6.3.2二项式系数的性质导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

选择性必修第三册 第六章 计数原理导学案 6.3.2二项式系数的性质 导学案 【学习目标】 1. 理解二项式系数的性质． 2. 会用赋值法求展开式系数的和. 3. 灵活应用二项式定理和二项式系数的性质解决简单问题. 【问题导学】 问题1 ：什么是二项式定理？二项式系数指的是什么？ 问题2：利用二项式定理得到当n=1,2,3,4,5,6时的展开式，并将二项式系数填入下表： n 的展开式的二项式系数 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 6 1 6 15 20 15 6 1 为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式: 问题3：观察上图，每行的系数具有什么性质? 问题4：对于的展开式的二项式系数，如果从函数的角度分析它们有什么特征？ 【知识构建】 知识点一：二项式系数的性质 1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ,即 . 2.增减性与最大值 增减性：当 时，C随k的增加而 ；由对称性知，二项式系数的后半部分时，C随k的增加而 . 最大值：当n是偶数时，中间的一项 取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值.. 3.各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝ ； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ 【应用举例】 【例3】求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 【例4】已知． (1)求各项的系数和； (2)求展开式中的常数项； (3)求二项式系数最大的项． 【变式训练】 1.若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．已知展开式中二项式系数和为8，则该展开式中所有项的系数和为______． 3．的展开式中二项式系数最大的项为___________． 【随堂检测】 1．在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（    ） A．16 B．14 C．15 D．17 2．的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 3．在二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B．160 C． D． 4．在的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则__________． 5．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是（    ） A．9 B．10 C．36 D．45 【小结反思】本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $选择性必修第三册 第六章 计数原理导学案 6.3.2二项式系数的性质 导学案 【学习目标】 1. 理解二项式系数的性质． 2. 会用赋值法求展开式系数的和. 3. 灵活应用二项式定理和二项式系数的性质解决简单问题. 【问题导学】 问题1 ：什么是二项式定理？二项式系数指的是什么？ 问题2：利用二项式定理得到当n=1,2,3,4,5,6时的展开式，并将二项式系数填入下表： n 的展开式的二项式系数 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 6 1 6 15 20 15 6 1 为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式: 问题3：观察上图，每行的系数具有什么性质? 问题4：对于的展开式的二项式系数，如果从函数的角度分析它们有什么特征？ 【知识构建】 知识点一：二项式系数的性质 1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ,即 . 2.增减性与最大值 增减性：当时，C随k的增加而增大；由对称性知，二项式系数的后半部分时，C随k的增加而减小. 最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. 即：当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 3.各二项式系数的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝ ； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ 【应用举例】 例3 求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 解析：证明：在展开式 中，令，，则得 ． 即 ． 因此， ， 即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 【例4】已知． (1)求各项的系数和； (2)求展开式中的常数项； (3)求二项式系数最大的项． 【答案】(1)4096 (2)960 (3)． 【知识点】求指定项的二项式系数、二项式系数的增减性和最值、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）利用赋值法令，可得各项的系数和； （2）利用二项展开式的通项公式求解即可； （3）利用二项式系数增减性质确定最大项即可求解 【详解】（1）令，各项的系数和： （2）设展开式中常数项为第项， 即， 令，得. （3）由题可得，展开式中最大的二项式系数为， ∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即， ∴二项式系数最大的项为． 【变式训练】 1.若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式系数的性质确定二项展开式的项数即可求得答案. 【详解】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故. 故选：A. 2．已知展开式中二项式系数和为8，则该展开式中所有项的系数和为______． 【答案】27 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【详解】对，所有二项式系数和为，解得， 令，得， 故展开式中所有项的系数和为. 3．的展开式中二项式系数最大的项为___________． 【答案】 【知识点】求二项展开式、求二项展开式的第k项、二项式系数的增减性和最值 【分析】利用二项式性质确定二项式系数最大的项为第5项，再利用二项式定理求出展开式的通项，进而求解即可. 【详解】由二项式性质得的展开式中二项式系数最大的项为第5项， 由二项式定理得的展开式通项为，， 令，解得，则第5项为. 故答案为： 【随堂检测】 1．在的展开式中，第3项和第13项的系数相同，则n＝（    ） A．16 B．14 C．15 D．17 【答案】B 【知识点】由项的系数确定参数 【分析】根据题意结合二项式展开式的性质可得，从而可求出的值. 【详解】根据题意可得， 所以n＝2＋12＝14． 故选：B 2．的展开式中的第6项的二项式系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】根据二项式的定义，即可得答案. 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C 3．在二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B．160 C． D． 【答案】B 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】二项式的展开式中，二项式系数最大的项为第四项， 是. 故选：B. 4．在的展开式中，若各二项式系数的和等于64，则__________． 【答案】6 【知识点】二项式的系数和 【分析】根据二项式的各二项式系数的和为，建立关于的方程求解. 【详解】由于的展开式中，各二项式系数的和等于，解得：． 5．习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动中华优秀传统文化创造性转化．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图所示，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，第10行第9个数是（    ） A．9 B．10 C．36 D．45 【答案】D 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】结合二项式展开式的二项式系数求得正确结论. 【详解】由题意知第10行的数就是二项式（a+b）10的展开式中各项的二项式系数， 故第10行第9个数是． 故选：D 【小结反思】本节课你有哪些收获？还有哪些疑问？ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $