微专题01 平行线的判定与性质证明（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

微专题01 平行线的判定与性质证明 题型1 利用角的关系判定两直线平行 题型描述：给出两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角或同旁内角的关系（如相等、互补），要求证明这两条直线平行。 常见问法：“求证：a∥b”“判断直线AB与CD是否平行，并说明理由”。 核心依据：平行线的判定公理及定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行）。 1．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则与平行，这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点之间线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知，下列图形中，能确定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定定理，准确识别角的位置是解题关键． 根据平行线的判定定理对选项依次进行判断即可． 【详解】解：选项：和是由两条不同的截线形成的角，无法推导出； 选项：和是和被所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可推出； 选项：和的两条边所在的直线没有公共截线，不构成同位角、内错角或同旁内角，无法判定平行； 选项：和的位置不构成同位角、内错角或同旁内角，不能判定． 故选：． 4．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，下列条件中，不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键． 根据平行线的判定知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； B、，则（同旁内角互补，两直线平行），故不符合题意； C、，则，不能证明，故符合题意； D、，而，故，则（同位角相等，两直线平行），故不符合题意； 故选：C． 5．（24-25六年级下·山东淄博·期中）我们可以用图示所示方法过直线a外的一点P折出直线a的平行线b，①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行于同一条直线的两条直线互相平行，以上判定能作为这种方法依据的有_______． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，理解判定是关键；由折纸过程即可得过点P的直线均与直线a，b垂直，则由平行线的判定可判定直线a的平行线b． 【详解】解：由题意知，过点P作直线a的垂线c，再过点P作直线c的垂线b，则直线c分别与直线a，直线b垂直，由同位角相等，两直线平行；或内错角相等，两直线平行；或同旁内角互补，两直线平行；均可判定． 故答案为：①②③． 6．（24-25七年级下·山东德州·月考）如图所示，平分，平分，且，试说明与的位置关系． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，平行线的判定；由平分，平分，根据角平分线的性质可得，，由，可得，根据同位角相等，两直线平行即可证得结论． 【详解】解： 平分，平分， ，， ， ， ． 题型2 利用平行关系推导角的关系 题型描述：已知两条直线平行，要求推导被第三条直线所截形成的同位角、内错角相等或同旁内角互补，或进一步推导其他角的度数。 常见问法：“求∠1的度数”“求证：∠2＝∠3”“若AB∥CD，则∠B＋∠C＝？”。 核心依据：平行线的性质公理及定理（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）。 1．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，，点E在上，点F，G在上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴ ，， ∴，即． 2．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 3．（24-25七年级下·山东威海·期末）填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴_____．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ _________________ ） ∴．（ _________ ） 【答案】 C 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∴．（ 同角的补角相等 ） 故答案为：C，两直线平行，同旁内角互补， 同角的补角相等． 4．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）将与两边平行的纸条按如图所示折叠，，则的度数为______． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，折叠的性质与邻补角的定义．根据题意得：，，由折叠的性质，即可求得的度数． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 由折叠的性质得， ， ． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ______________ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图所示，，且与的平分线交于点F， (1)判断与的数量关系． (2)若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点E作，根据猪蹄模型进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， （2）解：∵， ∴． 题型3 判定与性质的综合应用 题型描述：结合平行线的判定与性质，涉及多个直线、多个角的复杂证明或计算（如折叠问题、三角板摆放问题、实际问题中的平行关系）。 常见问法：“求证：FG⊥AB”“求∠1的度数（含三角板）”“说明纸带两边线平行的理由”。 核心逻辑：通过“判定→平行→性质”或“性质→角关系→判定”的转化，将已知条件与结论关联。 1．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知直线，点E、F分别在直线、上，如图，点H是直线与外一点，连接、．若，，，点P、H、Q在同一直线上，若，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，解一元一次方程．设，则，过点P作，过点H作，过点Q作，则，则，，，因此，而由，得，因此，代入得，化简得，故，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：过点P作，过点H作，过点Q作，    ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，即． ∵， ∴， 解得， 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东青岛·期末）（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明，请你根据所学知识完成（1）的证明并在括号内填入适当的理论依据，同时完成（2）． (1)过点作． ，， ____________， ______（           ）， 又， ， 又， ______． (2)如图2，现有含角的直角三角板，含角的直角三角板，将这一副三角板和一张对边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，直角三角板的斜边与纸条一边重合，直角三角板的顶点在纸条的另一边上，点与点重合，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，根据两直线平行，内错角相等得到，，再由角的和差关系可得答案； （2）过点作，则，证明，得到，再求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作． ，， ， （两直线平行，内错角相等）， 又， ， 又， ； （2）解：如图，过点作， ， ， ， ， ∵， ， ． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定及性质是解题关键． （1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合求出． 【详解】（1）证明：，， ， ． （2）解：，， ， ， ， ． 5．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）已知，平分． (1)如图1，判断和的位置关系，并说明理由； (2)点在射线上，点在射线上，，连接． ①如图2，若点在点的右侧，，求的度数； ②如图3，若点在点的左侧，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线，垂直的意义等知识点． （1）根据角平分线结合已知得到，即可求证平行； （2）①过点作，先根据平行线的判定与性质证明，那么，则，，再由垂直的意义以及角的和差运算即可求解；②过点作，先证明，则，再由平行线的性质以及角的和差运算求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为平分， 所以， 因为， 所以， 所以． （2）解：①过点作， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以； ②过点作， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，， 因为， 所以． 6．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；等量代换 (2) (3)存在，定值为 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握平行线的性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）根据平行线的性质，结合等量代换进行证明即可； （2）过点N作，设、，进而得到，结合垂线的性质得到，进而得到，从而得到； （3）由结合（2）中的结论，得、，进而得到，及，由角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，进而得到，从而计算的值． 【详解】（1）证明：（已知）； （两直线平行，内错角相等）． （已知）； （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；等量代换； （2）解：如图2，过点N作， ， ， 、， 、是、的角平分线， ∴、， 设、， 、， ， ， 、， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，设、， ， ， ， ， ， 、， ， ， 、， 平分， ， ， ， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01平行线的判定与性质证明 利用角的关系判定两直线平行 平行线的判定与性质证明 利用平行关系推导角的关系 判定与性质的综合应用 /00 偏点量戒 题型1利用角的关系判定两直线平行 煤方法 题型描述：给出两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角或同旁内角的关系（如相等、互 补)，要求证明这两条直线平行。 常见问法：“求证：a∥b”“判断直线AB与CD是否平行，并说明理由”。 核心依据：平行线的判定公理及定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行）。 1.(25-26七年级上·福建福州期末)如图，点E在AD的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是 () B 3 D E A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠C=∠CDE D.∠C+∠ADC=180° 2.(25-26七年级上江苏镇江·期末)如图，将两块相同的直角三角板按图示摆放，则AB与CD平行，这 ·判断过程体现的数学依据是() 。。 1/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.垂线段最短 B.内错角相等，两直线平行 C.两点之间线段最短 D.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3.(24-25七年级上·河南南阳·期末)已知∠1=∠2，下列图形中，能确定AB∥CD的是() H B A B 4.(25-26八年级上·福建漳州·月考)如图，下列条件中，不能判断AB∥CD的是() E B 人2 D A.∠1=∠C B.∠BAC+∠C=180° C.∠2=∠C D.∠ABE+∠2=180° 5.(24-25六年级下山东淄博期中)我们可以用图示所示方法过直线a外的一点P折出直线a的平行线 b,①同位角相等，两直线平行：②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；④平行 于同一条直线的两条直线互相平行，以上判定能作为这种方法依据的有 P 6.(24-25七年级下山东德州月考)如图所示，AD平分∠BAC,EF平分∠DEC,且∠1=∠2，试说明 DE与AB的位置关系. 2/8 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2利用平行关系推导角的关系 螺方法 题型描述：已知两条直线平行，要求推导被第三条直线所截形成的同位角、内错角相等或同旁内角互 补，或进一步推导其他角的度数。 常见问法：“求∠1的度数”“求证：∠2=∠3”“若AB‖CD,则∠B+∠C=?”。 核心依据：平行线的性质公理及定理（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）。 L.(25-26七年级下·浙江宁波·月考)如图，AB∥CD,点E在CD上，点F,G在AB上，设∠AFE=C, ∠EGB=B∠FEG=O ,则() F G D E 0+B+0=360° a+B+0=210° A. B. a+B-0=1809 a+B-0=150° D. 2.2526七年级上江苏苏洲州期末如图。B1CD43ZCDE,2ABE,则DER /DEE8 为() A.2:1 B.3:1 C.3:2 D.4:3 AB∥DC,AD∥BC ∠A=∠C 3.(24-25七年级下·山东威海期末)填空：如图，已知 ,则可推得： ,理 3/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由如下： :B∥DC (已知)， .∠B+∠=180°.（两直线平行，同旁内角互补） :AD∥BC(已知)， ∴.∠A+∠B=180°，( ∠A=∠C.() D 4.(25-26八年级上·黑龙江大庆期末)将AD与BC两边平行的纸条ABCD按如图所示折叠， ∠EFC=62°，则∠1的度数为· D ----,D 62c a∥bMN 5.(25-26七年级上江苏南京期末)如图，直线”，点、 分别在直线“、6上，P为两平行线间 一点，那么∠1+∠2+∠3等于 M -b 6.(25-26八年级上山东青岛·期末)如图所示，AB∥CD,且∠ABE与∠CDE的平分线交于点F, A B E< (I)判断∠F与∠BED的数量关系. (2)若∠BED=70°，求∠F的大小. 4/8 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3判定与性质的综合应用 啸方法 题型描述：结合平行线的判定与性质，涉及多个直线、多个角的复杂证明或计算（如折叠问题、三角板 摆放问题、实际问题中的平行关系)。 常见问法：“求证：FG⊥AB”“求∠1的度数（含三角板）”“说明纸带两边线平行的理由”。 核心逻辑：通过“判定→平行→性质”或“性质→角关系→判定”的转化，将已知条件与结论关联。 1.(25-26七年级上山东济南期末)已知直线AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上，如图，点H 是直线B与CD外一点，连接H孤、r.若∠BF=20°，∠BEH=n∠PEH,∠CFH=m☑HFQ, 点PA、0在同-直线上，若0-∠P-50 ,则n的值为() A.3 B.4 C.5 D.6 2.(25-26八年级上山东青岛期末)(1)基础问题：如图(1)，若AB∥CD,∠BEP=140°， ∠PFC=50°，则∠EPF的度数为 (2)问题迁移：如图(2)，若AB∥CD,点P在AB的上方，问：∠PEA、∠PFC、∠EPF之间有什 么数量关系？请说明理由。 (3)联想拓展：如图(3)，在(2)的条件下，已知∠EPF=a°，∠PFC=,∠PEA。 的角平分线和 ∠PFC的平分线交于点G,则∠G 。(用含有“、B的代数式表示) 5/8 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图(1) 图(2) 图(3) 3.(25-26七年级上山东济南期末)在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若 AB∥CD,点P在AB、CD内部，探究∠B,∠D,∠BPD的关系.小明只完成了(I)的部分证明， 请你根据所学知识完成(1)的证明并在括号内填入适当的理论依据，同时完成(2)· 0过点作51B PE∥AB,AB∥CD, ∴.∠D=（ 又PE∥AB .∠B=∠BPF, 又'∠BPD=∠BPF+∠DPF, .∴.∠BPD= E------ 图1 (2)如图2，现有含45°角的直角三角板ABC,含30°角的直角三角板DEF,将这一副三角板和一张对 边平行的纸条按如图方式摆放，两个三角板的一直角边重合，直角三角板DEF的斜边与纸条一边FD 重合，直角三角板ABC的顶点A在纸条的另一边AG上，点C与点E重合，求∠GAC的度数. G C(E D 图2 4.(25-26八年级上山东青岛期末)已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DB=90°，E、F分 6/8 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 别是边AB、AC上的点，且EF∥AD. D E (1)求证：∠1=∠2： (2)若∠3=55°，求∠BAC的度数， CE平分 ACD,∠ACE=∠CEA=36° 5.(24-25七年级下·山东潍坊期中)已知， E P B 图1 图2 图3 (1)如图1，判断AB和CD的位置关系，并说明理由： 2)点'在射线1B上，点°在射线CD上，∠POC=∠ OE ，连接 ①如图2，若点P在点E的右侧， CE⊥QE∠PQE ，求 的度数： ②如图3，若点P在点E的左侧， ∠CEQ=an∠PQE ，求 的度数.（用含”的代数式表示） 6.(25-26七年级上湖南长沙期未)已知：AB∥CD,E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，满足 EF∥GH GB A 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠1=∠2.下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：AB‖CD(已知)： 7/8 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠1=∠GHD(). ,EF∥GH(已知)； (两直线平行，同位角相等)· ∴.∠1=∠2(). (2)如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M,作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N,EN交 GH于点P,求∠ENF的度数； ∠GQH (3)如图3，在(2)的条件下，当∠FEN=2∠HFM时，请问是否存在ZGPN为定值，使得QG平分 ∠GQH ∠4GM？若存在，请求出ZGPN的值：若不存在，请说明理由. 8/8