微专题02 平行线中的基本模型（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02平行线中的基本模型 猪蹄模型 铅笔头模型 平行线中的基本模型 靴子模型 骨折模型 德点量码 题型1猪蹄模型 啸方法 模型 猪蹄模型 猪蹄模型的扩展 B 图例 D 结论 ∠A+∠C=∠E ∠A+∠F+∠C=∠E+∠G 1. (2026河南郑州一模)如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，AB∥CD,∠A=53°，∠APC=103° 则∠C的度数为() D 图1 图2 A.430 B.50° C.53° D.60° 1/12 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级上·河南郑州期末)如图，直线 ∥∠MAB=126°，∠NBA=86°，则1+∠2的度 数为() M B 2 A.30° B.32° C.36° D.40° 3.(25-26七年级上·河南周口·期末)在2025年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了 优异的成绩，图I为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图2所示的图形，已知滑雪杖AB和滑雪板DE平行， 滑雪杖AB与大腿BC的夹角为40°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为65°，则大腿与小腿的夹角∠C的度 数为() 40B C 65>E 图1 图2 A.105° B.100° C.90° D.75 4.(25-26七年级上·重庆·期末)如图，已知直线 MN∥Pg∠A=142、∠2=l14P,∠MAB的角平分线 与∠PDC的角平分线交于点E,则∠AED= M B E 2 P 5.(25-26七年级上四川乐山期末)如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束 光线OA、OC经灯碗反射以后沿着与P0平行的方向射出，已知∠OAB=25°，OA1OC,则∠OCD的 度数为一°. 2/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25° 0 D 6.(25-26七年级上山西运城期末)如图，直线AB∥CD,射线EF与AB交于点G,H为CD上一点， 连接EH,M为EH上一点，过点M作MN∥AB,连接GM.若∠FEH=90°，∠CHE=∠EMG=65°， 则∠GMN+∠BGF= A B G E M D 题型2铅笔头模型 啸方法 模型 铅笔头模型 铅笔模型的扩展 A B A 图例 E D D 结论 ∠A+∠C+∠E=360° ∠A+∠E+∠F+∠G+∠C=720° 1.(25-26七年级上四川遂宁·期末)如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下 垂并保持平行.抽象成如图所示的几何图形，AB∥EF,若∠A=100°，∠P=135°，则∠E的度数为 () 3/12 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.100° B.115o C.125° D.135° 2.(25-26七年级下·全国·周测)某小区车库门口的曲臂直杆道闸可抽象为如图所示的模型.己知AB垂直 于水平地面AE,当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保 持水平状态上升(CD与AE始终平行)，在该运动过程中，∠ABC+∠C的度数始终等于 C D B 3.(25-26七年级上·山西临汾期末)转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配 性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点.小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一 道数学问题：如图，AB∥CD,∠BAE=∠AEC=105°，则∠ECD的度数为() B D A.155° B.150° C.135o D.75 4.(25-26七年级上·山西长治·期末)如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架， 其主要作用是动力传输.如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD,CG∥EF, ∠BAG=150°，∠AGC=80°，则∠DEF的度数为() C E G 图1 图2 A.150° B.155° C.130° D.80° 4/12 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26七年级上·福建泉州·期末)图1是生活中常见的一种折叠道闸，它是由转动杆和水平杆两节组 成.图2是由这种折叠道闸抽象出来的几何图形，其中BC为转动杆，CD为水平杆，当转动杆BC转 动时，CD杆始终保持水平，即CD∥AE.已知BA⊥AE. C_D B C'D 49777 图1 图2 图3 (如图3，当转动杆8C转动到B,C,D 点在同一条直线上时，BD∥ME.若∠BCD=140°，求 LCBC 的大小： 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）. :CD∥AE,BD'∥AE(已知)， “CD∥()（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， ∴.∠BCD+()=180°( ). ∴.∠CBC=180°-∠BCD=180°-140°=40°. (2)如图2，在转动杆BC转动过程中，∠ABC+∠BCD的大小是否发生改变？若变化，请说明理由：若 不变，请求出它的大小. 6.(25-26八年级上江西抚州期末)问题情境：如图1，AB∥CD,∠0CD=110°，∠0BA=140°，求 ∠BOC度数. D E-------- B 图1 图2 小彬的思路是：过O作OE∥AB,通过平行线性质来求∠BOC (①)按小彬的思路，求∠BOC的度数： 5/12 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB∥CD OF ∠ABE=a∠CDE=B (2)问题迁移：如图2， ,点E在射线上运动，记 ,当点E在 A,C两点之间运动时，问∠BED与a,B之间有何数量关系？请说明理由： (3)在(2)的条件下，如果点E在A,C两点外侧运动时（点E与点O,A,C三点不重合），请直接写 出∠BED与a,B之间的数量关系. 题型3靴子模型 啸方法 模型 靴子模型 鹰嘴模型 图例 D 结论 ∠E=∠A-∠C ∠E=∠C-∠A 1. (25-26八年级上·河南郑州期末)如图，已知AB∥DE,点C在AB上方，连接BC,CD ∠ABC=150°，CB与DF互相垂直，垂足为F,求∠EDF的度数为() B A.30° B.60° C.55 D.65° 2.(25-26八年级上·江西宜春·期末)为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家 级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象 成图2的数学问题：已知AB∥CD,∠BAE=75°，∠DCE=120°，则∠E=一· 图1 图2 6/12 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26七年级上·河北邯郸期末)(1)如图①，AB∥CD,如果∠BAE=60°，∠ECD=45°，求 ∠AEC的度数.请将下面的求解过程填写完整. 解：过点E作直线EF,使EF∥AB, 因为EF∥AB,所以∠BAE=∠I.() ∠BAE=60° 又因为 所以1=。 因为EF∥AB,且AB∥CD, 所以一· (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.) 所以∠ECD= =45° 所以∠AEC=°. (2)如图②，AB∥CD,如果∠BAE=120°，∠ECD=140°，请问∠AEC等于多少度？写出求解过程. (3)填空：如图③，AB∥CD,请用一个等式表示∠BAE、∠AEC与∠ECD三个角之间的关系： E 图① 图② 图③ 4.(25-26八年级上全国期末)综合探究 G A B B --M 6 D 图① 图② 图③ (I)【基本感知】如图①，AB∥CD,∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数.小乐的解题方法 如下，请补全下列过程. 解：如图①，过点P作PM∥AB, ∠1=∠AEP=40°(). 则 .AB∥CD(已知)， 7/12 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PM∥ (平行于同一直线的两条直线平行). ( 两直线平行，同旁内角互补 :∠PFD=130(已知)， ∠2=180-∠PFD=50(等式的性质). 1+22=40+50=90,即∠BPF=90(等量代换〉. (2)【深入探究】如图②，AB∥CD,∠AEP=50°，∠CFP=120°，∠AEP的平分线和∠CFP的平分 线相交于点G,求∠EGF的度数. (3)【拓展应用】如图③，已知直线 6,点，8在直线“上点4在点8的右侧，点C,D ∥b 直线 b上（点C在点D的左侧），连接AD,BC,分别作∠ABC和∠ADC的平分线，两条角平分线所在的 直线相交于点5.设一46C=a,∠40CB“产，请直接用合“，月的式于表示BD, 的度数. 6.(25-26八年级上安徽阜阳·月考)图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯时的情景，图2是其平面 示意图.已知路灯AB和折臂的底座CD都与地面MN垂直，同时上折臂AE与下折臂DE的夹角 ∠AED=74°，下折臂DE与底座CD的夹角DCDE=l24°，求上折臂AE与路灯AB的夹角∠BAE的度数. E M- B 图1 图2 题型4骨折模型 嫩方法 棋型 骨折模型 骨折模型的扩展① 骨折模型的扩展② 8/12 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图例 B A D D 结论 ∠E=∠C-∠A ∠E=∠A+∠C-180° ∠E=∠A+∠C-180° 1.(25-26八年级上全国课后作业)如图， AB∥CD∥EFt∠A=30°，∠AFC=15 若 ,求C 的度数. 中 A C -E ∠2=∠3，∠1=58° a∥b 2.(2025八年级上·全国专题练习)如图， 若要使“/6，则4的度数应为多少？ -a 3.(25-26七年级上·重庆·期末)如图，已知AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，点Q在AB的上方， 连接QF,QE.点P在AB与CD之间，连接PF,连接PE并延长至点H,满足∠QEH=2∠HEB, ∠PFQ=2∠PFC ,设<0=33 ，则P的度数为() H —B E P< -D A.68° B.70° C.71° D.72° 4.(25-26七年级上四川乐山月考)已知AB∥CD,点M,N分别是AB,CD上两点，点G在AB,CD 之间，连接MG,NG.点E是AB上方一点，连接EM,EN,若GM的延长线MF平分∠AME,E平 分∠CNG,2∠MEN+∠MGN=105°，则∠AME= 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级上山西晋中期末)材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中， 他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重 组从而解决问题.为此，老师给出如下问题： 如图O,AB∥CD,EF⊥AB,交AB于点Q,FG交CD于点P.请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数 量关系： 如图②，明明同学通过在点F处作MN∥CD,利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题： N∥FG 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作 ,同样也有着异曲同工之 妙 图① 图② 图③ 35 【问题解决】 (1)请判断∠EFG与∠DPG有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 (2)如图④，AB∥CD,反向延长∠ABP的平分线BE,交直线CD于点F,点H在直线CD上，连接 PH,若∠EFC=50°，∠PHC=70°，求∠P的度数； 【变式探究】 (3)如图⑤，AB∥CD,DN平分∠CDP,且AP⊥PD,DPAB+2DPAN=l80°，请直接写出∠DNA 10/12 微专题02 平行线中的基本模型 题型1 猪蹄模型 模型 猪蹄模型 猪蹄模型的扩展 图例 结论 1．（2026·河南郑州·一模）如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过P作，利用平行线的性质，求解即可． 【详解】解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 2．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、几何图形中的角度计算等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 如图：过点A作，过点B作，由平行线的性质可得；再说明可得，最后根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 3．（25-26七年级上·河南周口·期末）在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则________． 【答案】142 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 过点B作，过点C作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点E作，则，因此． 【详解】解：过点B作，过点C作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：142． 5．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为_______． 【答案】65 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． 根据题意得到，进而得到，，再根据得到，进而计算即可． 【详解】解：∵从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即 ∴． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·山西运城·期末）如图，直线，射线与交于点，为上一点，连接，为上一点，过点作，连接．若，，则____________． 【答案】75 【分析】本题考查平行线的判定与性质，对顶角相等，过点作交于点，推出，推出，进而求出，由平行线的性质结合对顶角相等推出，再根据平行线的性质推出，进而求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作交于点， ， ． ． ， ． ， ， ，， ， ， ． ． 故答案为：． 题型2 铅笔头模型 模型 铅笔头模型 铅笔模型的扩展 图例 结论 1．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·周测）某小区车库门口的曲臂直杆道闸可抽象为如图所示的模型．已知AB垂直于水平地面AE，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（CD与AE始终平行），在该运动过程中，的度数始终等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 根据题意，结合图形，得到，再利用两直线平行，同旁内角互补，得到，则，最后． 【详解】解：如图，过点作， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·山西临汾·期末）转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 4．（25-26七年级上·山西长治·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．延长交直线于点，根据平行线的性质求出，从而求出，再由求出，从而求出的度数． 【详解】解：延长交直线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 5．（25-26七年级上·福建泉州·期末）图1是生活中常见的一种折叠道闸，它是由转动杆和水平杆两节组成．图2是由这种折叠道闸抽象出来的几何图形，其中为转动杆，为水平杆，当转动杆转动时，杆始终保持水平，即．已知． (1)如图3，当转动杆转动到三点在同一条直线上时，．若，求的大小； 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． （已知）， （________）（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （________）（________）． ． (2)如图2，在转动杆转动过程中，的大小是否发生改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的大小． 【答案】(1)见解析 (2)的大小不会改变， 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据题干的提示求解即可； （2）过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】（1）解：（已知）， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． ； （2）解：的大小不会改变，， 如图，过点作， ， （平行于同一条直线的两条直线平行） （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， （辅助线作法）， ∴， ． 6．（25-26八年级上·江西抚州·期末）问题情境：如图1，，，，求度数． 小彬的思路是：过O作，通过平行线性质来求． (1)按小彬的思路，求的度数； (2)问题迁移：如图2，，点E在射线上运动，记，，当点E在A，C两点之间运动时，问与α，β之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点E在A，C两点外侧运动时（点E与点O，A，C三点不重合），请直接写出与α，β之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）根据平行线的判定和性质解答即可； （2）过点E作，可得，从而得到，，即可解答； （3）分两种情况，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ，， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图1，过点E作， ， ， ，， ； （3）解：如图2所示，当E在延长线上时，过点E作， ， ， ，， ； 如图3所示，当E在延长线上时，过点E作， ， ， ，， ； 综上所述，与α，β之间的数量关系为或． 题型3 靴子模型 模型 靴子模型 鹰嘴模型 图例 结论 1．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，已知，点在上方，连接，．，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，理解题意，作出辅助线是解题关键． 过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江西宜春·期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（_） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 4．（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 (1)【基本感知】如图①，，，，求的度数．小乐的解题方法如下，请补全下列过程． 解：如图①，过点作， 则_ ∵ (已知)， ∴______  (平行于同一直线的两条直线平行)． _两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． (2)【深入探究】如图②，，，，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． (3)【拓展应用】如图③，已知直线，点，在直线上点在点的右侧，点，在直线上点在点的左侧，连接，，分别作和的平分线，两条角平分线所在的直线相交于点．设，β（β），请直接用含，的式子表示的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等，， (2)的度数为 (3)的度数为或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义．熟练掌握“作平行线，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补”的辅助线方法，以及分类讨论点的位置情况，是解题的关键． （1）通过作平行线，利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合已知角度计算． （2）先利用角平分线得到半角，再作平行线，结合平行线的性质（内错角相等），通过角度差计算． （3）分点的位置情况，作平行线，利用平行线的性质和角平分线的定义，推导与、β的关系． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 则（两直线平行，内错角相等） ∵已知， ∴平行于同一直线的两条直线平行． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换． 故答案为：两直线平行，内错角相等，，； （2）解：是的平分线，是的平分线， ， 如图，过点作 ， ， 的度数为 （3）解：的度数为或或或 分以下情况： ①如图，当点在上方时，直线交于点，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在下方时，同理可得 ②如图，当点在和之间且点在右侧时，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在和之间且点在左侧时，同理可得 综上，的度数为或或或 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯时的情景，图2是其平面示意图．已知路灯和折臂的底座都与地面垂直，同时上折臂与下折臂的夹角，下折臂与底座的夹角，求上折臂与路灯的夹角的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用． 过点E作交于点F，过点D作，由平行线的性质求出，进而求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，过点D作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 题型4 骨折模型 模型 骨折模型 骨折模型的扩展① 骨折模型的扩展② 图例 结论 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，．若，求的度数． 【答案】 【分析】利用平行线的性质，先求出与相关的角，再求出，最后根据另一组平行线的性质得出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等，利用平行线性质逐步推导角的度数是解题的关键． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，．若要使，则的度数应为多少？ 【答案】 【分析】要使，需利用平行线的判定与性质，结合已知角的关系，求出的度数． 【详解】解：如图，延长AE交直线b于点B． ， ． 当时，， ． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握作辅助线构造平行关系，利用平行线的同位角相等、内错角相等性质转化角是解题的关键． 3．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线是解答的关键． 设，，作，，则，利用平行线的性质，结合图形中的角的数量关系列方程求得，进而由求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴，， 如图，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴，解得， ∴，即， 故选：C． 4．（25-26七年级上·四川乐山·月考）已知，点M，N分别是上两点，点G在之间，连接．点E是上方一点，连接，若的延长线平分，平分，，则________ ． 【答案】/50度 【分析】过G点作，过E点作．设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得 ，再根据，据此计算即可求解． 【详解】解：如图，过G点作，过E点作. ∵， ∴， 设，则． ∵平分， ∴． ∴． ∵, ∴， ∵平分， ∴, ∵， ∴． ∵, ∴ ∴, ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】作平行线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 5．（25-26八年级上·山西晋中·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 5．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等； (2)82 (3)，理由见解析 【分析】（1）过作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点作（点在点的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点作（点在点的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） （2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下： 过点作（点在点的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：． 6．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②当与三角形的一边垂直时，或24或30 【分析】本题考查平行线的性质与判定，对顶角相等，垂直的定义； （1）过点作，得到，结合，得到，则，即可得到； （2）①由（1）得，得到，再由角平分线得到，过点作，可以得到； ②当时，，，，，，，再分，，三种情况讨论，分别画出图形，结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， 整理得， ∵的平分线和的平分线交于点， ∴，， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当时，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，此时，， ∴， 解得； 当时，交于点，如图，此时，， ∵， ∴， 解得； 当时，交直线于点，如图，此时，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30． / 学科网（北京）股份有限公司 $