专题10 事件的相互独立性（竞赛培优专项训练，6大考点+强基竞赛）高一数学人教A版全国通用

专题10 事件的相互独立性 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 相互独立性的判断 2 考点二 相互独立事件与互斥事件、对立事件的辨别 5 考点三 相互独立事件的概率计算 7 考点四 相互独立事件的概率与函数、方程的综合 14 考点五 相互独立事件与统计的综合 16 考点六 游戏的公平性 20 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题10道） 【归纳重点知识】 知识点 相互独立事件 1．相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2．相互独立事件的性质 当事件A，B相互独立时，则事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立． 【熟记重要结论(二级结论)】 与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 考点一 相互独立性的判断 1．为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件A与事件B相互独立的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【解析】①：由题图知：为的子集，所以，而为的真子集，则， 所以，故，不正确； ②：由图得，则， 则有，所以图中事件A，B相互独立，正确； ③：设图中的小的长方形的面积为， 由，， 所以，则题图中事件A，B相互独立，正确， 故选C. 2．抛掷一枚骰子2次，记事件为“2次所得点数和为7”.下列事件中，与事件相互独立的是（   ） A．第1次所得点数为1 B．2次中至少有1次所得点数为1 C．2次所得点数均为1 D．2次中恰有1次所得点数为1 【答案】A 【解析】为“2次所得点数和为7”，即包含基本事件， 记“第1次所得点数为1”，则包含的基本事件为, 所以包含的基本事件为，故，则，即相互独立，故A正确； 记“2次中至少有1次所得点数为1”，则包含的基本事件为，则， 所以包含的基本事件为，故，则，即不相互独立，故B错误； 记“2次所得点数均为1”，则包含的基本事件为，故， 所以为空集，没有基本事件，即，所以，故不相互独立，故C错误； 记“2次中恰有1次所得点数为1”，则包含的基本事件为，故， 所以包含的基本事件为，故，所以，即不互相独立，故D错误. 故选：A 3．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（    ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 【答案】D 【解析】解：抛掷骰子两次，共有个基本事件数, 则, 共18个基本事件，则, 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则, 且，则, ，所以C错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是7，则, 则,且，则 因为，所以事件与事件相互独立. 故选：D. 4．（多选）已知是三个随机事件，下列说法中正确的有（    ） A．若，则相互独立 B．若相互独立，，则相互独立 C．“两两独立”是“”的既不充分也不必要条件 D．若相互独立，相互独立，互斥，，则事件中至少有一个发生的概率为 【答案】AC 【解析】A选项：，A正确； B选项：，但不能说明与，与独立，B错误； C选项： 一方面，设，则， 且，故充分性不成立； 另一方面，设， 则，，，故必要性不成立，C正确； D选项：，D错误. 故选：AC. 5．(多选)已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 【答案】ABD 【解析】因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， 所以， 因为，A正确； ，又， 所以，又， 所以，即与相互独立，B正确； 因为与互斥，所以， 又因为与相互独立， 所以，C错误； 因为与相互独立，所以， 又因为与相互独立，所以，故D正确. 故选：ABD. 考点二 相互独立事件与互斥事件、对立事件的辨别 6．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【解析】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 7．现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【解析】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 8．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【解析】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，， ，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为，的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为，所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当出现情况时，甲丙同时发生，则， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当出现情况时，甲乙同时发生，则， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：由于两次不可能都取2，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 9.(多选)先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 【答案】ABD 【解析】先后抛掷两枚硬币出现的结果有：正正，正反，反正，反反四种情况， 则事件A包含正正，正反两种情况；事件B包含正反，反反两种情况； 事件C包含正反，反正两种情况；事件D包含正正一种情况； 所以， 显然，， ，，即ABD正确. 故选：ABD 考点三 相互独立事件的概率计算 10.一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设这个人过第关的概率为， 过第一关，则抛出的点数构成的集合为，则， 过第二关，则抛两次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中两次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、、，共个， 故， 过第三关，则抛三次骰子的点数之和大于，基本事件总数为， 以表示一个样本点， 其中三次点数之和不大于所包含的样本点有：、、、、 、、、、、、、、、 、、、、、、，共个， 故， 因为这个人过每个关卡是相互独立的，故这个人连过前三关的概率为. 故选：D. 11.(多选)在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1 次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，1，0，则译码为1.）（   ） A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当0< α <0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率. 【答案】AD 【解析】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积事件， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B错误； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是收到两个1和一个0，或者收到三个1， 收到两个1和一个0的概率是，收到三个1的概率为， 它们互斥，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：AD 12．临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为________． 【答案】 【解析】设三个景点分别为、、， 则甲前往、、的概率分别为，，， 乙前往、、的概率分别为，，， 甲、乙都打卡景点的概率为， 甲、乙都打卡景点的概率为， 甲、乙都打卡景点的概率：， 所以甲、乙打卡相同景点的概率为，则甲、乙打卡不相同景点的概率为． 故答案为：． 13．如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为______．    【答案】/0.8125 【解析】记开关闭合为事件A，B，C，D， 因为开关断开且开关至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮， 所以灯不亮的概率为, 所以灯亮的概率为. 14．一游戏的规则如下：有①②③三个奖池，在开始时三个奖池都处于开启状态，游戏会进行若干轮，每一轮游戏都将等可能地从开启的奖池中随机选择一个并获得对应的奖品，在一个完整游戏流程中：①号奖池或②号奖池会在第二次被选择到后永久关闭，而③号奖池永远保持开启.则当游戏第轮进行完成时，恰有一个奖池关闭的概率为__________ 【答案】 【解析】记“当游戏第轮进行完成时，恰有一个奖池关闭”事件A， 由题意可知：第1轮结束不会有奖池关闭，且①号奖池与②号奖池被关闭的概率相同， 不妨设被关闭的奖池为①号， 若直到第2轮有一个奖池关闭，前两轮均为①号奖池，后两轮不能均为②号奖池， 则概率为； 若直到第3轮有一个奖池关闭，第3轮为①号奖池，前两轮有一次为①号奖池，同时前4轮不能出现2次②号奖池， 则概率为； 若直到第4轮有一个奖池关闭，第4轮为①号奖池，前三轮有一次为①号奖池，同时前三轮不能出现2次②号奖池， 则概率为； 所以. 15．小白和小高进行乒乓球比赛，先得11分的人为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在比赛中，小白发球时小白得分的概率为，小高发球时小白得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，小白先发球，则双方战至13∶11的概率为____________. 【答案】 【解析】在双方平后，小白先发球，则小白以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是小白、小高、小白、小白，则概率为， (2) 后四球胜方依次是小高、小白、小白、小白，则概率为， 在双方平后，小白先发球，则小高以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是小高、小白、小高、小高，则概率为， (2) 后四球胜方依次是小白、小高、小高、小高，则概率为， 由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为. 16．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 【解析】（1）设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件， “任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C， 由题意得，，，且事件A、B相互独立， 则 . 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为. （2）设“丙猜对灯谜”为事件D， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E， 由题意知，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为， 则其对立事件“三个人都没有猜对”的概率为， 因此 ， 解得. 17．“石头､剪刀､布”是群众喜闻乐见的一种猜拳游戏，每局比赛的游戏规则是：双方同时出拳一次，若手势不同，则“石头”胜“剪刀”､“剪刀”胜“布”､“布”胜“石头”；若手势相同，则为平局．假设每局比赛中，每人出各种手势的可能性相同． (1)若甲､乙两人进行一局比赛，求甲获胜的概率； (2)若甲､乙两人进行三局比赛，假设每局比赛相互独立，求甲获胜局数多于乙获胜局数的概率． 【解析】（1）用分别表示甲､乙两人出拳手势，则可以用表示一局比赛的结果， 以分别表示出拳手势为石头､剪刀､布， 则甲､乙两人进行一局比赛的结果包含的基本事件有：共9种， 记事件“甲､乙进行一局比赛甲获胜”，则包含基本事件有共3种， 所以，即甲获胜的概率为； （2）记事件“甲､乙两人进行三局比赛，甲获胜局数多于乙获胜局数”， 则包含甲胜三局，甲胜两局负一局，甲胜两局平一局，甲胜一局平两局四种情况， 由（1）可知，一局比赛甲获胜概率为，同理乙获胜概率为，平局概率为， 所以，甲胜三局的概率， 甲胜两局负一局的概率， 甲胜两局平一局的概率， 甲胜一局平两局的概率， 所以，即甲获胜局数多于乙获胜局数的概率为. 18．在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【解析】（1）打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件， 所以，打完两局比赛结束的概率为： （2）打满局结束，当且仅当比赛在前局和前局均未结束， 即前局比分为且前局比分为， 所以，所求概率为： （3）甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜. 所以，甲获胜的概率： 19．甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【解析】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）； （2）由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为. 考点四 相互独立事件的概率与函数、方程的综合 20.（多选）下列对各事件发生的概率的判断正确的是(　　) A.某学生在上学的路上要经过4个路口,若在各路口是否遇到红灯相互独立,且遇到红灯的概率都是,则该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中不放回地随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到不同颜色球的概率为 D.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则A发生的概率是 【答案】AC 【解析】对于A,由题知该学生在前2个路口都没遇到红灯, 第3个路口遇到红灯,故所求概率为×=,A正确; 对于B,从这4张卡片中不放回地随机抽取2张,不同结果为1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个, 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的结果为1和2,1和4,2和3,3和4,共4个,其概率为=,B错误; 对于C,从甲袋中取到白球的概率P1==,取到红球的概率P2==,从乙袋中取到白球的概率P3=,取到红球的概率P4=, 故所求概率P=P1P4+P2P3=×+×=,C正确; 对于D,由相互独立事件的概率公式, 可得 解得P(A)=P(B)=,D错误. 21．事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 【答案】/ 【解析】由事件相互独立，得， 代入已知条件得：， 二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， 故 . 22．在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮通过的概率． (2)若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 【解析】（1）设事件“甲通过第一轮比赛”，事件“甲通过第二轮比赛”， 事件“乙通过第一轮比赛”，事件“乙通过第二轮比赛”， 由题知相互独立，且． 记事件“乙恰好有一轮通过”，则，   又互斥， 所以当时，， 即当时，乙恰好有一轮通过的概率为. （2）（i）记事件“甲、乙都恰好有一轮通过”，事件“甲、乙两轮都通过”， 则 ，①         ，②     由①②，得，解得.       （ii）记事件“甲两轮都通过”，事件“乙两轮都通过”，事件“甲、乙两人至少有一人两轮都通过”， 则，    则．    或. 考点五 相互独立事件与统计的综合 23．为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求的值； (2)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (3)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为、、三个等级.若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、；乙在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、.求甲、乙能同时获得参赛资格的概率. 【解析】（1）由题意得，，解得. （2）因为按、分层，采用分层随机抽样的方法抽取人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为、、， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为， 从人中抽取人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有人分数低于分”为事件， 则. 即，因此. 故人中至少有人分数低于分的概率为. （3）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，，. 由于甲、乙的考核结果互相不受影响， 所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立. 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为. 24．某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察速效肥和缓释肥对农作物影响情况，其中速效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组．观察一段时间后，分别从1，2，3三组中各随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据并整理如下表： 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设每株鸡冠花的株高增量相互独立，用频率估计概率． (1)从第1组所有鸡冠花中随机抽取1株，估计株高增量在区间上的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机抽取1株，估计这3株鸡冠花中至少有2株的株高增量在区间上的概率； (3)假设同区间中的每个数据可用该区间的中点值代替．记样本中这三组株高增量的平均数分别为，，，直接写出，，的大小关系．（结论不要求证明） 【解析】（1）解：设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机抽取1株，株高增量在区间” 根据统计表格中的数据，可得第1组所有鸡冠花中，有20株鸡冠花增量为， 所以事件的概率为. （2）解：设事件为“从第组中随机抽取1株，株高增量在上”，其中， 可得，， ， 其中“至少有2株的株高增量在上”包含两种情况： 恰好2株时，满足； 恰好3株时，满足， 所以这3株鸡冠花中至少有2株的株高增量在区间上的概率. （3）解：由表格中的统计数据，可得： ； ； ， 所以. 25．某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会． ②依次参加A，B，C游戏. ③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元． 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下： (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏?并说明理由． (2)在（1）的基础上，解答下列两问． （ⅰ）求该运动员能参加游戏的概率． （ⅱ）记为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示关于的函数． 【解析】（1）甲运动员成绩位于的频率为0.3，则其中位数大于80， 而乙运动员成绩位于的频率为0.6，，则其中位数小于80， 所以甲运动员参加第二阶段游戏. （2）（ⅰ）若甲能参加游戏，则游戏至多共使用3次机会， ①游戏共使用2次机会，则概率； ②游戏共使用3次机会，则概率， 所以甲能参加游戏的概率为. （ⅱ）由甲参加每个游戏获胜的概率都是，得参加完4次游戏后的每个结果发生的概率都为， ①游戏使用了4次，则或50； ②游戏使用了3次，则或150； ③游戏使用了2次，游戏使用2次，则或150； ④游戏使用了2次，游戏使用1次，则或350； ⑤游戏使用了1次，游戏使用3次，则或150； ⑥游戏使用了1次，游戏使用2次，则或350； ⑦游戏使用了1次，游戏使用1次，则或350或550，其中有2种情况， 因此，当时，；当时，，当时，； 当时，；当时，， 所以用列表法表示关于的函数为： 0 50 150 350 550 考点六 游戏的公平性 26.近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．假设最终进入半决赛有四支队伍，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时A与B同组，C与D同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【解析】（1）记拿到冠军分别为事件．淘汰赛赛制下，A只需要连胜两场即可拿到冠军： 对于：需战胜A后战胜C或D中胜者 同理， （2）记淘汰赛赛制和双败赛制下A获得冠军的概率分别为 则 而双败赛制下，A获得冠军的可能性有三种： 1．直接连赢三局（未用“复活甲”） 2．从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛 3．直接掉入败者组拿到冠军 首先，A直接连赢三局的概率为：， A从胜者组掉入败者组再夺冠：， A直接掉入败者组再夺冠：， 所以：， 比较两种赛制： ， 当时，，即双败赛制下，强者拿到冠军的概率更大； 当时，，即双败赛制下，弱者拿到冠军的概率更小． 综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的． 27．1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜. (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大? (3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 【解析】（1）记事件“同学参加游戏一获胜”，事件“同学参加游戏二获胜”，事件“同学参加游戏三获胜”. 因为游戏一为从盒子中随机摸出一个小球，这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜， 所以； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜，即第一次摸出“4”或“5”，第二次也摸出“4”或“5”， 所以. （2）游戏三的所有样本点为共个， 当时，获胜的样本点为，有2个， 所以， 记事件“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”，且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏一、二、三的一个排列， 则事件，依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜. 所以，其中，，相互独立，，，两两互斥， 则 , 无论同学参加这三个游戏的先后顺序如何，都有. 所以. 所以，根据乘法交换律，第一个游戏和第三个游戏的位置不影响获得观影票的概率的大小， 其大小取决于第二个游戏的选择，下面以第二个游戏的选择为研究对象分三种情况进行讨论： ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 ； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 ； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 . 因为， 所以为使获得观影票的概率最大，同学应将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. （3）考虑游戏三中的所有取值情况，如下表所示： 第一次第二次 1 2 3 4 5 1 3 4 5 6 2 3 5 6 7 3 4 5 7 8 4 5 6 7 9 5 6 7 8 9 由表格知，， ， 当时，同学按（2）将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 当时，， ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 ； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 ； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 . 因为，所以为使获得观影票的概率最大，同学仍应将游戏一放在第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 综上，无论取何值，都应将游戏一置于第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏. 28．现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到. (1)当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，观察骰子与桌面接触的面上的数字的乘积，这个乘积记为游戏结果.甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜. ①写出此试验的样本空间； ②试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ③若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金.当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人.请以此时甲和乙最终获胜的概率之比为标准，分配两人的奖金数量； (2)当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果.请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立.请说明理由. 【解析】（1）①； ②记“游戏结果大于5”为事件，则事件包含的样本点包括： ，所以， 又，则甲获胜的概率为， 故乙获胜的概率为， 所以甲、乙获胜的概率相等，这种游戏是公平的； ③由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”， 假设再进行2次“点数游戏”， 则2次“点数游戏”比赛结果的样本空间： （甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），（乙胜，乙胜）， 所以， 记“甲赢得比赛”为事件，则事件包含的样本点包括： （甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），所以， 则， 所以“乙赢得比赛”的概率为， 所以甲分配奖金元，乙分配奖金元； （2）当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间， 所以， 构造事件， 则， 则， ，， 所以， ， 即且不满足两两独立，满足题意． 29．现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到． (1)当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，以骰子与桌面接触的面上的数字的乘积为游戏结果．甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜． ①试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ②若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金．当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人，请应用概率知识设计合理的奖金分配方案； (2)当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果．请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立． 【解析】（1）①当时，任意抛掷两次这个骰子的样本空间，所以， 记“游戏结果大于5”为事件，则事件包含的样本点包括，所以， 由古典概型得 同理“游戏结果小于5”的概率也是， 所以甲、乙获胜的概率相等，这种游戏是公平的 ②按甲、乙继续比赛赢得比赛的概率比值进行奖金分配， 由于甲、乙要分出比赛输赢至多需要再进行2次“点数游戏”，假设再进行2次“点数游戏”，则2次“点数游戏”比赛结果的样本空间（甲 胜，甲胜），（甲 胜，乙胜），（乙胜，甲 胜），（乙胜，乙胜），所以， 记“甲赢得比赛”为事件，则事件包含的样本点包括（甲胜，甲胜），（甲胜，乙胜），（乙胜，甲胜），所以， 由古典概型得， 所以“乙赢得比赛”的概率为， 所以甲分配奖金元，乙分配奖金． （2）当时，任意抛掷一次这个骰子的样本空间，所以， 构造事件， 则， 由古典概型得， 所以，满足题意． 1．（第十届“枫叶新希望杯”竞赛）甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为，若甲先投，则等于 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响， 本题是一个相互独立事件同时发生的概率， 每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6， 甲投篮的次数为，甲先投，则表示甲第次投中篮球，而甲与乙前次没有投中，或者甲第次未投中，而乙第次投中篮球． 根据相互独立事件同时发生的概率得到甲第次投中的概率：； 第次甲不中的情况应是， 故总的情况是． 故选． 2．(清华大学429学术能力测试)投掷一枚均匀的骰子6次，每次掷出的点数可能为1，2，3，4，5，6且概率相等，若存在k使得1到k次的点数之和为6的概率是p，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点数之和为6的可能投法有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 于是所求概率． 一方面，， 另一方面， ， 故选：B. 3．(多选)（2022浙江宁波数学竞赛）一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（    ） A．事件A与事件C互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件B相互独立 D．事件B与事件C相互独立 【答案】ACD 【解析】对AB，若摸得的球为红球，则其标号为1或2，不可能为3的倍数， 故事件A与事件C互斥，故A正确； 若摸得的球的标号为6，则该标号为3的倍数，故事件B与事件C不互斥，故B错误； 对C，，所以C正确； 对D，，所以D正确； 故选：ACD． 4．(2024·江苏苏州竞赛)已知事件与相互独立，，，则______． 【答案】0.88 【解析】因为事件与相互独立， 所以， 所以． 5．（中国科大强基计划）设个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，．若初始时球在甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为______． 【答案】 【解析】不妨记初始时球在甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为， 表示初始时球在甲手中的概率，易知且次传球传不到甲手上的概率为， 同时球在第次传回甲手中只可能是第次球传到了其余的个人手中然后再传给了甲， 从而有，且， 可变形为，又， 所以，整理得， 故答案为：． 6．（2024·海南海口竞赛）一只小虫在正八面体的表面上爬行，每秒从某一个顶点等可能地爬往4个相邻的顶点之一，则小虫在第八秒爬回初始位置的概率为________ 【答案】 【解析】设小虫的起点为A，第秒爬回初始位置的概率为，第秒位于点之一的概率为，位于点的概率为，    则，且， 可得，则， 可得，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，可得， 所以小虫在第八秒爬回初始位置的概率为. 7．（2024·上海数学竞赛）现有甲､乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为__________.（用最简分数表示答案） 【答案】 【解析】显然比赛3局甲赢得胜利的概率; 比赛4局甲赢得胜利的概率; 比赛5局甲赢得胜利的概率, 所以甲赢得胜利的概率为. 8．（2024·全国高中数学联赛）一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落平台就会“死亡”，那么在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是________． 【答案】 【解析】 设第秒后瓢虫在角的概率为，在中心的概率，在边中间的概率为， 则，，， 其中，所以， 又，， 而， 故， 故在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率为， 9．（第七届“枫叶新希望杯”竞赛节选）为了推进国际旅游岛的建设，海南省决定建一个橡胶基地，打算从外地引进株名贵橡胶树，已知这株名贵橡胶树移栽的成活率分别为，且各株橡胶树是否成活互不影响．若它们至少成活两株的概率大于，则橡胶基地就决定引进这三株名贵橡胶树，否则不予引进，问：橡胶基地是否会从外地引进这3株名贵橡胶树？ 【解析】设这3株名贵橡胶树移栽后成活的事件分别为， 其中至少成活两株的事件为， 那么，，， 由于事件相互独立， 所以， 由于，所以橡胶基地会从外地引进这三株名贵橡胶树. 10.（2024·浙江温州摇篮杯竞赛）袋中装有除颜色外完全相同的4个球，其中有3个黑球和1个白球.现由甲､乙两人从袋中轮流取球，取后不放回，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，接下来再由乙取，若有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率相等，记事件“第i次取到的球是白球”，i=1､2､3､4.试将下列事件用表示，并求出相应事件的概率. (1)取球3次即终止； (2)最后一次取球的是乙. 【解析】（1）取球3次终止情况为第一次取黑球，第二次取黑球，第三次取白球该事件为， 所求概率为； （2）最后一次取球的是乙，则意味着取到白球的次数为偶数，则包括两种情况，即事件“最后一次取球的是乙”为事件， 事件对应的概率事件对应的概率， 因此，最后一次取球的是乙的概率 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 事件的相互独立性 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 相互独立性的判断 2 考点二 相互独立事件与互斥事件、对立事件的辨别 3 考点三 相互独立事件的概率计算 3 考点四 相互独立事件的概率与函数、方程的综合 6 考点五 相互独立事件与统计的综合 7 考点六 游戏的公平性 9 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题10道） 【归纳重点知识】 知识点 相互独立事件 1．相互独立事件的定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2．相互独立事件的性质 当事件A，B相互独立时，则事件A与事件相互独立，事件与事件B相互独立，事件与事件相互独立． 【熟记重要结论(二级结论)】 与相互独立事件有关的概率的计算公式如下表: 事件相互独立 概率计算公式 同时发生 同时不发生 至少有一个不发生 至少有一个发生 恰有一个发生 考点一 相互独立性的判断 1．为了更直观地探究事件之间的关系，可用图形的面积大小来表示某事件所包含样本点的数目，即，其中为事件对应区域的面积，表示样本空间.下图中，事件A与事件B相互独立的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．抛掷一枚骰子2次，记事件为“2次所得点数和为7”.下列事件中，与事件相互独立的是（   ） A．第1次所得点数为1 B．2次中至少有1次所得点数为1 C．2次所得点数均为1 D．2次中恰有1次所得点数为1 3．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（    ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 4．（多选）已知是三个随机事件，下列说法中正确的有（    ） A．若，则相互独立 B．若相互独立，，则相互独立 C．“两两独立”是“”的既不充分也不必要条件 D．若相互独立，相互独立，互斥，，则事件中至少有一个发生的概率为 5．(多选)已知随机事件满足，且事件与相互独立，则下列说法正确的是（    ） A．若与相互独立，则 B．若，则与相互独立 C．若与互斥，且与也相互独立，则 D．若与相互独立，且与也相互独立，则 考点二 相互独立事件与互斥事件、对立事件的辨别 6．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 7．现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 8．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 9.(多选)先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 考点三 相互独立事件的概率计算 10.一项“过关游戏”规则规定：在第关要抛掷一颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关.则某人连过前三关的概率为（   ） A． B． C． D． 11.(多选)在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1 次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，1，0，则译码为1.）（   ） A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当0< α <0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率. 12．临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为________． 13．如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为______．    14．一游戏的规则如下：有①②③三个奖池，在开始时三个奖池都处于开启状态，游戏会进行若干轮，每一轮游戏都将等可能地从开启的奖池中随机选择一个并获得对应的奖品，在一个完整游戏流程中：①号奖池或②号奖池会在第二次被选择到后永久关闭，而③号奖池永远保持开启.则当游戏第轮进行完成时，恰有一个奖池关闭的概率为__________ 15．小白和小高进行乒乓球比赛，先得11分的人为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10∶10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在比赛中，小白发球时小白得分的概率为，小高发球时小白得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10∶10平后，小白先发球，则双方战至13∶11的概率为____________. 16．“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在南宋时期.开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜.因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎.在一次猜灯谜活动中，共有30道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了10道，丙同学猜对了道.假设对每位同学而言，他们猜对每道灯谜的可能性都相等. (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值. 17．“石头､剪刀､布”是群众喜闻乐见的一种猜拳游戏，每局比赛的游戏规则是：双方同时出拳一次，若手势不同，则“石头”胜“剪刀”､“剪刀”胜“布”､“布”胜“石头”；若手势相同，则为平局．假设每局比赛中，每人出各种手势的可能性相同． (1)若甲､乙两人进行一局比赛，求甲获胜的概率； (2)若甲､乙两人进行三局比赛，假设每局比赛相互独立，求甲获胜局数多于乙获胜局数的概率． 18．在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 19．甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 考点四 相互独立事件的概率与函数、方程的综合 20.（多选）下列对各事件发生的概率的判断正确的是(　　) A.某学生在上学的路上要经过4个路口,若在各路口是否遇到红灯相互独立,且遇到红灯的概率都是,则该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为 B.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中不放回地随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到不同颜色球的概率为 D.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则A发生的概率是 21．事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 22．在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p，q．假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响． (1)若，求乙恰好有一轮通过的概率． (2)若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为． （i）求p，q的值； （ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率． 考点五 相互独立事件与统计的综合 23．为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求的值； (2)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (3)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为、、三个等级.若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、；乙在每项考核中取得、、等级的概率分别是、、.求甲、乙能同时获得参赛资格的概率. 24．某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察速效肥和缓释肥对农作物影响情况，其中速效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组．观察一段时间后，分别从1，2，3三组中各随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据并整理如下表： 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 9 20 9 2 第2组鸡冠花株数 4 16 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 13 2 假设每株鸡冠花的株高增量相互独立，用频率估计概率． (1)从第1组所有鸡冠花中随机抽取1株，估计株高增量在区间上的概率； (2)分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机抽取1株，估计这3株鸡冠花中至少有2株的株高增量在区间上的概率； (3)假设同区间中的每个数据可用该区间的中点值代替．记样本中这三组株高增量的平均数分别为，，，直接写出，，的大小关系．（结论不要求证明） 25．某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击100次，所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下： ①有4次游戏机会． ②依次参加A，B，C游戏. ③前一个游戏胜利后才可以参加下一个游戏，若轮到C游戏后，无论胜利还是失败，一直都参加C游戏，直到4次机会全部用完. ④参加游戏，则每次胜利可以获得奖金50元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金100元；参加游戏，则每次胜利可以获得奖金200元． 已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是，乙参加每一个游戏获胜的概率都是，甲、乙参加每次游戏相互独立，第一阶段甲、乙两位运动员射击所得成绩的频率分布直方图如下： (1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏?并说明理由． (2)在（1）的基础上，解答下列两问． （ⅰ）求该运动员能参加游戏的概率． （ⅱ）记为该运动员最终获得的奖金额，P为获得每个奖金额对应的概率，请用适当的表示法表示关于的函数． 考点六 游戏的公平性 26.近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．假设最终进入半决赛有四支队伍，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时A与B同组，C与D同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此简单分析双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 27．1934年-1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑.2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动.同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票.已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为，则获胜. (1)分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； (2)当时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大? (3)根据的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 28．现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到. (1)当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，观察骰子与桌面接触的面上的数字的乘积，这个乘积记为游戏结果.甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜. ①写出此试验的样本空间； ②试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ③若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金.当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人.请以此时甲和乙最终获胜的概率之比为标准，分配两人的奖金数量； (2)当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果.请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立.请说明理由. 29．现有一个质地均匀的正面体骰子，个面分别标有数字1到． (1)当时，设计一种“点数游戏”：任意抛掷两次这个骰子，以骰子与桌面接触的面上的数字的乘积为游戏结果．甲、乙两人玩这种“点数游戏”，规定每次游戏结果大于5时甲获胜，游戏结果小于5时乙获胜． ①试判断这种游戏是否公平？并说明理由； ②若约定先获胜3次“点数游戏”者赢得比赛，并获得100元奖金．当甲获胜2次，乙获胜1次时，“点数游戏”因意外而中止，现决定将100元奖金分给甲、乙两人，请应用概率知识设计合理的奖金分配方案； (2)当时，任意抛掷一次这个骰子，以它与桌面接触的面上的数字为试验结果．请构造适当的事件，使成立，但不满足两两独立． 1．（第十届“枫叶新希望杯”竞赛）甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为，若甲先投，则等于 A． B． C． D． 2．(清华大学429学术能力测试)投掷一枚均匀的骰子6次，每次掷出的点数可能为1，2，3，4，5，6且概率相等，若存在k使得1到k次的点数之和为6的概率是p，则p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(多选)（2022浙江宁波数学竞赛）一个装有8个球的口袋中，有标号分别为1，2的2个红球和标号分别为1，2，3，4，5，6的6个蓝球，除颜色和标号外没有其他差异．从中任意摸1个球，设事件“摸出的球是红球”，事件“摸出的球标号为偶数”，事件“摸出的球标号为3的倍数”，则（    ） A．事件A与事件C互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件B相互独立 D．事件B与事件C相互独立 4．(2024·江苏苏州竞赛)已知事件与相互独立，，，则______． 5．（中国科大强基计划）设个人进行互相传球游戏，每个拿球的人等可能地把球传给其他人中的任何一位，．若初始时球在甲手中，则第次传球之后，球又回到甲手中的概率为______． 6．（2024·海南海口竞赛）一只小虫在正八面体的表面上爬行，每秒从某一个顶点等可能地爬往4个相邻的顶点之一，则小虫在第八秒爬回初始位置的概率为________ 7．（2024·上海数学竞赛）现有甲､乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为，乙胜的概率为，规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为__________.（用最简分数表示答案） 8．（2024·全国高中数学联赛）一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落平台就会“死亡”，那么在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是________． 9．（第七届“枫叶新希望杯”竞赛节选）为了推进国际旅游岛的建设，海南省决定建一个橡胶基地，打算从外地引进株名贵橡胶树，已知这株名贵橡胶树移栽的成活率分别为，且各株橡胶树是否成活互不影响．若它们至少成活两株的概率大于，则橡胶基地就决定引进这三株名贵橡胶树，否则不予引进，问：橡胶基地是否会从外地引进这3株名贵橡胶树？ 10.（2024·浙江温州摇篮杯竞赛）袋中装有除颜色外完全相同的4个球，其中有3个黑球和1个白球.现由甲､乙两人从袋中轮流取球，取后不放回，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，接下来再由乙取，若有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率相等，记事件“第i次取到的球是白球”，i=1､2､3､4.试将下列事件用表示，并求出相应事件的概率. (1)取球3次即终止； (2)最后一次取球的是乙. 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $