微专题02 二次根式比较大小的方法（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

微专题02 二次根式比较大小的方法 题型1 直接比较被开方数 题型特征：两个非负二次根式（形如与，），无额外运算或变形。 解题方法：被开方数优先——若，则（算术平方根的单调性）。 1．（25-26八年级上·山东济南·期末）比较大小： ______ （填 、或） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可 【详解】解：，，且 ， 故答案为： 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）比较大小：_____ （填“”“ ”“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 通过比较两个数的平方值来判断大小即可． 【详解】解：，， 由于， 所以． 故答案为：． 3．（2025八年级上·上海·专题练习）比大小：______（填写“＞”、“=”、或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，可以通过平方后比较数值，再比较大小得出结论． 【详解】解：，，， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）比较大小：________；（填“<”，“=”或“>”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 先比较平方的大小，再比较两数大小即可． 【详解】解：计算，， 由于，且和均为正数， 因此． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·甘肃张掖·月考）比较大小：________（填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查无理数大小比较，通过比较两个数的平方值来判断大小． 【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 6．（2025八年级上·福建福州·专题练习）比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较二次根式的大小． 通过比较两个正数的平方大小来确定原数的大小． 【详解】解：，，由于， 所以． 故答案为：． 题型2 运算转化法 题型特征：两个二次根式需通过平方、作差、作商等运算转化为易比较的形式。 1. 平方法： (1) 适用场景：两个正数二次根式（或可通过平方消去根号的表达式）。 (2) 解题逻辑：正数a、b，若，则（平方后去根号，转化为有理数比较）。 2. 作差法： (1) 适用场景：任意两个实数（或可转化为实数差的形式）。 (2) 解题逻辑：计算，若则；若则（通过差的符号判断大小）。 3. 作商法： (1) 适用场景：两个正数二次根式（或可转化为正数商的形式）。 (2) 解题逻辑：计算，若，则；若，则（通过商与1的比较判断大小）。 1．（2022九年级·重庆北碚·专题练习）已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）比较实数、、的大小，并将其用“”连接：____________． 【答案】 【分析】将三个数转化为算术平方根的形式，通过比较被开方数的大小得到原数的大小关系即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴，即． 3．（25-26八年级上·山东青岛·周测）比较大小：（1）________    （2）________ 【答案】 > > 【分析】本题考查实数的大小比较，掌握乘方法，差值法比较大小是解题的关键．对于（1），通过将两个数分别取6次方来比较大小；对于（2），通过计算两个数的差来判断大小． 【详解】解：（1）∵，， 且， ∴． 故答案为：>． （2）设 , 则． ∵, , 且, , , ∴, ∴, ∴, ∴． ∴． 故答案为：>． 4．（25-26八年级下·全国·周测）比较下列两个数的大小：____________． 【答案】 【分析】通过平方去掉根号，再比较大小．因为两个数都是正数，平方大的原数也大． 【详解】解：分别对两个数进行平方： ； ． ∵，且两个数都是正数， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较和平方比较法．解题关键是利用“正数的平方越大，原数越大”的性质，通过平方将根式比较转化为有理数比较． 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）比较大小：______（填） 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化和无理数的大小比较，解题的关键是通过有理化消除分母中的无理数． 通过分母有理化将 转化为 ，再与 比较大小即可得． 【详解】解： = × = = = ． 比较 和 ． ，， ，， ∴， ∴ ， ， 即 ． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海·期中）比较大小： __________   (用“”、“”或“”填空)． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较．通过计算两数的差，根据差的符号判断大小关系，即可求解． 【详解】解：， 由于，所以， 因此 ， 故 ． 故答案为：． 题型3 有理化处理法 题型特征：二次根式含分母或分子为根式差，需通过有理化简化。 1. 分母有理化： (1) 适用场景：分母含根式。 (2) 解题逻辑：乘以共轭根式，将分母转化为有理数，再比较分子大小。 2. 分子有理化： (1) 适用场景：分子为根式差。 (2) 解题逻辑：乘以共轭根式，将分子转化为有理数，再比较分母大小（分母大的分数更小）。 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 2．（25-26八年级上·河北保定·期中）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， …… 按上述规律，回答以下问题： (1)按上述规律填空：_；_． (2)求的值． (3)利用以上规律计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)3 (3)44 (4) 【分析】本题主要考查分母有理化、二次根式的运算及大小比较，熟练掌握分母有理化、二次根式的运算及大小比较是解题的关键； （1）根据分母有理化可进行求解； （2）根据分母有理化进行化简，然后问题可求解； （3）根据题意可直接代入进行求解即可； （4）由题意得，，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， ； 故答案为，； （2）解： ； （3）解：由题意得： ； （4）解：∵， ， ∴，即， ∴． 3．（25-26八年级上·江西抚州·期中）课本再现：我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了4，这就是分母有理化． 方法应用： (1)化简：______________； (2)若，求的值； (3)若，比较a和b的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的化简求值，实数比较大小，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据题干给定的方法进行求解即可； （2）先将进行分母有理化得到，再将化简为，最后代入计算即可； （3）将、进行分母有理化，再比较即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：，， ， ， ． 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：，．类似的，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：，． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)运用分母有理化，化简：； (2)运用分子有理化，比较与的大小，并说明理由； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、分母有理化、分子有理化，解决本题的关键是根据题干中提供的思路，利用平方差公式把二次根式的分子或分母转化成有理数． （1）根据题干中提供的分母有理化的方法，把二次根式的分母转化为有理数，再进行计算； （2）根据题干中提供的分子有理化的方法，把两个二次根式转化为分子为的形式，再根据分子相同，分母越大的则分数的值越小比较两个无理数的大小； （3）首先把算式中各部分的分母有理化，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， ， ； （3）解： ． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： (1)与___________互为有理化因式； (2)比大小：___________（直接填或中的一种）； (3)已知是正整数，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理化因式的定义，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据有理化因式的定义，进行求解即可； （2）逆用有理化因式，进行判断即可； （3）求出的值，整体代入法，进行求解即可． 【详解】（1）解： 与互为有理化因式； 故答案为：； （2）解：∵， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：， ， ∴，， ∵， ∴， 解得． 6．（25-26九年级上·四川内江·月考）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】(1) (2)9 (3)，过程见解析 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：设，， 则， ， ， ， 即， 题型4 间接比较法 题型特征：两个二次根式无明显规律，需借助中间量或特殊值转换。 1. 中间值法： (1) 适用场景：两个二次根式无直接可比性。 (2) 解题逻辑：选择中间量（如整数、简单根式），分别比较两个数与中间量的大小，再通过传递性判断。 2. 特殊值法： (1) 适用场景：含字母的二次根式（如与）。 (2) 解题逻辑：设定符合条件的特殊值（如a＝1、a＝2），代入后转化为具体数值比较。 1．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果，像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为 ③比较两个二次根式的大小： ④计算： 以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化． ①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化； ②估计无理数的整数部分，求出小数部分，进而分母有理化进行化简； ③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小； ④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值． 【详解】解：①， 故将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以，故①正确； ②∵a是的小数部分， ∴， 故，故②错误； ③，， ，， ∵，， 故， ∴， 故 即，故③正确； ④， ， ， ， 故 ，故④正确． 故答案为：①③④． 4．（24-25八年级下·云南红河·期末）在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）比较大小： (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的大小比较，核心方法是：对于正数，通过平方转化为有理数比较；对于负数，先比较绝对值(平方后比较)，再根据“绝对值大的负数更小”判断． 【详解】（1）解：先计算两数的平方： ， ， 又，且，， ； （2）解：先计算两数的绝对值并平方： ，， ，， 又， ， 根据负数比较大小的规则，绝对值大的负数更小， ． 6．（25-26八年级上·上海·月考）比较大小： (1)______； (2)______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的大小比较，二次根式的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别计算两个无理数的平方，比较平方的大小，即可得解； （2）对两个无理数进行分子有理化，得到分子相同的分数，比较分母的大小，即可得解． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，， ∵，， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02二次根式比较大小的方法 直接比较被开方数 运算转化法 二次根式比较大小的方法 有理化处理法 间接比较法 德点量破 题型1直接比较被开方数 爆方法 题型特征：两个非负二次根式（形如V0与6，ab≥0 ),无额外运算或变形。 ,则6v6 解题方法：被开方数优先一若“>6， (算术平方根的单调性)。 1.（25-26八年级上山东济南期末)比较大小.25 3W2 (填>、<或) 2。（25-26八年级上四川成都期中)比较大小：55 3V5 (填“<”“=”“>”) 3.(2025八年级上上海专题练习)比大小：25 3W2 (填写“>”、“=”、或“<”) 4。(25:26八年级上陕西威阳月考)比较大小：25 而；（填“<，“=或“） 5.(25:26八年级上甘肃张掖月考)比较大小：V5例 36 (填“>=”或“<”). 6。（2025八年级上福建福州专题练习)比较大小：V7 25(填“>”“<”或“”)· 1/7 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2运算转化法 啸方法 题型特征：两个二次根式需通过平方、作差、作商等运算转化为易比较的形式。 1.平方法： ()适用场景：两个正数二次根式（或可通过平方消去根号的表达式）。 (2)解题逻辑：正数a、b,若a2>b2,则a>b(平方后去根号，转化为有理数比较)。 2.作差法： (1)适用场景：任意两个实数（或可转化为实数差的形式）。 (2)解题逻辑：计算a-b,若a-b>0则a>b;若a-b<0则a<b(通过差的符号判断大小)。 3.作商法： (1)适用场景：两个正数二次根式（或可转化为正数商的形式）。 ②解题逻辑：计算分，若分1，则。>6：若分<1，则a<b(通过商与1的比较判新大小)。 (2022九年级重庆北碚专题练习)已知：m-V0+1 2二，2三10二1，北车交n的大小（) A.m>n B.m<n C.m=n D.无法确定 2.(2026陕西咸阳模拟预测)比较实数4、2万、35的大小，并将其用“<”连接 3-V5 3.(25-26八年级上山东青岛周测)比较大小：(1)5 10(2)2 8 4.(25-26八年级下·全国·周测)比较下列两个数的大小： 1 5.(25-26八年级上四川成都期中)比较大小：5+1—号（填一”或“<) √5-1 6.(25-26八年级上·上海·期中)比较大小：4 5(用“>”、“<”或“=”填空). 题型3有理化处理法 2/7 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 嫁方法 题型特征：二次根式含分母或分子为根式差，需通过有理化简化。 1.分母有理化： ①适用场景：分母含根式a-6· (2)解题逻辑：乘以共轭根式√ā+√b,将分母转化为有理数，再比较分子大小。 2.分子有理化： (I)适用场景：分子为根式差Va+1-√a。 (2)解题逻辑：乘以共轭根式va+1+√a,将分子转化为有理数，再比较分母大小（分母大的分数 更小)。 1,(25-26八年级上·湖南永州期中)已知4=V2006-V205,b=V2007-V2006c=V2008-V207 则a,b,c的大小关系是 2.(25-26八年级上河北保定·期中)观察下列等式： 159=5-1， 第一个等式：42+1N+2-) 1 1(5-V2) 第二个等式：0,5505+V2xNgV万5-5， 11(2-V5) 第三个等式：42+52+V5252-5 按上述规律，回答以下问题： 1 1 (1)按上述规律填空： 1+1+1】 ②求(5+15+5+7+5w5+0。 的值. (3)利用以上规律计算：4+a+a+…+44 ④比较5网与7的大小，并说明理由。 3/7 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8 3.(25-26八年级上江西抚州：期中)课本再现：我们已经知道B+3训3-)=4，因此将13-3的分子、 分丹同时乘“店+3”，分丹就变成了4，这就是分丹有理化。 方法应用： (①化简：4+15 2 (2若a=6-2,求a-4a+3的值： 1 1 ⊙)若a=V6-5b=5-2,比较a和b的大小. 12 4.(24-25八年级上山东济南期中)材料阅读：在二次根式的运算中，经常会出现诸如2'、3-√2， 的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如： 1222 2x5+V2 万2,5-25-25+2(- 25+22_25+2W5=2N5+22.类似的， 3-2 将分于转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：万=巨_-2 122 5-1(5-5+12-3-1.2 3 53+1 (5+V53+V53+V5: 根据上述知识，请你完成下列问题： 15 ①)运用分母有理化，化简：5-25： (2)运用分子有理化，比较V2024-V2023与V2023-V2022 大小，并说明理由： 1 1 1 1 1 3)i计算：1+V22+5+5+4+4+5+…+99+00的值. 5.(25-26八年级上·福建福州期末)阅读材料：像 4/7 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5+25-2=3a后=a(a≥0b+5-刂=h-1b≥0"两个含有二次根式的代数式相 乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如5与52+1与5-25+35 与25-3V5 等都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根 号.例如： 5-52+1(2+1 2W523×562-1(2-(V2+1 =3+22.解答下列问题： 03-5与 互为有理化因式： V2026-√2025 √2025-√2024 (2)比大小： (直接填<，，之或≤中的一种)： √m+1-√m a= b=ym+1+/m (3)已知m是正整数， m+1+vm √m+1-√m a+h+5ab=2027,求m 6.(25-26九年级上四川内江月考)观察下列一组等式，然后解答后面的问题： 2+2-=1: (5+25-2=1, 4+4-5=1 (5+45-4=1 (1)观察以上规律，请写出第5个等式： 1 1 (2)利用上面的规律，计算2++5++√4+V5++ V100+V99· ③)请利用上面的规律，比较V2025-2024)与小V2026-V202西的大小，并写出详细过程 题型4间接比较法 5/7 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 嫁方法 题型特征：两个二次根式无明显规律，需借助中间量或特殊值转换。 1.中间值法： (I)适用场景：两个二次根式无直接可比性。 (2)解题逻辑：选择中间量（如整数、简单根式），分别比较两个数与中间量的大小，再通过传递 性判断。 2.特殊值法： (1)适用场景：含字母的二次根式（如Va2+1与a+1,a>0)。 (2)解题逻辑：设定符合条件的特殊值（如a=1、a=2)，代入后转化为具体数值比较。 1.2526八年级上湖南水州期中)已知：a=V7-6,b=2W2-万，c=3-22,则4，，c的大小 关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 2.(25-26八年级下全国课后作业)已知k，m,"都是整数，若0=k10,V800=20√m √180=6√ ,则下列关于k,m,”大小关系的结论，正确的是() A.m<k<n B.m=n<k C.m<n<k D.k<m=n 2+52+52+同=7+4W5 3.(25-26八年级上·上海·期中)二次根式除法可以这样做：如果2-3(2-V3)2+√3) ，像 这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化. 有下列结论： ①将式子5-V2进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以V2+5: ②若a是、2的小数部分，则。的值为2+1 ®比较两个二次根式的大小：6一25-5 2 2 2 ④计算：3+√55v5+3√57√5+5√7 99V97+97√99 33 以上结论正确的是 ·(写出所有正确的序号) 4.(24-25八年级下·云南红河·期末)在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果. 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如，比较a=5W6知b=65 和 的大小，我们可以把a和b分别平方. a=150、62=180 :a<B面a>0.b>0 而 ∴.a<b.请利用“平方法”解决下面问题： )比较=25，d=35的大小，。，（填写，或者） (2)猜想m=25+13.n=27+V5 间的大小关系，并证明。 5.(25-26八年级上·浙江假期作业)比较大小： (030与4w6 255与85 6.(25-26八年级上·上海·月考)比较大小： )5+5 2+V6 ②5-位 6-3 7/7