6.2.1向量的加法运算 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.1 向量的加法运算 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【例题精练】 【例1】在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项. 【详解】画出图像如下图所示. 对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确. 对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确. 对于C选项，由于，故结论错误. 对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确. 故选：C. 【例2】．（多选）对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据向量加法的运算法则即可得到答案. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：ABD. 【例3】已知，，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据向量模的性质以及向量方向的不同情况来确定的取值范围. 【详解】当和方向相同时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最大值为. 当和方向相反时，根据向量模的性质可知. 已知，，将其代入可得，即的最小值为. 由上述计算可知的最小值为，最大值为，所以的取值范围是[2,6]. 故答案为：[2,6]. 【例4】一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处 【分析】根据向量加法的三角形法则及勾股定理即可求解. 【详解】如图所示， 设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即. 在中，. 在中，，， 即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处. 【A组基础达标】 一、单选题 1．设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向西南走 C．向东南走 D．向西南走 【答案】A 【分析】根据题意利用向量加法的可交换性与意义即可得解. 【详解】因为表示“向东走10km”，表示“向南走5km”， 所以所表示的意义为“向东走10km”，再“向南走10km”， 等价于向东南走. 2．化简：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 3．在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 若四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 4．已知向量，且，则向量的方向（   ） A．与向量方向相同 B．与向量方向相反 C．与向量方向相同 D．与向量方向相反 【答案】A 【分析】根据共线向量的方向相同或相反，结合模长即可求解. 【详解】因为且， 所以当，同向时，的方向与相同； 当，反向时，因为，所以的方向仍与相同． 故选：A. 二、多选题 5．（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算，求得，结合零向量的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，向量，且是一个非零向量，所以A正确； 由，所以B不正确，C正确； 由，，所以，所以D正确. 故选：ACD. 6．（多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意可得四边形均为平行四边形，结合平面向量加法运算和向量相等的定义逐个选项计算并判断. 【详解】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确， 由，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题 7．如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为__________h. 【答案】2 【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短， 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间， 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 故答案为：2. 8．已知正方形的边长为1，，，，则为_____________． 【答案】 【分析】根据向量的加法法则和模长进行计算. 【详解】. 故答案为： 四、解答题 9．如图，O为正六边形的中点，化简下列向量： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据向量加法的几何意义求解. 【详解】（1）由题图知，为平行四边形， ． （2）由图知， ． （3）， ． 又，． 10．如图，按下列要求作答． (1)以A为始点，作出； (2)以B为始点，作出； (3)若图表中小正方形边长为1，求、． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)， 【分析】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出； （2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出； （3）作出的向量利用勾股定理可求得，由共线向量的加法运算可得． 【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示： （2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再平移向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示： （3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知， ；                                    由共线向量的加法运算可知. 【B组能力提升】 1．在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】设正六边形的中心为， 所以，又因为，， 所以. 故选：A 2．已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法运算结合三角形的性质求解即可. 【详解】 ，显然当为斜边中点时，，此时最小为，即的最小值为. 故选：A. 3．已知是正三角形，给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的有__________．(写出所有正确等式的序号) 【答案】①③④ 【分析】作出图形，结合平面向量加法法则可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，，，，①正确； 对于②，，如下图所示，以、为邻边作平行四边形， 由平面向量加法的平行四边形法则可得，显然，②错误； 对于③，以、为邻边作平行四边形，则， 以、为邻边作平行四边形，则. 由图可知，，即，③正确； 对于④，，，因为，④正确. 故答案为：①③④. 4．设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为______. 【答案】3 【分析】根据向量的运算性质分别求出的最大值与最小值，最后计算它们的差值即可. 【详解】记，，， 因为、、为非零向量，所以分别是与、、同向的单位向量， 当这三个单位向量方向相同时，取得最大值， 最大值为； 当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道， 所以的最小值为. 的最大值为，最小值为，它们的差为. 故答案为： 5．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4m/s，现在有风，风使雨滴以m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向. 【答案】雨滴着地时的速度大小是m/s，方向向东且与竖直方向成30°角. 【解析】作出示意图，根据向量加法的平行四边形法则以及锐角三角函数即可得出结论． 【详解】解：如图， 用表示无风时雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东的速度，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，就是雨滴下落的实际速度.在Rt△OAC中，，，所以，所以， 所以. 故雨滴着地时的速度大小是m/s，方向向东且与竖直方向成30°角. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.1 向量的加法运算 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.了解向量加法的几何意义及运算律，掌握向量加法的运算法则，能熟练地进行向量的加法运算. 3.能用向量的加法解决实际问题. 【例题精练】 【例1】在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【例2】．（多选）对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【例3】已知，，则的取值范围为______. 【例4】一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 【A组基础达标】 一、单选题 1．设表示“向东走10km”，表示“向南走5km”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向西南走 C．向东南走 D．向西南走 2．化简：等于（   ） A． B． C． D． 3．在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知向量，且，则向量的方向（   ） A．与向量方向相同 B．与向量方向相反 C．与向量方向相同 D．与向量方向相反 二、多选题 5．（多选）设，是一个非零向量，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）如图，，，分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为__________h. 8．已知正方形的边长为1，，，，则为_____________． 四、解答题 9．如图，O为正六边形的中点，化简下列向量： (1)； (2)； (3)． 10．如图，按下列要求作答． (1)以A为始点，作出； (2)以B为始点，作出； (3)若图表中小正方形边长为1，求、． 【B组能力提升】 1．在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 2．已知等腰的直角边长为1，为斜边上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知是正三角形，给出下列等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的有__________．(写出所有正确等式的序号) 4．设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为______. 5．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4m/s，现在有风，风使雨滴以m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $