专项01 三角函数、三角恒等变换与解三角形9大解答题题型（大题专练）（全国通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专项01 三角函数、三角恒等变换与解三角形 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年全国卷考情，三角函数、三角恒等变换与解三角形是必考主干，分值约13-22分． 命题趋势： 解答题：稳定考查解三角形（常为第15题或16题），核心是利用正余弦定理和面积公式解决边、角、面积等综合问题． 2026年预测：解答题极可能仍为解三角形常规题． 备考核心：熟记定理与公式，解答题强化“边角互化”综合训练，小题提升图象分析与快速变形能力． 题型01 三角恒等变形与三角函数图象问题 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示. (1)当时，求的单调递增区间； (2)已知，且，求的值. 研考点·通技法 此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多. 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析. 破类题·提能力 1．（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数，直线与函数两个相邻交点之间的距离为； (1)求在上的单调递增区间； (2)设函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，在区间上若恒成立，求的取值范围． 条件①：的最大值为； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：为偶函数． 2．（25-26高三上·山西临汾·期末）已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值； (3)若，有三个极值点，求实数的范围. 题型02 三角形中边长及周长问题 析典例·建模型 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，且的周长为8，求． 2．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 研考点·通技法 利用正、余弦定理求解三角形的边长周长问题，对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余弦定理用已知边或者是已知角度表示出来. 对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题， 类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决. 类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装化成角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题 类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津·期末）在中，角所对的边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 2．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 3．（25-26高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 题型03 三角形中面积问题 析典例·建模型 1．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 2．（25-26高三下·贵州贵阳·月考）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 研考点·通技法 利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，两种题型，一种十求面积：另外一种是求面积范围.一般思路是： 1、 选定理.对于求面积问题，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面积公式即可解决. 面积范围问题：第一为求面积最值，一般采用余弦定理加基本不等式.第二类为锐角三角形中的面积范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题 破类题·提能力 1．（2026·贵州贵阳·一模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． (1)求A的大小； (2)若，，试判断的形状，并求的面积． 2．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若b＝4时，求△ABC面积的最大值． 3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 题型04 解三角形中三线问题 析典例·建模型 1．（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 2．（25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 研考点·通技法 三线问题指的是角平分线，中线，高线. 对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决. 对于中线问题 一般采用向量思想去解决. 高线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决. 破类题·提能力 1．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且． (1)证明：； (2)若，且边上的中线的长度为，求的值. 2．（2026·山东威海·一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求BC边上的高的最大值． 3．（25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 题型05 三角形中图形类边长及范围问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求角； (2)已知，求的取值范围. 2．（25-26高三上·山东东营·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为. (1)求； (2)若，，求的最小值. 研考点·通技法 范围问题一般包含长度范围问题，周长范围问题，面积范围问题以及其他范围问题.主要是两类题.一类是无限制三角形的对应的范围问题，一类是 第二类为锐角三角形中的范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题 破类题·提能力 1．（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 2．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 题型06 三角形中证明类问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·广东·月考）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 研考点·通技法 解三角形证明题求解策略: 1.边角互化核心：优先用正弦定理（a=2RsinA）边化角或角化边，统一形式后化简，是最常用突破口. 2.公式灵活套用：结合余弦定理、三角恒等变换（和差倍角、诱导公式），消元化简向结论靠拢. 3.目标导向变形：先明确结论结构（如证边相等、角为特殊值），逆向推导所需条件，减少无效运算. 4.隐含条件挖掘：利用三角形内角和A+B+C=π、大边对大角、边长为正等限制条件验证结果. 5.特殊值检验：用等边、直角三角形等特殊情形快速验证证明思路是否合理. 破类题·提能力 1．（2026·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 题型07 解三角形中内切圆、外接圆问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江·模拟预测）在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且. (1)求的值； (2)若的外接圆半径为，求的面积. 2．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求C； (2)若，求的内切圆的半径. 研考点·通技法 解三角形中的内切球与外接球问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆则是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即对于外接球半径问题 一般采用正弦定理解决. 破类题·提能力 1．（25-26高三上·河北沧州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且的面积，. (1)求的外接圆半径； (2)若，，求中边上的高的值. 2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在中，已知角、、的对边分别为、、，且. (1)求角大小； (2)求证：； (3)设为的内心，求的最小值. 题型08 解三角形中图形类问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·重庆·月考）如图为平面四边形中的角平分线，的面积为 (1)求边BC的长度； (2)若的外接圆直径求△ACD的周长. 2．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．    (1)若，求的值； (2)证明：当时，位于外接圆的内部． 研考点·通技法 利用正、余弦定理求解三角形的图形类问题，此类题目比较难，这类题目的实质是实现边角的转化，解题的思路是：利用角度的等量关系，将未知边长利用正弦定理转换成一直角度及已知边长的形式，最后变成关于一个未知角度的三角函数关系，在利用三角函数的函数及性质，利用角度的范围，从而求出变成或者是对应面范围问题. 破类题·提能力 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形中，已知，，． (1)求的面积； (2)若，且，求的长． 2．（25-26高三上·江西·月考）已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 题型09 解三角形的实际应用 析典例·建模型 1．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 2．（25-26高三上·甘肃平凉·月考）目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为. (1)求出山高（结果保留一位小数）； (2)如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. 研考点·通技法 解三角形实际应用核心是构建三角形模型，用正、余弦定理求解，分三类场景： 1. 测量距离 先确定可测边与夹角，构造解三角形模型。两点不可达时，用基线结合两角构造三角形，通过正弦定理求边长；两点可达时，直接用余弦定理计算间距，注意统一长度单位. 2. 测量高度 区分底部可通达与不可通达。底部可达时，测仰角与水平距离，用直角三角形边角关系求解；底部不可达时，在同一直线测两个仰角，设高列方程，结合正弦定理消元求解，排除视线遮挡误差. 3. 测量角度 已知三角形三边或两边及夹角，用余弦定理求内角，结合方位角、俯角换算实际角度，注意方位角的象限与方向标注，保证结果符合实际场景. 破类题·提能力 1．（25-26高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 2．（25-26高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. (1)求重兴塔高； (2)如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值. （建议用时：60分钟） 刷模拟 1．（25-26高三下·重庆·月考）已知函数的最小正周期为． (1)若，，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域． 2．（2026·河北邯郸·一模）的内角的对边分别为，已知成等差数列，且． (1)求； (2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围． 3．（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 5．（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 6．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形中，记分别为内角的对边，． (1)求的值； (2)求角的最大值． 7．（2026·广东·一模）设的内角所对的边分别为，且，记. (1)若成等差数列，求的最小值； (2)若成等比数列，求的取值范围. 8．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 9．如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： (1)若，求的大小及的值； (2)已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 刷真题 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 6．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项01 三角函数、三角恒等变换与解三角形 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年全国卷考情，三角函数、三角恒等变换与解三角形是必考主干，分值约13-22分． 命题趋势： 解答题：稳定考查解三角形（常为第15题或16题），核心是利用正余弦定理和面积公式解决边、角、面积等综合问题． 2026年预测：解答题极可能仍为解三角形常规题． 备考核心：熟记定理与公式，解答题强化“边角互化”综合训练，小题提升图象分析与快速变形能力． 题型01 三角恒等变形与三角函数图象问题 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）函数（，，）的部分图像如图所示. (1)当时，求的单调递增区间； (2)已知，且，求的值. 【思路分析】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数的详解式，再求函数的单调区间即可. （2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可. 【规范答题】（1）由图可得，， 所以，且，得，， 又因为，所以，所以. 又因为，， 解得，， 所以在上的单调递增区间为. （2）因为，所以. 因为，所以， 即，所以. 所以. 研考点·通技法 此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多. 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析. 破类题·提能力 1．（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数，直线与函数两个相邻交点之间的距离为； (1)求在上的单调递增区间； (2)设函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一，在区间上若恒成立，求的取值范围． 条件①：的最大值为； 条件②：在区间上单调递增； 条件③：为偶函数． 【答案】(1)和 (2)条件①：不符合题意；条件②：；条件③： 【详解】（1） 直线是的最小值线，相邻交点距离等于的周期，故， 由周期公式，得，因此： ， 正弦函数的单调递增区间满足： ， 解得： 结合，取得， 取得， 所以 在上的单调递增区间为和； （2）由题意得：，， 选条件①：因为，其最大值为对任意均满足，函数不唯一，不符合题意， 选条件②：在上单调递增， 的递增区间，得递增区间 ， 由在区间上单调递增得时： ， 因此， 当时，，，故， 若恒成立，则，即的取值范围为， 选条件③：因为为偶函数， 所以，解得， 又，所以，解得， 因此,当时，，，故， 若恒成立，则，即的取值范围为. 2．（25-26高三上·山西临汾·期末）已知函数. (1)求的图象在处的切线方程； (2)求在区间上的最大值； (3)若，有三个极值点，求实数的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题，， 所以， 所以的图象在点处的切线方程为即. （2）由（1）可知， 因为，所以， 当时，，， 当时，，， 故在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在区间上的最大值为. （3）因为 要使函数在区间上有三个极值点， 则函数在区间上有三个不同的变号零点， 令， 则， 当时，令或或或， 故存在使得即， 所以当时；当时；当时， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又， 作直线与函数的图象如图所示： 由图可知直线与函数的图象有3个不同的交点时， 所以函数在区间上有三个不同的变号零点，实数的取值范围为. 题型02 三角形中边长及周长问题 析典例·建模型 1．（2026·四川绵阳·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，且的周长为8，求． 【思路分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理结合两角和的正弦公式及三角形内角关系求解； （2）根据已知条件，利用余弦定理解三角形，再利用已知周长构造方程求解． 【规范答题】（1）已知，由正弦定理得， ， 又， ， ， ， 又， ． （2），由余弦定理：， ， 的周长为8，，解得， 故． 2．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 【思路分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； （2）利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【规范答题】（1）由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； （2）由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. 研考点·通技法 利用正、余弦定理求解三角形的边长周长问题，对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余弦定理用已知边或者是已知角度表示出来. 对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题， 类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决. 类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装化成角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题 类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题 破类题·提能力 1．（25-26高三上·天津·期末）在中，角所对的边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为, 根据正弦定理得， 整理得, 根据余弦定理, 可得， 又因为,（是的内角）, 所以. （2）由正弦定理，得， 由（1）知，结合， 由余弦定理得，. （3）由已知得， ， . 2．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求c及C； (2)求周长的最大值. 【答案】（1）； （2）12 【分析】（1）由余弦定理的边角关系，将化角为边求，再由正弦定理及求得，即可得； （2）由余弦定理、基本不等式有，进而可得周长的最大值. 【详解】（1）由，则， 所以， 由，而，即， 所以，而，故； （2）由（1）知，则，当且仅当时取等号， 所以，即时取等号， 所以周长的最大值为. 3．（25-26高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若，，求的面积； (3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ∴， ∵，则，∴，又，∴； （2）因为，， 由余弦定理，即， ∴，解得， ∴； （3）在中，由正弦定理， ∴， ∴ ， 又为锐角三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， 故周长的取值范围为 题型03 三角形中面积问题 析典例·建模型 1．（2026·山东济宁·一模）在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. (1)若，求的大小； (2)当取得最小值时，求的面积. 【思路分析】（1）由正弦定理得到，根据得到方程，求出，根据余弦定理得到，求出； （2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积. 【规范答题】（1）因为，由正弦定理得， 因为的角平分线交BC于点D，所以， 由，得， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得， 即； （2）由， 得， 得， 化简得，即， 所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值， 此时，面积为． 2．（25-26高三下·贵州贵阳·月考）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，． (1)求角A的大小； (2)若是锐角三角形，，求面积的取值范围． 【思路分析】（1）需利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合两角差的余弦公式及三角形内角和定理化简，求解三角方程得出角A； （2）求面积的取值范围，先根据锐角三角形条件确定角B、角C的范围，再由正弦定理用角C表示边b，结合正切函数性质求出b的范围，最后代入面积公式得出结果. 【规范答题】（1）由和差公式和正弦定理可得： ， 即， 即， 即， 整理得到， 因为在中 ， 所以，即， 因为，所以， 所以，得到. （2）因为是锐角三角形，所以， 结合B为锐角，解得，同理可得， 由正弦定理， 可得， 因为，所以，所以， 又因为. 研考点·通技法 利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，两种题型，一种十求面积：另外一种是求面积范围.一般思路是： 1、 选定理.对于求面积问题，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面积公式即可解决. 面积范围问题：第一为求面积最值，一般采用余弦定理加基本不等式.第二类为锐角三角形中的面积范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题 破类题·提能力 1．（2026·贵州贵阳·一模）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． (1)求A的大小； (2)若，，试判断的形状，并求的面积． 【答案】(1) (2)等边三角形， 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 整理得， 因为，故， 又，故． （2）已知，则，故， ，即， 则，， 因为．则．故， 所以，是等边三角形． 因此. 2．（2026·四川德阳·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积． (1)求角B的大小； (2)若b＝4时，求△ABC面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，而，即， ，由余弦定理得， 所以. （2）由（1）知，，，而，于是， 即，当且仅当时取等号， 因此的面积， 所以当时，面积取得最大值. 3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足，. (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简得出，结合正弦函数的单调性可证得结论成立； （2）由正弦定理及三角恒等变换化简得出，根据已知条件求出角的取值范围，结合余弦函数的基本性质和对勾函数的单调性可得出的取值范围； （3）利用正弦定理、三角形的面积公式结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数和反比例函数的基本性质可求得面积的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理可得，即， 因为，则，所以，即， 由余弦定理可得，所以， 所以，由正弦定理可得 ， 因为为锐角三角形，故，，所以， 又函数在上单调递增，且，故，即. （2） ， 因为为锐角三角形，故，解得， 又因为，可得，故角的取值范围是， 所以，故， 令，， 任取、且， 则 ， 因为，所以，则，所以， 所以函数在上为增函数，故， 故的取值范围是. （3）由正弦定理可得，所以，， 所以 ， 因为，所以， 令，函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数，所以，即， 因此，即面积的取值范围是. 题型04 解三角形中三线问题 析典例·建模型 1．（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 【思路分析】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于的二次方程，求解角； （2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算边上的中线长. 【规范答题】（1）在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由，，得. （2）由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为，则. 在中， ， 故，即边上的中线长为. 2．（25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 【思路分析】（1）由正弦定理结合诱导公式及两角和正弦公式得出，应用角的范围求出角； （2）先根据中线得出，再左右两边平方结合余弦定理得出为直角三角形，最后应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解. 【规范答题】（1）根据题意，且， 由正弦定理得， 化简得，因为， 所以，又， 所以； （2）根据题意，在中，边上的中线长为， 得， 两边平方得 化简，故有， 解得（舍去）或. 在中，， 又，故为直角三角形， 在中，，所以， 又， 所以根据正弦定理得 ， 解得. 研考点·通技法 三线问题指的是角平分线，中线，高线. 对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决. 对于中线问题 一般采用向量思想去解决. 高线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决. 破类题·提能力 1．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）在锐角中，内角的对边分别为，且． (1)证明：； (2)若，且边上的中线的长度为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由正弦定理知，，所以， 即， 所以，所以，所以或 ， 所以或 ，又因为是锐角三角形，所以； （2）不妨设为边上的中线， 在中，有，由（1）可得，故， 所以． 在中，有，所以． 即，解得． 2．（2026·山东威海·一模）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求BC边上的高的最大值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）由可得，     由正弦定理得，   所以，     因为，所以，     因为，所以． （2）依题意，，设BC边上的高为， 由，可得，      由余弦定理 可得， 即，当且仅当时等号成立，     因此， 所以BC边上的高的最大值为2． 3．（25-26高三上·宁夏·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； (3)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，； （2）由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； （3）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 题型05 三角形中图形类边长及范围问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求角； (2)已知，求的取值范围. 【思路分析】（1）利用余弦定理角化边，再利用余弦定理公式可得答案； （2）利用正弦定理将转化为，然后利用三角恒等变换的公式将表示成三角函数的形式，通过三角函数的值域的求法求出范围. 【规范答题】（1）因为，所以， 即，即， 所以， 又，所以； （2）由（1）知，又， 由正弦定理， 所以， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以的取值范围是. 2．（25-26高三上·山东东营·期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，，的面积为. (1)求； (2)若，，求的最小值. 【思路分析】（1）两边平方，结合题目条件，余弦定理和面积公式得到，因为为锐角，所以. （2）设，，则，在中和在中，由正弦定理联立得，因为，所以，求出的最小值. 【规范答题】（1）由，两边平方得，故， 所以的面积， 由余弦定理及， 得， 因为，所以，因为为锐角，所以. （2）设，，则， 在中，由正弦定理得， 因为， 所以， 则①， 在中，由正弦定理得， 则②， 由①②得，， 因为，所以，所以 所以，故的最小值为1. 研考点·通技法 范围问题一般包含长度范围问题，周长范围问题，面积范围问题以及其他范围问题.主要是两类题.一类是无限制三角形的对应的范围问题，一类是 第二类为锐角三角形中的范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题 破类题·提能力 1．（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知的面积记为.内角，，的对边分别为，，，. (1)若，，求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据条件得出角，结合余弦定理计算得到边长； （2）由正弦定理结合角得到，由边角关系计算得到答案. 【详解】（1）由，得， 因为为三角形边长，所以，所以， 若，则，代入得，矛盾， 所以，方程两边同除以得，又，所以. 根据余弦定理， 得.即，整理得. 解得或（舍去）.所以. （2）由，得，， 因为，则，， 所以， ， 因为为锐角三角形，所以则， 所以，即取值范围为. 2．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且． (1)求角的大小 (2)求的取值范围． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和差的余弦公式结合诱导公式得，再求即可； （2）在中，由正弦定理及两角和差的正弦公式可得，然后结合三角函数的值域的求法求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，所以； （2）根据正弦定理得， 由（1）得，， ，为锐角，所以，， 其中，，即， 综上可知，的取值范围是． 题型06 三角形中证明类问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·广东·月考）中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)B的角平分线BD交AC于D， （i）证明：； （ii）若，求的最大值． 【思路分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和与差的正弦公式即可计算求解； （2）（i）先分别在和中利用正弦定理结合和比例的性质得和，接着在和中利用余弦定理结合即可分析计算求解； （ii）先由（1）得，进而得到，，接着由题设结合（i）得，再结合基本不等式即可求解． 【规范答题】（1）因为， 所以由正弦定理得 ， 因为A，，所以，，故； （2）（i）证明：中，由正弦定理得①，    同理在中，②， BD是的角平分线，则，则， 故得， 由比例的性质得，即， 同理得，即， 在中，由余弦定理得③， 中，由余弦定理得④， 又，故，， 由得 ， 则， 即； （ii）因为，故， 则，则，， 由以及（i）知， 即，则， 当且仅当，结合，即，时等号成立， 故的最大值为． 研考点·通技法 解三角形证明题求解策略: 1.边角互化核心：优先用正弦定理（a=2RsinA）边化角或角化边，统一形式后化简，是最常用突破口. 2.公式灵活套用：结合余弦定理、三角恒等变换（和差倍角、诱导公式），消元化简向结论靠拢. 3.目标导向变形：先明确结论结构（如证边相等、角为特殊值），逆向推导所需条件，减少无效运算. 4.隐含条件挖掘：利用三角形内角和A+B+C=π、大边对大角、边长为正等限制条件验证结果. 5.特殊值检验：用等边、直角三角形等特殊情形快速验证证明思路是否合理. 破类题·提能力 1．（2026甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)见解析；(2) 【详解】（1）由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2）， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 题型07 解三角形中内切圆、外接圆问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江·模拟预测）在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且. (1)求的值； (2)若的外接圆半径为，求的面积. 【思路分析】（1）先根据等差数列的性质得到的关系，再根据正弦定理将角化边，最后利用余弦定理求值； （2）先根据正弦定理求出，再结合（1）中的的关系求出，最后根据三角形的面积公式求解. 【规范答题】（1）由成等差数列知，又得， 于是，设，则， 所以； （2）由（1）知， 由得，所以， 所以的面积. 2．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求C； (2)若，求的内切圆的半径. 【思路分析】（1）由已知及三角恒等变换化简得，根据正弦定理边角关系、余弦定理求角的大小； （2）由（1）得，结合已知求边长，进而得到三角形面积，应用等面积法求内切圆半径. 【规范答题】（1）由， 有. 可得. 由正弦定理，有. 又由余弦定理，有. 又由，可得； （2）由（1）有，代入， 所以，解得或（舍去）， 所以，可得的面积为. 设的内切圆的半径为r，有， 代入，有，可得， 故的内切圆的半径为. 研考点·通技法 解三角形中的内切球与外接球问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆则是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即对于外接球半径问题 一般采用正弦定理解决. 破类题·提能力 1．（25-26高三上·河北沧州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且的面积，. (1)求的外接圆半径； (2)若，，求中边上的高的值. 【答案】(1)7 (2)或. 【分析】（1）设的外接圆半径为，利用三角形面积公式有及正弦定理得到的值. （2）利用正弦定理求出，由得到，利用同角关系式求出.利用余弦定理建立关于的方程，解得的值，利用公式求出边上的高，从而得解. 【详解】（1）设的外接圆半径为， 由三角形面积公式有，故，则， 又，故，即. 故的外接圆半径为7. （2）由，且， 所以，所以. 在中，由余弦定理， 解得或， 所以边上的高或. 2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在中，已知角、、的对边分别为、、，且. (1)求角大小； (2)求证：； (3)设为的内心，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题设，结合三角形的面积公式、余弦定理即可求解； （2）由结合基本不等式即可求证； （3）设的内切圆的半径为，由等面积法可得，进而得到，进而化简得到，结合（2）中结论，即可得到，再根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）由， 则， 根据余弦定理得，即， 由，则. （2）由（1）知，，则有， 又，当且仅当时等号成立， 所以，解得，所以，当且仅当取到等号， （3）设的内切圆的半径为， 由等面积法可得，故， 所以，故 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 题型08 解三角形中图形类问题 析典例·建模型 1．（25-26高三上·重庆·月考）如图为平面四边形中的角平分线，的面积为 (1)求边BC的长度； (2)若的外接圆直径求△ACD的周长. 【思路分析】（1）利用三角形的面积公式与余弦定理求解即可； （2）先用正弦定理求，进而利用余弦定理可求，从而可得周长. 【规范答题】（1）由为的角平分线及，知. ，即，得. . 故边BC的长度为. （2）由的外接圆直径，得，则. 由余弦定理知，， 设，则，即， ，解得（舍去）或，则. 所以△ACD的周长为. 2．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形中，已知交于点，．    (1)若，求的值； (2)证明：当时，位于外接圆的内部． 【思路分析】（1）根据已知条件，利用余弦定理求出相关线段长度，进而求解； （2）利用正弦定理结合已知条件求出，再利用四点共圆的性质求出，比较的大小判断的位置． 【规范答题】（1），， 在中，由余弦定理得 ， ， 同理， ， ． （2）在中，由正弦定理得， ， ， 设为射线上一点，且四点共圆，则，   ，解得， ，位于外接圆的内部． 研考点·通技法 利用正、余弦定理求解三角形的图形类问题，此类题目比较难，这类题目的实质是实现边角的转化，解题的思路是：利用角度的等量关系，将未知边长利用正弦定理转换成一直角度及已知边长的形式，最后变成关于一个未知角度的三角函数关系，在利用三角函数的函数及性质，利用角度的范围，从而求出变成或者是对应面范围问题. 破类题·提能力 1．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形中，已知，，． (1)求的面积； (2)若，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理先求，再由三角形的面积公式即可求解； （2）利用正弦定理先求，再由三角恒等变换得，最后利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理知， 即， 解得， ； （2）在中，由正弦定理知，解得， 又在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，由正弦定理得， 解得. 2．（25-26高三上·江西·月考）已知平面四边形如图所示，其中，，. (1)若，，求的面积； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由余弦定理可求； (2)利用正弦定理及几何关系，将表示为某个角度的关系，分析角度的取值范围，得到结果. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得： ，所以, 所以或，因为，所以 所以. 即的面积为. （2）设， 在中，，所以， 由正弦定理：，即， 所以， 在中，,, 由正弦定理，所以， 所以， 所以，化简得， 所以， 因为，所以 ， 在中， , 所以，即， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以，所以， 所以的取值范围为，即. 所以的取值范围为. 题型09 解三角形的实际应用 析典例·建模型 1．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的处发现两座小岛，测得小岛在的北偏东的方向上，小岛在的北偏东的方向上，海轮从处向正东方向航行海里后到达处，测得小岛在的北偏西的方向上，小岛在的北偏东的方向上.    (1)求处与小岛之间的距离； (2)求两座小岛之间的距离. 【思路分析】（1）在中利用正弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理求出，再在中利用余弦定理求出； 【规范答题】（1）由题可知在中，，，所以， 由正弦定理可得：，及， 所以（海里）． （2）由题可知在中：，，所以． 所以（海里）， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）， 由题意可知，在中，， 由余弦定理可得： ， 所以（海里）. 2．（25-26高三上·甘肃平凉·月考）目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为. (1)求出山高（结果保留一位小数）； (2)如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. 【思路分析】（1）利用仰角差得，通过正弦定理求，结合直角三角形求山高即可. （2）用正切表示仰角，通过正切差公式表示视角的正切值，结合基本不等式求最值即可. 【规范答题】（1）由题意可知，，，，， 在中，，所以， 在中，， 所以山高. （2）由题意知，，，且， 则， 在中，， 在中，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最大值， 又，所以此时视角最大. 综上，当时，视角最大. 研考点·通技法 解三角形实际应用核心是构建三角形模型，用正、余弦定理求解，分三类场景： 1. 测量距离 先确定可测边与夹角，构造解三角形模型.两点不可达时，用基线结合两角构造三角形，通过正弦定理求边长；两点可达时，直接用余弦定理计算间距，注意统一长度单位. 2. 测量高度 区分底部可通达与不可通达.底部可达时，测仰角与水平距离，用直角三角形边角关系求解；底部不可达时，在同一直线测两个仰角，设高列方程，结合正弦定理消元求解，排除视线遮挡误差. 3. 测量角度 已知三角形三边或两边及夹角，用余弦定理求内角，结合方位角、俯角换算实际角度，注意方位角的象限与方向标注，保证结果符合实际场景. 破类题·提能力 1．（25-26高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）先利用三角函数的二倍角公式求出，然后求出，进而根据正弦定理求出结果即可. （2）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理求出，最后根据余弦定理求出结果. 【详解】（1）因为，所以. 所以，所以. 在中，根据正弦定理，，即， 解得. （2）在中，根据余弦定理，， 化简得，由于，所以解得米. 因为，在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 2．（25-26高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴塔高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，且在，两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得，，两地相距36米. (1)求重兴塔高； (2)如图2，塔顶为点，距离塔顶点竖直向下5米处有点，若在离地面竖直高度为2米的点处用测角仪器测得，求的最大值. 【答案】(1)米 (2) 【分析】（1）设米，可得，，在中，由余弦定理得，，解方程即可求解； （2）过点作交于，设，可得，，由结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，设米， 在中，，则； 在中，，则. 在中，由余弦定理得，， 整理得，解得或（舍） 所以重兴塔高米 （2）过点作交于，设， 则在中，， 在中，， . 当且仅当，即等号成立 所以的最大值为 （建议用时：60分钟） 刷模拟 1．（25-26高三下·重庆·月考）已知函数的最小正周期为． (1)若，，求的值； (2)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数的最小正周期为， ，解得， 即， ， ，则， ，则， ， ， ， ，即， ∴. （2）， 的图象向右平移个单位后得到的函数为，即， 再向上平移1个单位得到的图象对应函数为， ， 当时，， 令，则， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增，则， ， ， 函数在上的值域为． 2．（2026·河北邯郸·一模）的内角的对边分别为，已知成等差数列，且． (1)求； (2)记外接圆的面积为，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为成等差数列，所以，又，所以． 设，则，则． （2）由（1）得， 则外接圆的半径， 则，则，， 则的取值范围为． 3．（2026·山东烟台·一模）已知的内角的对边分别为，，且的面积为． (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理得， 因为，所以. 由三角形面积公式得， 又因为，所以， 所以， 因为，所以. （2）由（1）知，，得， 而，得，又， 得为等边三角形，得， 故. 4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面四边形中，． (1)证明：； (2)已知，的外接圆半径为1，求面积的最大值． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）利用正弦定理和角的关系可证结论； （2）利用正弦定理、余弦定理以及根与系数关系即可得，再利用三角形面积公式得到面积表达式，再求出的范围即可得到最值. 【详解】（1）证明：设， 因为，所以， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得，， 所以. （2）因为的外接圆半径为1， 由正弦定理，得， 在中，由余弦定理得， 即，① 在中，同理可得，② 由①②可知，是关于的方程的两根， 所以． 的面积为. 由，得到， 又因为，所以， 所以 即面积的最大值为. 5．（2026·湖北襄阳·一模）在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． (1)若，AM平分∠BAC，，，求的周长； (2)若，且，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值；最小值4 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解； （2）根据三角形面积公式可得，根据余弦定理化简可得，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，利用基本不等式可得最小值. 【详解】（1）由题意得 所以① 又② 由①②解得，所以的周长为； （2）∵， 又，∴ ∴ 当且仅当，即时取“”， 又，当且仅当时取“”， 所以的最大值，最小值4． 6．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形中，记分别为内角的对边，． (1)求的值； (2)求角的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得，结合三角恒等变换运算求解即可； （2）根据（1）中结论结合基本不等式可得，且，结合运算求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 即， 且为锐角三角形，则，则， 可得，所以. （2）因为，且，则， 可得，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 因为，则， 可得，， 则， 即的最大值为，且， 所以角的最大值为. 7．（2026·广东·一模）设的内角所对的边分别为，且，记. (1)若成等差数列，求的最小值； (2)若成等比数列，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）将所给等式利用三角恒等变换进行化简，再利用等差数列的性质及正切函数的性质求解； （2）由（1）得，结合正弦定理，等比数列性质，三角形边长关系求解. 【详解】（1）， 因为成等差数列，所以， 又，所以，又，所以， 所以， ， 当取得最大值时，取得最小值， 因为，所以， 所以当时，取得最小值1. （2）因为成等比数列，所以， 由（1）知， 因为，所以， 将代入，化简得， 两边同除以，得，即， 所以，解得， 因为，所以，即，得， 所以的取值范围为. 8．（2026·河北张家口·一模）在中，内角的对边分别为，满足． (1)证明：； (2)若，，点为边上一点，为的平分线，求的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换即可得证； （2）先计算，利用二倍角余弦公式得，再由结合二倍角正弦公式即可求解； （3）由（1）有，得，又由正弦定理得，利用锐角三角形求出的范围，进而求解. 【详解】（1）由，利用正弦定理得：， 又， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍去） 所以； （2）由，所以， 又，所以， 又，所以， 又由为的平分线， 所以， 所以， 所以， 又由余弦定理得：， 所以，所以； （3）由（1）有，又，所以， 又由正弦定理得： ， 又为锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 9．如图，一艘船向正东航行，顺次经过观测点B，M，N，C，船航行到B处，在B处观测灯塔A在船的北偏东的方向上，船航行到C处，在C处观测灯塔在船的北偏西的方向上，已知B，C相距6海里，．    (1)若，求的距离； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)（海里） (2)（平方海里）． 【分析】（1）在和中反复使用正弦定理，用角度表示边长、、、，代入求值即可； （2）将面积表达式化简为关于的三角函数，利用和角公式、二倍角公式进行变形，通过三角函数的范围求解面积的最小值. 【详解】（1）因为，，所以， 又因为，所以，， 又，设， ∴，，． 在和中由正弦定理可得， ， 即，， ， ． 当时，则，， ∴，， ∴（海里）． （2） 令 ， ∴． 因为，∴，∴， 所以当时，（平方海里）． 10．（2026·陕西西安·模拟预测）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： (1)若，求的大小及的值； (2)已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 【答案】(1) (2)①12；② 【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值； （2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开运算得解. 【详解】（1） 在中，， 所以，而为锐角，故，所以， 所以，而，故. 又，故， 在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有，所以， 所以，故. （2） 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：. ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以. 刷真题 1．（2026·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1)(2)6 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 6．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得； (2)由题意可得，则，据此即可求得的面积. 【详解】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 专项01三角函数、三角恒等变换与解三角形 参考答案 ☑ PART 02 解题建模•通技法 题型01三角恒等变形与三角函数图象问题<了 析典例建模犁 1.【思路分折D根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数八刊的详解式，再求函数的单调区间 即可 (2)根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可. 【规范答题】(1)由图可得A=2, T=4×π+π） 4×+, 所以w=2且受×2+p=2版+ ’k∈Z得0=2m+ 3’k∈Z 又因为，所以-分，所1=2如2+到 +2km≤2x+5≤号+2M,keZ 又因为2 3-2 π+km≤x≤ 解得12 +c,k∈Z' 1 所-如x到在子习上的车区餐剖 5ππ 1/57 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 因为00 所以20+号任智》. 元4π 5 所以c0s29= }引f》526t 10 破类题提能力 .【可 V6 (2)条件①：不符合题意；条件②： 2 条件③：-0，-V2 f(x)=2sinπ-@x)sin π -0x +2cos2@x-1 =2sin @x cos@x+cos 2@x 【详解】(1) =sin 2@x+cos2@x=sin2x+ 直线少V2 是)的最小值线，相邻交点距离等于0的周期，故T=π，】 由国T二2π-延=π，得，，因此：了()=V2S2优+万， 200 正弦函数的单调递增区间满足：一 +2r≤2+年s+2 kr (kez). 42 解得：装+≤≤受标keZ结合x0取4=0得受≤爱 8 xs9π 取k=1得8 8 所以在0上的单调递增区间为0，g和⊙m》 L8,π/： (2)由题意得： gtw=f-9)=2sm2x+年-29.0<9<受. 4 2/57 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 选条件D:因为g-万sm2x+子-2p, π 其最大值为5对任意00,2)均满足，函数g()不唯 一，不符合题意， ππ 选条件②： g(在44 上单调递增， 3的递增区间2+203-+2m0+2m 4 2 得递增区间x∈p- [9+++ke☑， 8 0- ,π、π 由 在区间 上单调递增得 时：{p 8-49=I 8 ππ π g(x) 44 k=0 0<φ< 2 因此8()=V2sin2x 若m<8到恒成立，则m<gy-6 )一，即的w情围4一0，一2一 选条件@：因为g到=5sm2x+子-20为偶函数， 所以经印受红e乙，解得9=经名乙， 0< 又0<0<，所以 282,解得k=-1→0=3亚， 2 k∈Z 8 国t-2m2xa号].2aa号]，c小，装-， 若m<8(恒成立，则m<g()m=一5，即m的取值范围为-0，-V2) 2.【管案10+y受号=0 3/57 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 3+4V2 (2)6 )-sinsint+ 1 【详解】 (1)由题 22 3 2 33,f(x)=cosx+cos2x+cos3x, 所以” 3π cos +cos元+coS =-1， 所以f(x)的图象在点 (2)(1))=cos+cos2x+cos3=cos(xcos2x+cos(=cos2(cx+1) 所以 c0sx+1>0' 当xe0,4时， cos2x>0'f'(x)>0: ππ 当x42时， cos2x<0'f(x)<0 故fx在区间 上单调递增，在区间42 上单调递减， π- 3+4V2 0, 所以函数f(x)在区间 2」上的最大值为(4 6. (3)因为8'刊=/寸+2c0s+a=c0s2x2cosr+l+2c0sr+a 要使函数8（川在区间0，风上有三个极值点， 则函数8( 0,π 在区间 上有三个不同的变号零点， ()=(x)+2cos=cos2x(2cosx+1)+2co=4cos+c-1 (=-12cossin.x-4cosxsin --2sin2x(c0) 4/57 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 故存在x怎2）使得3s5+1=0即=0 所以当x0)时<0：当e经时M>0:当xE时f<0: 故在区间0上单调遥减，在区间(上单调避增，在区间飞，上单调道减。 又h(0)=5,h 月)-1=46os+2csx-1=3a=-3 作直线'=-“与函数 h(x)=f(x)+2cosx 的图象如图所示： 5 y=h(x) =-a -3 由图可知直线y=-口与函数hx)='(x)+2cosx的图象有3个不同的交点时 所以函数8)在区间0，上有三个不同的变号零点，实数口的取值范围为2 题型02三角形中边长及周长问题< 折典例建模理 1.【思路分析】(1)根据已知条件，利用正弦定理结合两角和的正弦公式及三角形内角关系求解： (2)根据已知条件，利用余弦定理解三角形，再利用已知周长构造方程求解. 5/57 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【规范答题】](1)已知3 a cos B=3c-b,由正弦定理得a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, .'3sin Acos B=3sin C-sin B. 又：sinC=sin(A+B), .'.3sin Acos B=3sin(A+B)-sin B ..3sin Acos B=3sin Acos B+3cos Asin B-sin B, ..3cos Asin B=sin B, 又sinB≠0， :.cosA=3 1 9c2+c2-a2 (2) 由余弦定理：cosA=+c-d_ 1 .·2b=3c 2bc 3c2 .a 2e, "aABC的周长为8，a+b+c=3c+3。」 =2c+2c+c=4c=8,解得c=2, -C+ 3 故0=2×2=3. 2.【思路分析】](1)利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角A= 3 (2)利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值 范围 【硬藏答题]（1)由cosB+-heosC-2c0→sinCo+sin Beosc=04→Sin(C+B=n4 2cos4 2cosA 2cosA’ 因为在△ABC中有c+B=元-A所以上式可化为sin(π-A)=sinA=加4 2cosA' 1 又因为inA>0?所以cos1=2,又因为4∈(0，，所以4 3； b C a b 2 (2)由正弦定理得：sinA"sin Bsin C→。 sin元sinBsinC, 3 可得a=3 sinc6 2sin B sin C' 所以△ABC的周长为1=a+b+c 5+2sinB+2=5+2sinB+2, sinC sinC sin C 6/57 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 因为锐角△MBC 可知8=-4-C=径-c引， 可刹Ce(G引，则周长可化为 √5+2sin 3+23 cosC+-sin C 2 l= 2+2= +2=51+cosC+3, sinC sin C sin C 1+2cos2C-1 2 、coC +3=V32 2sin 2 cos +3 sin- tan C3 2 2 2 212'4 1+1x53+V5, 3 n, 1∈V3+3,25+6, 故锐角△ABC周长的取值范围为V5+3,23+6 破类题提能力 1.【答案】()B=石 2)8=vig 35-7 (3)16 【详解】(I)因为V5a-cs小inC=a-b)(sind+sinB) 根据正弦定理得V5a-cc=(a-b(a+), 整理得 b2=a2+c2-3ac 7/57 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 根据余弦定理b2=a2+c2-2 accosB, 可得cosB= 2 又因为0<B<兀，(B是△ABC的内角)， 所以8-君 a b 2)由正弦定理sinA sinB,得as14 sinB 由(1)知B-名，结合sinA=5a=25, c=7由余弦定理得， b2=a2+c2-2accosB=19,b=19 (3)由已知 4:0<A<元得sinA=V-osA= 得 4 sin24=2sindcos4= 8, 7 cos2A=2cos2A-1=- 81 ..sin(24+B)=sin4+ 6 -sin2.Acos+cos2 Asin5- 6 616. 2.【答案】(1)C= 3 (2)12 【分析】(I)由余弦定理的边角关系，将a cos B+bcos A=4化角为边求c,再由正弦定理及 8sin4cosC=asinc求得cosC=}】 2,即可得： ②》由余弦定理、基本不等式有16=（红+-3b≥生，进面可得周长的最大值 【详解】(1)由 acosB+bcos d4:aebtb.b+ca=4. 2ac 2bc 所以a+c2-+2+c2-a22c 2c 2020=c=4, 8/57 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 a 8cosC 由sinsinC,而8 ssin AcosC=asinC,即sinsinc, c 8cosC 所以sinc sinC →cosC=S=1 82,而Ce0,,故C- 3； 2由知c2=f+6-2mc,则a+-b=a+o-a6=162a+h-a+b-a4 4， 当且仅当a=b时取等号， 所以a+b≤16→a+h≤8，即 4 时取等号， =b=4 所以△ABC周长a+b+c的最大值为12. √5 3.【答案】(DB=8:(2)4:(3)(3+5,2+25 【详解】(I)因为2a-V5 ccos B=-V3cosC 由正弦定理可得2sin4-V5 sin CcosB=V3 sin BcosC 2sin AcosB(sin BcosC+cos Bsin C)-sin(BC)sin :A∈(0，π，则sinA>0,.:cosB3 8=2,又Be0,÷8-后： (2)因为c=V5,a+h=2 由余张定理6=6+c2-2ac0sB即G-3-2ax5x9-, 2 片2+3-3a=(2-a,解得a=1, :3wc=2 asin=)x1x3x月 1 2 24 a。b C (3)在△ABC中，由正弦定理sinA sin B sinC, 9/57 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2b b+c .'sin A 1 2sinA+r）1 （r62+sinA+π 6 1+2sinA+】 1 1+2 -sin A+cos A .b+c= 、6 2 sin A Sin A -3sin 4+1+cos4-+1+cos4-+ 2cos24 2 sin A sin A A A 2sin A cos 2 tan- 2 0<A< 2 A<π 元 又 为锐角三角形， 0<π-A-刀<π3 → 2， △ABC 62 : 3 5tan 4. 1, ,1 tan 2 ，÷5+1<b+e<2W5’3+5<a+b+c<2+25 故△1BC周长的取值范围为3+V5,2+2V5 题型03三角形中面积问题< 折典例建模翠 1.思路分同1)由正弦定理得到=2c,根据5c=5.m+5得到方程，求出=3,6=6，根 据余弦定理得到a2=63,求出a; (2)由SMc=SMD+S.D,利用三角形面积公式可得)。 2+2=1,根据基本不等式解出6+c的最小值， 应用取等条件求出三角形面积 【规范答题】刀(1)因为sinB=2sinC,由正弦定理得b=2c, 因为∠BAC的角平分线交BC于点D,所以∠BAD=∠CAD=6O°， 由Sc=Se+Su'每osin∠B4C- =2 eDsin∠BAD+)bADsin∠CAD, 10/57