精品解析：广东江门市2026届高考模拟数学考试卷

江门市2026年高考模拟考试数学 本试卷共6页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效. 5.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（其中是虚数单位），则 的共轭复数为（ ） A. 2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求共轭复数. 【详解】，则. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到集合 ，然后求交集. 【详解】，，所以. 3. 已知双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则（ ） A. 1 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【详解】双曲线的焦距为， ，解得 ， ， ， ， 由双曲线的定义：， ， ，得或（舍去）， ． 4. 某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同种类的选法有（ ） A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得. 【详解】先从 5 种课外书中选 2 种给甲有种，再从剩下的3 种书中选 2 种给乙有种， 根据分步乘法计数原理，则两人选的课外书没有相同种类的选法有 种. 5. 设是定义在 上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，所以， 又周期为2，故，所以， 又，所以， 所以，所以. 6. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先代入余弦距离公式，结合向量数量积坐标表示求得三角函数值，最后代入二倍角公式求解. 【详解】因， 由定义可知，， 则， . 7. 已知正方体的棱长为，点是正方形内（含边界）的一个动点，且满足，则点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求长度，再求轨迹长度. 【详解】连接，如下图所示： 因为 平面， 平面，所以. 由，，可得. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆位于正方形内的部分. 因为，所以点的轨迹长为. 8. 已知函数，若，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意令，即，得， 又，即，得或， 令，则， 可化为， 则是函数的图像与直线的交点横坐标，如图所示， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当 时，， 当时，， 当时，， 综上，的大小关系不可能是 ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，则（ ） A. B. 估计该小区居民用户月用电量的下四分位数约为 C. 估计该小区有一半左右的居民用户，其月用电量介于至之间 D. 当该小区的月用电标准定在时，该小区大约 的居民用户用电量不受影响 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，由，解得，故A错误. 对于B，下四分位数即为分位数. 第一组的频率为， 第二组的频率为， 前两组的频率和为， 所以分位数为，故B正确. 对于C，用电量在的频率为， 即大约的用户用电量在此区间，一半左右，故C正确. 对于D，计算分位数. 用电量在的频率为， 用电量在的频率为， 所以分位数为，即用电标准定在时， 该小区大约 的居民用户用电量不受影响，故D正确. 10. 在中，角的对边分别为，且，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，面积的最大值为1 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，通过正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可；对于选项B，将代入余弦定理可得，再次通过余弦定理即可求出；对于选项C，利用三角形面积公式结合基本不等式即可；对于选项D，通过正弦定理将表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质即可求解； 【详解】对于A选项，由正弦定理， ，是的外接圆的半径， 代入条件得，由余弦定理，， 又，故，故A正确； 对于B选项，将代入，得， 由余弦定理，，故，B错误； 对于C选项，若，由基本不等式可得 的面积， 当且仅当时取等号，故面积的最大值为，C错误； 对于D选项，由， 得， 由，得，又为锐角三角形，所以， 所以，所以，故.D正确. 11. 设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于 两点，点为线段中点，若与平行的直线与抛物线相切于点，则（ ） A. 是直角三角形 B. 点的轨迹方程为 C. 与轴平行 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线的方程为 ，，与抛物线方程联立结合韦达定理计算得判断A；根据中点坐标为消参数求轨迹判断B；设直线与抛物线相切于点，根据直线与抛物线的位置关系得，再结合坐标关系判断C；根据，结合三角形的面积公式判断D. 【详解】由题知直线的斜率不为0，设过点的直线的方程为 ， 联立方程组得，消去得 ， 所以， 又，， 所以， ， 对于A，，，， 所以，即是直角三角形，故正确； 对于B，由 的中点坐标，即， 所以线段中点的轨迹方程为，故B错误. 对于C，设直线与抛物线相切于点， 联立方程得，消去得， 所以，解得， 代入上式可得，解得 ，即点， 由，则与轴平行，故正确. 对于D，点到直线 的距离， 点到直线 的距离为，所以 因为，， 所以， 又因为，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为______.（用数字作答） 【答案】15 【解析】 【分析】求出二项式的展开式通项，再求出常数项. 【详解】二项式的展开式通项为， 由，得，， 所以常数项 . 故答案为：15 13. 在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 【答案】 【解析】 【详解】 如图，以为原点，分别以为轴建系， ，，，， ，， 所以. 14. 已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】要使圆锥内能放入自由转动的正方体的体积最大，则该正方体的外接球恰好为该圆锥内能放入的最大的球，即内切球，再求解内切球的半径得到正方体的棱长，最后计算体积. 【详解】要使圆锥内能放入自由转动的正方体的体积最大， 则该正方体的外接球恰好为该圆锥内能放入的最大的球，即内切球， 设圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥侧面积为，解得. 如图，在圆锥轴截面中，，则， 所以， 所以圆锥内切球半径，即正方体外接球半径为. 设正方体的棱长为，则，解得 ， 所以正方体的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项 ，前项和为，且满足 ． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）由 ，① 当时， ，由 ，解得 ， 当时， ，② ①-②得： ，即 ， 从而 ， 又因为 ，且 也满足上式， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由已知分别求得时的值，当时，由即可证明； （2）由分组求和及错位相减法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则 ， 从而 ， 所以 ， ， 令，① 则，② ①-②得： ， 所以 ， 又， 所以． 16. 如图，在三棱柱中，，，，平面 平面. （1）求证：； （2）若 ，直线与平面所成的角为，求二面角 的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为在中，， 由余弦定理得： ， 所以， 所以，故， 又因为平面 平面， 平面 平面 平面， 所以 平面， 又 平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）先应用余弦定理得出，再应用平面 平面结合面面垂直性质定理得出 平面，即可得出线线垂直； （2）解法一：应用面面垂直性质定理得出 平面，进而得出 是直线与平面所成的角， 是二面角 的平面角，计算边长计算求解；解法二：建系得出平面和平面的法向量，再应用二面角的余弦公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：过作 ，垂足为， 因为平面 平面， 平面 平面 平面， 所以 平面， 直线是直线在平面上的投影， 所以 是直线与平面所成的角，即. 由（1）知，又 ， 连接，则是等边三角形， 取的中点，连接 ， 则， 由（1）知 ， 所以平面，所以 ， 所以 是二面角 的平面角， 由（1）知 平面，所以 ， 又， 所以， 所以二面角 的平面角的余弦值为. 解法二：过作 ，垂足为， 因为平面 平面， 平面 平面 平面， 所以 平面， 则直线是直线在平面上的投影， 所以 是直线与平面所成的角，且， 则 ， 由（1）可知 ，即是的中点. 取的中点，连接，则 . 以为原点，所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 所以. 设平面的法向量为， 则， 取，则 ， 所以是平面的一个法向量， 取平面的法向量为， 则， 所以二面角 的平面角的余弦值为. 17. 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关. （1）求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； （2）记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； （3）已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. 【答案】（1） （2） 0 2 3 5 7 8 10 期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式，即可求解； （2）根据条件，求出可能的取值及相应的概率，即可得分布列，再由期望的计算公式，即可求解； （3）先求出乙同学的总得分的可能取值及相应的概率，设事件表示乙获胜，事件表示甲的总分不低于5分，利用相互独立事件同时发生的概率公式求出，再由条件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 设事件D表示乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确， . 【小问2详解】 可能的取值有, 所以的分布列为： 0 2 3 5 7 8 10 【小问3详解】 记为乙同学的总得分，可能的取值有， 则,，， ，， ， 设事件表示乙获胜，事件表示甲的总分不低于5分， 法一：因为， 则. 法二：， ， 18. 已知椭圆的长轴长为，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆的左右顶点分别为，是直线上一点，直线分别交椭圆于点两点，连接交轴于点. （i）当最大时，求点的坐标； （ii）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）（i）设点，直线的倾斜角分别为，分三种情况，当 时，，当时，可得，即可求解； （ii）法一，求出直线的方程，进而得直线过定点，从而可得，即可求解；法二，设直线为，同法一得出直线过定点，再结合条件得，即可求解. 【小问1详解】 由题意可得， ，即 ， 又，得，又，得， 所以椭圆的标准方程为 . 【小问2详解】 （i）由（1）知，设点，直线的倾斜角分别为， 得， 当 时，，此时， 当 时，， 则， 当且仅当时，等号成立， 当时，， 则有， 当且仅当时，等号成立， 综上所述，当且仅当时，有最大值，即有最大值， 所以当点的坐标是或有最大值. （ii）法一：设点，当 时，两个三角形不存在，所以， 直线的方程分别为， 联立方程得，消去得， 解得或，即点， 联立方程得，消去得， 解得或，即点，则， 直线的方程为， 化简得，所以直线过定点， 又， ，若，得， 化简得， 由，则，则. 法二：当直线与轴重合时，显然不满足题意. 设直线为，点是直线与轴的交点， 联立方程组，消去得， 所以有， 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程得，解得， 又， 所以点的横坐标为， 代入得 ，解得，即点， 由于， 若，即，由图可知异号，即， 所以有， 化简得. 该方程有解，即，则. 19. 帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足.其中.已知在处的阶帕德近似为. （1）求的值； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围； （3）已知是函数的三个不同的零点，且，求实数的取值范围，并证明 . 【答案】（1） ，， （2） （3） ，证明如下： 因为，所以， 由于， 可得，即， 由 可得，即 ， 由（2）可知当时，， 则当 时，有， 由于 ，所以， 化简得， 即 ， 可化为 ， 即 ， 由 ，则有 ，原命题得证 【解析】 【分析】（1）结合题意，利用导数计算即可得. （2）利用导数研究单调性，进而可得 与 的大小，可求的范围. （3）根据题意，设 ，所以等价于是 的三个不同零点，借助导数，对 和进行讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理计算从而求出的取值范围.结合（2）所得，即可证明. 【小问1详解】 ， ； 所以 ； 所以，， 由 ，可得 . 【小问2详解】 由（1）得：. 令 ， 由于 ，所以若 恒成立， 则 在附近单调递增，即 ， 又， 所以 ，则 . 下面证明充分性，即当 时，不等式 恒成立， 由于当时， ， 所以若 ，则 恒成立， 若 时，， 令 ， ，所以 ， 则 在 上单调递增，又 ， 所以 恒成立，即 在 上成立， 则有 成立，充分性得证， 所以当 时，不等式 恒成立. 【小问3详解】 ， 设 ，则 令 ， 当 时， ，则 ，故 在上单调递增，不合题意； 当时，由 ，可得 ， 此时 在上恒成立，故 ，则 在上单调递增，不合题意； 当 时，即 时， 有两个零点， 其中 ， 令， 当 时， ，则 在 上单调递增， 当 时， ，则 在 上单调递减， 当 时， ，则 在 上单调递增， 由，所以 ， 又 ， 即 在区间 内存在一个零点，在区间 上存在一个零点， 又 ，所以当 时， 有三个不同的零点， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市2026年高考模拟考试数学 本试卷共6页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.做选择题时，必须用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效. 5.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知（其中是虚数单位），则 的共轭复数为（ ） A. 2 B. 2 C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则（ ） A. 1 B. 8 C. 9 D. 11 4. 某班级图书角有5种课外书，甲、乙两名同学从5种课外书中各自选2种，则两人选的课外书没有相同种类的选法有（ ） A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种 5. 设是定义在 上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为（其中为向量的夹角），余弦距离为.已知，若的余弦距离为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为，点是正方形内（含边界）的一个动点，且满足，则点的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从某小区抽取户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，则（ ） A. B. 估计该小区居民用户月用电量的下四分位数约为 C. 估计该小区有一半左右的居民用户，其月用电量介于至之间 D. 当该小区的月用电标准定在时，该小区大约 的居民用户用电量不受影响 10. 在中，角的对边分别为，且，则（ ） A. B. 当时， C. 当时，面积的最大值为1 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 11. 设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点为线段中点，若与平行的直线与抛物线相切于点，则（ ） A. 是直角三角形 B. 点的轨迹方程为 C. 与轴平行 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，常数项为______.（用数字作答） 13. 在中，是边的中点，是边上的点，且，则向量与向量的夹角的余弦值为___________. 14. 已知一个圆锥的底面半径为3，侧面积为.若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体（圆锥表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的首项 ，前项和为，且满足 ． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，在三棱柱中，，，，平面 平面. （1）求证：； （2）若 ，直线与平面所成的角为，求二面角 的平面角的余弦值. 17. 某学校组织学科创新能力知识竞赛，参赛选手随机从三类问题中各抽取一个问题回答，类问题回答正确的得分依次是2分、3分、5分，回答错误得0分.已知甲同学能正确回答类问题的概率依次为，乙同学能正确回答类问题的概率都为，总分最高的选手获胜，且甲、乙同学能正确回答问题的概率与顺序无关. （1）求乙同学三个问题中至少有两个问题回答正确的概率； （2）记为甲同学的总得分，求的分布列及期望； （3）已知乙同学在比赛中获胜，求甲同学的总得分不低于5分的概率. 18. 已知椭圆的长轴长为，离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）椭圆的左右顶点分别为，是直线上一点，直线分别交椭圆于点两点，连接交轴于点. （i）当最大时，求点的坐标； （ii）若，求的取值范围. 19. 帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足.其中.已知在处的阶帕德近似为. （1）求的值； （2）若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围； （3）已知是函数的三个不同的零点，且，求实数的取值范围，并证明 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $