专题02 二项式定理重点问题全归纳（压轴题9大类型专项训练）高二数学人教A版选择性必修三

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二项式定理重点问题全归纳 目录(Ctrl并单击鼠标可跟踪链接) 典例详解 类型一、三项展开式问题 类型二、两个二项式相乘展开问题 4 类型三、二项式系数问题 7 类型四、有理项问题 9 类型五、二项式系数和与各项系数和问题 类型六、系数最大（小）项问题 14 类型七、其他赋值法技巧（含奇次、偶次项系数和） 17 类型八、整除和余数问题. 20 类型九、近似计算问题 23 压轴专练 24 典例详解 类型一、三项展开式问题 求(a+b+c)”(neN)型展开式中问题的方法 (1)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题 (2)因式分解法：将三项式利用因式分解变为两个二项式，然后再用二项式定理求解问题， (3)组合知识法：把(a+b+c)”看成n个a+b+c的乘积，利用组合知识分析项的构成 1.(24-25高二下江苏南京·期中)在(2x+y+3z)的展开式中y3z2项的系数为() A.360 B.540 C.720 D.1080 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25高二下·安徽宣城期末)（x2+2x+y的展开式中，xy2的系数是() A.60 B.30 C.20 D.10 1 3.(2425高二下全国期未)(x+2)展开式中的常数项为（） A.-671 B.671 C.-1342 D.1342 4,(24-25高二下宁夏银川月考)(2'-1+V2的展开式中常数项为() A.23+120V2B.23-120√2 C.-23+120W2 D.-23-120V2 5.(24-25高二下·河北沧州期末)已知在x2+x+a展开式中含x的项的系数为51，则正实数a的值为 6.(2025高二·全国.专题练习)在(x-y)(x+2y+z)°的展开式中，x2yz2的系数为. 类型二、两个二项式相乘展开问题 求两个因式之积的特定项（或系数）的两种常用方法 对每一个二项式展开，利用多项式 <方法- 乘法法则对其展开即可 先利用运算性质对其进行化简，再 方法三 利用二项式定理进行展开 1.(25-26高二上黑龙江期末)在2+x-)的展开式中，xy的系数为（) A.7 B.15 C.30 D.65 2.(2526商二上辽宁朝阳期末)(3+x-展开式中的系数为（) A.-50 B.-100 C. -200 D.-300 3.(2425商=下山东来生期末)-2x+左 的展开式中x2的系数为() A.-80 B.80 C.-40 D.40 6 42425商=下北期)2+4任 的展开式中x的系数为75，则a=() 2/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.±25 B.±1 C.±2 D.±4 5.(25-26高二上河南驻马店·月考)若(x-1)(2x+1)=a+a1x+a2x2+ax3+a4x4+ax3,则a3=() A.8 B.-8 C.2 D.42 6.(24-25高二下·福建莆田·期中)在(1+x)(1+y)的展开式中x2y项的系数为() A.36 B.45 C.60 D.72 7.(25-26高二上辽宁·月考)(1-x+x2)1+x)2的展开式中x的系数为() A.-1 B.0 C.1 D.2 类型三、二项式系数问题 二项式(a+b)”的展开式的特点 ①项数：共有”+1项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第r+1项的二项式系数为C,最大二项式系数项居中； 1.(24-25高二下.陕西咸阳·月考)在 的展开式中，第4项的二项式系数为() A.5 B.10 C.-80 D.160 2.(24-25高二下全国·课后作业)(1-3x)的展开式中含x4的项的二项式系数为() A.15 B.20 C.-540 D.1215 3.(2425高二下-山东期中)若二项式2x-人】 的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则”=() A.12 B.10 C.9 D.8 4.(2425高二下山东期中)已知x2 的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则n的值为() A.6 B.7 C.8 D.9 5.(24-25高二下·重庆期中)已知(1+√x)”的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数 列，则n=() 3/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.11 B.14 C.11或23 D.14或23 类型四、有理项问题 1,在二项式（√3+x)的展开式中系数为有理数的项的个数是(） A.4 B.5 C.6 D.7 10 2.(23-24高二下江苏南通·月考)二项式 的展开式中有理项的项数为() A.4 B.5 C.6 D.7 3.(2425商=下安徽期未)已知-》 的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为 的4，则展开式 中的有理项的项数为() A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知（√2+√6）展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 类型五、二项式系数和与各项系数和问题 1、 二项式系数和：(a十by的展开式中二项式系数的和为C0n十C1n十..十Cnn=2”. 2、对形如(ax+by)”(a,bER,nEN')的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可 1.(25-26高二下·黑龙江·开学考试)已知(2x-1)”的二项式系数之和为32，则展开式中X的系数为() A.-80 B.-40 C.40 D.80 2.(24-25高二下·天津期末)己知1-2x)的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项 式系数和为() A.128 B.256 C.512 D.1024 3.(24-25高二下·贵州贵阳·月考)在(5x+3)的展开式中，各项二项式系数的和与各项系数的和之比为 4/12 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1:256,则n=() A.8 B.4 C.6 D.2 4.(24-25高二下广东·期中)己知(2x-1)”=anx”++ax3+a2x2+ax+a。,若(2x-1)“的展开式中所有项的 二项式系数和为16，则a2+a4=() A.40 B.41 C.-40 D.-41 26 5.(25.26高二上黑龙江哈尔滨期中)已知r+ a>0)的展开式系数和为729，则a的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 6.(23-24高二下江西九江·开学考试)已知x2+x+a(2x-1)°展开式中各项系数之和为3，则展开式中的 x系数为() A.-10 B.-11 C.-13 D.-14 的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为() A.10 B.20 C.30 D.40 类型六、系数最大（小）项问题 (1)二项式系数最大项的确定方法 n是不是是偶数 展开式中第（受+1）项的二项 偶数？ 式系数最大，最大值为C学 是奇数 展开式中第生项和第哕 项的二项式系数最大，最 大值为C受或C学 (2)二项展开式系数最大项的求法 5/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设展开式各项系 数分别为A1,A2, 一般采 求(a+bx)"(a,b∈R)的 ·,An+1,且第k 用待定 展开式系数最大的项 项系数最大，应 系数法 用价三：解出 k即可 1.(25-26高二下.全国·课后作业 x- 的展开式中，系数最大的项是() A.第6项 B.第3项 C.第3项和第6项D.第5项和第7项 2.1-x)°的展开式中，系数最小的项是() A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项 3.(24-25高二下·河南洛阳·期中)(3+x)2的展开式中系数最大的是() A.x2的系数 B.x的系数 C.x4的系数 D.x的系数 4.已知x+(a>0)的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是() B. 「45 D.5 25 5.(24-25高二下·广东深圳·月考)在(x+。)”的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中 2 系数最大的项是第()项 A.3 B.4 C.2或3 D.3或4 类型七、其他赋值法技巧（含奇次、偶次项系数和)》 赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法.求解有关系数和题 的关键点如下： ①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：一1,0,1等. ②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值. ③求值，根据题意，得出指定项的系数和。 ④一般地，若f(x)=ao十a+x2+十anx,则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数 6/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 之和为3o2t4十…-0-，偶数项系数之和为1十十5十…四 2 2 1.(25-26高二上北京昌平.期末)若(1-3x°=a+a,x+a2x2+…+anx”,则a1+a2+a3+…+an的值为() A.-32 B.32 C.-225 D.255 2.若(2x-1)=a4x4+a3x3+a2x2+ax+a,则a4-a3+a2-a1=（） A.-1 B.1 C.80 D.81 3.已知(1+2x)=a0+2ax+4a2x2+8ax3+16a4x4,则a1+a2+a3+a4=() A.15 B.16 C.80 D.81 若1-+8+2449，测8a+aa+aa 4 8 16 32 A.-1 B.0 C.1 D.32 5.(24-25高二下河北保定期末)若(1-x’=a+ax+ar2+ax3+ax+ax3+a6+a,x，则 a -a az as +as -as +as -a ( A.0 B.1 C.32 D.-1 6.（25-26高二全国假期作业)已知(2x+1)2025=a,+a,x+a,r2+…+a02sx2025，记 S1=a1+a3+a,+…+a2025,S2=a0+a2+a4+…+a2024,则S-S的值为() A.-32024-1 B.32024 C.-32025 D.32025-1 7.(24-25高二下北京延庆期末)若(1+2x)=a。-2ax+4a2x2-8ax3+16a4x4,则41+a2+a3+a4=（) A.0 B.-1 C.81 D.80 8.已知(1+2x)'=a,+ax+a2x2+ax3+a4x+ax3,则a0-a1+2a2-3a3+4a4-5a5=(). A.-9 B.-10 C.-11 D.-12 类型八、整除和余数问题 1.(24-25高二下山东滨州·期末)155+15被8除的余数为() A.2 B.4 C.6 D.7 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25高二上·江西萍乡·期末)《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设a,b,mm>0)为整数，若a和 b被m除得余数相同，则称a和b模m同余，记为a三b(modm,如12和7被5除得余数都是2，则记为 12=7(mod5).若a=322c2+32C22+32C32+…+3'C0,且a=b(m0d17),则b可以为() A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 3.(25-26高二上·河南驻马店·期末)22026除以9的余数为() A.1 B.2 C.7 D.8 4.(24-25高二下·河北期中)已知12225+a能被11整除，则整数a的值可以是() A.1 B.9 C.10 D.0 5.(24-25高二下·湖北武汉·期末)下列能整除555+9的数是() A.5 B.6 C.7 D.8 类型九、近似计算问题 1.(23-24高二下·江苏苏州期末)1.0120最接近下列哪个数字() A.1.20 B.1.21 C.1.22 D.1.23 2.(24-25高二下·安微·期中)0.99的小数点后第三位数字为() A.4 B.O C.2 D.3 3.某银行大额存款的年利率为3%，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得 到的本利和约为()（单位：万元，结果保留一位小数） A.12.6 B.12.7 C.12.8 D.12.9 压轴专练 1.(2425高二下浙江杭州期中)在二项式x+2的展开式中，二项式系数最大的项是() 8/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.60x4 B.160 C.240x2 D.192x4 2.(2324高二下新疆期中)在二项式+的展开式中，有理项的项数为() A.1 B.2 C.3 D.4 3。若3反-的项展开式中，有且仅有第5装是二项式系数股大的喷，则：《) A.8 B.9 C.10 D.11 2324高—下江苏南通月考)在3x 的二项展开式中，系数最大的项是() A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第5项和第6项 5.己知(1+2x)”(n∈N)的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则n=() A.5 B.6 C.7 D.8 6.(24-25高二下·河北邯郸·月考)在(x-y+2z)的展开式中，xyz2的系数是() A.-240 B.-120 C.120 D.240 7.（x2-x+1(x+1)°的展开式中，x4的系数为() A.-55 B.1 C.5 D.11 8.(24-25高二下·全国·课后作业)(2x-y)的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为() A.第1项和第3项 B.第2项和第4项 C.第3项和第1项 D.第4项和第2项 9.(23-24高二下·内蒙古通辽期中)已知在 1 的展开式中，第6项为常数项，则展开式中所有的 23 有理项共有() A.5项 B.4项 C.3项 D.2项 10.(24-25高二下河南商丘月考)已知G-1+2 的展开式中，常数项为() A.88 B.-88 C.32 D.-32 山.（+}+的展开式中少的系数为() A.4 B.6 C.8 D.10 9/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 12.(25-26高二下·全国·课堂例题) 4x2+ 1-4 的展开式中的常数项是() A.352 B.-352 C.1120 D.-1120 13.(24-25高二下吉林长春期末)(x-1)(x2-2x+2的展开式中，的系数与常数项之差为() A.20 B.19 C.-8 D.-15 14.(24-25高二下·天津东丽月考)己知(4x+a)(1-2x)的所有项的系数和为5，则x的系数为() A.-32 B.-8 C.24 D.48 15.(23-24高二上黑龙江期末)在+ 的二项展开式中，各二项式系数之和为A,各项系数之和为B, 若B-A=240,则n=() A.3 B.4 C.5 D.6 16.(23-24高二下·重庆·月考)已知 1 x+ 的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最 2√ 大的项是第()项 A.2 B.3 C.4 D.5 的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为() A.-448 B.-1024 C.-1792 D.-5376 18.若x+1(x-2)=a+ax+a2x2+…+a,x,则() A.a0=-64 B.a2=64 C.a0+a1+a2+…+a7=2 D.a1+a3+a5+a,=a2+a4+a6 1） 19.己知x+2 的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为() B. 63 16 c.21 16 20.(25-26高二上·辽宁大连期末)《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理” 对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果Q和b除以m所得的余数相同，那么称Q和b对 10/12 专题02 二项式定理重点问题全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、三项展开式问题 1 类型二、两个二项式相乘展开问题 4 类型三、二项式系数问题 7 类型四、有理项问题 9 类型五、二项式系数和与各项系数和问题 11 类型六、系数最大（小）项问题 14 类型七、其他赋值法技巧（含奇次、偶次项系数和） 17 类型八、整除和余数问题 20 类型九、近似计算问题 22 压轴专练 24 类型一、三项展开式问题 求 型展开式中问题的方法 （1）逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题. （2）因式分解法：将三项式利用因式分解变为两个二项式，然后再用二项式定理求解问题. （3）组合知识法：把看成个的乘积，利用组合知识分析项的构成. 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（    ） A．360 B．540 C．720 D．1080 【答案】D 【分析】根据给定多项式，结合指定项及组合数求对应系数即可. 【详解】相当于6个因式相乘， 其中一个因式取，有种取法， 余下5个因式中有3个取，有种取法， 最后2个因式中全部取，有种取法， 故展开式中的系数为． 故选：D 2．（24-25高二下·安徽宣城·期末）的展开式中，的系数是（   ） A．60 B．30 C．20 D．10 【答案】A 【分析】先对目标式合理变形，再利用二项式定理多次展开求解系数即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得的通项为， 欲求的系数，则令，此时对应项为， 后续我们再从找到只含的项即可， 由二项式定理得的通项为， 令，解得，此时对应项为， 故的系数为，故A正确. 故选：A 3．（24-25高二下·全国·期末）展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要使展开式为常数项，则可能是一个和两个相乘，也可能是两个和四个相乘，也可能是所有的相乘，结合二项式定理求解即可. 【详解】要使展开式为常数项，则可能是一个和两个相乘，也可能是两个和四个相乘，也可能是所有的相乘， 所以常数项为：. 故选：D. 4．（24-25高二下·宁夏银川·月考）的展开式中常数项为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及二项式定理写出相关展开式通项，进而令确定参数，即可得常数项. 【详解】由题设，， 对于，有，且为正整数， 令，则，故或或， 所以常数项为. 故选：A 5．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知在展开式中含的项的系数为51，则正实数a的值为______． 【答案】1 【分析】利用三项式展开式原理，可得含的项为含的项的系数，即可求解参数. 【详解】由展开式中， 所以， 解得或（舍）． 故答案为： 6．（2025高二·全国·专题练习）在的展开式中，的系数为______． 【答案】120 【分析】先确定的展开式中含的项为，再确定的展开式中含的项和含的项，系数相加即可得解. 【详解】的展开式中，含的项为， 而的展开式中，含的项为， 含的项为， 因此项的系数为． 故答案为：120 类型二、两个二项式相乘展开问题 求两个因式之积的特定项（或系数）的两种常用方法 1．（25-26高二上·黑龙江·期末）在的展开式中，的系数为（   ） A．7 B．15 C．30 D．65 【答案】A 【分析】根据题意，利用二项展开式的通项公式求出的展开式中含和含的系数，再求原式的的系数即可. 【详解】在的展开式中，的系数为，的系数为， 所以的展开式中，的系数为. 故选：A. 2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】中的与中的第项相乘为含的项，即为含的项，整理后令的次数为解出的值，从而求出这项的的系数，中的与中的第项相乘为含的项，即为含的项，整理后令的次数为解出的值，从而求出这项的的系数，将这两个的项的系数相加即为展开式中的系数. 【详解】中的与中的第项相乘为含的项， 即为含的项， 即，解得，则此项的的系数为， 中的与中的第项相乘为含的项， 即为含的项， 即，解得，则此项的的系数为， 故展开式中的系数为. 故选：C. 3．（24-25高二下·山东枣庄·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B．80 C． D．40 【答案】A 【分析】根据二项展开式通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项公式为， 令时，时，， 令时，无整数解， 故的展开式中的系数为. 故选：A 4．（24-25高二下·湖北·期中）若的展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用展开式的通项公式即可求解. 【详解】因为展开式的通项公式为， 令，得；令，得． 所以的展开式中的系数为，解得． 故选：B． 5．（25-26高二上·河南驻马店·月考）若，则（   ） A．8 B． C．2 D．42 【答案】B 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式含的项为， 所以. 故选：B 6．（24-25高二下·福建莆田·期中）在的展开式中项的系数为（   ） A．36 B．45 C．60 D．72 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式进行合理赋值即可得到答案. 【详解】的展开式的二项式通项为， 令，可得． 的展开式的二项式通项为，令，则． 故项的系数为． 故选：A 7．（25-26高二上·辽宁·月考）的展开式中的系数为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】解法一：将条件整理变形，可得，即可得答案；解法二：由二项式定理计算即可. 【详解】解法一：因为， 所以展开式中的系数为1； 解法二：展开式中的项为， 所以的系数为1. 故选：C 类型三、二项式系数问题 二项式的展开式的特点 ①项数：共有项，比二项式的次数大1； ②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中； 1．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）在的展开式中，第4项的二项式系数为（   ） A．5 B．10 C． D．160 【答案】B 【分析】利用展开式的通项计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为，， 所以第项的二项式系数为. 故选：B 2．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中含的项的二项式系数为（    ） A．15 B．20 C． D．1215 【答案】A 【分析】求出的展开式的通项，求出的展开式中含的二项式系数. 【详解】的展开式的通项为， 令，则的展开式中含的二项式系数为． 故选：A. 3．（24-25高二下·山东·期中）若二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】利用二项式系数性质可得答案. 【详解】因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式共有11项，即. 故选：B. 4．（24-25高二下·山东·期中）已知的展开式中，第2项和第6项的二项式系数相等，则n的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据二项式系数相等可得，即可得结果. 【详解】因为第2项和第6项的二项式系数相等， 则，所以. 故选：A. 5．（24-25高二下·重庆·期中）已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．11 B．14 C．11或23 D．14或23 【答案】D 【分析】根据二项式系数的定义列出等式，解方程即可. 【详解】由题意可得，成等差数列，则， 即， 即，即， 解得或. 故选：D. 类型四、有理项问题 1．在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】由通项公式即可求解. 【详解】通项公式为， 易知当或或或时， 即或或或时，可得有理数项， 所以有理数的项的个数是4， 故选：A 2．（23-24高二下·江苏南通·月考）二项式的展开式中有理项的项数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，求得二项式的展开式的通项为，结合通项，即可求解. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为： ，其中， 当时，展开式为有理项， 所以二项式的展开式中有理项的项数为6项. 故选：C. 3．（24-25高二下·安徽·期末）已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项. 【详解】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 4．已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由二项展开式通项公式为，为整数，取三项，定的最小值． 【详解】二项式展开式的通项为，即，其中． 当为有理项时，必为偶数． 当时，，． 其中，当的值分别为时，为有理项，共有3项． 故的最小值为4． 故选：B． 类型五、二项式系数和与各项系数和问题 1、二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n． 2、对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可. 1．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【分析】先求出，再利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题知，，解得， 所以的展开式的通项为， 令，得，所以的系数为. 故选：B. 2．（24-25高二下·天津·期末）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】根据二项式系数性质，列出方程，求出参数，求出奇数项的二项式系数和. 【详解】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为， 当时，可知； 可得，则奇数项的二项式系数和为. 故选：B. 3．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）在的展开式中，各项二项式系数的和与各项系数的和之比为，则（   ） A．8 B．4 C．6 D．2 【答案】B 【分析】采用赋值法，令得二项展开式中各项系数和为，二项式系数和为，进而可求解. 【详解】的展开式中各项二项式系数的和为， 令得二项展开式中各项系数和为，， 即，解得. 故选：B. 4．（24-25高二下·广东·期中）已知，若的展开式中所有项的二项式系数和为16，则（   ） A．40 B．41 C．-40 D．-41 【答案】A 【分析】由题意，利用二项式系数的性质求得，再利用赋值法求得要求式子的值. 【详解】∵的展开式的所有项的二项式系数和为，∴. ∵， 令，可得， 令，可得， 再令，可得， 即， ∴. 故选：A 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知的展开式系数和为729，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用赋值法，令，即可求出. 【详解】因为的展开式系数和为729， 所以令，则，则，所以或， 因为，所以. 故选：C 6．（23-24高二下·江西九江·开学考试）已知展开式中各项系数之和为3，则展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意对进行赋值求出的值，再将该展开式分解后，分别按要求考虑系数，合并后即得. 【详解】依题意，在中，令可得，，解得，， 则， 则展开式中的项为：，故展开式中的系数为. 故选：B. 7．已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式的常数项，进而得解. 【详解】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式的常数项为. 故选：B 类型六、系数最大（小）项问题 （1）二项式系数最大项的确定方法 （2）二项展开式系数最大项的求法 1．（25-26高二下·全国·课后作业）的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 【答案】D 【分析】结合通项公式写出展开式各项的系数，根据系数的正负性和二项式系数的性质即可得解. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的各项系数分别为， 第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且， 所以系数最大的项是第5项和第7项. 故选：D 2．的展开式中，系数最小的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 【答案】C 【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，结合二项式系数的性质即可得解. 【详解】依题意，的展开通项公式为，其系数为， 当为奇数时，才能取得最小值， 又由二项式系数的性质可知，是的最大项， 所以当时，取得最小值，即第6项的系数最小. 故选：C． 3．（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【答案】B 【分析】利用展开式的通项得不等式组可得答案. 【详解】设的展开式的通项为，， 由题意可得， 解得，因为 所以， 所以的展开式中系数最大的是的系数. 故选：B. 4．已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开公式，结合系数最大列出不等式即可求解. 【详解】的展开式的通项为， 由题可知，解得． 故选：A 5．（24-25高二下·广东深圳·月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 类型七、其他赋值法技巧（含奇次、偶次项系数和） 赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下： ①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等． ②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值． ③求值，根据题意，得出指定项的系数和． ④一般地，若，则的展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为. 1．（25-26高二上·北京昌平·期末）若，则的值为（   ） A． B．32 C． D．255 【答案】D 【分析】使用赋值法求二项式展开后各项的系数和即可，令即可得，令即可得，进而可求的值. 【详解】令，即， 令，则，则. 故选：D. 2．若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知等式的性质，利用赋值法求出常数项及包含目标表达式的等式，进而计算出目标表达式的值． 【详解】， 令，则， 令，则， ． 故选：C． 3．已知，则（    ） A．15 B．16 C．80 D．81 【答案】A 【分析】应用赋值法求得、，作差即可得. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故选：A 4．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．32 【答案】D 【分析】利用赋值法直接求值即可. 【详解】由题意得， 令，可得， 则，故D正确. 故选：D 5．（24-25高二下·河北保定·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，当为偶数时，；当为奇数时，.然后去绝对值，令，即可得出所求代数式的值. 【详解】的展开式通项为， 所以， 故当为偶数时，；当为奇数时，. 所以 . 故选：A. 6．（25-26高二·全国·假期作业）已知，记，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，所以由题意可知，从而即可求解． 【详解】设， 一方面注意到， 另一方面注意到， 所以． 故选：C． 7．（24-25高二下·北京延庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项展开式的各项系数和的计算公式，利用赋值法计算. 【详解】由， 即， 设， 则， 令，则， 令，则， 所以. 故选：B. 8．已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】赋值可得，结合导数及代入可得，进而求解即可. 【详解】设， 令，得，又， 令，则， 所以， 即. 故选：A． 类型八、整除和余数问题 1．（24-25高二下·山东滨州·期末）被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用二项式定理求解. 【详解】， 显然中每一项都是8的倍数，因此代数和能被8整除，而除以8后余数为6， 所以被8除的余数为6， 故选：C. 2．（24-25高二上·江西萍乡·期末）《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】A 【分析】利用二项式定理证明除17余数为即可得. 【详解】 所以除17余数为，即. 故选：A. 3．（25-26高二上·河南驻马店·期末）除以9的余数为（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先将 转化为与9相关的表达式，再利用二项式定理展开，通过分析展开式各项与9的关系，从而确定 被9除所得的余数即可. 【详解】因为 ，又因为 ，所以 ， 根据二项式定理，当，，时，则： 由于9是9的倍数，那么对于展开式中的每一项 （）， 当 时， 是9的倍数，所以这些项都能被9整除， 当 时，该项为 ， 因为 展开式中除最后一项 外，其余各项都能被9整除， 所以 除以9的余数为 （因为余数要为正数）， 则 除以9的余数就相当于 除以9的余数，，所以余数为7. 故选：C. 4．（24-25高二下·河北·期中）已知能被11整除，则整数a的值可以是（   ） A．1 B．9 C．10 D．0 【答案】C 【分析】根据，展开后可得能被11整除余1，结合选项即可得答案. 【详解】因为， 能被11整除， 所以能被11整除， 由选项知当时，符合题意． 故选：C. 5．（24-25高二下·湖北武汉·期末）下列能整除的数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】通过二项式定理展开进行计算判断即可. 【详解】 ，能被8整除. 故选：D. 类型九、近似计算问题 1．（23-24高二下·江苏苏州·期末）最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【分析】利用二项式定理进行估值即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 2．（24-25高二下·安徽·期中）的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 3．某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（    ）（单位：万元，结果保留一位小数） A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9 【答案】B 【分析】根据复利可知每年末本息和构成等比数列，利用等比数列通项公式及二项式定理求解即可. 【详解】存入大额存款10万元，按照复利计算， 每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列， 所以本利和． 故选：B． 1．（24-25高二下·浙江杭州·期中）在二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（    ） A． B．160 C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】二项式的展开式中，二项式系数最大的项为第四项， 是. 故选：B. 2．（23-24高二下·新疆·期中）在二项式的展开式中，有理项的项数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据展开式的通项结合有理项的定义分析求解. 【详解】二项式展开式的通项公式， 由，且，，得或， 所以有理项的项数为2． 故选：B. 3．若的二项展开式中，有且仅有第5项是二项式系数最大的项，则（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质确定二项展开式的项数即可求得答案. 【详解】由题意知，二项式系数中只有第5个最大，即最大， 由二项式系数的性质可知，展开式共有9项，故. 故选：A. 4．（23-24高二下·江苏南通·月考）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】的通项公式为, 根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大， 第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大 故选：B 5．已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】写出二项式系数再利用等差中项建立方程，求解即得. 【详解】已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为， 依题意成等差数列，故，得到：， 化简得，即：， 解得：或（舍去） 故选：C 6．（24-25高二下·河北邯郸·月考）在的展开式中，的系数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用系数的组成情况，利用组合数即可求解. 【详解】根据题意的系数可以成从6个含有的括号中，其中3个选，剩下3个里1个选，剩下2个选， 所以， 故选：A. 7．的展开式中，的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合立方和公式可得，结合二项式的展开式通项公式求结论. 【详解】因为. 的二项展开式的通项公式为. 而， 所以的系数为为. 故选：C. 8．（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中系数最小的项和二项式系数最大的项分别为（    ） A．第1项和第3项 B．第2项和第4项 C．第3项和第1项 D．第4项和第2项 【答案】B 【分析】写出的二项展开式的通项，进而可知项的系数为，进而可知当取奇数时，系数为负值，因此分别求出、、时的项的系数，进而可知最小值；因为的展开式有7项，因此中间一项的二项式系数最大. 【详解】的展开式的通项为， 当取奇数时，系数为负值， 当时，，当时，，当时，， 所以第2项的系数最小； 因为的展开式有7项，所以中间一项的二项式系数最大，即第项的二项式系数最大. 故选：B. 9．（23-24高二下·内蒙古通辽·期中）已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（    ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 【答案】C 【分析】写出展开式的通项，结合第项为常数项，求出，再利用通项求出有理项的项数. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 因为第项为常数项，所以时，有，解得， 则展开式的通项为（且）， 由，令，，则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取， 所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为. 故选：C. 10．（24-25高二下·河南商丘·月考）已知的展开式中，常数项为（   ） A．88 B． C．32 D． 【答案】B 【分析】分析展开式中常数项的构成来源，包括以下情况①全是2，②2个，1个，2个2这两种情况，分别求解再求和即可． 【详解】展开式中常数项的构成来源，包括以下情况①全是2，②2个，1个，2个2， 由组合知识可知，展开式中常数项为， 故选：B. 11．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得出，写出展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】因为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为， 令，可得，因此，展开式中的系数为. 故选：D. 12．（25-26高二下·全国·课堂例题）的展开式中的常数项是（   ） A．352 B． C．1120 D． 【答案】C 【分析】法一：将原式看作二项式的展开，利用二项式定理展开，仅选取展开式中不含的项并求和，得到常数项；法二：先将原式括号内配方并平方转化为，再写出其通项公式，令的指数为0确定值，代入计算得常数项. 【详解】法一：原式， 所以其常数项为． 法二：原式． ， 由，得， 所以常数项为． 故选：C. 13．（24-25高二下·吉林长春·期末）的展开式中，的系数与常数项之差为（   ） A．20 B．19 C． D． 【答案】B 【分析】化简式子，然后分别按照二项式定理的性质计算即可. 【详解】，展开式中的系数为， 常数项为2，故的系数与常数项之差为． 故选：B． 14．（24-25高二下·天津东丽·月考）已知 的所有项的系数和为5，则x²的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，令，可求得，再利用二项展开式的性质即可求解. 【详解】由题意，在中，令， 得所有项的系数和为，解得， 故的展开式中， 的系数为. 故选：B. 15．（23-24高二上·黑龙江·期末）在的二项展开式中，各二项式系数之和为，各项系数之和为，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据二项式系数和以及各项系数和的表达式，结合题意，解方程，即可求得答案. 【详解】由，令可得各项系数之和为， 又各二项式系数之和为，因为，则， 解得或（舍去），所以， 故选：B 16．（23-24高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（    ）项 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据第4项的二项式系数最大求出，再通过通项公式得出展开式中项的系数为，接着由即可求解. 【详解】由题意二项式系数仅最大，故， 所以二项式为，其通项公式为， 设二项式展开式中第项的系数最大，则有， ，即，故，经经验符合题意， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 故选：B. 17．已知的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二项式系数的性质可得，再结合二项展开式的通项求各项系数，分析列式求系数最小项时的值，代入求系数的最小值. 【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则 ∴展开式的通项为 则该展开式中各项系数 若求系数的最小值，则为奇数且，即，解得 ∴系数的最小值为 故选：C. 18．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C 19．已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，列式求出，再求出二项展开式的通项，进而求出幂指数为0的项即可. 【详解】依题意，，即，而n为正整数，解得， 则展开式的通项公式为， 由，解得， 所以该展开式中的常数项为. 故选：A. 20．（25-26高二上·辽宁大连·期末）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果和除以所得的余数相同，那么称和对模同余，记为（mod）．若，（mod），则值可以是（       ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】利用二项式定理求出除以所得的余数，再逐项验证即得. 【详解】 因能被整除， 故除以余数为， 所以除以余数为， 因为，所以，，， 又（mod），所以值可以是. 故选：C. 21．（多选题）（25-26高二上·山东德州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用赋值法分别判断即可. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则， 所以，故B正确； 对于C，令，则， 由B可知， 所以， 即，，所以，故C错误； 对于D，令，则， 所以，故D正确； 故选：ABD 22．（多选题）（25-26高二上·辽宁鞍山·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法求解. 【详解】对于A：令得，A错误； 对于B：令得①， 令得②， ①+②得， 所以，B正确； 对于C：①-②得， 所以，C错误； 对于D：令得， 又，所以，D正确； 故选：BD. 23．（多选题）（25-26高二上·江西吉安·期末）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断. 【详解】对于A，取，得，A错； 对于B,展开式中项的系数为，B对； 对于C，令， 可得二项式， 展开式中各项系数均为正， 即， 又 ，C错； 对于D，取，得， 取，得， 联立解得， 因此，D对. 故选：BD 24．（多选题）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．被8整除的余数为1 D．精确到的近似数为 【答案】ABD 【分析】逆用二项式定理计算可判断A项，运用赋值法，令，求解可判断B项，由，结合二项式定理计算可判断C项，，结合二项式定理计算可判断D项. 【详解】对于A项，由二项式定理可知，故A项正确； 对于B项，令得①，令得②， 所以①②可得，故B项正确； 对于C项，， 由此可得被8整除的余数为，故C项错误； 对于D项， ， 所以精确到的近似数为，故D项正确. 故选：ABD. 25．（多选题）（23-24高二下·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．精确到0.01的近似值为0.85 D．除以15的余数为3 【答案】AC 【分析】赋值法可判断A；由求出，由二项式系数和可判断B；，由二项式定理展开，取展开式前3项可判断C；，由二项式定理展开可判断D. 【详解】在中， 令，则，故A正确； 因为，所以， 所以，故B错误； ， 取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为．故C正确； ，其中， 所以能被15整除， 所以除以15的余数为1，故D错误． 故选：AC． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $