23.1 一次函数的概念（分层作业）数学新教材人教版八年级下册

23.1 一次函数的概念 知识点一 正比例函数的定义 1． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义：形如（是常数，）的函数为正比例函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：根据正比例函数的定义进行判断， 选项A：，符合正比例函数的定义，是正比例函数； 选项B：不符合定义，不是正比例函数； 选项C：不符合定义，不是正比例函数； 选项D：不符合定义，不是正比例函数． 2． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数是一次函数的常数的特殊情况，解题的关键是根据定义得到关于的方程．根据正比例函数的定义：形如的函数为正比例函数，据此可得，据此便能求出的值． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， 解得：， 故选：D． 3． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得，，再计算即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， 故选：A． 4． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数．据此可推出，求解即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， 解得：， 即的值是． 故选：D． 知识点二 识别一次函数 1． 【答案】B 【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． 2． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据常数项是函数中不含变量的常数部分，对于一次函数形式 中为常数项，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、中常数项为，原选项不符合题意； 、中常数项为，原选项符合题意； 、中常数项为，原选项不符合题意； 、中常数项为，原选项不符合题意； 故选：． 3． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合（、为常数，，自变量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数（、为常数，，自变量次数为 ）的形式是解题的关键． 【详解】解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 4． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如（是常数，且）的函数是一次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：①是一次函数，符合题意； ②，即，则是一次函数，符合题意； ③不是一次函数，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ∴一次函数的有①②④， 故选：A． 知识点三 根据一次函数的定义求参数 1． 【答案】(1)，为任意实数 (2)， 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． （1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可； （2）根据正比例函数的解析式完成即可． 【详解】（1）解：由一次函数的意义知， 解得：． 当，为任意实数时，函数是关于的一次函数． （2）解：由正比例函数的意义知， 解得：，． 当，时，函数是关于的正比例函数． 2． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：k、b为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义，得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵是一次函数， ， ． 3． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次项系数不为零，最高次项的次数为次是解题的关键．根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得：． 4． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一次函数定义进行解答即可； （2）利用正比例函数定义进行解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由题意得：且， 解得：． 【点睛】本题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如是常数，且的函数叫做正比例函数；形如是常数，且的函数叫做一次例函数． 知识点四 求一次函数自变量或函数值 1． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形面积公式，一次函数的性质． 分别求出，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当时，． 点的坐标为 ． 当时，．解得． 点的坐标为 ∴． ． 2． 【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求一次函数值的取值范围： （1）设 ，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质得到y随x增大而减小，再分别求出当时，当时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵在中，， ∴y随x增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，． 4． 【答案】(1) (2)，当时， (3) 【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求代入m得值求出对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可； （3）代入，求出此时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， ∴当时，函数是一次函数； （2）解：由（1）得， ∴当时，； （3）解：在中，当时，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如（其中k、b都是常数，且）的函数叫做一次函数． 知识点五 列一次函数解析式并求值 1． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 2． 【答案】(1) (2)安排方案有4种，见解析 【分析】（1）先表示出装运生活用品的车辆数为，再结合表格中的数据解答即可； （2）先根据题意得出关于x的不等式组，求出解集后结合x为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，那么装运生活用品的车辆数为， 则有， 整理得，， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，，x， 由题意，得， 解这个不等式组，得， 因为x为整数，所以x的值为5，6，7，8． 所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆． 【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出函数关系式和不等式组是解题的关键． 3． 【答案】(1) (2)4400 【分析】（1）根据总利润等于销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式子即可解决问题； （2）根据题意得求出x，结合（1）的结论即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得：                                                  答：该厂一天所获得的总利润是4400元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握及一次函数求函数值的方法． 4． 【答案】(1) (2)应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间 【分析】（1）设派x人去清扫大房间，则人清扫小房间，根据题意列出y（元）与x（人）之间的函数关系式即可； （2）把，代入求解即可． 【详解】（1）有x人清扫大房间，则有人清扫小房间 ∴ （2）解得：， 答：应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间． 【点睛】本题考查了列一次函数解析式，已知函数值求自变量x的值，属于基础题，第（1）问要写出自变量的取值范围是易错点． 1． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，掌握矩形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据题意用表示出，然后求出t的值，再根据勾股定理即可求解即可； （2）分点在边上、点在边上两种情况，根据题意列出方程求解即可； （3）分点在边上、点在边上两种情况，根据矩形面积公式、三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，当点P在线段上时，， 当点P到达边的中点时，，即，解得∶， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：当点P在边上时，由题意得，， 即，解得， 当点P在边上时，， ∴， 由题意得，， 即，解得：． 综上，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则或． 故答案为：或． （3）解：当点P在边上时，即时， ， 当点P在边上时，即时，， ∴， ∴． 综上所述，． 2． 【答案】(1)①；② (2)的最小值为 【分析】（1）①当，，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可；②如图1，过作轴于，证明，则，，即，待定系数法求过点C的正比例函数解析式即可； （2）由题意知，分点在轴左侧，点在轴右侧，两种情况求解：①当点在轴左侧，如图2，过过作轴于，同理可证，，则，，在直线上运动，如图2，作关于直线的对称点，则，，可知当三点共线时，的值最小，由勾股定理得，，计算求解即可；②当点在轴右侧，如图3，过作轴于，同理可证，求解同（2）中②． 【详解】（1）①解：当，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②解：如图1，过作轴于，    ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 设经过点C的正比例函数解析式为， 将代入得，，解得， ∴； （2）解：由题意知，分点在轴左侧，点在轴右侧，两种情况求解： ①当点在轴左侧，如图2，过过作轴于，    同理可证，， ∴，， ∴在直线上运动， 如图2，作关于直线的对称点，则， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 由勾股定理得，， ∴的最小值为； ②当点在轴右侧，如图3，过作轴于，    同理可证， ∴，， ∴在直线上运动， 如图3，作关于直线的对称点，则， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 由勾股定理得，， ∴的最小值为； 综上所述，的最小值为． 【点睛】本题考查了含的直角三角形，正比例函数解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用新定义计算解题； （2）根据新定义可以得到点Q的坐标为，代入一次函数解析式即可求值； （3）设直线上的点坐标为且，根据新定义得到“级上升点”坐标为，分两种情况分别解题即可． 【详解】（1）由定义可知点C的坐标为，即， 故答案为：． （2）解：∵点的“2级上升点”为点Q， ∴点Q的坐标为， 又∵点Q在函数图象上， ∴， 解得：； （3）解：设直线上的点坐标为且， 则这点的“级上升点”坐标为， 即， 当时，则 整理得：， 则，解得无解； 当时，则， 解得：， 即，解得， 综上所述：． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式解决问题． 4． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或时，W内没有整数点 【分析】（1）由“吉祥点”的定义可知时，不是整数，所以只有，是函数图像上的整点； （2）把函数关系式整理为，发现图象一定过“吉祥点”； （3）解出，，，然后根据，，，，，分情况解题即可． 【详解】（1）∵x是整数，时，是一个无理数 ∴时，不是整数， ∴，即函数的图象上“吉祥点”的坐标是． （2）∵ ∴， ∴无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”：； （3）由题意，，，， ∴点B始终直线的右侧（也就是直线在直线的右侧，点B的左侧）， 当时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意； 当时，y轴将W分成左右两部分，左边部分内点的横坐标在－1到0之间（不包括y轴），右边部分的点纵坐标在0到1之间（包括y轴），故时W内无整点； 当时，由图知，W内无整点； 当时，W内可能存在的整数点横坐标只能为－1， 此时边界上两点坐标为和，； 故时，W内无整点； 当时，由图知，W内无整点； 当时，横坐标为－2的边界点为和，线段长度为，故必有整点． 综上所述：或时，W内没有整数点． 【点睛】本题考查整点问题，正确理解“吉祥点”的定义是解题的关键，解题时运用了分类讨论的数学思想． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.1 一次函数的概念 知识点一 正比例函数的定义 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列函数中是正比例函数的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义：形如（是常数，）的函数为正比例函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：根据正比例函数的定义进行判断， 选项A：，符合正比例函数的定义，是正比例函数； 选项B：不符合定义，不是正比例函数； 选项C：不符合定义，不是正比例函数； 选项D：不符合定义，不是正比例函数． 2．（23-24八年级下·广东惠州·月考）若是正比例函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数是一次函数的常数的特殊情况，解题的关键是根据定义得到关于的方程．根据正比例函数的定义：形如的函数为正比例函数，据此可得，据此便能求出的值． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， 解得：， 故选：D． 3．（24-25八年级下·河北衡水·月考）若函数是正比例函数，则关于m，n的值，下列正确的是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得，，再计算即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， 故选：A． 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）如果是正比例函数，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数．据此可推出，求解即可． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， 解得：， 即的值是． 故选：D． 知识点二 识别一次函数 1．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）常数项是的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据常数项是函数中不含变量的常数部分，对于一次函数形式 中为常数项，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、中常数项为，原选项不符合题意； 、中常数项为，原选项符合题意； 、中常数项为，原选项不符合题意； 、中常数项为，原选项不符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合（、为常数，，自变量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数（、为常数，，自变量次数为 ）的形式是解题的关键． 【详解】解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 4．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）下列函数为一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如（是常数，且）的函数是一次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：①是一次函数，符合题意； ②，即，则是一次函数，符合题意； ③不是一次函数，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ∴一次函数的有①②④， 故选：A． 知识点三 根据一次函数的定义求参数 1．（21-22八年级下·河南洛阳·期中）关于的函数． (1)和取何值时是关于的一次函数； (2)和取何值时是关于的正比例函数． 【答案】(1)，为任意实数 (2)， 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． （1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可； （2）根据正比例函数的解析式完成即可． 【详解】（1）解：由一次函数的意义知， 解得：． 当，为任意实数时，函数是关于的一次函数． （2）解：由正比例函数的意义知， 解得：，． 当，时，函数是关于的正比例函数． 2．（22-23八年级下·吉林白山·月考）已知函数是一次函数，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握一次函数的定义条件：k、b为常数，，自变量次数为1． 根据一次函数的定义，得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵是一次函数， ， ． 3．（23-24八年级下·吉林长春·月考）已知函数是一次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次项系数不为零，最高次项的次数为次是解题的关键．根据一次函数的定义求解即可． 【详解】解：函数是一次函数， ， 解得：． 4．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）已知函数． (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ (2)当m为何值时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一次函数定义进行解答即可； （2）利用正比例函数定义进行解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由题意得：且， 解得：． 【点睛】本题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如是常数，且的函数叫做正比例函数；形如是常数，且的函数叫做一次例函数． 知识点四 求一次函数自变量或函数值 1．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形面积公式，一次函数的性质． 分别求出，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当时，． 点的坐标为 ． 当时，．解得． 点的坐标为 ∴． ． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 3．（23-24八年级下·甘肃陇南·月考）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与的函数解析式； (2)如果x的取值范围是，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求一次函数值的取值范围： （1）设 ，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质得到y随x增大而减小，再分别求出当时，当时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设 ， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵在中，， ∴y随x增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，． 4．（22-23八年级下·吉林长春·月考）已知函数， (1)当是何值时函数是一次函数． (2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当时的函数值． (3)点在此一次函数图象上，则的值为多少． 【答案】(1) (2)，当时， (3) 【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可； （2）根据（1）所求代入m得值求出对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可； （3）代入，求出此时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， ∴当时，函数是一次函数； （2）解：由（1）得， ∴当时，； （3）解：在中，当时，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如（其中k、b都是常数，且）的函数叫做一次函数． 知识点五 列一次函数解析式并求值 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 2．（22-23八年级下·河南郑州·期中）在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元） 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式； (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？ 【答案】(1) (2)安排方案有4种，见解析 【分析】（1）先表示出装运生活用品的车辆数为，再结合表格中的数据解答即可； （2）先根据题意得出关于x的不等式组，求出解集后结合x为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，那么装运生活用品的车辆数为， 则有， 整理得，， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，，x， 由题意，得， 解这个不等式组，得， 因为x为整数，所以x的值为5，6，7，8． 所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆． 【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出函数关系式和不等式组是解题的关键． 3．（2023·陕西西安·二模）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 【答案】(1) (2)4400 【分析】（1）根据总利润等于销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式子即可解决问题； （2）根据题意得求出x，结合（1）的结论即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得：                                                  答：该厂一天所获得的总利润是4400元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握及一次函数求函数值的方法． 4．（21-22八年级下·辽宁大连·月考）“绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元． (1)写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式： (2)应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元． 【答案】(1) (2)应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间 【分析】（1）设派x人去清扫大房间，则人清扫小房间，根据题意列出y（元）与x（人）之间的函数关系式即可； （2）把，代入求解即可． 【详解】（1）有x人清扫大房间，则有人清扫小房间 ∴ （2）解得：， 答：应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间． 【点睛】本题考查了列一次函数解析式，已知函数值求自变量x的值，属于基础题，第（1）问要写出自变量的取值范围是易错点． 1．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在长方形中，，点P从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为和，同时点Q从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为，连结．设点P的运动时间为t秒，四边形的面积为． (1)当点P到达的中点时，则 ； (2)连接，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则 秒； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，掌握矩形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据题意用表示出，然后求出t的值，再根据勾股定理即可求解即可； （2）分点在边上、点在边上两种情况，根据题意列出方程求解即可； （3）分点在边上、点在边上两种情况，根据矩形面积公式、三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，当点P在线段上时，， 当点P到达边的中点时，，即，解得∶， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：当点P在边上时，由题意得，， 即，解得， 当点P在边上时，， ∴， 由题意得，， 即，解得：． 综上，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则或． 故答案为：或． （3）解：当点P在边上时，即时， ， 当点P在边上时，即时，， ∴， ∴． 综上所述，． 2．（22-23八年级下·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，以点A为直角顶点构造等腰直角，点C在的左侧．    (1)已知点B是x轴正半轴上一点，若． ①求的长度； ②求经过点C的正比例函数解析式； (2)当点B在x轴上运动时，连接，求的最小值． 【答案】(1)①；② (2)的最小值为 【分析】（1）①当，，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可；②如图1，过作轴于，证明，则，，即，待定系数法求过点C的正比例函数解析式即可； （2）由题意知，分点在轴左侧，点在轴右侧，两种情况求解：①当点在轴左侧，如图2，过过作轴于，同理可证，，则，，在直线上运动，如图2，作关于直线的对称点，则，，可知当三点共线时，的值最小，由勾股定理得，，计算求解即可；②当点在轴右侧，如图3，过作轴于，同理可证，求解同（2）中②． 【详解】（1）①解：当，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②解：如图1，过作轴于，    ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 设经过点C的正比例函数解析式为， 将代入得，，解得， ∴； （2）解：由题意知，分点在轴左侧，点在轴右侧，两种情况求解： ①当点在轴左侧，如图2，过过作轴于，    同理可证，， ∴，， ∴在直线上运动， 如图2，作关于直线的对称点，则， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 由勾股定理得，， ∴的最小值为； ②当点在轴右侧，如图3，过作轴于，    同理可证， ∴，， ∴在直线上运动， 如图3，作关于直线的对称点，则， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 由勾股定理得，， ∴的最小值为； 综上所述，的最小值为． 【点睛】本题考查了含的直角三角形，正比例函数解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．（22-23八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中点，．若，a为常数，且，则称点B为点A的“a级上升点”． 如点为点的“级上升点”． (1)点C为点的“1级上升点”，则点C的坐标为________； (2)若点的“2级上升点”为点Q，且点Q恰好在y关于x的一次函数的图象上，求t的值； (3)若直线上恰有一点的“级上升点”在y关于x的函数的图象上，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用新定义计算解题； （2）根据新定义可以得到点Q的坐标为，代入一次函数解析式即可求值； （3）设直线上的点坐标为且，根据新定义得到“级上升点”坐标为，分两种情况分别解题即可． 【详解】（1）由定义可知点C的坐标为，即， 故答案为：． （2）解：∵点的“2级上升点”为点Q， ∴点Q的坐标为， 又∵点Q在函数图象上， ∴， 解得：； （3）解：设直线上的点坐标为且， 则这点的“级上升点”坐标为， 即， 当时，则 整理得：， 则，解得无解； 当时，则， 解得：， 即，解得， 综上所述：． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式解决问题． 4．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“吉祥点”． (1)求函数的图象上所有“吉祥点”的坐标； (2)证明：无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”； (3)若直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点C．记线段围成的区域（不含边界）为W．若区域W内没有“吉祥点”，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或时，W内没有整数点 【分析】（1）由“吉祥点”的定义可知时，不是整数，所以只有，是函数图像上的整点； （2）把函数关系式整理为，发现图象一定过“吉祥点”； （3）解出，，，然后根据，，，，，分情况解题即可． 【详解】（1）∵x是整数，时，是一个无理数 ∴时，不是整数， ∴，即函数的图象上“吉祥点”的坐标是． （2）∵ ∴， ∴无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”：； （3）由题意，，，， ∴点B始终直线的右侧（也就是直线在直线的右侧，点B的左侧）， 当时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意； 当时，y轴将W分成左右两部分，左边部分内点的横坐标在－1到0之间（不包括y轴），右边部分的点纵坐标在0到1之间（包括y轴），故时W内无整点； 当时，由图知，W内无整点； 当时，W内可能存在的整数点横坐标只能为－1， 此时边界上两点坐标为和，； 故时，W内无整点； 当时，由图知，W内无整点； 当时，横坐标为－2的边界点为和，线段长度为，故必有整点． 综上所述：或时，W内没有整数点． 【点睛】本题考查整点问题，正确理解“吉祥点”的定义是解题的关键，解题时运用了分类讨论的数学思想． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.1 一次函数的概念 知识点一 正比例函数的定义 1．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列函数中是正比例函数的是（　　）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东惠州·月考）若是正比例函数，则（   ） A．0 B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北衡水·月考）若函数是正比例函数，则关于m，n的值，下列正确的是（      ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级下·福建福州·期中）如果是正比例函数，则的值是（　　） A． B． C． D． 知识点二 识别一次函数 1．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）常数项是的函数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北廊坊·月考）下列函数为一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 知识点三 根据一次函数的定义求参数 1．（21-22八年级下·河南洛阳·期中）关于的函数． (1)和取何值时是关于的一次函数； (2)和取何值时是关于的正比例函数． 2．（22-23八年级下·吉林白山·月考）已知函数是一次函数，求m的值． 3．（23-24八年级下·吉林长春·月考）已知函数是一次函数，求的值． 4．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）已知函数． (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ (2)当m为何值时，y是x的正比例函数？ 知识点四 求一次函数自变量或函数值 1．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 2．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 3．（23-24八年级下·甘肃陇南·月考）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与的函数解析式； (2)如果x的取值范围是，求y的取值范围． 4．（22-23八年级下·吉林长春·月考）已知函数， (1)当是何值时函数是一次函数． (2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当时的函数值． (3)点在此一次函数图象上，则的值为多少． 知识点五 列一次函数解析式并求值 1．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 2．（22-23八年级下·河南郑州·期中）在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题： 物资种类 食品 药品 生活用品 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元） 120 160 100 (1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式； (2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？ 3．（2023·陕西西安·二模）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 4．（21-22八年级下·辽宁大连·月考）“绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元． (1)写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式： (2)应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元． 1．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在长方形中，，点P从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为和，同时点Q从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为，连结．设点P的运动时间为t秒，四边形的面积为． (1)当点P到达的中点时，则 ； (2)连接，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则 秒； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 2．（22-23八年级下·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，以点A为直角顶点构造等腰直角，点C在的左侧．    (1)已知点B是x轴正半轴上一点，若． ①求的长度； ②求经过点C的正比例函数解析式； (2)当点B在x轴上运动时，连接，求的最小值． 3．（22-23八年级下·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中点，．若，a为常数，且，则称点B为点A的“a级上升点”． 如点为点的“级上升点”． (1)点C为点的“1级上升点”，则点C的坐标为________； (2)若点的“2级上升点”为点Q，且点Q恰好在y关于x的一次函数的图象上，求t的值； (3)若直线上恰有一点的“级上升点”在y关于x的函数的图象上，求n的取值范围． 4．（22-23八年级下·湖南长沙·期中）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“吉祥点”． (1)求函数的图象上所有“吉祥点”的坐标； (2)证明：无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”； (3)若直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点C．记线段围成的区域（不含边界）为W．若区域W内没有“吉祥点”，直接写出k的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $