精品解析：2026年安徽省滁州市定远县育才学校中考一模数学试题

定远育才学校2026届九年级中考第一次模拟 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 华为最新款手机芯片“麒麟”是一种微型处理器，每秒可进行次运算，它工作秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，这是一种儿童非洲鼓的轮廓图，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，网格中小正方形的边长均为，点， ， ， 都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 6. 将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形 的面积为（ ） A. 24 B. C. 48 D. 7. 如果关于的分式方程的解是正数，那么实数 的取值范围是（） A. 且 B. C. 且 D. 且 8. 如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 8 B. 9.6 C. 10 D. 12 9. 如图，在中，，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点、 ，再分别以点、 为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点 ， ，，则点 到的距离为（   ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 如图，正三角形 的顶点 的坐标为，垂直于x轴的直线从左向右平移，其扫过的面积为S（阴影部分），下列图象能表示与函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 在中，，若，则 的值为 ______ ． 13. 如图，矩形的边，点是边上的一个动点（不与点重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．当四边形的面积最大时，的长度为______． 14. 已知抛物线，点，是抛物线上两点，且． （1）抛物线的对称轴为_________________（用含有 的式子表示）； （2）当时，始终满足，则 的取值范围是________________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： （1）的面积为 ； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出．并写出坐标； （3）作出关于成中心对称的，并写出坐标． 17. 随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、效率高、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 18. 阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 19. 超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距世纪路（直线l）120米的点 处，如图所示．这时一辆小汽车由世纪路上的处向 处匀速行驶，用时秒 经测量，点在点 的北偏西方向上，点 在点 的北偏西方向上．请判断此车是否超过了世纪路千米 时的限制速度．（参考数据： ， ，） 20. 已知四边形内接于，为的直径，E是延长线上一点，连接，． （1）如图①，若交于点F，，，，求的度数； （2）如图②，若与相切于点C，延长交于点P，，，，求的长度． 21. 【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了 名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这 名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…， ，，， ，， ，，，，，，，，，，，，， 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这 名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在 组的有_____人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这 名同学测试成绩的中位数是_____， 组对应扇形的圆心角是_____ ； 任务3：已知心理健康课后的这 名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在， ， ， ，五组中的平均分分别为， ，，，；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 22. 如图1，在平行四边形中，平分交于点E， 于点F，交于点G，且 ，连接． （1）求证：． （2）若 ，求BC的长度； （3）在（2）的条件下，如图2，若平分 交于点M，求的长． 23. 综合与探究 如图，二次函数 的图像经过轴上的点和 轴上的点 ，且对称轴为直线． （1）求二次函数的解析式． （2）点E位于抛物线第四象限内的图像上，以 ，为边作平行四边形 ．当平行四边形 为菱形时，求点的坐标与菱形 的面积． （3）连接，在直线上是否存在一点，使得 与相似，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2026届九年级中考第一次模拟 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2. 华为最新款手机芯片“麒麟”是一种微型处理器，每秒可进行次运算，它工作秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵每秒可运算次，工作时长为秒， ∴总运算次数为 ， 将转化为科学记数法，可得． 3. 如图，这是一种儿童非洲鼓的轮廓图，则它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由几何体判断三视图，主视图是从前面看所得到的图形，据此求解即可． 【详解】解：它的主视图为： 故选：A． 4. 如图，网格中小正方形的边长均为，点， ， ， 都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得 ，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数的计算，熟练掌握特殊角三角函数的值是解题的关键，利用特殊角三角函数的值可得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形 的面积为（ ） A. 24 B. C. 48 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，掌握以上知识点是解题的关键． 通过两个三角板是含有角的三角板可得到， ，，，然后通过勾股定理求出，四边形 的面积等于和的面积之和，最后根据三角形的面积公式得到答案． 【详解】解： 含有角的三角板和，， ， ，，， 设， 由勾股定理可得：，即， 解得：或（舍去）， ， 四边形 的面积 ， 故选：A． 7. 如果关于的分式方程的解是正数，那么实数 的取值范围是（） A. 且 B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正数且分母不为零列不等式求解即可． 【详解】解：方程为， 变形得， 去分母得，， 解得：， ∵分式方程的分母不能为0， ∴，即，解得， ∵方程的解是正数， ∴，即，解得， 综上，实数m的取值范围是且． 8. 如图，在等腰三角形中，，，点D是边上的中点，，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 8 B. 9.6 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，勾股定理，等腰三角形的性质，作 ，垂足为H，交于M点，过M点作 ，垂足为N，则，为所求的最小值，根据勾股定理求出，再根据面积不变求出即可． 【详解】解：如图，作 ，垂足为H，交于M点，过M点作 ，垂足为N，则，为所求的最小值， ∵，D是边上的中点， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， ∵，，D是边上的中点， ∴ ，， 在中，， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，在中，，以顶点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点 、 ，再分别以点 、 为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点 ，作射线交边于点 ， ，，则点 到的距离为（   ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 先根据作图步骤判断 是角平分线，再利用角平分线的性质，得出点 到的距离等于 的长度，最后结合已知 的长度求解． 【详解】解：∵由作图可知， 是的平分线，，即， ∴点 到的距离等于 的长度． ∵， ∴点 到的距离为 ． 故选：． 10. 如图，正三角形 的顶点 的坐标为，垂直于x轴的直线从左向右平移，其扫过的面积为S（阴影部分），下列图象能表示与函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，，当时，，把相关数值代入后判断相应的函数关系式为哪类函数即可． 【详解】解：∵正三角形 的顶点B的坐标为， ∴ ， ∴ 过点作于点 ， ∴， ， ∴点A点坐标为， ①当时，如图1， ∴， ∴，为开口向上的二次函数， 当时，如图2， ∴， ∴， ∴， ∴，为开口向下的二次函数， 综上，选项A正确． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：分式有意义的条件是． 解不等式得． 12. 在中，，若，则 的值为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】运用一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴． 13. 如图，矩形的边，点是边上的一个动点（不与点重合），过点的反比例函数的图象与边交于点．当四边形的面积最大时，的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与图形的综合，掌握矩形的性质，图形面积与反比例函数系数的关系是关键． 根据题意点的纵坐标为，点的横坐标为，则，，由代入计算得到 ，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形，， ∴， ∴， 过点的反比例函数的图象与边交于点， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， 当 时 ，四边形的面积最大，最大值为， ∴， 故答案为： ． 14. 已知抛物线，点，是抛物线上两点，且． （1）抛物线的对称轴为_________________（用含有 的式子表示）； （2）当时，始终满足，则 的取值范围是________________． 【答案】 ①. 直线 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）令，可求得抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求得对称轴； （2）分 与两种情况考虑，利用二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：（1）令，则； ∵， ∴； 即抛物线与x轴交于点， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：直线 ； （2）当 时，， 抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小， ∵当，且时，始终满足， ∴， 解得：； ∴； 当时，， 抛物线开口向下，抛物线对称轴的右侧，函数值y随自变量的增大而减小； ∵当，且时，始终满足， ∴， 即， ∴； 综上，或； 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，掌握相关知识点是解题关键．先计算二次根式、特殊角的三角函数值，零指数幂，绝对值，以及负整数指数幂，再计算乘法和去括号，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，请解答下列问题： （1）的面积为 ； （2）将绕点O按顺时针方向旋转 得到，作出．并写出坐标； （3）作出关于成中心对称的，并写出坐标． 【答案】（1） （2） 如图所示： 坐标为； （3） 如图所示： 坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据割补法得出三角形的面积即可； （2）根据旋转方式和旋转角度结合网格的特点找到A、B、C对应点的位置，描出，并顺次连接即可； （3）根据成中心对称的特点画出图形解答即可． 【小问1详解】 解：的面积 ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、效率高、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款植保无人机为农户提供农药喷洒服务，据了解3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒，求A，B两款植保无人机每小时分别可为多少亩土地进行农药喷洒？ 【答案】A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒 【解析】 【分析】设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒，根据“3架A款植保无人机和2架B款植保无人机每小时可为440亩土地进行农药喷洒，2架A款植保无人机和3架B款植保无人机每小时可为460亩土地进行农药喷洒”建立二元一次方程组求解，注意解二元一次方程组的方法有加减消元法和代入消元法． 【详解】解：设A款植保无人机每小时可为x亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为y亩土地进行农药喷洒， 由题意得 解得 答：A款植保无人机每小时可为80亩土地进行农药喷洒，B款植保无人机每小时可为100亩土地进行农药喷洒． 18. 阅读以下材料，并解答相关问题． 【背景材料】一个容器装有水，按照以下规则倒水：第1次倒出水；第2次倒出的水量是的，即；第3次倒出的水量是的，即；第4次倒出的水量是的，即；；第次倒出的水量是的，即；按照这种倒水的方法，这水经过多少次可以倒完?为什么? 数学兴趣小组的同学们将上面的问题抽象成数学问题加以解决． 【规律探究】探索发现： （1）填空：；（n为正整数）； 【解决问题】 （2）按照背景材料中的方案，倒出10次后，总共倒出的水量是多少？ （3）若倒出次后，总共倒出的水量是多少？容器中的水能否被倒完？请说明理由； 【拓展运用】 （4）运用（1）中得到的规律解方程： 【答案】（1） ， ；， ； （2）； （3）总共倒出的水量是，水不能被倒完，因为 ； （4） 【解析】 【分析】（1）观察题目给出的、等例子，发现分母为两个连续正整数的乘积时，分式可拆分为这两个数的倒数之差．因此直接推导得，推广到一般式； （2）倒出次的总水量是前个分式的和，即．根据（1）的规律，将每一项拆为两个倒数的差，拆项后中间项相互抵消，最终仅剩首项和末项，相加即可得到结果； （3）将每一项()拆为，抵消中间项后得到和为，分析的取值，因为正整数，，故，即总倒出水量始终小于 ，因此水不能被倒完； （4）将方程左边的每一项()拆为，抵消中间项后左边化简为，因此化简后的方程为，求解此分式方并检验即可． 【详解】（1）解：根据已知规律，， 可得；(为正整数)； 故答案为： ， ；， ． （2）解：倒出次后总水量为 ； （3）解：倒出次后总水量为 ． ∵ (为正整数)，即总倒出水量始终小于， ∴容器中的水不能被倒完； （4）解：原方程左边=， 因此方程化为， 两边同时减去，得， 两边同乘()，得， 解得； 检验：将代入分母，，，…，， ∴是原方程的解； 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的规律探索、异分母分式的减法以及解分式方程，核心是裂项相消法的综合应用．从具体的数字规律出发，提炼出的通用裂项规律，再通过“消去中间项、保留首尾项”的技巧，把复杂的分式求和转化为简单的计算问题． 19. 超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距世纪路（直线l）120米的点 处，如图所示．这时一辆小汽车由世纪路上的处向 处匀速行驶，用时秒 经测量，点在点 的北偏西方向上，点 在点 的北偏西方向上．请判断此车是否超过了世纪路千米 时的限制速度．（参考数据： ， ，） 【答案】此车超过了世纪路千米 时的限制速度 【解析】 【分析】过点C作于点D，利用等腰直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理求得AB的长度，再求出此时的速度即可得出结论． 【详解】解：此车超过了世纪路千米 时的限制速度．理由： 过点 作于点 ，如图， 则米， ，， 米， 在中， ， 米， 米千米， 由世纪路上的处向 处匀速行驶，用时秒， 此车的速度为千米 小时， ， 此车超过了世纪路千米 时的限制速度． 20. 已知四边形 内接于，为的直径，E是延长线上一点，连接，． （1）如图①，若交于点F，，，，求的度数； （2）如图②，若与相切于点C，延长交于点P，，，，求的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆的性质以及矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据四边形 是的内接四边形，求得，再根据，求得，最后由求出的度数； （2）连接，， ，设 与交于点H，先证四边形是矩形，再运用勾股定理求得，最后证明，运用相似三角形的性质求出的长度． 【小问1详解】 解：∵四边形 是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，， ，设 与交于点H， ∵， ∵与相切于点C， ∴， ∵， ∴， ， ∴ ， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了 名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这 名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…， ，，， ，， ，，，，，，，，，，，，， 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这 名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在 组的有_____人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这 名同学测试成绩的中位数是_____， 组对应扇形的圆心角是_____ ； 任务3：已知心理健康课后的这 名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在， ， ， ，五组中的平均分分别为， ，，，；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 【答案】任务1： ， 补全频数分布直方图如图： 任务2：， ； 任务3：达到“效果显著” 【解析】 【分析】本题考查了求中位数，频数直方图，加权平均数，求扇形统计图的圆心角；熟练掌握以上知识点是解题的关键； 任务1：根据这 名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为．得出组有人，进而求得 组的人数，根据频数直方图求得 组的人数，进而补全统计图； 任务2：根据图②可得心理健康课后这 名同学测试成绩的中位数在 组，进而求得第 ， 个数据分别为，，即可求得中位数，根据 组 的人数为人，用其占比乘以，进而求得 组对应圆心角的度数； 任务3：根据加权平均数的方法计算心理健康课前测试成绩的平均分，进而求得心理健康课后的平均分比心理健康课前高出的百分比，和 比较，即可求解． 【详解】解：任务1：根据这 名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． ∴人 ∴ 组的人数为人 则 组的人数为：人 故答案为： ． 任务2：根据图②可得心理健康课后这 名同学测试成绩的中位数在 组， 其中组占比为，共有人 根据整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…， ，，， ，， ，，，，，，，，，，，，， ∴ 组 的人数为人 ∴从大到小排列，第 ， 个数据分别为， ∴心理健康课后这 名同学测试成绩的中位数是 组对应扇形的圆心角是 故答案为：， ． 任务3：依题意，， ∴达到“效果显著”． 22. 如图1，在平行四边形 中，平分交 于点E， 于点F，交于点G，且 ，连接． （1）求证：． （2）若 ，求BC的长度； （3）在（2）的条件下，如图2，若平分 交于点M，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质可得 ，再由平分，可得 ，从而得到 ，进而得到 ，即可； （2）由（1）得： ，设 ，则 ，可得 ，再由，即可求解； （3）过点C作 于点N，过点E作 于点P，延长交于点H，先证明 均为等腰直角三角形，可得 ，设 ，则 ，根据，可得 ，然后根据 ，可得到，，再由 ，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得： ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴， ∴， 解得： 或0（舍去）， 即， 【小问3详解】 解：如图，过点C作 于点N，过点E作 于点P，延长交于点H， ∵平分 ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵平分，平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 均为等腰直角三角形， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∵， 即， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，即， 解得：， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，熟练掌握平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例等知识是解题的关键． 23. 综合与探究 如图，二次函数 的图像经过轴上的点和轴上的点 ，且对称轴为直线． （1）求二次函数的解析式． （2）点E位于抛物线第四象限内的图像上，以 ，为边作平行四边形 ．当平行四边形 为菱形时，求点的坐标与菱形 的面积． （3）连接，在直线上是否存在一点 ，使得 与相似，若存在，请直接写出点 坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） ；菱形 的面积为 （3）存在，点 坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴，点，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示（见详解），根据菱形的性质，可得，根据对角线相互平分，可求出交点的坐标，由此可知点的横坐标，根据点在二次函数图像上，即可求解； （3）根据相似三角形的判定方法，分类讨论，①当点 与点 重合时；②当点 不与点 重合，由此即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数 的对称轴为直线，， ∴ ，则 ， ∵图像经过轴上的点， ∴ ，解得，，则， ∴二次函数的解析式为 ． 【小问2详解】 解：二次函数的解析式为 ， ， 如图所示，连接交轴于， ∵平行四边形 为菱形， ∴ ， ，且， ∴的横坐标为，且点E位于抛物线第四象限内的图像上， ∴当时， ，即 ， ∴ ，点在第一象限， ∴点的坐标为，即 ， ∴ ， ， ∴ ，即菱形 的面积为 ． 【小问3详解】 解：根据题意得， ，， ∴ ，，且，则， ①当点 与点 重合时，如图所示， ∵ ， ∴ ； ②当点 不与点 重合时，如图所示， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，即， 过点 作轴，则 ，且 是直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵点 在第一象限， ∴点 的坐标为， 综上所述，使得 与相似，点 坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握二次函数图像的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $