专项提升训练04：圆柱与圆锥解决问题（考点梳理+例题讲解+专项练习）2025-2026学年六年级下册数学北师大版

专项提升训练04：圆柱与圆锥解决问题 考点梳理 1 考点一、圆柱表面积的应用 1 考点二、圆柱体积的应用 2 考点三、圆锥体积的应用 3 例题讲解 4 题型一、圆柱表面积的应用 4 题型二、圆柱体积的应用 5 题型三、圆锥体积的应用 6 专项练习 8 练习一、圆柱表面积的应用 8 练习二、圆柱体积的应用 15 练习三、圆锥体积的应用 22 考点梳理 考点一、圆柱表面积的应用 1. 应用场景 圆柱表面积的应用主要涉及实际生活中与圆柱表面相关的计算问题，常见场景包括： (1)制作圆柱形容器：如无盖水桶（需计算侧面积+1个底面积）、有盖油桶（需计算侧面积+2个底面积）、通风管/烟囱（仅需计算侧面积，无底面）； (2)物体表面装饰：如给圆柱侧面贴标签、给圆柱物体刷油漆（需根据实际需求确定是否包含底面）； (3)圆柱物体的包装：如用包装纸包裹圆柱礼盒（需计算表面积，考虑重叠部分可忽略或按题目要求处理）。 2. 关键步骤 （1）明确表面积类型：根据实际问题判断所求为“侧面积”“表面积（侧面积+2个底面积）”还是“无盖表面积（侧面积+1个底面积）”； （2）确定已知条件：找出圆柱的底面半径（或直径、周长）和高，注意单位是否统一（如半径单位为厘米，高单位为分米需先换算）； （3）选择对应公式计算： ①　侧面积： rh（已知半径r和高h）或（已知直径d和高h）； ②　表面积：； ③　无盖表面积：； （4）结合实际调整：若问题涉及“接口处”“损耗”等，需根据题目要求在计算结果基础上增加对应面积（如题目说明接口处面积为，则最终结果需加上）。 3. 注意事项 (1)单位统一：所有已知数据需换算为同一单位（如将“米”换算为“厘米”，确保面积单位为、等）； (2)区分“有盖”与“无盖”：生活中水桶、鱼缸等通常无盖，油桶、罐头等通常有盖，需根据常识判断； (3)忽略厚度：计算表面积时，一般不考虑圆柱材料的厚度（除非题目明确要求）。 考点二、圆柱体积的应用 1. 应用场景 圆柱体积的应用主要涉及计算圆柱物体的容积、空间大小或不规则物体体积，常见场景包括： (1)容器容积计算：如圆柱水桶的盛水量、圆柱油罐的储油量（容积=体积，需从容器内部测量数据）； (2)不规则物体体积测量：如将不规则物体放入圆柱形容器中，通过水面上升的体积计算物体体积（排水法）； (3)圆柱物体质量计算：已知圆柱物体的体积和密度，通过“质量=体积×密度”计算质量（如圆柱钢材的质量）。 2. 关键步骤 （1）明确计算目标：判断是求“体积”（物体所占空间大小）还是“容积”（容器内部可容纳物质的体积），两者计算方法相同，但测量数据来源不同（体积从外部测量，容积从内部测量，若忽略厚度则数据一致）； （2）确定底面积和高：根据已知条件（半径、直径、周长）计算底面积()，再确定圆柱的高(h)（注意高的方向与底面垂直）； （3）应用体积公式：（已知半径(r)和高(h)），或通过直径(d)、周长(C)转化为半径后代入公式； （4）单位换算：体积/容积单位需根据实际场景选择（如(对应(mL)，对应(L)，对应(）。 3. 注意事项 (1)区分体积与容积：体积是物体自身所占空间，容积是容器内部空间，若容器厚度不可忽略，需用外部尺寸计算体积，内部尺寸计算容积； (2)排水法的应用：不规则物体体积=容器底面积×水面上升高度（需确保物体完全浸没且水未溢出）； (3)公式中“”的取值：通常取3.14，若题目要求“保留”或“精确到某位小数”，需按要求计算。 考点三、圆锥体积的应用 1. 应用场景 圆锥体积的应用主要涉及具有圆锥形状的物体体积计算，常见场景包括： (1)锥形物体体积：如沙堆、粮囤（常近似为圆锥）、圆锥形零件的体积； (2)与圆柱体积结合：如等底等高的圆柱和圆锥体积关系的实际问题（如圆柱形容器与圆锥形容器的盛水量比较）； (3)体积转换问题：如将圆锥形沙堆铺成长方体沙坑，通过体积相等计算沙坑厚度。 2. 关键步骤 （1）确定圆锥的底面积和高：圆锥的高是指从顶点到底面圆心的垂直距离，需注意与底面半径、直径的区分； （2）应用体积公式：（已知半径r和高h），或通过直径(d)、周长(C)转化为半径后代入公式； （3）处理与圆柱的关系：若问题涉及“等底等高”，需利用“圆锥体积是圆柱体积的”进行转化（如圆柱体积=3×等底等高圆锥体积）； （4）体积转换计算：当圆锥体积转化为其他形状（如长方体、圆柱）时，根据“体积不变”列等式求解（如圆锥体积=长方体体积=长×宽×高）。 3. 注意事项 (1)公式中“”的遗漏：计算圆锥体积时，需牢记乘以，避免与圆柱体积公式混淆； (2)高的准确测量：圆锥的高必须是顶点到底面圆心的垂直距离，斜高（母线长）不等于高； (3)实际问题中的近似处理：生活中沙堆、粮囤等可能并非标准圆锥，需按题目说明“近似看作圆锥”进行计算。 例题讲解 题型一、圆柱表面积的应用 【例题1】一个圆柱形茶叶罐的底面半径是5厘米，高是20厘米，茶叶罐的侧面和上面都贴上了商标纸，贴商标纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】706.5平方厘米 【分析】贴商标纸的面积是圆柱的侧面积与一个上底面积之和。已知圆柱形茶叶罐的底面半径是5厘米，高是20厘米，根据圆柱的侧面积公式计算出圆柱的侧面积；然后根据圆的面积公式计算出上底面积；最后将两部分相加即可。 【详解】2×3.14×5×20 ＝6.28×5×20 ＝31.4×20 ＝628（平方厘米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 628＋78.5＝706.5（平方厘米） 答：贴商标纸的面积是706.5平方厘米。 【练习1】在一年一度的校园文化节上，乐乐要把一顶帽子的外面贴上红布，帽子形状如下图所示，帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽顶的半径、高与帽檐的宽都为20cm。请你帮她算一算，一共需要多少平方厘米的红布？ 【答案】7536平方厘米 【分析】帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽子需要的红布的面积等于半径和高都是20厘米的圆柱侧面积加上半径是厘米的圆面积，根据圆柱的侧面积（r表示半径，h表示高），圆的面积（r表示半径），列式解答即可。 【详解】 （平方厘米） 答：一共需要7536平方厘米的红布。 题型二、圆柱体积的应用 【例题2】一根钢管内直径是8厘米，外直径是10厘米，钢管长1米，每立方厘米钢管的质量约为7.9克。这根钢管的质量是多少千克？（得数保留整数） 【答案】22千克 【分析】将这根钢管看作是一个圆柱体，这个圆柱体的底面是一个圆环，根据圆环的面积＝，代入数值计算出底面积；再根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数值计算出钢管的体积，再用体积乘7.9，所得结果即为这根钢管的质量，据此解答。 【详解】8÷2＝4（厘米） 10÷2＝5（厘米） 1米＝100厘米 3.14×（52－42）×100 ＝3.14×（25－16）×100 ＝3.14×9×100 ＝28.26×100 ＝2826（立方厘米） 2826×7.9＝22325.4（克） 22325.4克≈22千克 答：这根钢管的质量是22千克。 【练习2】如图是一块长20.7分米的长方形铁皮，阴影部分的铁皮刚好能做一个一系盖的圆柱形水桶，这个水桶的容积是多少立方分米？ 【答案】98.125立方分米 【分析】观察图形可知，长方形阴影部分是这个圆柱形水桶的侧面展开图，水桶的底面周长与底面直径的和是20.7分米，水桶的高等于它的底面直径。设这个圆柱的底面直径是d分米，则圆柱的底面周长是3.14d分米，根据题意可列出方程：3.14d＋d＝20.7，解出方程求出水桶的底面直径后，再根据圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h即可求出这个水桶的容积。 【详解】解：设这个圆柱的底面直径是d分米。 3.14d＋d＝20.7 4.14d＝20.7 d＝20.7÷4.14 d＝5 3.14×（5÷2）2×5 ＝3.14×2.52×5 ＝3.14×6.25×5 ＝98.125（立方分米） 答：这个水桶的容积是98.125立方分米。 题型三、圆锥体积的应用 【例题3】《西游记》中，猪八戒自告奋勇要吃掉米山为凤仙郡求雨。米山形状近似于圆锥形，米山的底面周长是18.84m，高是4m。如果猪八戒用3分吃完一座米山，那么平均每分吃多少立方米的大米？ 【答案】12.56立方米 【分析】已知圆锥的底面周长，根据，求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积公式，求出圆锥的体积；最后用体积÷3，求出平均每分钟吃多少立方米，据此解答。 【详解】底面半径： （米） 圆锥的体积： （立方米） 每分钟：（立方米） 答：平均每分钟吃12.56立方米的大米。 【练习3】在一个半径为10厘米（从里面量），高50厘米的圆柱形容器里装些水，当放入一块底面半径为2厘米的圆锥形铁块后（铁块完全浸没水中），水面上升了0.4厘米，但未溢出，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】 30厘米 【分析】本题可先根据圆柱体积公式求出水面上升部分的体积，该体积就是圆锥形铁块的体积，再根据圆锥体积公式求出圆锥的高。 水面上升部分的形状为圆柱体，根据圆柱体积公式V＝S×h＝（其中V为体积，S为底面积，h为高，r为底面半径，取3.14），已知圆柱形容器半径是10厘米，水面上升的高度是0.4厘米，则可以求出水面上升部分的体积；因为圆锥形铁块完全浸没在水中，所以水面上升部分的体积就是圆锥形铁块的体积，已知圆锥形铁块底面半径为2厘米，根据圆的面积公式S ＝（其中S为面积，r为半径，取3.14），可求出圆锥的底面积；根据圆锥体积公式V＝Sh（其中V为体积，S为底面积，h为高），可得圆锥的高。 【详解】水面上升部分的体积： 3.14××0.4 ＝3.14×100×0.4 ＝314×0.4 ＝125.6（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 圆锥的高： 3×125.6÷12.56 ＝376.8÷12.56 ＝30（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是30厘米。 【点睛】本道题的关键在于理解水面上升部分的体积就是圆锥形铁块的体积，掌握圆柱与圆锥的计算公式，方便计算。 专项练习 练习一、圆柱表面积的应用 1．北京天坛祈年殿中央有4根圆柱形“龙井柱”，每根柱子高19.2m，底面直径是1.2m，文物保护单位要给这些柱子贴上透明保护膜。至少需要用到多少平方米的保护膜？ 【答案】 【分析】给柱子贴保护膜需要贴侧面（上下底面不要贴），柱子是圆柱即求圆柱的侧面积。根据圆柱的侧面积＝底面圆的周长×圆柱的高，公式为（其中d是底面直径，h是圆柱的高），将直径、高代入计算，将单根柱子的侧面积乘以4即可。 【详解】根据分析：底面周长（米） 侧面积（平方米） 4根柱子的侧面积总和（平方米） 答：至少需要用到289.3824平方米的保护膜。 2．一个圆柱形零件，高10cm，底面直径是8cm，零件的一端有一个圆柱形圆孔，圆孔的直径是4cm，孔深5cm（如下图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 【答案】414.48平方厘米 【分析】将圆孔的底面平移到大圆柱的孔处，接触空气的面积包括完整的大圆柱的表面积和小圆柱的侧面积，据此根据圆柱的表面积和侧面积公式列式解答即可。 【详解】 （平方厘米） 答：一共要涂414.48平方厘米。 【点睛】圆柱表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高。 3．一个圆柱的底面直径是10cm，高是24cm，现在把这个圆柱截成5段完全相同的小圆柱。这5段小圆柱的表面积之和比原来圆柱的表面积多多少平方厘米？ 【答案】 平方厘米 【分析】根据题意观察图片可知：每截一次，表面积会增加两个圆的面积，圆柱截成5段完全相同的小圆柱，即截了次，增加了个圆的面积，根据圆的面积计算公式，代入数据求出8个圆的面积之和即为表面积增加的面积。 【详解】 （个） （平方厘米） 答：这5段小圆柱的表面积之和比原来圆柱的表面积多628平方厘米。 【点睛】解决此类问题的关键在于找到表面积增加的哪部分，即每截一次，增加2个圆的面积，截成5段，就是截了4次，以此为突破口，展开计算求解即可。 4．劳动课上，笑笑从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）。这个笔筒的表面积是多少平方厘米？ 【答案】455.3平方厘米 【分析】从图中可知，长方形卡纸的长31.4厘米等于圆的周长，根据圆的周长公式C＝πd，可知d＝C÷π，由此求出圆柱形笔筒的底面直径； 长方形的宽22厘米等于圆柱的高与底面直径之和，用宽减去圆柱的底面直径，求出圆柱的高； 根据无盖圆柱的表面积＝圆柱的一个底面积＋圆柱的侧面积，其中圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆柱的侧面积＝长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，求出这个笔筒的表面积。 【详解】圆柱的底面直径：31.4÷3.14＝10（厘米） 圆柱的底面半径：10÷2＝5（厘米） 圆柱的高：22－10＝12（厘米） 圆柱的表面积： 3.14×5²＋31.4×12 ＝3.14×25＋31.4×12 ＝78.5＋376.8 ＝455.3（平方厘米） 答：这个笔筒的表面积是455.3平方厘米。 5．妈妈给海海买了一个圆柱形水杯（如下图），为了不烫伤海海的手，妈妈特意在杯子中间套了一根宽5cm的橡胶带。 （1）求这个水杯的表面积。 （2）求这根橡胶带的面积。 【答案】（1）395.64平方厘米 （2）94.2平方厘米 【分析】(1)水杯的表面积包括侧面积和两个底面积，根据圆柱侧面积公式S=πdh（d为直径，h为高）和圆的面积公式S=πr²（r为半径）计算。 (2)橡胶带的面积即为圆柱侧面一部分的面积，宽度为5cm，所以面积为底面周长乘宽度。 【详解】(1)半径：（厘米） 底面积： （平方厘米） 两个底面积：（平方厘米） 侧面积：（平方厘米） 表面积：（平方厘米） 答：这个水杯的表面积是395.64平方厘米。 (2)底面周长：（厘米） 橡胶带面积：（平方厘米） 答：这根橡胶带的面积是94.2平方厘米。 6．如图，一根长5米，横截面直径是10厘米的圆柱形木头浮在水面上，正好有一半露出水面，这根木头与水接触部分的面积是多少平方米？ 【答案】0.79285平方米 【分析】根据题意可知，木头与水接触的面积等于这个圆柱形木头的表面积的一半，根据圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，代入数据，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】10厘米＝0.1米 3.14×（0.1÷2）2×2＋3.14×0.1×5 ＝3.14×0.052×2＋3.14×0.1×5 ＝3.14×0.0025×2＋0.314×5 ＝0.00785×2＋1.57 ＝0.0157＋1.57 ＝1.5857（平方米） 1.5857÷2＝0.79285（平方米） 答：这根木头与水接触部分的面积是0.79285平方米。 7．蔬菜基地要搭建一批蔬菜大棚，大棚的前后面用砖砌成大小相同的半圆，顶部用塑料膜覆盖如图所示，建造20个这样的蔬菜大棚大约需要多少平方米的塑料膜？ 【答案】7536平方米 【分析】由图可知，大棚顶部塑料膜的形状可看作是圆柱侧面积的一半，已知圆柱的底面直径为8米，圆柱的长度（即高）为30米，圆柱的侧面积公式为“S＝πdh”，那么半个圆柱侧面积（即一个大棚顶部塑料膜面积）就用整个圆柱的侧面积除以2；最后计算20个大棚需要的塑料膜面积，用一个大棚的面积乘20即可。 【详解】8×3.14×30÷2×20 ＝25.12×30÷2×20 ＝753.6÷2×20 ＝376.8×20 ＝7536（平方米） 答：建造20个这样的蔬菜大棚大约需要7536平方米的塑料膜。 8．下图的“博士帽”用卡纸做成。上面是边长为30厘米的正方形。下面是底面直径为16 厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作20顶这样的“博士帽”至少需要卡纸多少平方厘米？合多少平方米？ 【答案】28048平方厘米；2.8048平方米 【分析】由题意可知，一顶“博士帽”所需卡纸的面积等于正方形的面积加上圆柱的侧面积，正方形的面积＝边长×边长，圆柱的侧面积＝底面直径×圆周率×高，要求制作20顶“博士帽”，用博士帽的表面积×20即可；最后根据1平方米＝10000平方厘米，进行单位换算，即可解答。 【详解】（平方厘米） ＝50.24×10 ＝502.4（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 28048平方厘米＝2.8048平方米 答：制作20顶这样的“博士帽”至少需要卡纸28048平方厘米，合2.8048平方米。 9．一张长方形铁皮（下图），剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成一个底面半径为10厘米的圆柱体，圆柱体铁皮的表面积是多少平方厘米？ 【答案】1884平方厘米 【分析】根据圆柱的展开图的特征，圆柱的侧面展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，圆柱的高等于底面直径，再根据圆柱表面积＝2πr2＋＝2πrh，代入数据，把两个数据相加求出圆柱体铁皮的表面积即可。 【详解】3.14×102×2＋3.14×2×10×（10×2） ＝3.14×100×2＋6.28×10×20 ＝314×2＋62.8×20 ＝628＋1256 ＝1884（平方厘米） 答：圆柱体铁皮的表面积是1884平方厘米。 10．白居易在《种柳三咏》中说“白头种松桂，早晚见成林”，可见我国自古以来就有大量种树保护树木的传承。每到冬季，街道两旁一些树木的树干部分都涂成白色以防止冻裂，防治病虫害。学校计划给校园里50棵大树刷白，每平方米的树干需要400克的石灰水，要求树干刷白的高度为1.5米。这批大树的平均直径是20厘米，请你计算至少需要多少千克的石灰水？ 【答案】18.84千克 【分析】根据题意可知：树干可看成一个圆柱，刷白部分是圆柱的侧面积。将数据代入圆柱的侧面积公式：S＝πdh求出一棵大树需要刷白的面积，再乘50求出50棵大树刷白的面积。用50棵大树刷白的面积×每平方米的树干需要的石灰水的质量求出需要多少克石灰水，最后根据1千克＝1000克换算成千克即可。 【详解】20厘米＝0.2米 3.14×0.2×1.5 ＝0.628×1.5 ＝0.942（平方米） 0.942×50＝47.1（平方米） 47.1×400＝18840（克） 18840克＝18.84千克 答：至少需要18.84千克的石灰水。 练习二、圆柱体积的应用 1．一个公园里有一个年代久远的日晷，其主体部分可以看作一个圆柱，其底面直径是10dm，厚1dm。这个日晷主体部分的体积是多少？ 【答案】78.5立方分米 【分析】日晷主体部分可以看作一个圆柱，先根据底面直径求出半径，再根据公式：，代入数据即可求出这个日晷主体部分的体积。 【详解】（分米） （立方分米） 答：这个日晷主体部分的体积是78.5立方分米。 2．小恒发现每次刷牙挤出的牙膏均呈圆柱形。牙膏管口是圆形的，直径为5mm，小恒每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，一支牙膏可用72次。现牙膏厂为促进销售，将新包装的管口直径扩大了1mm，其他不变。如果小恒刷牙时还是每次挤出1cm长的牙膏，那么一支新包装的牙膏能用多少次？ 【答案】 50次 【分析】已知牙膏管口是圆形的，直径为5mm，小恒每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，一支牙膏可用72次。根据圆柱的体积公式，求出1次挤出圆柱形牙膏的体积，再乘72，求出一支牙膏的总体积；又已知现牙膏厂为促进销售，将新包装的管口直径扩大了1mm，其他不变，即牙膏总体积不变，根据圆柱的体积公式，求出1次挤出管口直径增大后的圆柱形牙膏的体积，再用总体积除以1次挤出管口直径增大后的圆柱形牙膏的体积，即可得到新包装牙膏能用的次数，据此解答。（注意：单位不统一，要先把单位换算成相同的再计算） 【详解】1厘米＝10毫米 （立方毫米） （立方毫米） （次） 答：一支新包装的牙膏能用50次。 3．一个盖着瓶盖的玻璃瓶里装着一些水（如下图所示），玻璃的厚度忽略不计，瓶子的底面积为10平方厘米。请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是多少立方厘米？ 【答案】80立方厘米 【分析】瓶身是圆柱体，圆柱容积＝底面积×高。根据左图，将瓶子的底面积乘5厘米，求出水的体积。根据右图，将10厘米减去7厘米，求出没有水区域的高，再将瓶子的底面积乘这个高，求出没有水区域的容积。将水的体积加上没有水区域的容积，求出瓶子的容积。 【详解】10×5＋10×（10－7） ＝50＋10×3 ＝50＋30 ＝80（立方厘米） 答：瓶子的容积是80立方厘米。 4．一种圆柱形饮料，底面直径是6厘米，高为15厘米，如图，照样子装满箱子，则这个箱子的体积至少是多少立方厘米？ 【答案】12960立方厘米 【分析】要计算箱子的体积，需要先确定箱子的长、宽、高，由于箱子是按照圆柱形饮料的摆放方式来确定尺寸的，所以要通过观察饮料在箱子中的排列情况，这张图中未明确显示饮料具体排列数量，但从常规装箱思路出发，先数出每行饮料数量和行数来确定箱子底面的长和宽，箱子的高一般与饮料的高相等（在饮料装满箱子且无多余空间堆叠的情况下），用饮料排列确定箱子尺寸，假设从图中观察到饮料在箱子里面一行摆了6个（横向），摆了4行（纵向），因为饮料底面直径是6厘米，所以箱子的长等于一行饮料的直径总和，即长为厘米，箱子的宽等于饮料行数对应的直径总和，即宽为厘米，而箱子的高和饮料的高相同为15厘米，代入长方体的体积公式：V＝abh即可求出这个箱子的体积。 【详解】这个箱子的高为15厘米 这个箱子的长：（厘米） 这个箱子的宽：（厘米） 这个箱子的体积：（立方厘米） 答：照这个样子装满箱子，则这个箱子的体积至少是12960立方厘米。 5．如图，一根空心铁管长1米，外直径为10厘米，壁厚1厘米，如果每立方厘米的铁重10克，那么这根铁管重多少千克？ 【答案】28.26千克 【分析】1米＝100厘米，先将铁管的长单位统一为厘米。将外直径除以2，求出外半径，再将外半径减去壁厚，求出内半径。圆柱体积＝底面积×高，据此求出空心铁管内圆柱、外圆柱的体积，再将外圆柱的体积减去内圆柱的体积，求出铁管的体积。再将铁管体积乘10，求出重多少克，最后根据“1千克＝1000克”进行单位换算即可。 【详解】1米＝100厘米 10÷2＝5（厘米）   5－1＝4（厘米） 3.14×52×100－3.14×42×100 ＝3.14×25×100－3.14×16×100 ＝7850－5024 ＝2826（立方厘米） 2826×10＝28260（克） 28260克＝28.26千克 答：这根铁管重28.26千克。 6．健身房的拳击沙袋是一个近似的圆柱体，从里面量沙袋高15分米，底面直径为6分米，里面均匀地填满铁砂。这个拳击沙袋里大约填有多少立方分米的铁砂？ 【答案】423.9立方分米 【分析】计算铁砂的体积，就是计算这个圆柱形沙袋的体积，直接根据圆柱的体积公式，代入数值计算即可。 【详解】6÷2＝3（分米） 3.14×32×15 ＝3.14×（9×15） ＝3.14×135 ＝423.9（立方分米） 答：这个拳击沙袋里大约填有423.9立方分米的铁砂。 【点睛】本题主要考查圆柱的体积公式，熟练掌握公式，并能够运用到实际生活的计算中，是解题的关键。 7．西游记中的孙悟空正直勇敢、嫉恶如仇，他有一件神奇的兵器叫如意金箍棒，可以任意缩小或放大。如果孙悟空把如意金箍棒变化成底面周长是6.28分米，长是100分米的圆柱形铁棒，那么此时，它的体积是多少立方分米？ 【答案】314立方分米 【分析】用底面周长除以圆周率再除以2得出圆柱形铁棒的半径，再根据圆柱体积底面积高计算即可。 【详解】 （分米） ＝3.14×1×100 （立方分米） 答：它的体积是314立方分米。 8．某小区楼下有一个圆柱形花坛，它的直径为6米，高为0.5米，物业准备给花坛中填营养土来栽景观花，已知每立方米营养土重1.4吨，求填满这个花坛需要多少吨营养土？ 【答案】19.782吨 【分析】根据圆柱体积＝，可计算得出圆柱形花坛的体积，再乘每立方重1.4吨，据此计算可得出答案。 【详解】圆柱形花坛需要营养土的重量为： ＝28.26×0.5×1.4 ＝14.13×1.4 （吨） 答：填满这个花坛需要19.782吨。 9．做一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号铁皮可供搭配选择。（单位：分米） （1）你选择的是（    ）和（    ）搭配使用。（填序号） （2）根据所选材料，计算制作这个水桶所需的铁皮面积。 （3）你选择的材料制成的水桶最多能装水多少升？（铁皮的厚度略去不计） 【答案】（1）①；② （2）75.36平方分米 （3）62.8升 【分析】（1）圆柱的侧面展开图是长方形，长方形的长应等于底面圆的周长。 ②号圆：直径为4分米，根据圆周长公式：C＝πd（π取3.14，d为直径），可得周长为3.14×4＝12.56分米，与①号长方形的长（12.56分米）匹配。 ④号圆：半径为3分米，周长为2×3.14×3＝18.84分米；③号长方形的长是9.42分米，不匹配④号圆。所以可选择①和②搭配。 （2）制作无盖水桶的铁皮面积，因为是无盖，所以要少算一个圆的面积，即1个底面积＋侧面积），②号圆的直径为4分米，那么半径为4÷2＝2分米，根据面积公式：S＝πr2（π取3.14，r为半径），则底面积为3.14×22＝3.14×4＝12.56平方分米。①号长方形的长为12.56分米，宽为5分米，根据面积＝长×宽，所以它的面积为12.56×5＝62.8平方分米。然后把长方形面积与底面积相加即可得出制作这个水桶所需的铁皮面积。 （3）水桶最多能装水的体积（即圆柱容积），圆柱的高为①号长方形的宽，即5分米。由（2）已知底面积为12.56平方分米，根据圆柱容积公式：V＝Sh（S为底面积，h为高），把数据代入计算后，再把单位换算成升即可。 【详解】（1）②号圆周长：3.14×4＝12.56（分米） 与①号长方形的长12.56分米匹配。 所以选择的是①和②搭配使用。 （2）4÷2＝2（分米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 12.56×5＝62.8（平方分米） 12.56＋62.8＝75.36（平方分米） 答：制作这个水桶所需的铁皮面积是75.36平方分米。 （3）12.56×5＝62.8（立方分米） 1立方分米＝1升 62.8立方分米＝62.8升 答：制成的水桶最多能装水62.8升。 10．纯鲜果汁厂新开发一款果汁，设计师设计了两款包装盒，一款为圆柱形桶装，桶的底面半径为0.5分米，高为2分米；另一款为长方体盒装，盒子长1分米、宽0.5分米、高2分米。 （1）如果采用同样的材料制作，（不考虑接口处损耗）两种包装各需要多大面积的材料？ （2）只考虑容积和包装材料，哪种包装方式更省材料？请说明理由。 【答案】（1）圆柱形桶装包装需要7.85平方分米，长方体盒装包装需要7平方分米。 （2）圆柱形桶装包装的更省材料。 【分析】（1）根据圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋底面积×2，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别求出两种包装的表面积； （2）根据圆柱的体积＝底面积×高，长方体的体积＝长×宽×高，分别求出两种包装的体积；然后用表面积÷体积，分别求出两种包装每立方分米需要的材料，进而确定更省材料的一种包装。 【详解】（1）2×0.5×3.14×2＋3.14×0.52×2 ＝3.14×2＋0.785×2 ＝6.28＋1.57 ＝7.85（平方分米） （1×0.5＋1×2＋0.5×2）×2 ＝（0.5＋2＋1）×2 ＝3.5×2 ＝7（平方分米） 答：圆柱形桶装包装需要7.85平方分米，长方体盒装包装需要7平方分米。 （2）3.14×0.52×2 ＝3.14×0.25×2 ＝0.785×2 ＝1.57（立方分米） 7.85÷1.57＝5（平方分米） 1×0.5×2＝1（立方分米） 7÷1＝7（平方分米） 7平方分米＞5平方分米 答：因为圆柱形桶装每1立方分米需要5平方分米的材料，长方体盒装每1立方分米需要7平方分米的材料，所以圆柱形桶装包装的更省材料。 练习三、圆锥体积的应用 1．李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是6米，高是1.5米。如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 【答案】1695.6元 【分析】已知沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，底面直径为6米，那么半径为6÷2＝3米，高为1.5米。根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可得出沙子的体积。每立方米沙子120元，用120乘沙子的体积即可求出这堆沙子所需的花费。 【详解】6÷2＝3（米） ×3.14×32×1.5 ＝×3.14×9×1.5 ＝14.13（立方米） 120×14.13＝1695.6（元） 答：李叔叔买这堆沙子需要花1695.6元。 2．古代匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为3000平方厘米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计）（π取3） 【答案】54厘米 【分析】由题意知：“将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形”，则这个圆锥铁块的底面半径也是10厘米。又知：将铁块完全放入长方体容器中，则上升部分水的体积＝圆锥铁块的体积。长方体体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×圆锥的底面积×圆锥的高，则圆锥的高＝3×圆锥的体积÷圆锥的底面积，据此计算即可。 【详解】上升部分水的体积＝圆锥的体积＝3000×1.8＝5400（立方厘米） 圆锥的高： （厘米） 答：这个圆锥的高是54厘米。 3．沙漏是两个完全相同的圆锥形容器的组合体，上面的圆锥形容器高6cm，原来里面装满细沙，漏口每秒可漏细沙，漏完全部细沙用时5分。这个沙漏的底面积是多少平方厘米？（沙漏厚度忽略不计） 【答案】9平方厘米 【分析】由题可知，沙漏上下两个圆锥形的体积相同，所以只需把一个圆锥的体积求出来即可。一个圆锥的体积等于细沙的体积，细沙的体积为，再根据圆锥的体积公式即可求出沙漏的底面积。 【详解】    （立方厘米）      （平方厘米） 答：这个沙漏的底面积是9平方厘米。 4．某野营部队训练时，搭建了一个近似圆锥形的帐篷，它的底面半径是3米，高是4米，帐篷里面的空间是多少立方米？（帐篷的厚度忽略不计） 【答案】37.68立方米 【分析】要求这个帐篷里面的空间是多少，也就是求这个圆锥形帐篷的体积，根据圆锥的体积＝πr2h，代入相应数值计算，所得结果即为这个帐篷里面的空间是多少立方米。 【详解】×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝3.14×3×4 ＝3.14×12 ＝37.68（立方米） 答：这个帐篷里面的空间是37.68立方米。 5．一个圆锥形小麦堆，底面周长是m，高是m。如果每立方米小麦的质量为kg，这堆小麦的质量为多少t？ 【答案】14.13t 【分析】根据圆锥的底面是圆，圆的周长为2πr，可得圆锥的底面半径为18.84÷3.14÷2＝3（m），再根据圆锥的体积为（m3），进而可得这堆小麦的质量为单位体积质量×体积，即750 ×18.84＝14130（kg），再单位换算即可。 【详解】18.84÷3.14÷2＝3（m） ＝ ＝3×3.14×2 ＝9.42×2 ＝18.84（m3） 750 ×18.84＝14130（kg）， 14130kg＝14.13t 答：这堆小麦的质量为14.13t。 6．炎炎夏季冰激凌总会带给我们清凉的感觉。每毫升的冰激凌约含有6千焦的热量。淘气买了一个冰激凌（如图），你知道这个冰激凌大约含有多少千焦热量吗？ 【答案】847.8千焦 【分析】由图可知，冰激凌的形状是一个圆锥，已知圆锥底面直径为6厘米，那么底面半径为6÷2＝3厘米，高为15厘米。圆锥体积公式为：V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），把数据代入公式后计算出圆锥的体积。每毫升的冰激凌约含有6千焦的热量，把圆锥体积单位换算成毫升后与6相乘即可解答。 【详解】6÷2＝3（厘米） ×3.14×32×15 ＝×3.14×9×15 ＝3×3.14×15 ＝141.3（立方厘米） 141.3立方厘米＝141.3毫升 6×141.3＝847.8（千焦） 答：这个冰激凌大约含有847.8千焦热量。 7．莉莉将一个圆锥形甜筒里装了0.12升水，此时水面高度正好是圆锥高度的一半，（注：π取3.14） （1）莉莉还能往甜筒里装多少水；（单位化为立方厘米） （2）莉莉将装满水的甜筒倒入玻璃杯中，若这个玻璃杯的底面半径是4厘米，高是15厘米，请问水是否会溢出来。 【答案】（1）840立方厘米 （2）会 【分析】（1）由题可知，水面高度是圆锥高度的一半（），水底面半径是圆锥底面半径的一半（），根据圆锥体积公式可得水的体积是圆锥容积的＝，把圆锥容积看作单位“1”，已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，求出圆锥的容积为0.12÷＝0.96升；最后用圆锥的容积减去水的体积，根据“1升＝1立方分米＝1000立方厘米”将单位换算为立方厘米。 （2）玻璃杯是底面半径4厘米、高15厘米的圆柱，根据圆柱体积公式求出玻璃杯的容积，然后比较甜筒中水的体积（装满水）和玻璃杯的容积即可解答。 【详解】（1）＝ 0.12÷＝0.12×8＝0.96（升） 0.96－0.12＝0.84（升） 0.84升＝840立方厘米 答：莉莉还能往甜筒里装840立方厘米水。 （2）0.96升＝960立方厘米 3.14×42×15 ＝3.14×16×15 ＝50.24×15 ＝753.6（立方厘米） 753.6＜960 答：水会溢出来。 【点睛】已知水面高度是圆锥高度的一半，同时需识别到水的底面半径是圆锥底面半径的一半（），然后根据圆锥体积公式推出水的体积是圆锥体积的。 8．中国推出的一款新型子弹引起了大众的注意，这款子弹外壳使用的材料是高分子轻质材料，也就是传说中的“塑料子弹”。这种子弹形似一个圆柱加一个圆锥（如图）。这款子弹壳外壳的体积是多少立方厘米？ 【答案】49.455立方厘米 【分析】子弹壳外壳的体积等于底面直径3厘米，高是6厘米的圆柱的体积，加上底面直径是3厘米，高是3厘米的圆锥的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，据此求出子弹外壳的体积。 【详解】3.14×（3÷2）2×6＋3.14×（3÷2）2×3× ＝3.14×1.52×6＋3.14×1.52×3× ＝3.14×2.25×6＋3.14×2.25×3× ＝7.065×6＋7.065×3× ＝42.39＋21.195× ＝42.39＋7.065 ＝49.455（立方厘米） 答：这款子弹壳外壳的体积是49.455立方厘米。 9．一个从里面量底面直径是10厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高是9厘米，底面半径是4厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，当铅锤从水中取出后，这时水面下降了多少厘米？ 【答案】1.92厘米 【分析】根据题意，先根据圆锥体积公式V＝πr2h算出铅锤体积，因为铅锤体积等于下降的水的体积，再用该体积÷圆柱形容器底面积，得到水面下降高度，据此解答。 【详解】计算圆锥体积：圆锥体积公式V＝πr2h，其中r＝4厘米，h＝9厘米 则V圆锥＝×（3.14×42×9） ＝×（3.14×16×9） ＝×（50.24×9） ＝×452.16 ＝150.72（立方厘米） 计算圆柱形容器底面积： 圆柱底面直径10厘米，半径r＝5厘米， 底面积S＝πr2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米）。 计算水面下降高度：下降的水的体积等于圆锥体积， 根据h＝V÷S，则水面下降高度h＝150.72÷78.5＝1.92（厘米）。 答：这时水面下降了1.92厘米。 10．如图，底面直径是10厘米的圆柱容器，放入等底等高的圆柱和圆锥铁块。圆柱形铁块的体积是多少？ 【答案】235.5立方厘米 【分析】从图中可知，加入圆柱和圆锥铁块后，底面直径为10厘米的圆柱容器的水面高度上升了（9－5）厘米，那么水上升部分的体积就是圆柱与圆锥铁块的体积之和，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱与圆锥铁块的体积之和； 已知圆柱和圆锥铁块等底等高，则圆柱铁块的体积是圆锥铁块体积的3倍，可以把圆锥铁块的体积看作1份，圆柱铁块的体积看作3份，一共是（1＋3）份；用它们的体积之和除以总份数，求出一份数，也就是圆锥形铁块的体积，再乘3，求出圆柱形铁块的体积。 【详解】水上升部分的体积（圆柱与圆锥铁块的体积之和）： 3.14×（10÷2）2×（9－5） ＝3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝314（立方厘米） 圆锥形铁块的体积： 314÷（3＋1） ＝314÷4 ＝78.5（立方厘米） 圆柱形铁块的体积： 78.5×3＝235.5（立方厘米） 答：圆柱形铁块的体积是235.5立方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项提升训练04：圆柱与圆锥解决问题 考点梳理 1 考点一、圆柱表面积的应用 1 考点二、圆柱体积的应用 2 考点三、圆锥体积的应用 3 例题讲解 4 题型一、圆柱表面积的应用 4 题型二、圆柱体积的应用 4 题型三、圆锥体积的应用 5 专项练习 5 练习一、圆柱表面积的应用 5 练习二、圆柱体积的应用 8 练习三、圆锥体积的应用 11 考点梳理 考点一、圆柱表面积的应用 1. 应用场景 圆柱表面积的应用主要涉及实际生活中与圆柱表面相关的计算问题，常见场景包括： (1)制作圆柱形容器：如无盖水桶（需计算侧面积+1个底面积）、有盖油桶（需计算侧面积+2个底面积）、通风管/烟囱（仅需计算侧面积，无底面）； (2)物体表面装饰：如给圆柱侧面贴标签、给圆柱物体刷油漆（需根据实际需求确定是否包含底面）； (3)圆柱物体的包装：如用包装纸包裹圆柱礼盒（需计算表面积，考虑重叠部分可忽略或按题目要求处理）。 2. 关键步骤 （1）明确表面积类型：根据实际问题判断所求为“侧面积”“表面积（侧面积+2个底面积）”还是“无盖表面积（侧面积+1个底面积）”； （2）确定已知条件：找出圆柱的底面半径（或直径、周长）和高，注意单位是否统一（如半径单位为厘米，高单位为分米需先换算）； （3）选择对应公式计算： ①　侧面积： rh（已知半径r和高h）或（已知直径d和高h）； ②　表面积：； ③　无盖表面积：； （4）结合实际调整：若问题涉及“接口处”“损耗”等，需根据题目要求在计算结果基础上增加对应面积（如题目说明接口处面积为，则最终结果需加上）。 3. 注意事项 (1)单位统一：所有已知数据需换算为同一单位（如将“米”换算为“厘米”，确保面积单位为、等）； (2)区分“有盖”与“无盖”：生活中水桶、鱼缸等通常无盖，油桶、罐头等通常有盖，需根据常识判断； (3)忽略厚度：计算表面积时，一般不考虑圆柱材料的厚度（除非题目明确要求）。 考点二、圆柱体积的应用 1. 应用场景 圆柱体积的应用主要涉及计算圆柱物体的容积、空间大小或不规则物体体积，常见场景包括： (1)容器容积计算：如圆柱水桶的盛水量、圆柱油罐的储油量（容积=体积，需从容器内部测量数据）； (2)不规则物体体积测量：如将不规则物体放入圆柱形容器中，通过水面上升的体积计算物体体积（排水法）； (3)圆柱物体质量计算：已知圆柱物体的体积和密度，通过“质量=体积×密度”计算质量（如圆柱钢材的质量）。 2. 关键步骤 （1）明确计算目标：判断是求“体积”（物体所占空间大小）还是“容积”（容器内部可容纳物质的体积），两者计算方法相同，但测量数据来源不同（体积从外部测量，容积从内部测量，若忽略厚度则数据一致）； （2）确定底面积和高：根据已知条件（半径、直径、周长）计算底面积()，再确定圆柱的高(h)（注意高的方向与底面垂直）； （3）应用体积公式：（已知半径(r)和高(h)），或通过直径(d)、周长(C)转化为半径后代入公式； （4）单位换算：体积/容积单位需根据实际场景选择（如(对应(mL)，对应(L)，对应(）。 3. 注意事项 (1)区分体积与容积：体积是物体自身所占空间，容积是容器内部空间，若容器厚度不可忽略，需用外部尺寸计算体积，内部尺寸计算容积； (2)排水法的应用：不规则物体体积=容器底面积×水面上升高度（需确保物体完全浸没且水未溢出）； (3)公式中“”的取值：通常取3.14，若题目要求“保留”或“精确到某位小数”，需按要求计算。 考点三、圆锥体积的应用 1. 应用场景 圆锥体积的应用主要涉及具有圆锥形状的物体体积计算，常见场景包括： (1)锥形物体体积：如沙堆、粮囤（常近似为圆锥）、圆锥形零件的体积； (2)与圆柱体积结合：如等底等高的圆柱和圆锥体积关系的实际问题（如圆柱形容器与圆锥形容器的盛水量比较）； (3)体积转换问题：如将圆锥形沙堆铺成长方体沙坑，通过体积相等计算沙坑厚度。 2. 关键步骤 （1）确定圆锥的底面积和高：圆锥的高是指从顶点到底面圆心的垂直距离，需注意与底面半径、直径的区分； （2）应用体积公式：（已知半径r和高h），或通过直径(d)、周长(C)转化为半径后代入公式； （3）处理与圆柱的关系：若问题涉及“等底等高”，需利用“圆锥体积是圆柱体积的”进行转化（如圆柱体积=3×等底等高圆锥体积）； （4）体积转换计算：当圆锥体积转化为其他形状（如长方体、圆柱）时，根据“体积不变”列等式求解（如圆锥体积=长方体体积=长×宽×高）。 3. 注意事项 (1)公式中“”的遗漏：计算圆锥体积时，需牢记乘以，避免与圆柱体积公式混淆； (2)高的准确测量：圆锥的高必须是顶点到底面圆心的垂直距离，斜高（母线长）不等于高； (3)实际问题中的近似处理：生活中沙堆、粮囤等可能并非标准圆锥，需按题目说明“近似看作圆锥”进行计算。 例题讲解 题型一、圆柱表面积的应用 【例题1】一个圆柱形茶叶罐的底面半径是5厘米，高是20厘米，茶叶罐的侧面和上面都贴上了商标纸，贴商标纸的面积是多少平方厘米？ 【练习1】在一年一度的校园文化节上，乐乐要把一顶帽子的外面贴上红布，帽子形状如下图所示，帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽顶的半径、高与帽檐的宽都为20cm。请你帮她算一算，一共需要多少平方厘米的红布？ 题型二、圆柱体积的应用 【例题2】一根钢管内直径是8厘米，外直径是10厘米，钢管长1米，每立方厘米钢管的质量约为7.9克。这根钢管的质量是多少千克？（得数保留整数） 【练习2】如图是一块长20.7分米的长方形铁皮，阴影部分的铁皮刚好能做一个一系盖的圆柱形水桶，这个水桶的容积是多少立方分米？ 题型三、圆锥体积的应用 【例题3】《西游记》中，猪八戒自告奋勇要吃掉米山为凤仙郡求雨。米山形状近似于圆锥形，米山的底面周长是18.84m，高是4m。如果猪八戒用3分吃完一座米山，那么平均每分吃多少立方米的大米？ 【练习3】在一个半径为10厘米（从里面量），高50厘米的圆柱形容器里装些水，当放入一块底面半径为2厘米的圆锥形铁块后（铁块完全浸没水中），水面上升了0.4厘米，但未溢出，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 专项练习 练习一、圆柱表面积的应用 1．北京天坛祈年殿中央有4根圆柱形“龙井柱”，每根柱子高19.2m，底面直径是1.2m，文物保护单位要给这些柱子贴上透明保护膜。至少需要用到多少平方米的保护膜？ 2．一个圆柱形零件，高10cm，底面直径是8cm，零件的一端有一个圆柱形圆孔，圆孔的直径是4cm，孔深5cm（如下图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 3．一个圆柱的底面直径是10cm，高是24cm，现在把这个圆柱截成5段完全相同的小圆柱。这5段小圆柱的表面积之和比原来圆柱的表面积多多少平方厘米？ 4．劳动课上，笑笑从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）。这个笔筒的表面积是多少平方厘米？ 5．妈妈给海海买了一个圆柱形水杯（如下图），为了不烫伤海海的手，妈妈特意在杯子中间套了一根宽5cm的橡胶带。 （1）求这个水杯的表面积。 （2）求这根橡胶带的面积。 6．如图，一根长5米，横截面直径是10厘米的圆柱形木头浮在水面上，正好有一半露出水面，这根木头与水接触部分的面积是多少平方米？ 7．蔬菜基地要搭建一批蔬菜大棚，大棚的前后面用砖砌成大小相同的半圆，顶部用塑料膜覆盖如图所示，建造20个这样的蔬菜大棚大约需要多少平方米的塑料膜？ 8．下图的“博士帽”用卡纸做成。上面是边长为30厘米的正方形。下面是底面直径为16 厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作20顶这样的“博士帽”至少需要卡纸多少平方厘米？合多少平方米？ 9．一张长方形铁皮（下图），剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成一个底面半径为10厘米的圆柱体，圆柱体铁皮的表面积是多少平方厘米？ 10．白居易在《种柳三咏》中说“白头种松桂，早晚见成林”，可见我国自古以来就有大量种树保护树木的传承。每到冬季，街道两旁一些树木的树干部分都涂成白色以防止冻裂，防治病虫害。学校计划给校园里50棵大树刷白，每平方米的树干需要400克的石灰水，要求树干刷白的高度为1.5米。这批大树的平均直径是20厘米，请你计算至少需要多少千克的石灰水？ 练习二、圆柱体积的应用 1．一个公园里有一个年代久远的日晷，其主体部分可以看作一个圆柱，其底面直径是10dm，厚1dm。这个日晷主体部分的体积是多少？ 2．小恒发现每次刷牙挤出的牙膏均呈圆柱形。牙膏管口是圆形的，直径为5mm，小恒每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，一支牙膏可用72次。现牙膏厂为促进销售，将新包装的管口直径扩大了1mm，其他不变。如果小恒刷牙时还是每次挤出1cm长的牙膏，那么一支新包装的牙膏能用多少次？ 3．一个盖着瓶盖的玻璃瓶里装着一些水（如下图所示），玻璃的厚度忽略不计，瓶子的底面积为10平方厘米。请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是多少立方厘米？ 4．一种圆柱形饮料，底面直径是6厘米，高为15厘米，如图，照样子装满箱子，则这个箱子的体积至少是多少立方厘米？ 5．如图，一根空心铁管长1米，外直径为10厘米，壁厚1厘米，如果每立方厘米的铁重10克，那么这根铁管重多少千克？ 6．健身房的拳击沙袋是一个近似的圆柱体，从里面量沙袋高15分米，底面直径为6分米，里面均匀地填满铁砂。这个拳击沙袋里大约填有多少立方分米的铁砂？ 7．西游记中的孙悟空正直勇敢、嫉恶如仇，他有一件神奇的兵器叫如意金箍棒，可以任意缩小或放大。如果孙悟空把如意金箍棒变化成底面周长是6.28分米，长是100分米的圆柱形铁棒，那么此时，它的体积是多少立方分米？ 8．某小区楼下有一个圆柱形花坛，它的直径为6米，高为0.5米，物业准备给花坛中填营养土来栽景观花，已知每立方米营养土重1.4吨，求填满这个花坛需要多少吨营养土？ 9．做一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号铁皮可供搭配选择。（单位：分米） （1）你选择的是（    ）和（    ）搭配使用。（填序号） （2）根据所选材料，计算制作这个水桶所需的铁皮面积。 （3）你选择的材料制成的水桶最多能装水多少升？（铁皮的厚度略去不计） 10．纯鲜果汁厂新开发一款果汁，设计师设计了两款包装盒，一款为圆柱形桶装，桶的底面半径为0.5分米，高为2分米；另一款为长方体盒装，盒子长1分米、宽0.5分米、高2分米。 （1）如果采用同样的材料制作，（不考虑接口处损耗）两种包装各需要多大面积的材料？ （2）只考虑容积和包装材料，哪种包装方式更省材料？请说明理由。 练习三、圆锥体积的应用 1．李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是6米，高是1.5米。如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 2．古代匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为3000平方厘米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计）（π取3） 3．沙漏是两个完全相同的圆锥形容器的组合体，上面的圆锥形容器高6cm，原来里面装满细沙，漏口每秒可漏细沙，漏完全部细沙用时5分。这个沙漏的底面积是多少平方厘米？（沙漏厚度忽略不计） 4．某野营部队训练时，搭建了一个近似圆锥形的帐篷，它的底面半径是3米，高是4米，帐篷里面的空间是多少立方米？（帐篷的厚度忽略不计） 5．一个圆锥形小麦堆，底面周长是m，高是m。如果每立方米小麦的质量为kg，这堆小麦的质量为多少t？ 6．炎炎夏季冰激凌总会带给我们清凉的感觉。每毫升的冰激凌约含有6千焦的热量。淘气买了一个冰激凌（如图），你知道这个冰激凌大约含有多少千焦热量吗？ 7．莉莉将一个圆锥形甜筒里装了0.12升水，此时水面高度正好是圆锥高度的一半，（注：π取3.14） （1）莉莉还能往甜筒里装多少水；（单位化为立方厘米） （2）莉莉将装满水的甜筒倒入玻璃杯中，若这个玻璃杯的底面半径是4厘米，高是15厘米，请问水是否会溢出来。 8．中国推出的一款新型子弹引起了大众的注意，这款子弹外壳使用的材料是高分子轻质材料，也就是传说中的“塑料子弹”。这种子弹形似一个圆柱加一个圆锥（如图）。这款子弹壳外壳的体积是多少立方厘米？ 9．一个从里面量底面直径是10厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高是9厘米，底面半径是4厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，当铅锤从水中取出后，这时水面下降了多少厘米？ 10．如图，底面直径是10厘米的圆柱容器，放入等底等高的圆柱和圆锥铁块。圆柱形铁块的体积是多少？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $