微专题03 二次根式的化简求值（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

微专题03 二次根式的化简求值 题型1 利用二次根式性质求值 题型特征：已知二次根式有意义的条件（如被开方数为非负、分母不为零），求参数或代数式的值。 核心依据：二次根式的双重非负性（）、绝对值的性质（）。 解题步骤： 1. 确定限制条件：根据二次根式有意义的条件（被开方数非负、分母不为零），列出不等式； 2. 解不等式：求出参数的取值范围； 3. 代入计算：将参数代入目标代数式，利用绝对值或平方性质化简。 1．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【答案】B 【分析】先求出a，b的所有可能取值，再根据条件筛选出符合要求的取值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 2．（25-26七年级上·山东威海·期末）若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果_____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握绝对值、二次根式的性质是解题的关键． 先根据三角形三边关系确定x的取值范围，再根据绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得，即， ∴ ， ． 故答案为． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期末）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，数轴，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握． 由数轴可得，，则，，再把化为，然后去绝对值，进行整式的加减运算即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·山东济南·期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简____． 【答案】b 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，二次根式的性质，绝对值的意义，根据实数a、b在数轴上对应点的位置判断出a，的正负是解答本题的关键．先根据实数a、b在数轴上对应点的位置判断出a，的正负，然后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由数轴知，，， ， ∴． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·山东东营·月考）已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简________． 【答案】 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号，化简二次根式，化简绝对值．直接利用数轴得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴得， ，，， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 题型2 乘法公式应用 题型特征：代数式中包含二次根式的乘积、平方或差，需通过乘法公式（平方差、完全平方）简化计算。 核心公式：平方差公式：；完全平方公式：。 解题步骤： 1. 确定限制条件：根据二次根式有意义的条件（被开方数非负、分母不为零），列出不等式； 2. 解不等式：求出参数的取值范围； 3. 代入计算：将参数代入目标代数式，利用绝对值或平方性质化简。 1．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则代数式的值为________． 【答案】11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 2．（23-24八年级下·山东·期末）计算∶ (1)； (2)先化简，再求值∶，其中． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）根据混合运算的法则进行计算即可； （2）根据平方差公式，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，再代值计算即可． 【详解】（1）解：原式； ； （2）原式； 当时， 原式 ． 3．（24-25八年级下·山东日照·月考）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，由条件可得，再计算分式的混合运算，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ ； ； 4．（24-25八年级下·山东临沂·期末）（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的性质进行解题是关键． （1）先进行二次根式的乘除法运算，然后再进行减法运算即可； （2）将利用完全平方公式进行变形，得到，然后代入进行计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）由可得， 则， ， 即， ∴． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)10 (3)6 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再运用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， ， ． 6．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 题型3 先化简再求值 题型特征：代数式为分式或整式，包含可化简的二次根式，需先化简再代入求值。 化简步骤： 1. 化为最简二次根式（被开方数无分母、无开得尽方的因数）； 2. 合并同类二次根式（被开方数相同的根式）； 3. 代入参数计算。 1．（25-26八年级上·山东济宁·期末）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，平方差公式和完全平方公式，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先对分式进行化简，然后代数求值即可； （2）先对分式进行化简，然后代数求值即可． 【详解】（1）解： 将代入上式得， 原式； （2）解： 将代入上式得， 原式． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）解下列各题： (1)计算：； (2)计算：； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先把二次根式化简，再合并即可 （2）先把二次根式化简，再合并即可 （3）先把变形为，再把x代入计算求解 【详解】（1）解：原式 （2） （3）解：原式 把代入原式得： 3．（24-25八年级下·山东泰安·月考）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，求下列各式的值： ① ② 【答案】（1），；（2）①；②12 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可； （2）由题意可得：，再把①②整理，代入相应的值运算即可． 【详解】解：（1） 当时， 原式； （2）， ， ① ； ② ． 4．（17-18八年级下·全国·单元测试）已知，求的值 【答案】3 【分析】本题考查了分母有理化，分式化简求值，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，整理得，，，再把化简得，然后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， ． 5．（25-26八年级上·山东济南·期末）已知，，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式和平方差公式，熟练掌握分母有理化的方法以及代数式的变形技巧是解题的关键． 先对、进行分母有理化，再计算和的值，最后将代数式变形为后求值． 【详解】解：，， ∴，， ∴． 故答案为 ． 6．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）（1）计算：． （2）已知：，，求代数式的值． 【答案】 (1) (2) 12 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，乘法公式的运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则，运用乘法公式进行计算即可； （2）运用完全平方公式得到原式等于，代入计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴原式 ． 题型4 整体代入求值 题型特征：已知条件为对称式，目标代数式可通过变形转化为已知条件的形式，避免直接代入复杂计算。 核心技巧：计算xy、x＋y、x－y等中间量；将目标式分解为含中间量的表达式。 解题步骤： 1. 计算中间量：根据已知条件，求出xy、x＋y、x－y等对称式的值； 2. 变形目标式：将目标代数式分解为含中间量的表达式； 3. 代入计算：将中间量代入变形后的表达式，得出结果。 1．（24-25八年级上·四川成都·月考）已知，则代数式的值为_______． 【答案】4 【分析】本题考查完全平方公式及二次根式，先将配方为，再代入x的值即可计算，也可直接代入x的值，然后直接计算即可． 【详解】解：， 当时，， 故答案为：4． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若，则代数式的值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值、二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用配方法可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：8． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）当时，代数式______． 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解，已知字母的值求代数式的值，二次根式的混合运算，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ， 故答案为：1 4．（25-26八年级上·山东济南·月考）阅读材料： 像 ……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号． 数学课上，老师出了一道题“已知，求 的值”． 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以 ，所以 所以 ，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ____________；____________； (2)比较大小： ___________（填， ，或中的一种）； (3)计算： ； (4)若，求 的值． 【答案】(1)， (2) (3)2024 (4)7 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式，代数式求值． （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将里的分母有理化，然后合并，再和相乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵，， 显然，即 又∵和都是正数， ∴， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·山东青岛·月考）化简求值：（其中，） 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而将已知数据代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 6．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 他是这样解答的： 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以. (1)化简：______； (2)化简： (3)若，按照小明的做法，求的值. 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，解答时一定要先化简再代入求值．二次根式运算到最后，注意结果要化为最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． （1）利用分母有理化计算即可； （2）先将每一项分母有理化，然后合并即可； （3）先根据分母有理化得出，根据完全平方公式将变形为，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： = ； （3）解：， ， ∴ ． / 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题03二次根式的化简求值 利用二次根式性质求值 乘法公式应用 二次根式的化简求值 先化简再求值 整体代入求值 常点量破 题型1利用二次根式性质求值 啸方法 题型特征：已知二次根式有意义的条件（如被开方数为非负、分母不为零），求参数或代数式的值。 核心依据：二次根式的双重非负性（√a≥0，a≥0）、绝对值的性质（匠=ld)。 解题步骤： 1.确定限制条件：根据二次根式有意义的条件（被开方数非负、分母不为零），列出不等式； 2. 解不等式：求出参数的取值范围： 3. 代入计算：将参数代入目标代数式，利用绝对值或平方性质化简。 1.(25-26八年级上山东德州期末)已知a=4,=6,且Va-b2=b-a,则a+b的值为（) A.-2或-10 B.2或10 C.10 D.-10 2.(25-26七年级上山东威海期末)若一个三角形的三边长分别为2,5，x,则化简代数式 7--Vx-3)2的结果一· 3.(25-26九年级上福建泉州期末)实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简Vc-b)2-a+d的结果为 4.(25-26八年级上山东济南期末)实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，化简a-√(b-a)2= 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26七年级上山东东营·月考)已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简 Va+la-c+M(c-b)2--bl= c a0 6.（24-25八年级下·山东泰安期末)解方程： 阅读材料，解答下列问题， 材料：已知V5-x-√2-x=1,求√5-x+√2-x的值. 小明同学是这样解答的： :(5-x-2-x5-x+2-x=(5-x-(2-x=5-x-2+x=3, :V5-x-V2-x=1 ·V5-x+√2-x=3 这种方法称为“构造对偶式 问题：己知1+x+1+x=5. (1)求V1+x-√+x的值： (2)求x的值、 题型2乘法公式应用 啸方法 题型特征：代数式中包含二次根式的乘积、平方或差，需通过乘法公式（平方差、完全平方）简化计算。 核心公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b);完全平方公式：(a+b2=a2+b2±2ab。 解题步骤： 1. 确定限制条件：根据二次根式有意义的条件（被开方数非负、分母不为零），列出不等式： 2. 解不等式：求出参数的取值范围； 3.代入计算：将参数代入目标代数式，利用绝对值或平方性质化简。 1.(24-25八年级上·全国期末)已知a+b=√2，则代数式a2-b2+2√2b+9的值为 2.（23-24八年级下山东期末)计算： a而÷j5-5i+2a: / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)先化简，再求值a+5(a-V5)-a(2a-,其中a=V2-1. &(2425八年级下山东日照月考)已知a=?发，3 52,求a- 1 2a2+b ab(a-b)2ab -+1的值。 4245八年级下东箭于期末)1)计第：②+2D÷5-: (2)已知x=√5-1，求代数式x2+2x-3的值. 5.(24-25八年级上山东青岛期末)在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知a=、1 2+5,求2a2-8a+1的值. 他们是这样解答的： 1 2-√5 2+62+j2-g2-5, a-2=-5, (a-2)2=3,即a2-4a+4=3, .a2-4a=-1, .2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×-1+1=-1. 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (05+5— 1 1 1 ②化简：万+5+5+4+5+…+ 120+19121+120 1 (3)若a=于 5-2,求2a-8a3-8a+4的值. 6.（24.25八年级上上海宝山期中)已知：x=5-5 5+5 5+5'y 5-5,求：3r2-5w+3y2的值 题型3先化简再求值 啸方法 题型特征：代数式为分式或整式，包含可化简的二次根式，需先化简再代入求值。 化简步骤： 1. 化为最简二次根式（被开方数无分母、无开得尽方的因数）： 2. 合并同类二次根式（被开方数相同的根式）： 3. 代入参数计算。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(25-26八年级上·山东济宁.期末)先化简，再求值： 02+1-5,其中x=5-1. x+1 xx2+x 2.(25-26八年级上山东枣庄期中)解下列各题： 0)计算：8+52-： ②计算：D-54-2: √6 (3)已知x=√5+1，求代数式x2-2x的值. 3.（24-25八年级下山东泰安月考)(1)先化简，再求值： a-9+25）月 2》已知x=7+5y行-5，求下列各式的值： ①x2-xy+y2 ②+ v x 4.(17.18八年级下全国单元测试)已知a=,1。 245果，10的能 a-1 a2-a 1 5.（25-26八年级上山东济南期未)已知x=2:)2一则代数式r+30+)的值为一 6.(25-26八年级上山东枣庄期中)(1)计算：(5-1-(5-2(5+2. (2)已知：a=√3-2，b=√3+2，求代数式a2+2ab+b2的值. 题型4整体代入求值 嫩方法 题型特征：已知条件为对称式，目标代数式可通过变形转化为已知条件的形式，避免直接代入复杂计算。 核心技巧：计算y、x十y、x-y等中间量；将目标式分解为含中间量的表达式。 解题步骤： 1.计算中间量：根据己知条件，求出y、x+y、x-y等对称式的值： 2. 变形目标式：将目标代数式分解为含中间量的表达式： 3.代入计算：将中间量代入变形后的表达式，得出结果。 1.(24-25八年级上四川成都月考)已知x=√3+1，则代数式x2-2x+2的值为 2.(24-25八年级下山东烟台期末)若x=√5+2，则代数式x2-4x+7的值为 3.(24-25八年级下·山东济宁.期末)当x=√2+1时，代数式x2-2x= 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上山东济南·月考)阅读材料：像(V5+2)(5-2)=1,√aVa=a(a≥0)..这种两个含 二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二次根式运算 时，利用有理化因式可以化去分母中的根号.数学课上，老师出了一道题“已知a2,求 1 3a2-6a-1的值”. 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 1 因为a= √2+1 -=√2+1 √2-1(W2-1)(W2+1) 所以a-1=√2 所以(a-1)2=2,所以a2-2a+1=2 所以a2-2a=1,所以3a2-6a=3,所以3a2-6a-1=2. 请你根据上述材料和小明的解答过程，决如下问题： 1 (1)√3-√2的有理化因式是 5-√2 (2)比较大小：√2026-√2025 √2025-√2024（填>，<，≥或≤中的一种）； 1 1 1 1 (3)计算： 2++5+2+V4+5++2025+V2024 (V2025+1; 2 (4若a 3-V7’求-2a2+12a+3的值. 5.(25-26八年级上山东青岛月考)化简求值： 6.(24-25八年级上山东青岛·开学考试)在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 2+5,求2a2-8a+1的值 己知a= 他是这样解答的： 1 2-√5 因为02+5+5j2-同2-5. 所以a-2=-√5， 所以(a-2)=3,a2-4a+4=3, 所以a2-4a=-1, 所以2a2-8a+1=2a2-4a+1=2×(-1)+1=-1 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 (1)化简： 2-5 1 (2)化简： 1 2+i5++4+5++ 一十一 √2024+√2023 (3)若a= S),按照小明的做法，求。-4a+4的但