精品解析：2026年河南省安阳市安阳县北郭乡第一初级中学等校一模数学试卷

九年级中考第一次模拟测试数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣艺术．如图是一个汴绣干果盒，其左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上一点．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为（ ）（参考数据：，，） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 9. 《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载了勾股定理这一重要的数学原理，吴国数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“赵爽弦图”(也称勾股圆方图)，在如图所示的“赵爽弦图”中，中间小正方形的边长为1，分别以B，D为圆心，长为半径作弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 代数式在实数范围内有意义，写出一个符合条件的的值_____． 12. 不等式组的解集为______． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值：__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________． 15. 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在中，，，以为对角线，作垂等四边形．过点D作延长线的垂线，垂足为E，且与相似，则四边形的面积为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算与化简 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 截止到2020年11月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利！为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入．小凯同学通过登录国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对我国28个省、直辖市、自治区的分配额度（亿元并对数据进行整理、描述和分析．下面是小凯给出的部分信息． a．反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如下（数据分成8组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x＜120，120≤x＜140，140≤x≤160） b.2020年中央财政脱贫专项资金在20≤x＜40这一组分配的额度是（亿元）： 25 28 28 30 37 37 38 39 39 （1）2020年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为 （亿元）； （2）2020年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为95亿元，该额度在28个省、直辖市、自治区中由高到低排第 名； （3）小凯在收集数据时得到了2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化图： ①比较2016年一2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A，B的分配额度，方差 （填写“＞”或者“＜”）； ②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区A，B脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法． 18. 如图，中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 19. 请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” （1）小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． （2）如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． （3）如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 20. 如图，，，，是上的四个点，，交于点，，． （1）求的长； （2）若要使，需要添加一个条件．请从“条件：“”，条件：是的直径”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 21. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示． （1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式； （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 22. 综合与实践 深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究： 把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为． （1）求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）． （2）如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值． （3）如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线和曲线的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具____________个． 23. 几何综合 【方法尝试】 （1）如图，矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，，分别是它们的对角线．求证：； 【类比迁移】 （2）如图，在和中，，，，，．将绕点在平面内逆时针旋转，连接，． 请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 当点，，在同一直线上时，求线段的长； 【拓展延伸】 （3）如图，在中，，，过点作，在射线上取一点，连接，使得，请直接写出线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级中考第一次模拟测试数学试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的概念直接求解即可． 【详解】解：∵仅仅只有符号不同的两个数互为相反数 ∴的相反数是， 故选：B 2. 据网络平台数据显示，截至2025年2月13日19时，电影《哪吒之魔童闹海》票房（含预售）突破100亿元，成为中国电影史上首部票房过百亿的影片．数据“100亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：100亿， 故选：C． 3. 汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣艺术．如图是一个汴绣干果盒，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据立体图形的左视图的定义即可解答． 【详解】解：如图其左视图为． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确； 故选D． 5. 光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的a，b两面，且，现有一束光线从玻璃中射向空气时发生折射，光线变成，F为射线延长线上一点．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据角的和差计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵点C，D，F在射线上， ∴， ∴． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先求出从这四部数学名著中选择2部的所有等可能的结果，再找出恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》和《四元玉鉴》四部数学名著分别记为，画出树状图如下： 由图可知，从这四部数学名著中选择2部共有12种等可能的结果，其中，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》共有2种结果， 所以恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是， 故选：D． 8. 一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为（ ）（参考数据：，，） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，，，则，，在中，利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：如图所示标注字母，根据题意得： ，，，， ∴， ， ∴， 在中，， ∴（海里）， ∴此时与灯塔的距离约为海里． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题，理解题意，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．也考查了三角形的内角和定理和直角三角形两锐角互余． 9. 《周髀算经》是我国最早的一部数学著作，其中记载了勾股定理这一重要的数学原理，吴国数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“赵爽弦图”(也称勾股圆方图)，在如图所示的“赵爽弦图”中，中间小正方形的边长为1，分别以B，D为圆心，长为半径作弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，在上取一点，根据四边形是正方形，得出，结合，求解即可． 【详解】解：如图，连接，在上取一点， 四边形是正方形， ∴， ， ． 10. 如图，在菱形中，，，动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，在上，当时，在上，根据三角形的面积公式得到函数关系式， 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， 当时，在上， 菱形中，，， ∴，则是等边三角形， ∴， ∵， ∴，又 ∴ ∴ ∴， ∴ 当时，在上， ∴， 综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 代数式在实数范围内有意义，写出一个符合条件的的值_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的有意义的条件．二次根式被开方数大于等于零时，二次根式有意义，据此解答． 【详解】解：要使若在实数范围内有意义， 则， 即， 则写出一个满足条件的的值为5． 故答案为：5（答案不唯一）． 12. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 13. 已知二次函数，当时，随的增大而减小，写出一个符合条件的的值：__________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，掌握二次函数图象的对称轴，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式可得顶点坐标为，对称轴直线为，结合题意，当时，随的增大而减小，可得图象开口向上，，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∴顶点坐标为，对称轴直线为， ∵当时，随的增大而减小， ∴二次函数图象开口向上， ∴， ∴（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一） ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于原点O， ∴， ∴关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点C的坐标是； 故答案为：． 15. 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在中，，，以为对角线，作垂等四边形．过点D作延长线的垂线，垂足为E，且与相似，则四边形的面积为______． 【答案】或 【解析】 【分析】如图，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得．再由垂等四边形的性质知．分两种情况：①当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果；②当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为F， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴． ∵在中，， ∴，即， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵四边形为垂等四边形， ∴． ①当时，， ∴， 设，则， ∴． 在中，根据勾股定理得，，即， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴ ； ②当时，， ∴， 设，则， ∴． 根据勾股定理得，， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴， ∴综上所述，四边形的面积为或． 三、解答题（共75分） 16. 计算与化简 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）利用乘方、绝对值运算法则、二次根式的性质化简计算即可； （2）先根据分式的运算法则对原式进行化简，再把代入化简结果即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 17. 截止到2020年11月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利！为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入．小凯同学通过登录国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对我国28个省、直辖市、自治区的分配额度（亿元并对数据进行整理、描述和分析．下面是小凯给出的部分信息． a．反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如下（数据分成8组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x＜120，120≤x＜140，140≤x≤160） b.2020年中央财政脱贫专项资金在20≤x＜40这一组分配的额度是（亿元）： 25 28 28 30 37 37 38 39 39 （1）2020年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为 （亿元）； （2）2020年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为95亿元，该额度在28个省、直辖市、自治区中由高到低排第 名； （3）小凯在收集数据时得到了2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化图： ①比较2016年一2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A，B的分配额度，方差 （填写“＞”或者“＜”）； ②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区A，B脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法． 【答案】（1）37.5 （2）六 （3）从近几年的中央财政拨款金额的变化来看，自治区拨款金额连年增加，说明中央加强对自治区扶贫力度，脱贫任务比较艰巨， 而自治区的拨款金额变化先增后降，说明自治区脱贫效果明显，已逐渐脱贫 【解析】 【分析】（1）求出频数分布直方图中的频数之和即为样本容量，再从小到大排列找出处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可求出中位数； （2）从频数分布直方图可知，比95亿元多的省份有5个，因此处在第六名； （3）①从折线统计图中自治区，自治区近几年中央财政拨款的变化情况和离散程度进行判断即可； ②从近几年中央财政拨款的变化情况进行判断即可． 【小问1详解】 解：样本容量为：， 将这28个省份的金额从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为（亿元），因此中位数是37.5， 故答案为：37.5； 【小问2详解】 解：从频数分布直方图可得，比95亿元多的省份有个，因此处在第六位， 故答案为：六； 【小问3详解】 解：①从折线统计图中可直观看出自治区的中央财政拨款金额的离散程度比自治区的要大， 即自治区的方差比自治区的方差大， 故答案为：； ②从近几年的中央财政拨款金额的变化来看，自治区拨款金额连年增加，说明中央加强对自治区扶贫力度，脱贫任务比较艰巨， 而自治区的拨款金额变化先增后降，说明自治区脱贫效果明显，已逐渐脱贫． 【点睛】本题考查频数分布直方图、折线统计图，方差、中位数，解题的关键是理解统计图中数量之间的关系． 18. 如图，中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图，线段即为所求； （2） 证明：如图， ∵由作图可得：，由旋转可得：， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质； （1）作出线段的垂直平分线EF，交于点O，连接，则线段即为所求； （2）先证明四边形为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” （1）小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． （2）如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． （3）如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 【答案】（1）正确， 证明如下： 由，可得． 又， ， ， ． （2） 证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则； 又，， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ； （3）k 【解析】 【分析】（1）由，可得，求证，即可求解； （2）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则，推出四边形和四边形都是平行四边形，即可求解； （3）根据反比例函数的几何意义求解面积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图（2），连接，，则． 又， ， ，， ， ． 20. 如图，，，，是 上的四个点，，交于点，，． （1）求的长； （2）若要使，需要添加一个条件．请从“条件：“”，条件：是 的直径”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 【答案】（1）； （2）选择条件：， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 选择条件：是 的直径，如图， 由圆周角定理得， ∵是 的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择条件：，如图， ∵， ∴， ∴， ∴是 的直径， 要使，则需是 的直径，题意没有说明， 故选择条件：不能证明． 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先由等腰三角形的性质得出，再根据圆周角定理得，故有，证明，再通过相似三角形的性质即可求解； （）条件：：，由，则，根据等腰三角形的性质得出，则，从而求解；选择条件：是 的直径，由圆周角定理得，证明，通过相似三角形的性质和勾股定理则求出，从而求解；选择条件：，要使，则需是 的直径，题意没有说明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 21. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示． （1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式； （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 【答案】（1）场景A中随变化的函数关系为，场景B中随变化的函数关系为 （2）场景B 【解析】 【分析】（1）由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，将，代入，进而可得；场景B中随变化的函数关系为，将代入，进而可得； （2）场景A中当时，；场景B中，将代入，解得，,判断作答即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，场景A中随变化的函数关系为， 将，代入，得， 解得， ∴； 场景B中随变化的函数关系为， 将，代入，得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：场景A中当时，； 场景B中，将代入，得，解得， ∵， ∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长． 【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22. 综合与实践 深圳自然博物馆位于广东省深圳市坪山区燕子湖片区，共划分为陈列展览区、藏品保管保护区、公共服务区、科普教育区、综合业务与学术研究区以及地下车库和设备用房六大功能部分，是深圳市“新时代十大文化设施”之一，建成后将成为粤港澳大湾区首座大型综合类自然博物馆，填补了该区在综合类自然博物馆方面的空白．坪山区某中学数学兴趣小组对该项目设计图进行了研究： 把建筑俯视图的一部分抽象为以下图象：曲线、曲线、曲线和曲线，它们均可以看成某二次函数图象的一部分，后三者都可以看成由曲线平移得到，的长度为6．如图1，兴趣小组建立平面直角坐标系，已知曲线最高点点坐标为． （1）求曲线所在抛物线的解析式（不需要写自变量的取值范围）． （2）如图2，现在需要在建筑的顶部划出一片矩形区域来做绿化，下图所示，其中轴，求矩形花园周长的最大值． （3）如图3，为了增强建筑物晚上的整体美观度，如果在建筑的曲线和曲线的外墙上安装具备灯光效果的垂直灯具，假设每个垂直灯具的水平间距为0.6，即，请问至少需要安装垂直灯具____________个． 【答案】（1） （2）20 （3）27 【解析】 【分析】（1）设出顶点式，根据图象过原点，待定系数法求出函数解析式即可； （2）平移求出曲线的解析式，设，根据周长公式，列出二次函数求最值即可； （3）求出的长，进而求出的长，再除以间距即可． 【小问1详解】 解：∵曲线最高点点坐标为 ∴设， ∵图象过原点， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵曲线由曲线平移得到，的长度为6， ∴曲线的解析式为：， 设， 由题意，可知：，关于对称轴对称， ∴， ∴矩形花园周长为： ， ∴当时，矩形花园的周长最大，为20； 【小问3详解】 ∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵曲线、曲线和曲线，都可以看成由曲线平移得到， ∴， ∵每个垂直灯具的水平间距为0.6， ∴， ∴至少需要安装垂直灯具个． 故答案为：27 23. 几何综合 【方法尝试】 （1）如图，矩形是矩形以点为旋转中心，按逆时针方向旋转所得的图形，，分别是它们的对角线．求证：； 【类比迁移】 （2）如图，在和中，，，，，．将绕点在平面内逆时针旋转，连接，． 请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 当点，，在同一直线上时，求线段的长； 【拓展延伸】 （3）如图，在中，，，过点作，在射线上取一点，连接，使得，请直接写出线段的最大值． 【答案】（1） 证明：如图，延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∴； （2） ，，理由： 如图，延长分别交于点，交于点， ∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，； 线段的长为或； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （）延长交于点，由四边形是矩形，则，通过旋转的性质可知，可得，从而求证； （）延长分别交于点，交于点，证明，所以 ，，从而求解； 分当点落在线段上时，当点在线段上时两种情况求解即可； （）过点作，使得 ，取的中点，连接，，，，证明，则，所以，由勾股定理得，又，从而可得最大值为，当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值，再代入即可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 略 如图，当点落在线段上时，设， ∵，， ∴， ∵，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴； 如图，当点在线段上时， 设，则，， ∵， ∴， 整理得，， ∴，（舍去）， ∴， ∴综上所述，线段的长为或； 【小问3详解】 解：如图，过点作，使得，取的中点，连接，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴，即最大值为， ∴当，，三点共线时，取得最大值，此时线段取得最大值， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $