周和底部的混凝土厚度均为2分米。（如下图） (1)这个水槽的容积是多少升？（提示：需考虑混凝土厚度对内部尺寸的影响） (2)浇筑这个水槽需要多少立方米的混凝土？ 7．思思家有一透明且密封的长方体容器，里面装了一部分水。方方想知道里面水的体积，一时找不到尺子。他通过尝试，发现当如图摆放时，水没有溢出。你能计算出长方体容器中的水有多少升？ 8．一块长20厘米，宽16厘米的长方形铁皮，从它的4个角上各剪去一个边长是3厘米的正方形后，做成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容积是多少立方厘米？（铁皮的厚度忽略不计） 9．如图，把一张正方形铁皮沿虚线折叠，围成一个长方体的侧面，给这个长方体配一个底面，这个长方体的容积是多少毫升？ 10．王芳找来一张长30厘米、宽24厘米的长方形彩纸，从彩纸的四个角各剪去一个边长2厘米的正方形，然后折成一个无盖的长方体纸盒。 (1)这个纸盒的容积是多少立方厘米？ (2)睿睿对涵涵说，如果从彩纸的四个角剪去的正方形边长越大，折成的无盖长方体纸盒的容积也越大。你同意这样的说法吗？用计算说明你的理由。 练习四、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1．在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了多少分米？ 2．一个无盖长方体玻璃鱼缸，长8分米、宽6分米、高5分米。制作这个鱼缸至少需玻璃多少平方分米？往鱼缸里面装了适量的水，再放入几块装饰石块，发现水面上升了5厘米（水未溢出）。这些石块的体积一共是多少立方分米？ 3．一个长方体玻璃缸长8分米、宽5分米、高4分米，水深2.8分米。如果投入一块铁块（完全没入水中），水面刚好升至玻璃缸口，那么这块铁块的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计。） 4．如图，一个棱长20厘米的正方体玻璃容器，里面已经盛了一些水。如果将一个土豆完全浸没在水中，那么水面就会上升2厘米，求这个土豆的体积。 5．如图，在长方体水槽（长为10厘米、宽为8厘米，初始水位高度8厘米和上升后高度9.5厘米）内放一个长为5厘米，宽为4厘米的长方体铁块，这个铁块的高是多少？ 6．李大爷在花园里挖了一个长方体的鱼池，从里面量长是1.5米，宽是0.8米，深是0.7米。 (1)要在鱼池的侧面贴瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ (2)原来池中水深0.6米，放入一座高0.4米的假山后，池里的水溢出120升。如果把假山取出来，池里的水深是多少米？ 7．妈妈买了一些苹果，小明准备做实验测量其中一个苹果的体积。他先将600毫升水倒入长方体容器里，量得水深是8厘米，然后他将苹果浸入水中，发现有水溢出来，量得溢出的水是20毫升。请你算一算这个苹果的体积。 8．一个无盖长方体玻璃水箱，从里面测量，水箱长10分米，宽8分米，高7分米，里面水深5分米。 （1）如果给这个水箱配一个长方形塑料盖子，塑料盖子的面积至少是多少平方分米？（玻璃的厚度忽略不计） （2）做这个水箱至少需要多少平方分米的玻璃？（玻璃的厚度忽略不计） （3）现在将一些鹅卵石放进水箱后测得水深6.5分米，鹅卵石的体积是多少立方分米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练：长方体和正方体体积、容积的应用 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 考点梳理 1 考点一、长方体体积的应用 1 考点二、正方体体积的应用 2 考点三、长方体和正方体的容积 2 考点四、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 2 例题讲解 3 题型一、长方体体积的应用 3 题型二、正方体体积的应用 4 题型三、长方体和正方体的容积 5 题型四、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 6 考点练习 7 练习一、长方体体积的应用 7 练习二、正方体体积的应用 12 练习三、长方体和正方体的容积 17 练习四、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 24 考点梳理 考点一、长方体体积的应用 1.应用场景：主要解决与长方体形状物体体积相关的实际问题，具体包括： (1)空间容纳量：如长方体仓库的储物量、长方体车厢的载货量等，需计算其内部空间体积。 (2)材料用量：如制作长方体混凝土块、长方体钢材的体积，用于计算原材料消耗。 (3)质量计算：已知物体密度时，通过体积×密度=质量（如长方体铁块的质量=体积×铁的密度）。 2.解题步骤： (1)确定参数：获取长方体的长、宽、高（需从外部测量，单位统一为厘米、分米或米）。 (2)选择公式：体积=长×宽×高（V=abh），结果单位为立方单位（如 cm³ 、 dm³ 、 m³ ）。 (3)结果转换：若需表示为容积单位（如升、毫升），利用1 dm³ =1升，1cm³ =1毫升进行换算。 3.关键要点： (1)区分“体积”与“容积”：体积是物体所占空间大小（外部测量），容积是容器容纳物体的体积（内部测量），忽略容器壁厚度时可近似相等。 (2)单位需与实际场景匹配：计量较大物体（如集装箱）用( m³ )，中等物体（如书本）用( dm³ )，较小物体（如橡皮）用( cm³ )。 考点二、正方体体积的应用 1.应用场景：适用于正方体形状物体的体积计算，常见场景包括： (1)容器容积：如正方体水箱、正方体收纳盒的容积计算。 (2)物体体积：如正方体骰子、魔方的体积，或正方体零件的用料体积。 (3)密度相关计算：通过体积和密度求质量（如正方体铝块的质量=棱长³×铝的密度）。 2.解题步骤： (1)确定棱长：获取正方体的棱长（单位统一）。 (2)选择公式：体积=棱长×棱长×棱长（V=a³ ，( a )为棱长）。 (3)结果处理：根据需求转换单位（如将 dm³ 转换为升）。 3.关键要点： (1)棱长的准确性直接影响体积计算结果，需精确测量。 (2) a³ 表示棱长的立方（如棱长为2cm的正方体，体积为 2³=8cm³ ），区别于3 a （表示棱长的3倍）。 考点三、长方体和正方体的容积 1.容积的定义：容器所能容纳物体的体积，通常用于计量液体或可容纳的固体体积。 2.与体积的区别与联系： (1)测量方式：体积从物体外部测量长、宽、高；容积从容器内部测量（需扣除容器壁厚度）。 (2)单位：容积常用升（L）、毫升（mL），也可用体积单位（ dm³ 、 cm³ ），换算关系为1L=1 dm³ ，1mL=1 cm³ 。 3.计算方法： (1)长方体容积： V=abh （ a 、 b 、 h 为内部长、宽、高）。 (2)正方体容积： V=a³ （ a 为内部棱长）。 4.关键要点： (1)若题目未明确“内部尺寸”，默认忽略容器壁厚度，容积=体积。 (2)计量液体容积时优先用升或毫升，如“一个长方体水箱的容积是50L”；计量固体容积时可用体积单位。 考点四、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1.核心方法：排水法 (1)原理：将不规则物体完全浸没在盛有水的长方体或正方体容器中，水面上升的体积等于物体体积。 2.操作步骤： (1)测量容器参数：记录容器的内部长（ a ）和宽（ b ），计算底面积 S=ab 。 (2)记录初始水高：放入物体前，测量水面高度 h₁ 。 (3)放入物体并测量新水高：将物体完全浸没后，测量水面高度h₂ ，计算水面上升高度 Δh=h₂-h₁ 。 (4)计算物体体积： V=S×Δh=ab×(h₂-h₁) 。 3.关键要点： (1)确保物体完全浸没且水未溢出，若物体漂浮，需用重物辅助下沉（如用细针将物体压入水中）。 (2)单位统一：容器长、宽、高需用同一长度单位（如厘米），体积单位为cm³（或换算为毫升）。 (3)若容器为正方体，底面积 S=a² （ a 为棱长），体积公式为 V=a²×Δh 。 例题讲解 题型一、长方体体积的应用 【例题1】一个花坛（如图），底面是边长1.5米的正方形，四周用木条围成，高0.8米。 (1)这个花坛占地多少平方米？ (2)用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米的泥土？（木条的厚度忽略不计） 【答案】(1)2.25平方米 (2)1.8立方米 【分析】（1）花坛的占地面积就是它底面正方形的面积。已知底面是边长为1.5米的正方形，根据正方形面积公式“面积＝边长×边长”，直接计算即可。 （2）因为木条厚度忽略不计，泥土的体积就等于这个长方体花坛的容积。根据长方体体积公式“体积＝底面积×高”，用第一步算出的底面积乘花坛的高度0.8米，就能得到需要的泥土体积。 【详解】（1）1.5×1.5＝2.25（平方米） 答：这个花坛占地2.25平方米。 （2）2.25×0.8＝1.8（立方米） 答：大约需要1.8立方米的泥土。 【练习1】一段方钢长5米，横截面是边长4厘米的正方形。这段方钢的体积是多少立方厘米？如果每立方厘米钢重7.8克，这段方钢重多少千克？ 【答案】 体积是8000立方厘米；重62.4千克 【分析】据题意得：方钢是一个底面边长4厘米正方形，长5米的长方体，体积＝长×宽×高，可计算出方钢的体积；再运用小数乘法计算可得出方钢的质量，注意单位化为一致，1米＝100厘米，1千克＝1000克。 【详解】5米＝500厘米 4×4×500 ＝16×500 ＝8000（立方厘米） 7.8×8000＝62400（克）＝62.4千克 答：这段方钢体积是8000立方厘米；重62.4千克。 题型二、正方体体积的应用 【例题2】一个正方体木块，它的棱长是20厘米，已知每立方厘米重0.04千克，这个木块重多少千克？ 【答案】320千克 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此求出正方体木块体积，再用正方体体积乘0.04，求出这个木块的重量。 【详解】木块重量： （千克） 答：这个木块重320千克。 【点睛】本题考查正方体的体积，解答本题的关键是掌握正方体的体积计算公式。 【练习2】一个正方体钢坯的棱长是6分米，把它锻造成横截面积是9平方厘米的长方体钢材，钢材的长是多少分米？ 【答案】2400分米 【分析】由题意可知，正方体体积与长方体体积相等，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据先求出正方体体积，也是长方体体积； 再根据长方体的体积＝底面积×高的逆运算，用长方体体积除以横截面积，即可求出钢材的长度。注意单位的换算：1平方分米＝100平方厘米。 【详解】9平方厘米＝0.09平方分米 （分米） 答：钢材的长是2400分米。 题型三、长方体和正方体的容积 【例题3】一辆货车的油箱长1.2米，宽0.5米，高0.4米。（箱壁厚度忽略不计） （1）这辆货车油箱的容积是多少升？ （2）如果每升汽油7.8元，加满一箱油，需要多少钱？ 【答案】（1）240升； （2）1872元 【分析】（1）利用长方体的体积公式将油箱的体积计算出来，再利用1立方米＝1000升即可将体积转化为容积； （2）用求出的油箱的容积乘每升的汽油价格7.8元，即可求出加满一箱油的价格。 【详解】（1）1.2×0.5×0.4 ＝0.6×0.4 ＝0.24（立方米） 0.24×1000＝240（升） 答：这辆货车油箱的容积是240升。 （2）240×7.8＝1872（元） 答：加满一箱油，需要1872元。 【练习3】有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7.2厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少？ 【答案】14.4厘米 【分析】平放时容器装7.2厘米的水，用长×宽×水的高可以算出水的体积，容器竖起来放的时候容器的底面积改变，用之前算出的水的体积除以竖起容器的底面积可算出水的高度。 【详解】20×16×7.2 ＝320×7.2 ＝2304（立方厘米） 2304÷（10×16） ＝2304÷160 ＝14.4（厘米） 答：水的高度是14.4厘米。 题型四、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【例题4】将一个体积是24dm3的不规则铁块浸没（水未溢出）在一个长8dm、宽6dm的装有水的长方体容器中，水面会上升多少分米？（容器厚度不计） 【答案】0.5分米 【分析】将一个体积是24立方分米的不规则铁块浸没在水中（水未溢出），那么水面上升的那部分水的体积就是24立方分米。先求出容器的底面积，再根据“水面上升的那部分水的体积÷底面积＝水面上升的高度”即可求解。 【详解】 （分米） 答：水面会上升0.5分米。 【练习4】在一个长8厘米，宽8厘米，高10厘米的长方体玻璃缸中浸没一个棱长4厘米正方体铁块。当铁块从水中取出时，玻璃缸中水面会下降多少厘米？ 【答案】1厘米 【分析】先根据正方体的体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积，因为铁块浸没在水中，所以它排开的水的体积等于自身的体积。玻璃缸的底面积是长8厘米、宽8厘米的长方形，根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，求出玻璃缸的底面积。最后用铁块的体积除以玻璃缸的底面积，求出的结果就是水面下降的高度，因为下降部分水的体积等于铁块体积，而下降部分水的形状是长方体，其高度可以通过“体积÷底面积”来计算。 【详解】4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 8×8＝64（平方厘米） 64÷64＝1（厘米） 答：玻璃缸中水面会下降1厘米。 考点练习 练习一、长方体体积的应用 1．体育馆新建一个长50米，宽25米，深1.8米的游泳池。 (1)如果在游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，按每平方米需要16块瓷砖计算，一共需要多少块？ (2)游泳池中的水面距离池口5分米，池中装水多少立方米？ 【答案】(1)24320块 (2)1625立方米 【分析】（1）根据题意可知，就是求长方体前后面、左右面和底面的面积和，再乘每平方米需要的瓷砖块数即可。 （2）根据1米＝10分米，把5分米化成0.5米，用1.8米减去0.5米求出水的深度，再根据长方体的体积＝长×宽×水深，代入数据解答即可。 【详解】（1）50×25＋50×1.8×2＋25×1.8×2 ＝1250＋90×2＋45×2 ＝1250＋180＋90 ＝1430＋90 ＝1520（平方米） 1520×16＝24320（块） 答：一共需要24320块。 （2）5分米＝0.5米 50×25×（1.8－0.5） ＝1250×1.3 ＝1625（立方米） 答：池中装水1625立方米。 2．为了美化校园环境，学校用混凝土浇筑一根高3米，底面边长是0.8米的长方体文化柱。 (1)浇筑这根文化柱需要混凝土多少立方米？ (2)如果要在柱子的四周刷上彩色油漆装饰，刷漆的面积是多少平方米？ 【答案】(1)1.92立方米 (2)9.6平方米 【分析】（1）结合生活实际长方体文化柱底面通常是正方形，根据长方体体积＝底面积×高，先根据正方形的面积＝边长×边长求出底面面积，再用底面积乘高求出体积； （2）根据长方体侧面积＝底面周长×高，先根据正方形的周长＝边长×4求出底面周长，再用底面周长乘高求出刷漆面积。 【详解】（1）0.8×0.8×3 ＝0.64×3 ＝1.92（立方米） 答：浇筑这根文化柱需要混凝土1.92立方米。 （2）0.8×4×3 ＝3.2×3 ＝9.6（平方米） 答：如果要在柱子的四周刷上彩色油漆装饰，刷漆的面积是9.6平方米。 3．一根长方体木料长3米，横截面是一个边长为5分米的正方形，这根木料的横截面面积是多少平方米？体积是多少立方米？ 【答案】0.25平方米；0.75立方米 【分析】先进行单位统一，把横截面边长的单位从分米转换成米；再利用正方形面积公式求出横截面面积，即边长乘边长；最后，根据长方体体积公式，用横截面面积乘木料的长度，即可求出木料的体积。 【详解】5分米＝0.5米 0.5×0.5＝0.25（平方米） 0.25×3＝0.75（立方米） 答：这根木料的横截面面积是0.25平方米，体积是0.75立方米。 4．一个长方体油箱长80厘米，宽60厘米，高40厘米，油箱中油面与油箱口的距离为10厘米，每升汽油能行驶12.5千米，这箱汽油能行驶多少距离？ 【答案】1800千米 【分析】利用长方体体积公式（长方体体积＝长×宽×高），算出油箱内油的体积，再将体积单位转化成升（1升＝1000立方厘米），最后根据每升汽油行驶的距离计算总行驶距离。 【详解】40－10＝30（厘米） 80×60×30 ＝4800×30 ＝144000（立方厘米） 144000立方厘米＝144升 144×12.5＝1800（千米） 答：这箱汽油能行驶1800千米。 5．王大伯家要修建一个长8米，宽5米，深2米的蓄水池，现在要给这个蓄水池的内壁和底部贴上瓷砖，至少需要多少平方米瓷砖？贴好瓷砖后，要往蓄水池里注入多少立方米的水才能使水深达1.2米？ 【答案】92平方米；48立方米 【分析】已知长方体蓄水池长8米、宽5米、深2米，现在要给这个蓄水池的内壁和底部贴上瓷砖，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”即可求出瓷砖的面积； 注入的水形成一个长方体，其长和宽与蓄水池一致，高度是水深1.2米，根据“长方体体积＝长×宽×高”，用蓄水池的长乘宽，再乘水深1.2米，即可得到需要注入水的体积。据此解答。 【详解】8×5＋8×2×2＋5×2×2 ＝40＋16×2＋10×2 ＝40＋32＋20 ＝72＋20 ＝92（平方米） 8×5×1.2 ＝40×1.2 ＝48（立方米） 答：至少需要92平方米瓷砖，要往蓄水池里注入48立方米的水才能使水深达1.2米。 6．如图是一个长方体的空心管，掏空部分的长方体的长为12厘米，宽为7厘米。这个空心管的体积是多少立方厘米？ 【答案】7440立方厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，可求得完整长方体的体积及空心部分的长方体的体积，二者相减，即可求得这个空心管的体积是多少。 【详解】18×15×40 ＝270×40 ＝10800（立方厘米） 12×7×40 ＝84×40 ＝3360（立方厘米） 10800－3360＝7440（立方厘米） 答：这个空心管的体积是7440立方厘米。 7．下面是一个密封的长方体容器，长20厘米，宽10厘米，高40厘米，里面水深30厘米，如果以这个容器的前面为底放在桌上，此时水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 【答案】1700平方厘米 【分析】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，结合容器初始放置时长20厘米、宽10厘米、水深30厘米的条件算出固定的水的体积，再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，求出容器以前面（长20厘米、高40厘米）为底时的底面积，接着利用体积公式变形：高＝体积÷底面积，算出新的水深7.5厘米，再将此时水的形状视作长20厘米、宽40厘米、高7.5厘米的长方体，根据长方体表面积公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，算出该长方体的完整表面积，减去顶部与水面接触的长方形面积（20×40），即可得到水与容器接触的总面积。 【详解】新的水深：（20×10×30）÷（20×40） ＝（200×30）÷（20×40） ＝6000÷800 ＝7.5（厘米） 接触面积：（20×40＋20×7.5＋40×7.5）×2－20×40 ＝（800＋150＋300）×2－800 ＝（950＋300）×2－800 ＝1250×2－800 ＝2500－800 ＝1700（平方厘米） 答：此时水与容器接触的面积是1700平方厘米。 【点睛】本题的关键在于抓住水的体积不变，先求出容器以前面为底时的水深，再通过长方体表面积公式（减顶面）计算水与容器的接触面积。 8．如图，若将左边长方体不锈钢材料熔化后锻造出右边的有底无盖长方体不锈钢容器，该不锈钢材料是否足够？请通过计算进行说明。 【答案】足够 【分析】根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高 ，左边长方体的长是10cm，宽是5.5cm ，高是7cm ，则其体积 V1＝10×5.5×7＝385cm³。右边容器的体积V2＝外部体积V外－内部空心体积V内，右边容器外部长15cm、宽10cm、高6cm；壁厚1cm，那么内部的长为15−2×1＝13cm，内部的宽为10−2×1＝8cm，内部的高为6−1＝5cm。 【详解】V1＝10×5.5×7＝385（立方厘米） V外＝15×10×6＝900（立方厘米） V内＝13×8×5＝520（立方厘米） V2＝V外－V内 ＝900－520 ＝380（立方厘米） 385＞380 答：不锈钢材料足够。 【点睛】计算长方体体积时要准确确定长、宽、高的数值，对于有壁厚的容器，要清晰区分外部尺寸和内部尺寸，避免混淆。 解决这类材料是否足够的问题，核心是分别计算原材料体积和成品所需体积，通过比较大小来判断，关键在于正确运用长方体体积公式，梳理清楚各部分尺寸关系。 练习二、正方体体积的应用 1．石雕，指用各种可雕、可刻的石头，创造出具有一定空间的可视、可触的艺术形象，是国家级非物质文化遗产之一。张师傅用一块棱长6分米的正方体石料制作石雕，如果1立方分米的石料重2.5千克，这块石料重多少千克？ 【答案】540千克 【分析】解答这道题需明确：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，物体的总重量＝单位体积的重量×物体的体积。这道题已知正方体的棱长为6分米，需先利用正方体的体积公式求出正方体石料的体积，再利用1立方分米石料的重量乘石料体积计算即可。据此解答。 【详解】根据分析： 求正方体的体积： （立方分米） 求石料的重量： （千克） 答：这块石料重540千克。 2．学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡烛。 (1)原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？ (2)这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】(1)96平方厘米 (2)12.8厘米 【分析】解答这道题需明确：正方体表面积＝棱长×棱长×6；正方体体积＝棱长×棱长×棱长；长方体体积＝长×宽×高，则长方体的高＝体积÷长÷宽。 （1）题目中已知正方体的棱长为4厘米，根据正方体表面积公式计算即可。 （2）将正方体蜡块熔化后制作成一个长方体蜡块，体积不变。题目中已知长方体的长为2.5厘米，宽为2厘米，先根据正方体体积公式求出蜡块体积，再根据利用体积求长方体高的公式求出长方体的高。 【详解】（1） （平方厘米） 答：原先这块正方体蜡块的表面积是96平方厘米。 （2） （立方厘米） （厘米） 答：这支蜡烛的高是12.8厘米。 3．一个长方体的玻璃缸长8分米、宽6分米、高4分米，缸中水深2.8分米。如果放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？ 【答案】6.4升 【分析】根据题意，把一块正方体铁块放入水深2.8分米的长方体玻璃缸中，水会先升高到4分米，再溢出，所以溢出水的体积＝铁块的体积－长方体玻璃缸无水部分的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。注意单位的换算：1立方分米＝1升。 【详解】4×4×4＝64（立方分米） 8×6×（4－2.8） ＝8×6×1.2 ＝48×1.2 ＝57.6（立方分米） 64－57.6＝6.4（立方分米） 6.4立方分米＝6.4升 答：缸里的水溢出6.4升。 4．孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用一根36分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？这个灯笼的体积是多少立方分米？ 【答案】45平方分米；27立方分米 【分析】由正方体的棱长和＝棱长×12可推导出，棱长＝正方体的棱长和÷12，据此先用铁丝长度除以12求出正方体灯笼的棱长；正方体灯笼5个面要糊上安全阻燃纸，再用棱长×棱长×5即可求出安全阻燃纸的面积；最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个灯笼的体积。 【详解】（分米） （平方分米） （立方分米） 答：至少需要45平方分米的安全阻燃纸。这个灯笼的体积是27立方分米。 5．一个正方体油箱，棱长4分米，装满油后倒入一个长8分米、宽2分米的长方体油箱中，油深多少分米？ 【答案】4分米 【分析】先根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出油的体积，长方体油箱中油的体积和正方体油箱中油的体积相等，长方体油箱中油的深度＝油的体积÷长方体油箱的长÷长方体油箱的宽，据此解答。 【详解】4×4×4÷8÷2 ＝16×4÷8÷2 ＝64÷8÷2 ＝8÷2 ＝4（分米） 答：油深4分米。 6．食品工人要将长，宽各为30cm、高为15cm的长方体月饼盒装入棱长为45cm的正方体纸盒，最多能装几盒？ 【答案】5盒 【分析】按图中月饼盒的摆放，先用计算装入正方体中，第一层能放多少盒，用45除以30；再看能放多少层，用45除以长方体的高，再用长、宽、高所放的盒数相乘，得到正放有几盒。因为正方体纸盒还有空余，刚好是15厘米，月饼盒的高也是15厘米，而空余处的另外两条边是45厘米，足够存月饼盒的另外两条边。以月饼盒“15cm，30cm”的侧面为底，还分别可放2个1盒，所以用正放的盒数加上侧放的盒数，即可得解。 【详解】45÷30＝1（盒）……15（cm） 45÷15＝3（盒）           （盒） （盒） 答：最多能装5盒。 7．把一个棱长是6厘米的正方体钢材，锻造成一个长18厘米，宽8厘米的长方体钢材，长方体钢材的高是多少厘米？（用方程解） 【答案】1.5厘米 【分析】根据题意可知，锻造前后钢材的体积不变，即正方体钢材的体积＝长方体钢材体积；设长方体钢材的高为x厘米；根据正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积公式：体积＝长×宽×高；列方程：6×6×6＝18×8×x，解方程，即可解答。 【详解】解：设长方体钢材的高是x厘米。 6×6×6＝18×8×x 36×6＝144x 144x＝216 x＝216÷144 x＝1.5 答：长方体钢材的高是1.5厘米。 8．下面是一个铸铁工件，工件上有4个棱长为5厘米的正方体空洞。这个工件的体积是多少立方厘米？ 【答案】1750立方厘米 【分析】根据题意，结合长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，求出长方体的体积，再结合正方体的体积公式：边长×边长×边长，代入数据，求出一个正方体空洞的体积，再乘4，求出4个正方体空洞的体积，用长方体的体积减去4个正方体空洞的体积，即可求出答案。 【详解】25×18×5 ＝450×5 ＝2250（立方厘米） 5×5×5×4 ＝25×5×4 ＝125×4 ＝500（立方厘米） 2250－500＝1750（立方厘米） 答：这个工件的体积是1750立方厘米。 练习三、长方体和正方体的容积 1．外卖给我们的生活带来了很大的便利，这种便利离不开外卖人员的辛苦付出。小淘的叔叔是一名外卖骑手，下面是他的外卖箱的示意图，这样一个外卖箱的容积是多少立方分米？（外卖箱材质厚度忽略不计） 【答案】64.8立方分米 【分析】题目要求计算忽略厚度的外卖箱容积，此时容积等价于长方体体积。由图可知：外卖箱的长为5分米、宽为3.6分米、高为3.6分米，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，将数值代入公式即可求出外卖箱的体积，即外卖箱的容积。 【详解】5×3.6×3.6 ＝18×3.6 ＝64.8（立方分米） 答：这样一个外卖箱的容积是64.8立方分米。 2．如图是一个密封的长方体玻璃容器，从里面量，底面是边长6分米的正方形，高12分米，里面的水深3.5分米。 (1)容器里面的水有多少升？ (2)这个长方体玻璃容器的容积是多少立方分米？ 【答案】(1)126升 (2)432立方分米 【分析】（1）容器底面积×水深＝水的体积，据此求出水的体积，根据1立方分米＝1升，统一单位即可。 （2）容器底面积×高＝长方体玻璃容器的容积，据此列式解答。 【详解】（1）（立方分米） 126立方分米升 答：容器里面的水有126升。 （2）（立方分米） 答：这个长方体玻璃容器的容积是432立方分米。 3．星月小区新建了一个长60米，宽25米，深3米的游泳池。现在向游泳池中注水，当水面离池口还有0.2米时停止注水，此时，游泳池中有水多少立方米？ 【答案】4200立方米 【分析】因为游泳池深3米，注水后还差0.2米才注满，所以水深是3－0.2＝2.8米，用长方体的体积公式：可算出游泳池中水的体积。 【详解】3－0.2＝2.8（米） 60×25×2.8 ＝1500×2.8 ＝4200（立方米） 答：游泳池中有水4200立方米。 4．一个长方体玻璃鱼缸（无盖），长8分米，宽5分米，高4分米。 (1)做这样一个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ (2)在鱼缸里加水，使水面离鱼缸口5厘米，需加水多少升？ 【答案】(1)144平方分米 (2)140升 【分析】（1）求“做这样一个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米”，就是求这个无盖鱼缸的表面积。无盖长方体的表面积＝底面的面积＋前、后两面的面积＋左、右两面的面积。底面的面积＝长×宽，前或后面的面积＝长×高，左或右面的面积＝宽×高。将题中数据代入计算即可。 （2）根据长方体的体积＝长×宽×高，此时的高为水面的高度，水面的高度＝鱼缸的高度－水面距鱼缸口的高度。把数据代入公式计算，再利用1立方分米＝1升完成解答。 【详解】（1）8×5＋8×4×2＋5×4×2 ＝40＋32×2＋20×2 ＝40＋64＋40 ＝104＋40 ＝144（平方分米） 答：做这样一个鱼缸至少需要玻璃144平方分米。 （2）5厘米＝0.5分米 8×5×（4－0.5） ＝40×3.5 ＝140（立方分米） 140立方分米＝140升 答：需加水140升。 5．一个长方体保温箱从外面量的尺寸为长6分米，宽4分米，高3分米。如果保温板厚5厘米，那么这个保温箱的容积是多少升？ 【答案】30升 【分析】保温板有厚度，首先要将保温板厚度的单位统一为分米，保证单位一致。长方体保温箱从内部量的长、宽、高需要扣除两侧的保温板厚度，所以分别用外部的长、宽、高减去2倍的保温板厚度，得到内部的长、宽、高。因为长方体容积公式为V＝长×宽×高，所以将内部的长、宽、高代入公式计算容积，最后将单位转换为升。 【详解】5厘米＝0.5分米 6－0.5×2 ＝6－1 ＝5（分米）    4－0.5×2 ＝4－1 ＝3（分米）    3－0.5×2 ＝3－1 ＝2（分米） 5×2×3 ＝103 ＝30（立方分米）    30立方分米＝30升 答：这个保温箱的容积是30升。 6．学校劳动实践基地要浇筑一个无盖的混凝土水槽，浇筑完成后，从外面量，水槽长24分米、宽14分米、高8分米，水槽四周和底部的混凝土厚度均为2分米。（如下图） (1)这个水槽的容积是多少升？（提示：需考虑混凝土厚度对内部尺寸的影响） (2)浇筑这个水槽需要多少立方米的混凝土？ 【答案】(1)1200升 (2)1.488立方米 【分析】（1）根据长方体的容积等于长乘宽乘高，根据题意水槽四周和底部的混凝土厚度均为2分米，则真实容积就是用外面量出的水槽长减4分米，宽减4分米，高减2分米求出槽内的长宽高，再求水槽的容积。 （2）由（1）已知水槽内的体积，浇筑这个水槽需要的混凝土就是用外面量的长宽高的体积减去水槽内的体积，最后单位换算即可。 【详解】（1）水槽内长：24－4＝20（分米） 宽：14－4＝10（分米） 高：8－2＝6（分米） 水槽体积：20×10×6＝1200（立方分米） 1200立方分米＝1200升 答：这个水槽的容积是1200升。 （2）用水槽外测量数据求出水槽体积为： 24×14×8＝2688（立方分米） 2688－1200＝1488（立方分米） 1488立方分米＝1.488立方米 答：浇筑这个水槽需要1.488立方米的混凝土。 7．思思家有一透明且密封的长方体容器，里面装了一部分水。方方想知道里面水的体积，一时找不到尺子。他通过尝试，发现当如图摆放时，水没有溢出。你能计算出长方体容器中的水有多少升？ 【答案】18升 【分析】由图可知容器的长、宽、高分别是60厘米、20厘米、30厘米，水的体积是容器容积的一半。根据“长方体体积（容积）＝长×宽×高”可求出长方体的容积，再除以2即可求出长方体容器中水的体积。最后根据“1升＝1立方分米＝1000立方厘米”将立方厘米换算为升。据此解答。 【详解】60×20×30÷2 ＝1200×30÷2 ＝36000÷2 ＝18000（立方厘米） 18000立方厘米＝18立方分米＝18升 答：长方体容器中的水有18升。 8．一块长20厘米，宽16厘米的长方形铁皮，从它的4个角上各剪去一个边长是3厘米的正方形后，做成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容积是多少立方厘米？（铁皮的厚度忽略不计） 【答案】420立方厘米 【分析】看图可知，长方体铁盒的长＝长方形的长－正方形边长×2，长方体铁盒的宽＝长方形的宽－正方形边长×2，长方体铁盒的高＝正方形边长，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出长方体铁盒的容积。 【详解】20－3×2 ＝20－6 ＝14（厘米） 16－3×2 ＝16－6 ＝10（厘米） 14×10×3＝420（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是420立方厘米。 9．如图，把一张正方形铁皮沿虚线折叠，围成一个长方体的侧面，给这个长方体配一个底面，这个长方体的容积是多少毫升？ 【答案】864毫升 【分析】根据题意，把一张正方形铁皮围成一个长方体的侧面，那么这个长方体的底面周长和高都等于正方形的边长24厘米；长方体的底面周长是正方形，根据正方形的边长＝周长÷4，求出长方体的底面边长，即长方体的长、宽；根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1立方厘米＝1毫升”，求出它的容积。 【详解】长方体的长、宽：24÷4＝6（厘米） 长方体的容积： 6×6×24 ＝36×24 ＝864（立方厘米） 864立方厘米＝864毫升 答：这个长方体的容积是864毫升。 10．王芳找来一张长30厘米、宽24厘米的长方形彩纸，从彩纸的四个角各剪去一个边长2厘米的正方形，然后折成一个无盖的长方体纸盒。 (1)这个纸盒的容积是多少立方厘米？ (2)睿睿对涵涵说，如果从彩纸的四个角剪去的正方形边长越大，折成的无盖长方体纸盒的容积也越大。你同意这样的说法吗？用计算说明你的理由。 【答案】(1)1040立方厘米 (2)不同意；理由见详解 【分析】（1）从长方形彩纸的四个角剪去边长为2厘米的正方形后，折成的无盖长方体纸盒的长、宽是原长方形的长和宽各减去2个正方形边长，高为剪去正方形的边长。根据长方体容积公式，代入长、宽、高的数值即可计算。 （2）要判断“剪去的正方形边长越大，容积越大”是否正确，只需选取不同的边长（如4厘米、6厘米、8厘米）代入公式计算，比较容积大小即可发现，当边长增大到一定程度后，容积会减小，因此该说法不正确。 【详解】（1）长：30－2×2＝26（厘米） 宽：24－2×2＝20（厘米） 高：2厘米 26×20×2 ＝520×2 ＝1040（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是1040立方厘米。 （2）答：不同意“剪去的正方形边长越大，折成的无盖长方体纸盒的容积也越大”的说法。理由如下：我们选取不同的正方形边长进行计算： 当正方形边长为4厘米时： ＝（30－2×4）×（24－2×4）×4 ＝（30－8）×（24－8）×4 ＝22×16×4 ＝352×4 ＝1408（立方厘米） 当正方形边长为6厘米时： ＝（30－2×6）×（24－2×6）×6 ＝（30－12）×（24－12）×6 ＝18×12×6 ＝216×6 ＝1296（立方厘米） 当正方形边长为8厘米时： ＝（30－2×8）×（24－2×8）×8 ＝（30－16）×（24－16）×8 ＝14×8×8 ＝112×8 ＝896（立方厘米） 可以看到，当边长从6厘米增加到8厘米时，容积从1296立方厘米减小到896立方厘米。因此，不同意“剪去的正方形边长越大，折成的无盖长方体纸盒的容积也越大”的说法。（答案不唯一） 【点睛】先根据剪去的正方形边长确定长方体的长、宽、高，再计算容积；通过举例计算可以发现，容积并非随正方形边长单调增大。 练习四、不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 1．在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了多少分米？ 【答案】0.9分米 【分析】水深是3.6分米，放入的铁块是棱长6分米的正方体，6分米大于3.6分米，铁块不一定完全浸入到水中，需通过计算来判断。 长方体的体积＝长×宽×高＝底面积×高，注入3.6分米的水，水的体积＝20×9×3.6； 放入铁块之后，假设水面高度低于6分米，现在水的底面积＝20×9－6×6， 再根据现在水的高度＝水的体积÷现在水的底面积，计算出来现在水的高度之后，判断假设是否成立；、 若成立，上升的水位高度＝现在水的高度－3.6分米； 若不成立，也就是铁块完全浸入水中，现在水高＝（水和铁块总体积）÷底面积（20分米×9分米），据此分析即可。 【详解】假设把铁块放入水中之后，水没有淹没铁块。 ＝180×3.6÷144 ＝648÷144 ＝4.5（分米） 6分米＞4.5分米，说明水没有淹没铁块，假设成立。 4.5－3.6＝0.9（分米） 答：水位上升了0.9分米。 【点睛】整个过程水的体积不变，铁块没有完全浸入，则水的底面积会有变化，进而计算出现在的水高，求出上升的高度。 2．一个无盖长方体玻璃鱼缸，长8分米、宽6分米、高5分米。制作这个鱼缸至少需玻璃多少平方分米？往鱼缸里面装了适量的水，再放入几块装饰石块，发现水面上升了5厘米（水未溢出）。这些石块的体积一共是多少立方分米？ 【答案】188平方分米；24立方分米 【分析】（1）求制作这个鱼缸至少需要玻璃的面积，实际就是求无盖长方体玻璃鱼缸的表面积，无盖长方体玻璃鱼缸的表面积是5个面的面积之和（底面+前后两面+左右两面），即长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （2）因为往鱼缸里面装了适量的水，再放入几块装饰石块，发现水面上升了5厘米，且水未溢出，所以说明这些石块的体积就是上升的水的体积； 根据1分米＝10厘米，把低级单位换算成高级单位，要除以进率即5÷10＝0.5（分米），上升的水的体积可以看作是一个长方体，这个长方体的长是8分米，宽是6分米，高是0.5分米，代入体积＝长×宽×高计算即可。 【详解】（1）8×6＋（8×5＋6×5）×2 ＝48＋（40＋30）×2 ＝48＋70×2 ＝48＋140 ＝188（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需玻璃188平方分米。 （2）5÷10＝0.5（分米） 8×6×0.5 ＝48×0.5 ＝24（立方分米） 答：这些石块的体积一共是24立方分米。 3．一个长方体玻璃缸长8分米、宽5分米、高4分米，水深2.8分米。如果投入一块铁块（完全没入水中），水面刚好升至玻璃缸口，那么这块铁块的体积是多少立方分米？（玻璃厚度忽略不计。） 【答案】48立方分米 【分析】根据题意，这块铁块的体积是水深从2.8分米到4分米的这部分水的体积，根据长方体的体积＝底面积×高计算。 【详解】8×5×（4－2.8） ＝8×5×1.2 ＝40×1.2 ＝48（立方分米） 答：这块铁块的体积是48立方分米。 4．如图，一个棱长20厘米的正方体玻璃容器，里面已经盛了一些水。如果将一个土豆完全浸没在水中，那么水面就会上升2厘米，求这个土豆的体积。 【答案】800立方厘米 【分析】土豆完全浸没在水中，水面上升部分的体积等于土豆的体积。已知正方体玻璃容器的棱长是20厘米，土豆完全浸没在水中，水面就会上升2厘米，用“正方体容器的棱长×棱长×水面上升的高度”即可求出土豆的体积。据此解答。 【详解】20×20×2 ＝400×2 ＝800（立方厘米） 答：这个土豆的体积是800立方厘米。 5．如图，在长方体水槽（长为10厘米、宽为8厘米，初始水位高度8厘米和上升后高度9.5厘米）内放一个长为5厘米，宽为4厘米的长方体铁块，这个铁块的高是多少？ 【答案】6厘米 【分析】首先观察题目中的图形和条件：长方体水槽的长为10厘米、宽为8厘米，放入铁块后水面从8厘米上升到9.5厘米；铁块是长5厘米、宽4厘米的长方体。 思考过程：要计算铁块的高，需先确定铁块的体积——根据“排水法”，铁块的体积等于水面上升部分的水的体积（因为水槽是封闭的长方体容器，水面上升的空间体积就是铁块占据的体积）。 接下来，先计算水面上升的高度，再用“水槽底面积×水面上升高度”算出上升水的体积（即铁块体积），最后利用“长方体体积＝长×宽×高”的公式，变形得到“高＝体积÷（长×宽）”，代入铁块的长和宽即可求出高。 【详解】水面上升的高度：9.5－8＝1.5（厘米） 水槽的底面积：10×8＝80（平方厘米） 上升水的体积：80×1.5＝120（立方厘米） 铁块的底面积：5×4＝20（平方厘米） 铁块的高：120÷20＝6（厘米） 答：这个铁块的高是6厘米。 6．李大爷在花园里挖了一个长方体的鱼池，从里面量长是1.5米，宽是0.8米，深是0.7米。 (1)要在鱼池的侧面贴瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ (2)原来池中水深0.6米，放入一座高0.4米的假山后，池里的水溢出120升。如果把假山取出来，池里的水深是多少米？ 【答案】(1)3.22平方米 (2)0.5米 【分析】（1）求需要瓷砖的面积，就是求这个长方体鱼池的侧面积，根据侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）用池水溢出的体积除以长方体鱼池的底面积，求出溢出水的高度，再用原来鱼池里水的高度－溢出水的高度，即可求出池里的水深，注意单位换算。 【详解】（1）（1.5×0.7＋0.8×0.7）×2 ＝（1.05＋0.56）×2 ＝1.61×2 ＝3.22（平方米） 答：至少需要瓷砖3.22平方米。 （2）120升＝0.12立方米 0.6－0.12÷（1.5×0.8） ＝0.6－0.12÷1.2 ＝0.6－0.1 ＝0.5（米） 答：池里的水深是0.5米。 7．妈妈买了一些苹果，小明准备做实验测量其中一个苹果的体积。他先将600毫升水倒入长方体容器里，量得水深是8厘米，然后他将苹果浸入水中，发现有水溢出来，量得溢出的水是20毫升。请你算一算这个苹果的体积。 【答案】320立方厘米 【分析】根据题意，我们需要先求出长方体容器的底面积，因为已知倒入600毫升水时水深8厘米，根据长方体体积公式体积＝底面积×高，可推出底面积＝体积÷高，这里水的体积是600毫升（600立方厘米），水深8厘米，所以能算出容器底面积。然后，苹果浸入水中后，水面从8厘米上升到12厘米，上升了12－8＝4厘米，这部分水的体积加上溢出的20毫升水的体积就是苹果的体积。算出上升部分水的体积后，再加上溢出的水的体积，就得到苹果的体积，据此解答。 【详解】因为1毫升＝1立方厘米，所以600毫升＝600立方厘米 长方体容器的底面积：600÷8＝75（平方厘米） 水面上升的高度：12－8＝4（厘米） 上升部分水的体积：75×4＝300（立方厘米） 溢出的水的体积是20毫升，即20立方厘米 苹果的体积：300＋20＝320（立方厘米） 答：这个苹果的体积320立方厘米。 8．一个无盖长方体玻璃水箱，从里面测量，水箱长10分米，宽8分米，高7分米，里面水深5分米。 （1）如果给这个水箱配一个长方形塑料盖子，塑料盖子的面积至少是多少平方分米？（玻璃的厚度忽略不计） （2）做这个水箱至少需要多少平方分米的玻璃？（玻璃的厚度忽略不计） （3）现在将一些鹅卵石放进水箱后测得水深6.5分米，鹅卵石的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）80平方分米 （2）332平方分米 （3）120立方分米 【分析】（1）塑料盖子需盖住水箱顶部，顶部是长10分米、宽8分米的长方形，根据“长方形面积＝长×宽”即可求出塑料盖子的面积。 （2）已知无盖长方体玻璃水箱长10分米，宽8分米，高7分米，根据“无盖长方体表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”即可计算出所需玻璃的面积。 （3）已知水箱长10分米，宽8分米，里面水深5分米，将一些鹅卵石放进水箱后测得水深6.5分米，则水面上升6.5－5＝1.5分米，根据“长方体体积＝长×宽×高”求出水面上升的体积，即为鹅卵石的体积。 【详解】（1）10×8＝80（平方分米） 答：塑料盖子的面积至少是80平方分米。 （2）10×8＋10×7×2＋8×7×2 ＝80＋70×2＋56×2 ＝80＋140＋112 ＝220＋112 ＝332（平方分米） 答：做这个水箱至少需要332平方分米的玻璃。 （3）10×8×（6.5－5） ＝10×8×1.5 ＝80×1.5 ＝120（立方分米） 答：鹅卵石的体积是120立方分米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $