精品解析：上海市民办明珠中学2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试卷

上海市民办明珠中学八年级数学期末学科活动 2026.01 （满分150分，考试100分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 64的立方根是（ ） A 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 3. 在平面直角坐标系中，下列说法错误的是（ ） A. 点到轴的距离为4； B. 点到轴的距离为3； C. 点到原点的距离为5； D. 点到点的距离为． 4. 一次函数与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（ ） … … … … A. 的值随值的增大而减小； B. 的值随值的增大而增大； C. 不等式的解集为； D. 不等式的解集为． 5. 小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（ ） A. 若，则方程一定有两个实数根； B. 若，则方程一定有两个实数根； C. 若，则方程一定有两个实数根； D. 若，则方程一定有两个实数根． 6. 如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交于点，连接．交于点，则下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 函数中自变量的取值范围是_____． 8. 在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为___________． 9. 已知，则________． 10. 不等式的解集为_____． 11. 线段是由线段平移得到的，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为__________． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是____________ 13. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像如图所示，且函数图像经过点，若，则_____，（填“”“”或“”）． 14. 如图，在中，，，，平分，则_____． 15. 若是方程的两个实数根，则的值为__________． 16. 新定义：函数图像上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．函数的“特征值”是__________． 17. 如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，则点的坐标为__________． 18. 在中，，，分别将，向内对折，使得，重合，折痕分别为，且分别交于点．若，则的长为_____． 三、解答题：（本大题共7题，共78分） 19 计算：． 20. 在平面直角坐标中，已知点坐标为，点的位置如图所示，点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点． （1）写出图中点的坐标__________；在图中描出点，并写出的坐标： （2）画出关于轴的对称图形，并连接，求四边形的面积． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 22. 阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上，向右平移直角使点B和E重合（图1），这时，，问题就变成“点 B 在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值是_____． （2）根据上述信息，求代数式的最小值． （3）已知正数满足，结合上述问题的方法，求的值． 23. 如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点， （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，与直线相交于点． （1）求和的值； （2）若直线与轴相交于点， ①若平分，且交轴于点，求直线的表达式； ②点在轴上，若为等腰三角形，求点的坐标． 25. 如图，在四边形中，，点为边中点，连接、交交于点．若且平分． （1）求证：； （2）若，求线段的长度； （3）若为直角三角形，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市民办明珠中学八年级数学期末学科活动 2026.01 （满分150分，考试100分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 64的立方根是（ ） A. 4 B. ±4 C. 8 D. ±8 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵43=64，∴64的立方根是4， 故选A 考点：立方根． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：1被开方数不含分母，2被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，故A不是最简二次根式； B、，被开方数含分母，故B不是最简二次根式； C、既不含分母，也不能分解出能开得尽方的因式，满足最简二次根式的条件，故C是最简二次根式； D、的被开方数含分母，故D不是最简二次根式． 3. 在平面直角坐标系中，下列说法错误的是（ ） A. 点到轴的距离为4； B. 点到轴的距离为3； C. 点到原点的距离为5； D. 点到点的距离为． 【答案】D 【解析】 【分析】利用点的坐标和勾股定理逐一判断各选项，找出错误说法即可 【详解】解：∵点到轴的距离为纵坐标的绝对值，点的纵坐标为，， ∴A选项说法正确； ∵点到轴的距离为横坐标的绝对值，点的横坐标为，， ∴B选项说法正确； ∵点到原点，由勾股定理得距离为， ∴C选项说法正确； ∵点到点，横坐标差为，纵坐标差为，由勾股定理得距离为，， ∴D选项说法错误． 4. 一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（ ） … … … … A. 的值随值的增大而减小； B. 的值随值的增大而增大； C. 不等式的解集为； D. 不等式的解集为． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的增减性，一次函数与一元一次不等式的关系，先根据表格数据判断增减性，再求出一次函数解析式，最后逐一判断各选项即可. 【详解】解：由表格可得，点，在一次函数上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； 由函数图象可得，的值随值的增大而增大，A错误，B正确； 由函数图象可得，不等式的解集为，C错误，； 由函数图象可得，不等式的解集为：，D错误； 故选：B． 5. 小明同学在学习了一元二次方程章节后，对方程总结了如下的结论，你认为这些结论中错误的是（ ） A. 若，则方程一定有两个实数根； B 若，则方程一定有两个实数根； C. 若，则方程一定有两个实数根； D. 若，则方程一定有两个实数根． 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式判断结论，时方程有两个实数根，逐一计算各条件下的判别式即可判断正误． 【详解】解：A选项：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； B选项：∵， ∴， 根据题意无法得到与的大小关系， 则无法得到方程的根的个数，故本选项错误，符合题意； C选项：∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； D选项：∵， ∴， ∴，则方程一定有两个实数根，故本选项正确，不符合题意； 6. 如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交于点，连接．交于点，则下列结论中，不一定成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由是边上的高，，推导出，再根据角平分线性质定理，可判断A；假设一定成立，则，所以，推导出，可判断B；由，，根据三角形外角的性质，证得，再根据等角对等边，可判断C；根据平行线的性质和等边对等角，可证明，即可判断D． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ，是的平分线， ∴， ∴，故A不符合题意； 假设成立，则， ， ∴，无此已知条件， ∴不一定成立，故B符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D不符合题意． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】函数表达式分母含有二次根式，需同时满足二次根式被开方数为非负数，分式分母不为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 8. 在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中是关键． 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 9. 已知，则________． 【答案】0.4472 【解析】 【分析】首先把化为即，代入的值即可． 【详解】解：． 故答案为：0.4472． 【点睛】本题主要考查算术平方根的定义，关键在于根据已知推出0.2的算术平方根． 10. 不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先移项合并同类项，再根据不等式的基本性质判断不等号方向，系数化为1后进行分母有理化即可得到解集． 【详解】 移项，得. 合并同类项，得. ， . . 即． 11. 线段是由线段平移得到的，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标与图形平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．先由点A及其对应点C的坐标确定平移规律，再计算点B对应点D的坐标． 【详解】解：∵线段是由线段平移得到，点的对应点为， ∴平移规律为横坐标向右平移个单位，纵坐标向上平移个单位. ∵点的对应点为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 12. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是____________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据题意得出，且，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且 解得且； 故答案为：且． 13. 在平面直角坐标系中，一次函数图像如图所示，且函数图像经过点，若，则_____，（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的图象得出随的增大而减小，再根据，即可得出答案． 【详解】解：由图像可知，该一次函数图像从左往右呈下降趋势， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 14. 如图，在中，，，，平分，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，由角平分线性质定理可得，由勾股定理可得，根据三角形的面积公式计算即可得出，即可得出结果． 【详解】解：如图：作于点， ∵平分，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 若是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，，再根据根与系数的关系得到，将代数式降次变形后，利用整体思想计算即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，． ∴ ． 16. 新定义：函数图像上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．函数的“特征值”是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据新定义得到坐标差的表达式，整理为关于的一次函数，根据一次函数的增减性确定最大值点，代入计算即可得到特征值． 【详解】解：由新定义可知，坐标差为， 将代入得：， 在中，一次项系数， 因此随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，即该函数的特征值， 将代入得：． 17. 如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数解析式得出，，利用角的和差关系得出，即可证明，得出，，，即可得答案． 【详解】解：如图，过点作轴于， ∵直线和轴、轴分别交于点、点， ∴当时，，当时，， ∴，，即，， ∵以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 18. 在中，，，分别将，向内对折，使得，重合，折痕分别为，且分别交于点．若，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】过点A作于点G，根据等腰直角三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可得或4，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】如图，过点作于点， ，，， ，， ， 设，则， 由折叠的性质得，，，， ， 在中，由勾股定理得， ， 整理得， 解得或， 当时，， 在中，由勾股定理得； 当时，， 在中，由勾股定理得． 三、解答题：（本大题共7题，共78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先运用二次根式的性质化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可； 【详解】解： 20. 在平面直角坐标中，已知点的坐标为，点的位置如图所示，点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点． （1）写出图中点的坐标__________；在图中描出点，并写出的坐标： （2）画出关于轴的对称图形，并连接，求四边形的面积． 【答案】（1）， （2）图见解析，四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）先从网格图中直接读取点的坐标；再根据点平移到点的过程，通过逆向平移计算出点的坐标； （2）先根据关于轴对称的点的坐标特征(横坐标互为相反数，纵坐标不变)，求出的坐标并画出对称图形；再确定四边形的顶点坐标，将其转化为梯形，利用梯形面积公式计算面积． 【小问1详解】 解：点的坐标：从图中可以直接读出，点在横坐标为、纵坐标为的位置， ∴. 点的坐标：已知点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴逆向平移来求的坐标：向右平移个单位，再向下平移个单位， 即：， ∴； 【小问2详解】 解：∵，点坐标为(由第一问平移结果) 又∵关于轴对称的点的坐标规律：横坐标取反，纵坐标不变， ∴关于轴的对称点， 关于轴的对称点， 依次连接，得到，并连接，如图： ． 21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设售价上涨个元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设售价上涨个元， 由题意可得：， 解得：，， 当时，售价为元， 当时，售价为元， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 22. 阅读以下素材并解决问题： “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上，向右平移直角使点B和E重合（图1），这时，，问题就变成“点 B 在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． （1）代数式的最小值是_____． （2）根据上述信息，求代数式的最小值． （3）已知正数满足，结合上述问题的方法，求的值． 【答案】（1）41 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图2，根据题意得：，， ， ∴的最小值是41； 【小问2详解】 解：如图，，， 设，则，    ∴， ∴的最小值是； 【小问3详解】 解：构造于，如图所示：    设，则， ， ， ， ， ， ∴方程解是． 23. 如图，在中，，，垂足为点，是上一点，且．连接，点、分别是、的中点， （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）先由与推出是等腰直角三角形，得到；再利用和直角三角形斜边、直角边对应相等，证明；最后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合的条件，直接得出； （）由且是中点，可得垂直平分，故，进而推出；结合算出，再在中求得；利用之前已证的，得到，最后通过计算，从而证得． 【小问1详解】 证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∵ ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，是中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，与直线相交于点． （1）求和的值； （2）若直线与轴相交于点， ①若平分，且交轴于点，求直线的表达式； ②点在轴上，若为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）①直线的表达式为；②点P的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）根据点C在直线上，先求得点C的坐标，再代入直线，即可求得b值； （2）①设直线交y轴于点F，过点E作于点G，先求得D、F的坐标，根据勾股定理求得，然后根据角平分线的性质定理可知，由可求得，得到点E的坐标，进而根据待定系数法即可求解； ②先求得点A的坐标，从而根据勾股定理求得的长度，然后设，分四种情况：当点P在点A的左侧，且时；当点P在点A的右侧，且时或时或时；分别列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，把点代入直线，得； ∴，代入直线，得， ∴； 【小问2详解】 解：①由（1）可知直线， 设该直线交y轴于点F，过点E作于点G，如图所示， 令，得，则；令，则， ∴，，即，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴，则， 设直线的表达式为， 代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； ②对于直线，令，则， ∴， 由（1）可知， ∴， 设， 当点P在点A的左侧，且时， 则， 解得，即； 当点P在点A的右侧，且时， 则， 解得，即； 当点P在点A的右侧，且时， 则， 解得，即； 当点P在点A的右侧，且时， 则， 解得，即； 综上所述，点P的坐标为或或或． 25. 如图，在四边形中，，点为边中点，连接、交交于点．若且平分． （1）求证：； （2）若，求线段的长度； （3）若为直角三角形，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得，则，根据角平分线的定义可得，可得； （2）过点作交于点，可得，根据勾股定理即可求得； （3）分类讨论，即或，分别作图即可解答． 【小问1详解】 证明：，点为边中点， ， ， 平分， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 如图，过点作交于点， ， ， ， ，，， ∴， ∴四边形是长方形， ， ； 【小问3详解】 解：当时，如图， ， 平分，即， ， ， ； 当时，如图，过点作于点， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 解得，（舍去）， ， ， 综上，为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $