专项02 数列及求和6大解答题题型（大题专练）（全国通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

专项02 数列及求和 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年全国卷考情，等差数列、等比数列与数列求和是必考主干，分值约10-22分． 命题趋势： 解答题：稳定考查数列（常为第15题或16题），通常情况下与解三角形解答题二选一，一般考查内容是等差等比数列性质的简单应用，求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分组求和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的认识以及自主学习能力问题. 2026年预测：解答题极可能仍为数列常规题． 备考核心：熟记等差（等比）数列的通项公式、求和公式和性质，解答题强化“求数列通项及求和”综合训练，小题提升转化与化归能力． 题型01 数列通项及分组求和 析典例·建模型 1．（2026·陕西商洛·二模）已知等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为2，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 研考点·通技法 通项求解：优先观察型（等差、等比、周期）；递推型用累加法、累乘法、构造法（如an+1=pan+q）；Sn与an混用必用，勿忘验证首项. 分组求和：识别通项可拆为等差、等比、常数、奇偶项等结构，按类型拆分数列.分别对各组用对应求和公式（等差、等比求和），再合并结果。注意项数统计、下标换算与符号，尤其奇偶分组时项数要准确. 核心：先拆通项结构，再分组套公式，严谨核对项数与首末项. 破类题·提能力 1．（25-26高三下·上海·月考）已知数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和． 2．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，数列满足，. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 题型02 数列通项及裂项求和 析典例·建模型 1．（25-26高三上·河北石家庄·期末）在正项数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前项和为，求满足的最小整数. 2．（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 研考点·通技法 一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂项”求和技巧简捷求解该数列的前n项和．常见的“裂项”结论有： (1) (2)形如 当，时，易知 (3)形如 当，时，易知 (4)形如 当，时，易知 (5)形如 当，时，易知 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列前项的积为. (1)判断是否成等差数列，并给出证明； (2)令，求数列的前项和， 2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 3．（2026·云南·模拟预测）已知函数（且）的图象经过点，记数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 题型03 数列通项及错位相减求和 析典例·建模型 1．（25-26高三上·吉林·期中）已知数列的前n项和，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 研考点·通技法 设是等差数列，是公比的等比数列，则数列的前n项和的常规求法是错位相减法，取巧可这样做：设，则，其中，.推导过程请参考视频，x、y的计算公式可不记，记住的形式，取和用待定系数法来算就可以了. 破类题·提能力 1．（2026·吉林通化·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 2．（2026·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 题型04 数列通项及奇偶项讨论问题 析典例·建模型 1．（2026·黑龙江·一模）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 研考点·通技法 核心思路：分奇偶讨论、分别构造通项、合并结果，3 步速解： 1.拆分奇偶项：按下标n分奇数项与偶数项分组，单独分析递推关系、公差或公比. 2.求分段通项：奇数项、偶数项分别套用等差或等比公式，写出对应k的表达式. 3.验证合并：核对边界项一致性，整理成分段函数形式；求和时同理，奇项和、偶项和分开计算再累加. 破类题·提能力 1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 2．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知等差数列的前项和为，是公比大于0的等比数列，，，，且，，成等差数列. (1)求数列与的通项公式； (2)设，求； (3)设（），求. 题型05 数列证明类问题 析典例·建模型 1．（2026·山西运城·一模）设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式; (2)证明:对，. 研考点·通技法 核心是抓定义、用递推、巧放缩，分三类突破： 1.等差等比证明：紧扣定义，证相邻项差或比为常数，或用中项性质，优先化简递推式. 2.通项与求和证明：利用累加法、累乘法、Sn与an关系推导，代入验证等式成立. 3.不等式证明：常用放缩法（裂项、等比放缩）、数学归纳法、函数单调性，先放缩再求和. 关键步骤：先梳理递推关系，再选对应方法，严谨书写推理过程，注意 n 的取值范围. 破类题·提能力 1．（25-26高三下·重庆·月考）已知数列 满足 . (1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由； (2)证明: . 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列满足，且． (1)求； (2)若，求证：； (3)求的值． 题型06 数列型定义问题 析典例·建模型 1．（2026·北京平谷·一模）设数阵，其中．设，其中且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，…，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为． (1)若，写出经过变换后得到的数阵； (2)若，求的值； (3)对任意确定的一个数阵，证明：对所有可能的非空子集，对应的的值的总和不超过． 研考点·通技法 定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息  —  对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息  —  细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点. 第三步：迁移转化  —  如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）. 第四步：计算，得结论  —  结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论. 破类题·提能力 1．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 2．（25-26高三下·重庆·月考）设有穷数列：，…，满足且，则称其为“n阶数列”． (1)若“8阶数列”：是递增的等差数列，求； (2)设“n阶数列”满足． （i）记该“n阶数列”的前r项和为．证明：数列不是“n阶数列”； （ii）证明：． （建议用时：60分钟） 刷模拟 1．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．（25-26高三上·河南信阳·期末）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项的和. 3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，. (1)求，的通项公式； (2)将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 4．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 5．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知数列的首项，且满足，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明：. 6．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 7．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数. (1)若数列，求数列的前n项和； (2)已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和. 8．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 9．（2026·陕西·模拟预测）已知函数定义在区间内，时，恒有. (1)证明：为奇函数； (2)若数列满足，，. （i）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ii）设，若对恒成立，求的取值范围. 10．（25-26高三下·北京·开学考试）已知为正整数，，若数列同时满足： ① 对任意，均有； ② 对任意，均有 ； ③ 对任意，均有 ， 则称该数列为数列． (1)若数列是数列，直接写出的所有可能值； (2)若数列是数列，求的最大值； (3)若数列是数列，求的最小值． 刷真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 数列及求和 参考答案 题型01 数列通项及分组求和 析典例·建模型 1．【思路分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求首项、公差即可得解； （2）根据等差数列、等比数列的求和公式求解即可. 【规范答题】（1）设等差数列的公差为， 即解得 所以 （2）因为数列是首项为2，公比为3的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 . 破类题·提能力 1．【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）因为，可得， 且，则， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）可知，即，可得， 则 ， 所以. 2．【答案】(1)，证明见解析 (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得. 所以. 由得，即， 又， 所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以. 所以. 所以. 题型02 数列通项及裂项求和 析典例·建模型 1．【思路分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）利用裂项相消法进行运算求解即可. 【规范答题】（1）由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）可知，，即， 则， ∴， ，∴解得又，则满足的最小整数． 2．【思路分析】（1）由题意可知数列是以首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【规范答题】（1）因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 破类题·提能力 1．【答案】(1)是，证明见解析 (2) 【详解】（1）成等差数列. 证明：因为数列前项的积，所以当时，， 当时，，符合上式， 所以， 所以 因此成等差数列. （2）由（1）可得， 所以， 所以 所以数列的前项和. 2．【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）根据题意，令， 当时，， ， 所以， 且，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）根据（1）可得，所以， 则， 所以 . 3．【答案】(1)． (2)证明见解析 【详解】（1）由题意， 所以数列的前项和为． 当时，； 当时，． 当时，上式亦成立，所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 则， 所以 . 因为，所以． 又因为时，单调递增，所以， 所以． 题型03 数列通项及错位相减求和 析典例·建模型 1．【思路分析】（1）当时，可得，即，当时，，即可推出，可得，即可求证数列是等差数列，求出的通项公式，进而可得数列的通项公式； （2）由（1）知，求出，利用错位相减法和分组求和法即可求解. 【规范答题】（1）由，得（）， 当时，（）， ∴，化为， ∵，∴， 即当时，， 令，可得，即． 又， ∴数列是首项和公差均为1的等差数列． 于是，∴． （2）由（1）知，∴ 故， 令， ∴， ∴ ∴，∴. 破类题·提能力 1．【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的公差为d，则由题有， 、，所以． （2）由（1）得，， 所以， 所以， 两式相减得， 即， 解得． 2．【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列， 设数列的公差为d，且，则，解得， 又，所以，即， 则，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 所以， 则， 两式相减可得：， 即， 化简可得：. 题型04 数列通项及奇偶项讨论问题 析典例·建模型 1．【思路分析】（1）选择条件①，②，③，利用等比数列通项，结合已知求出数列的基本量，进而求出通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求出. 【规范答题】（1）若选①，设的公比为，则，且， 解得，，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选②，设的公比为，由成等差数列，得，解得，因此 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选③，设的公比为，则，解得，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． （2）数列满足，则， 所以 ． 破类题·提能力 1．【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的等差中项性质，结合已知条件建立方程求解基本量和公差，再利用因式分解处理数列递推关系，根据正项数列确定等比关系，从而得到通项公式； （2）数列按奇偶项分组求和，奇数项直接利用等比数列求和，偶数项通过裂项相消法化简求和，最终将两部分相加得到前项和. 【详解】（1）是等差数列，由等差中项性质得：，得， 又，所以，公差， 所以； ， 因为数列各项为正数，，故， 即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：； （2）由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分： 设奇数项和为，设偶数项和为， ， 为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列， 共项，故， 为偶数时，设，则：， 裂项相消求和：， 所以. 2．【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知条件得 ，，整理得，代入得， 即，故， 设等比数列的公比为，，故， 由成等差数列得，即， 解得（舍去），故. （2）由题设有 故 . 故 . （3）由题设可得，且为等差数列，且公差为，首项为， 故 ， 故 . 题型05 数列证明类问题 析典例·建模型 1．【思路分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果； （2）根据（1）中所求，应用放缩及等比数列的前n项和公式求得，即可证明. 【规范答题】（1）依题意，当时，，，则； 当时，，，两式相减， 整理可得，又为正项数列，故， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）证明：由（1）可知，所以，显然， 当，则，即， 此时， 综上，成立. 2．【思路分析】（1）先由递推公式结合题中条件，得到，判断出数列是等差数列，求出通项，即可得出结果； （2）先由（1），根据裂项的方法，得到对1，2，3…，进而可求出，即证明结论成立. 【规范答题】（1）由可得， ∵，∴，依此类推， ∴，∴， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，即， （2），故 对1，2，3… ， ∴ .， 因为， 所以 即 破类题·提能力 1．【答案】(1)当时，此时为常数列且. (2)证明见解析 【详解】（1）若为常数列，则，其中， 故，故（舍）或， 而当时，，此时为常数列且. （2）因为，所以， 又因为，故，而，故， 所以，所以， 所以. 2．【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由可得： ， ， ， ， 由累加法得， 又因为， 所以，故. （2）由（1）可得， 则由， 可得， 即 整理得，因，则， 所以， 故. （3）由 ，可得 所以 . 题型06 数列型定义问题 析典例·建模型 1．【思路分析】（1）根据矩阵变换的定义和已知的变换结果，得到矩阵； （2）先对矩阵执行指定的变换得到新矩阵，再将新矩阵所有元素相加得到； （3）通过分类讨论子集是否包含矩阵中对应位置的元素，统计各类子集的数量并计算变换后矩阵元素的总和，最终推导出所有的值的总和的表达式并证明其不超过 −4. 【规范答题】（1）由题意可得； （2）经变换后得，故． （3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共，经过变换后第一行均变为；含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为；同时含有和的子集共，经过变换后第一行仍为；不含也不含的子集共个，经过变换后第一行仍为． 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为 ． 若，则的所有非空子集中，含有的子集共个，经过变换后第一行均变为；不含有的子集共个，经过变换后第一行仍为． 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为． 同理，经过变换后所有的第二行的所有数的和为． 所以对所有非空子集，的值的总和为， 又因为， 所以的值的总和不超过． 破类题·提能力 1．【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；②. 【详解】（1）因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 2．【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由，得， 所以． 因为，所以，即当时，当时， 所以， 即，解得. 因为，即，解得． （2）证明：（i）由题设条件可知不可能全为0，也不可能全同号， 所以存在一个下标使得． 因为数列满足， 所以全为非负数，全为负数， 即，． 令，， 则由题设条件可知，， 所以，． 所以当时，；当时，． 所以，即，矛盾． 所以数列不是“n阶数列”． （ii）证明：因为， 由（i）可知，，即，． ，， 又，， 所以 即．当且仅当为偶数，，，时取等号． （建议用时：60分钟） 刷模拟 1．【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由于等比数列的通项公式：且，故，. ，故，， 由可得，得. 整理得. 因为且，所以，. 因此等比数列通项公式为，等差数列的通项公式为. （2）根据题意得：， 由（1）得，.   故. 2．【答案】(1) ， . (2) 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 由，得，解得， 所以的通项公式为，的通项公式为. （2）由（1）得，则 当时，； 当时， ， 所以. 3．【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为， 显然且. 由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以， 所以； ， ∴，，所以. （2）数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…， 依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项， 所以 . 4．【答案】(1) (2)，最小值为9 【详解】（1）设的公差为d，因为， 所以，整理得， 所以，解得， 故的通项公式为． （2）由（1）， 则 易得在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为． 5．【答案】(1)证明见解析；， (2)证明见解析 【详解】（1）由，得，所以，即. 又因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，. （2）由题可知. 因为， 所以. 因为，，所以. 综上，. 6．【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为， 所以当时，，解得， 当时，， 所以，即. 所以， 又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知，. 所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. 7．【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以 . （2）， 直线的方程为， 令， 得， 所以， 令数列的前项和为，则 ， ， 两式相减得，故， 又数列的前项和为， 所以数列的前项和. 8．【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 9．【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析，；（ii） 【详解】（1）证明：由题意知的定义域为，关于原点对称．且， 令，则，故． 再令，则， 所以，故为奇函数． （2）（i）由题意得， 又， 所以，即， 所以， 故是首项为，公比为2的等比数列， 所以； （ii）因为， 所以， 所以， 两式相减得， 所以． 所以对恒成立， 即恒成立，即恒成立． 设，则， 所以数列单调递增． 当n为奇数时，，当时，有最大值，故； 当n为偶数时，，当时，有最小值，故． 综上，的取值范围是． 10．【答案】(1)； (2)6； (3)2. 【详解】（1）. 理由：由题意得， 对条件①，对任意的，均有； 对条件②，对任意的，均有， 即，，， 对条件③，对任意，均有， 若数列是数列，根据条件①知， 根据条件②知， 当时，经验证符合条件③，此时， 当时，因为，则，不合题意，舍去； 当时，经验证符合条件③，此时， 当时，经验证符合条件③，此时， 综上所述的所有可能值为. （2）设，由①，， ．1,2,3,4,2,1是6⊕4数列， 所以符合题意． ．当时，由②，设或． （a）当时， 由②，，故由③，，与②矛盾． （b）当时，由②，或。 若，由③，，与①矛盾． 若，由②③，，与①矛盾． 综上，的最大值为6． （3）若满足③，则删除若干项仍满足③． 依题意，． ．当时，假若，设， 设，则由②，，由①②，无解，矛盾． 所以． ．假设存在，使得，设满足此条件的最小的为．由知，. 若存在数列，则． 不妨设中，出现的次数最少，设出现了次． 1.当时，则为数列，矛盾． 2.当时，设， （a）当或时，去掉这一项得数列，矛盾． （b）当时，去掉前两项得数列，矛盾． （c）当时，去掉后两项得数列，矛盾． （d）当时，记原数列为． 若且，去掉这一项得数列，矛盾． 若且，去掉,这两项得数列，矛盾． 若且，去掉,这两项得数列，矛盾． 若且，与（2）矛盾． 3．当时，中，均至少出现2次． 由②，前两个1之间必有其它数，不妨设为2． 由③，所有的2均在这两个1之间． 同理，不妨设所有的3全在前两个2之间，所有的4全在前两个3之间，⋯ 这与矛盾． 4．综上，假设不成立，必有． ．构造：1,2,3,1为数列，此时． ．综上，的最小值为2． 刷真题 1．【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 2．【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 3．【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 4．【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 5．【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 数列及求和 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 根据近五年全国卷考情，等差数列、等比数列与数列求和是必考主干，分值约10-22分． 命题趋势： 解答题：稳定考查数列（常为第15题或16题），通常情况下与解三角形解答题二选一，一般考查内容是等差等比数列性质的简单应用，求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分组求和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的认识以及自主学习能力问题. 2026年预测：解答题极可能仍为数列常规题． 备考核心：熟记等差（等比）数列的通项公式、求和公式和性质，解答题强化“求数列通项及求和”综合训练，小题提升转化与化归能力． 题型01 数列通项及分组求和 析典例·建模型 1．（2026·陕西商洛·二模）已知等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为2，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 【思路分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求首项、公差即可得解； （2）根据等差数列、等比数列的求和公式求解即可. 【规范答题】（1）设等差数列的公差为， 即解得 所以 （2）因为数列是首项为2，公比为3的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 . 研考点·通技法 通项求解：优先观察型（等差、等比、周期）；递推型用累加法、累乘法、构造法（如an+1=pan+q）；Sn与an混用必用，勿忘验证首项. 分组求和：识别通项可拆为等差、等比、常数、奇偶项等结构，按类型拆分数列.分别对各组用对应求和公式（等差、等比求和），再合并结果。注意项数统计、下标换算与符号，尤其奇偶分组时项数要准确. 核心：先拆通项结构，再分组套公式，严谨核对项数与首末项. 破类题·提能力 1．（25-26高三下·上海·月考）已知数列满足． (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）整理可得，结合等比数列定义分析证明； （2）由（1）可得，即可得，利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为，可得， 且，则， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）可知，即，可得， 则 ， 所以. 2．（2026·湖南邵阳·二模）已知数列是等差数列，且，，数列满足，. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；由数列满足，.根据等比数列的定义可证明数列是等比数列； （2）由分组求和法，结合等差数列、等比数列的前项和公式可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得. 所以. 由得，即， 又， 所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以. 所以. 所以. 题型02 数列通项及裂项求和 析典例·建模型 1．（25-26高三上·河北石家庄·期末）在正项数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)记，设数列的前项和为，求满足的最小整数. 【思路分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）利用裂项相消法进行运算求解即可. 【规范答题】（1）由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）可知，，即， 则， ∴， ，∴解得又，则满足的最小整数． 2．（2026·河北保定·一模）已知数列的前n项和为，且，. (1)求 (2)若，求数列的前n项和. 【思路分析】（1）由题意可知数列是以首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解； （2）根据与之间的关系可得，进而可得，结合裂项相消法运算求解. 【规范答题】（1）因为，且， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列， 则，所以. （2）由（1）可知：， 当时，则， 且符合上式，所以， 可得， 设数列的前n项和为， 则， 所以数列的前n项和为. 研考点·通技法 一般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂项”求和技巧简捷求解该数列的前n项和．常见的“裂项”结论有： (1) (2)形如 当，时，易知 (3)形如 当，时，易知 (4)形如 当，时，易知 (5)形如 当，时，易知 破类题·提能力 1．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列前项的积为. (1)判断是否成等差数列，并给出证明； (2)令，求数列的前项和， 【答案】(1)是，证明见解析 (2) 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合等差中项法判断等差数列证明即可. （2）结合裂项相消法求和即可. 【详解】（1）成等差数列. 证明：因为数列前项的积，所以当时，， 当时，，符合上式， 所以， 所以 因此成等差数列. （2）由（1）可得， 所以， 所以 所以数列的前项和. 2．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令，结合条件化简计算得，即可证明； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）根据题意，令， 当时，， ， 所以， 且，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列； （2）根据（1）可得，所以， 则， 所以 . 3．（2026·云南·模拟预测）已知函数（且）的图象经过点，记数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)． (2)证明见解析 【分析】（1）先将代入到，求得的解析式即，由验证首项后即可求得数列的通项公式； （2）使用裂项相消先将裂项为，进而可求得，因为，所以，结合数列的单调性，可得，即可得证. 【详解】（1）由题意， 所以数列的前项和为． 当时，； 当时，． 当时，上式亦成立，所以数列的通项公式为． （2）由（1）知， 则， 所以 . 因为，所以． 又因为时，单调递增，所以， 所以． 题型03 数列通项及错位相减求和 析典例·建模型 1．（25-26高三上·吉林·期中）已知数列的前n项和，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【思路分析】（1）当时，可得，即，当时，，即可推出，可得，即可求证数列是等差数列，求出的通项公式，进而可得数列的通项公式； （2）由（1）知，求出，利用错位相减法和分组求和法即可求解. 【规范答题】（1）由，得（）， 当时，（）， ∴，化为， ∵，∴， 即当时，， 令，可得，即． 又， ∴数列是首项和公差均为1的等差数列． 于是，∴． （2）由（1）知，∴ 故， 令， ∴， ∴ ∴，∴. 研考点·通技法 设是等差数列，是公比的等比数列，则数列的前n项和的常规求法是错位相减法，取巧可这样做：设，则，其中，.推导过程请参考视频，x、y的计算公式可不记，记住的形式，取和用待定系数法来算就可以了. 破类题·提能力 1．（2026·吉林通化·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组即可由等差数列的通项公式求解； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得的表达式. 【详解】（1）设的公差为d，则由题有， 、，所以． （2）由（1）得，， 所以， 所以， 两式相减得， 即， 解得． 2．（2026·河南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的性质，可证为等差数列，根据等差数列的求和公式，可得首项和公差d的值，代入公式，即可得答案. （2）由错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列， 设数列的公差为d，且，则，解得， 又，所以，即， 则，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 所以， 则， 两式相减可得：， 即， 化简可得：. 题型04 数列通项及奇偶项讨论问题 析典例·建模型 1．（2026·黑龙江·一模）数列是各项均为正数的等比数列，其前n项和为，满足____．数列满足，且．从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中. ①，； ②，，，成等差数列； ③，； (1)分别求出数列与的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前10项和． （注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分） 【思路分析】（1）选择条件①，②，③，利用等比数列通项，结合已知求出数列的基本量，进而求出通项公式. （2）利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求出. 【规范答题】（1）若选①，设的公比为，则，且， 解得，，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选②，设的公比为，由成等差数列，得，解得，因此 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． 若选③，设的公比为，则，解得，因此， 由，得，而， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以． （2）数列满足，则， 所以 ． 研考点·通技法 核心思路：分奇偶讨论、分别构造通项、合并结果，3 步速解： 1.拆分奇偶项：按下标n分奇数项与偶数项分组，单独分析递推关系、公差或公比. 2.求分段通项：奇数项、偶数项分别套用等差或等比公式，写出对应k的表达式. 3.验证合并：核对边界项一致性，整理成分段函数形式；求和时同理，奇项和、偶项和分开计算再累加. 破类题·提能力 1．（2026·内蒙古鄂尔多斯·一模）已知等差数列满足．数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的等差中项性质，结合已知条件建立方程求解基本量和公差，再利用因式分解处理数列递推关系，根据正项数列确定等比关系，从而得到通项公式； （2）数列按奇偶项分组求和，奇数项直接利用等比数列求和，偶数项通过裂项相消法化简求和，最终将两部分相加得到前项和. 【详解】（1）是等差数列，由等差中项性质得：，得， 又，所以，公差， 所以； ， 因为数列各项为正数，，故， 即是首项、公比为的等比数列，则通项公式：； （2）由的定义，前项和可分为奇数项和与偶数项和两部分： 设奇数项和为，设偶数项和为， ， 为奇数时，奇数项为，是首项为、公比为的等比数列， 共项，故， 为偶数时，设，则：， 裂项相消求和：， 所以. 2．（25-26高三下·天津河西·开学考试）已知等差数列的前项和为，是公比大于0的等比数列，，，，且，，成等差数列. (1)求数列与的通项公式； (2)设，求； (3)设（），求. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用基本量法可求数列与的通项公式； （2）利用分组求和和裂项相消法可求； （3）根据等差数列的前项和公式可求，再根据分组求和可求. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由已知条件得 ，，整理得，代入得， 即，故， 设等比数列的公比为，，故， 由成等差数列得，即， 解得（舍去），故. （2）由题设有 故 . 故 . （3）由题设可得，且为等差数列，且公差为，首项为， 故 ， 故 . 题型05 数列证明类问题 析典例·建模型 1．（2026·山西运城·一模）设正项数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式; (2)若，记数列的前n项和为，证明：． 【思路分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果； （2）根据（1）中所求，应用放缩及等比数列的前n项和公式求得，即可证明. 【规范答题】（1）依题意，当时，，，则； 当时，，，两式相减， 整理可得，又为正项数列，故， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）证明：由（1）可知，所以，显然， 当，则，即， 此时， 综上，成立. 2．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式; (2)证明:对，. 【思路分析】（1）先由递推公式结合题中条件，得到，判断出数列是等差数列，求出通项，即可得出结果； （2）先由（1），根据裂项的方法，得到对1，2，3…，进而可求出，即证明结论成立. 【规范答题】（1）由可得， ∵，∴，依此类推， ∴，∴， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，即， （2），故 对1，2，3… ， ∴ .， 因为， 所以 即 研考点·通技法 核心是抓定义、用递推、巧放缩，分三类突破： 1.等差等比证明：紧扣定义，证相邻项差或比为常数，或用中项性质，优先化简递推式. 2.通项与求和证明：利用累加法、累乘法、Sn与an关系推导，代入验证等式成立. 3.不等式证明：常用放缩法（裂项、等比放缩）、数学归纳法、函数单调性，先放缩再求和. 关键步骤：先梳理递推关系，再选对应方法，严谨书写推理过程，注意 n 的取值范围. 破类题·提能力 1．（25-26高三下·重庆·月考）已知数列 满足 . (1)数列 能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由； (2)证明: . 【答案】(1)当时，此时为常数列且. (2)证明见解析 【分析】（1）根据可求的值，从而得到相应的常数列及对应的通项； （2）根据题设中的递推关系和分子有理化可证题设中的不等式. 【详解】（1）若为常数列，则，其中， 故，故（舍）或， 而当时，，此时为常数列且. （2）因为，所以， 又因为，故，而，故， 所以，所以， 所以. 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列满足，且． (1)求； (2)若，求证：； (3)求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意结合累加法求解即可； （2）根据题干递推关系，利用两角和差的余弦公式化简推得，结合同角三角函数关系即可证得； （3）利用和差角的余弦公式可得，再根据三角函数的诱导公式化简并分组求和即可求解. 【详解】（1）由可得： ， ， ， ， 由累加法得， 又因为， 所以，故. （2）由（1）可得， 则由， 可得， 即 整理得，因，则， 所以， 故. （3）由 ，可得 所以 . 题型06 数列型定义问题 析典例·建模型 1．（2026·北京平谷·一模）设数阵，其中．设，其中且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，…，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为． (1)若，写出经过变换后得到的数阵； (2)若，求的值； (3)对任意确定的一个数阵，证明：对所有可能的非空子集，对应的的值的总和不超过． 【思路分析】（1）根据矩阵变换的定义和已知的变换结果，得到矩阵； （2）先对矩阵执行指定的变换得到新矩阵，再将新矩阵所有元素相加得到； （3）通过分类讨论子集是否包含矩阵中对应位置的元素，统计各类子集的数量并计算变换后矩阵元素的总和，最终推导出所有的值的总和的表达式并证明其不超过 −4. 【规范答题】（1）由题意可得； （2）经变换后得，故． （3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共，经过变换后第一行均变为；含有且不含的子集共个，经过变换后第一行均变为；同时含有和的子集共，经过变换后第一行仍为；不含也不含的子集共个，经过变换后第一行仍为． 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为 ． 若，则的所有非空子集中，含有的子集共个，经过变换后第一行均变为；不含有的子集共个，经过变换后第一行仍为． 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为． 同理，经过变换后所有的第二行的所有数的和为． 所以对所有非空子集，的值的总和为， 又因为， 所以的值的总和不超过． 研考点·通技法 定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下： 第一步：提取信息  —  对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号， 第二步：加工信息  —  细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点. 第三步：迁移转化  —  如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）. 第四步：计算，得结论  —  结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论. 破类题·提能力 1．（2026·辽宁辽阳·一模）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；②. 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 2．（25-26高三下·重庆·月考）设有穷数列：，…，满足且，则称其为“n阶数列”． (1)若“8阶数列”：是递增的等差数列，求； (2)设“n阶数列”满足． （i）记该“n阶数列”的前r项和为．证明：数列不是“n阶数列”； （ii）证明：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）结合等差数列性质得，当时，当时，再根据求得，代入即可求得； （2）（i）由题存在一个下标使得，进而证明当时，；当时，，进一步即可得与n阶数列的定义矛盾，即可证明结论； （ii）由（i）可知，，，，，，进而结合不等式性质，基本不等式得，即． 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由，得， 所以． 因为，所以，即当时，当时， 所以， 即，解得. 因为，即，解得． （2）证明：（i）由题设条件可知不可能全为0，也不可能全同号， 所以存在一个下标使得． 因为数列满足， 所以全为非负数，全为负数， 即，． 令，， 则由题设条件可知，， 所以，． 所以当时，；当时，． 所以，即，矛盾． 所以数列不是“n阶数列”． （ii）证明：因为， 由（i）可知，，即，． ，， 又，， 所以 即．当且仅当为偶数，，，时取等号． （建议用时：60分钟） 刷模拟 1．（25-26高三上·山东临沂·期末）已知等比数列的公比为且，等差数列的公差为，满足条件：，，. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，结合且解出、的值，即可得出数列、的通项公式； （2）利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）由于等比数列的通项公式：且，故，. ，故，， 由可得，得. 整理得. 因为且，所以，. 因此等比数列通项公式为，等差数列的通项公式为. （2）根据题意得：， 由（1）得，.   故. 2．（25-26高三上·河南信阳·期末）设数列是等差数列，是等比数列.已知，，. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项的和. 【答案】(1) ， . (2) 【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 由，得，解得， 所以的通项公式为，的通项公式为. （2）由（1）得，则 当时，； 当时， ， 所以. 3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知各项递增的等比数列，等差数列其前n项和分别为，，满足，，. (1)求，的通项公式； (2)将数列与中的项按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，根据等比数列求和公式得到方程组，解得、即可求出的通项公式，利用基本量法列出方程组可求的通项公式； （2）依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项，再利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为， 显然且. 由已知得，两式相除可得（负值舍去），所以， 所以； ， ∴，，所以. （2）数列中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…， 依题意可知新数列的前50项中，数列的项只有前6项，数列有44项， 所以 . 4．（2026·河北保定·一模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前2n项和及其最小值． 【答案】(1) (2)，最小值为9 【分析】（1）由等差数列的通项公式比较系数即可求解； （2）由分组求和法和并项求和法求出，再利用其单调性即可得出最小值. 【详解】（1）设的公差为d，因为， 所以，整理得， 所以，解得， 故的通项公式为． （2）由（1）， 则 易得在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为． 5．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知数列的首项，且满足，. (1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析；， (2)证明见解析 【分析】（1）用等差数列的定义证明可得，进而可得数列通项公式； （2）直接用裂项法求和可得，进而可证明不等式. 【详解】（1）由，得，所以，即. 又因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以， 所以，. （2）由题可知. 因为， 所以. 因为，，所以. 综上，. 6．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）当时，可得的值，当时，根据，代入求解，整理变形，根据等比数列的定义，即可得证. （2）由（1）可得表达式，根据错位相减求和法，即可得答案. 【详解】（1）证明：因为， 所以当时，，解得， 当时，， 所以，即. 所以， 又， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知，. 所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. 7．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数. (1)若数列，求数列的前n项和； (2)已知函数在处的切线为直线，直线在y轴上的截距为，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将数列拆分为等比数列和等差数列，分别求和后相加得到前项和. （2）先求函数在处的切线方程，令得到截距，再用错位相减法求的和，最后结合的和得到. 【详解】（1）因为，所以 . （2）， 直线的方程为， 令， 得， 所以， 令数列的前项和为，则 ， ， 两式相减得，故， 又数列的前项和为， 所以数列的前项和. 8．（2026·湖北孝感·二模）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．数列满足，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用与关系即可求出数列的通项公式； （2）分为偶数及为奇数进行讨论，结合分组求和法与等差数列求和公式计算后解出相应不等式即可得. 【详解】（1）因为，即：．① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①－②整理得：． 整理得， 由累乘法得：， 代入比值：， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为． （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数， 由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数， 由恒成立，得， 又在上单调递增， 所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是 9．（2026·陕西·模拟预测）已知函数定义在区间内，时，恒有. (1)证明：为奇函数； (2)若数列满足，，. （i）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ii）设，若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析，；（ii） 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义即可证明； （2）（i）根据得到，进而得到是等比数列，从而得到数列的通项公式； （ii）再利用错位相减法得到．代入恒成立求解. 【详解】（1）证明：由题意知的定义域为，关于原点对称．且， 令，则，故． 再令，则， 所以，故为奇函数． （2）（i）由题意得， 又， 所以，即， 所以， 故是首项为，公比为2的等比数列， 所以； （ii）因为， 所以， 所以， 两式相减得， 所以． 所以对恒成立， 即恒成立，即恒成立． 设，则， 所以数列单调递增． 当n为奇数时，，当时，有最大值，故； 当n为偶数时，，当时，有最小值，故． 综上，的取值范围是． 10．（25-26高三下·北京·开学考试）已知为正整数，，若数列同时满足： ① 对任意，均有； ② 对任意，均有 ； ③ 对任意，均有 ， 则称该数列为数列． (1)若数列是数列，直接写出的所有可能值； (2)若数列是数列，求的最大值； (3)若数列是数列，求的最小值． 【答案】(1)； (2)6； (3)2. 【分析】（1）根据定义列举所有情况，再验证即可； （2）分和讨论即可； （3）首先讨论的情况，再假设存在，进行分类讨论，最后构造符合题意的数列即可. 【详解】（1）. 理由：由题意得， 对条件①，对任意的，均有； 对条件②，对任意的，均有， 即，，， 对条件③，对任意，均有， 若数列是数列，根据条件①知， 根据条件②知， 当时，经验证符合条件③，此时， 当时，因为，则，不合题意，舍去； 当时，经验证符合条件③，此时， 当时，经验证符合条件③，此时， 综上所述的所有可能值为. （2）设，由①，， ．1,2,3,4,2,1是6⊕4数列， 所以符合题意． ．当时，由②，设或． （a）当时， 由②，，故由③，，与②矛盾． （b）当时，由②，或。 若，由③，，与①矛盾． 若，由②③，，与①矛盾． 综上，的最大值为6． （3）若满足③，则删除若干项仍满足③． 依题意，． ．当时，假若，设， 设，则由②，，由①②，无解，矛盾． 所以． ．假设存在，使得，设满足此条件的最小的为．由知，. 若存在数列，则． 不妨设中，出现的次数最少，设出现了次． 1.当时，则为数列，矛盾． 2.当时，设， （a）当或时，去掉这一项得数列，矛盾． （b）当时，去掉前两项得数列，矛盾． （c）当时，去掉后两项得数列，矛盾． （d）当时，记原数列为． 若且，去掉这一项得数列，矛盾． 若且，去掉,这两项得数列，矛盾． 若且，去掉,这两项得数列，矛盾． 若且，与（2）矛盾． 3．当时，中，均至少出现2次． 由②，前两个1之间必有其它数，不妨设为2． 由③，所有的2均在这两个1之间． 同理，不妨设所有的3全在前两个2之间，所有的4全在前两个3之间，⋯ 这与矛盾． 4．综上，假设不成立，必有． ．构造：1,2,3,1为数列，此时． ．综上，的最小值为2． 刷真题 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 4．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列． (1)写出所有的，，使数列是可分数列； (2)当时，证明：数列是可分数列； (3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据可分数列的定义即可； （2）根据可分数列的定义即可验证结论； （3）证明使得原数列是可分数列的至少有个，再使用概率的定义. 【详解】（1）首先，我们设数列的公差为，则. 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列， 故我们可以对该数列进行适当的变形， 得到新数列，然后对进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行. 回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是，或，或. 所以所有可能的就是. （2）由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组. （如果，则忽略②） 故数列是可分数列. （3）定义集合，. 下面证明，对，如果下面两个命题同时成立， 则数列一定是可分数列： 命题1：或； 命题2：. 我们分两种情况证明这个结论. 第一种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 此时，由于从数列中取出和后， 剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，共组； ③，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 故此时数列是可分数列. 第二种情况：如果，且. 此时设，，. 则由可知，即，故. 由于，故，从而，这就意味着. 此时，由于从数列中取出和后，剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列： ①，共组； ②，，共组； ③全体，其中，共组； ④，共组. （如果某一部分的组数为，则忽略之） 这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，个列分别是下面这些数： ，，，. 可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数. 而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列. 至此，我们证明了：对，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列. 然后我们来考虑这样的的个数. 首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个； 而如果，假设，则可设，，代入得. 但这导致，矛盾，所以. 设，，，则，即. 所以可能的恰好就是，对应的分别是，总共个. 所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个. 这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为. 当我们从中一次任取两个数和时，总的选取方式的个数等于. 而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个. 所以数列是可分数列的概率一定满足 . 这就证明了结论. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $