限时预测01（A+B+C三组解答题）（大题专练）（全国一卷通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

限时预测01（A组+B组+C组） （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表． 不熟练 熟练 合计 甲部门 6 24 30 乙部门 8 12 20 合计 14 36 50 (1)分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度是否有差异． 附： 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16．（15分） 已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 17．（15分） 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，. (1)求证：平面； (2)若. （i）求三棱柱的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（17分） 已知椭圆的方程为，其长轴长为6，且点在上. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点. （i）若，且的重心在轴上，求的方程； （ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值. 19．（17分） 已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：，. （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数的最小正周期为. (1)求以及曲线的对称中心； (2)讨论函数在区间上的单调性. 16．（15分） 已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)设为上一动点，当取得最大值时，求直线被截得的弦长. 17．（15分） 如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（17分） 已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若在上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 19．（17分） 流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. (1)若有某种治疗方案M，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； (2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ (3)已知某种药物C能治愈疾病S的概率为.设针对药物C的次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为，且每次治疗结果相互独立.求证：. （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 为比较A、B两种AI教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招募了200名教师，并随机分配其中100名使用系统A，其余100名使用系统B．经过一个月的试用后，以“备课时间减少15%以上”作为备课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表： 备课效率 使用的教学系统 显著提升 没有显著提升 合计 系统A 75 25 100 系统B 55 45 100 合计 130 70 200 (1)记事件“该地区教师使用系统A后，备课效率显著提升”的概率为，求的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面是否存在差异． 附：， 0.05 0.005 0.001 3.841 7.879 10.828 16．（15分） 已知数列的前n项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)记，求数列的前项和． 17．（15分） 如图，直角梯形中，为的中点，以为折痕把折起，使点到点的位置，且． (1)设平面与平面的交线为，证明：； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值． 18．（17分） 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线与交于两点，当轴时，． (1)求双曲线的离心率； (2)若经过点，为的左支上一动点． （ⅰ）当的斜率为时，求的面积的最小值； （ⅱ）设，为的右支上一动点，若三点不共线，且平分，证明：直线恒过定点． 19．（17分） 已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)，成立，求实数a的取值范围； (3)若时，与的图象有三个交点，横坐标分别为，，（），求证：. 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 限时预测01(A组+B组+C组) 参考答案 口PART A组 解答题限时练 15.(13分) 【答案】1 (②)甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异 【详解】(1)解：根据统计表格中的数据， 可得甲部门的职工熟练使用A1工具的概率为酷=青： 2 乙部门的职工熟练使用AI工具的概率为号=寻 (2)解：零假设为Ho:甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异. 根据2×2列联表中的数据，计算可得x2= g=9≈2381<3.841,8 根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分的证据拒绝原假设， 即认为甲、乙两个部门的职工使用A虹工具的熟练程度没有差异. 13 16.（15分) 【答案】(1)证明见解析 1+4) (2)Sn=3++ 【详解】(1)根据题意，令cn=an-n2, 当n≥2时，c+1-cn=a+1-(n+1)2-(an-n2)=a+1-an-2n-1=an-ar-1-2n+1, Cn-Cr1=an-n2-（am-1-(n-1)2)=an-ah-1-2n+1,2 所以c+1-Cn=Cn-Cn-1, 且C1=a1-1=2c2=a2-22=4,则c2-c1=2, 所以数列{an-n2}是首项为2，公差为2的等差数列： .5 (2)根据(1)可得an-n2=2+2(n-1),所以an=n2+2n,8 喇b:=器=aam-布m ..10 所以sn=(品一病)+（点一桌）+（品-扇）+…+（一四 1/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =- 1 1H④ +1)+a+1) 3+1X+3. 15 17.(15分) 【答案】(1)证明见解析 2)(i)82;(i)号 【详解】(1)在△ACC1中，由AC=4,CC1=BB1=2,∠ACC1=号， 得AC1=VAC2+CC-2ACCC1cos∠ACC1=2V3,则AC+CC=AC2, AC1⊥CC1,由四边形BCC1B1是矩形，得CC1⊥B1C1, 2 又AC1yB1C1C平面AB1C1,且AC1∩B1C1=C1, 所以CC1⊥平面AB1C1. 4 (2)(i)由(1)知CC1⊥平面AB,C1,又CC1C平面BCC1BAB1C平面AB1C1, 则平面BCC1B11平面AB1CCC1⊥AB1,而BB1//CC1,则BB1⊥AB1, 由AB=ACBB1=CC1,得△ABB1兰△ACC1,即有AB1=AC1=2V5, 7 取B1C1中点0，连接A0,则A0⊥B1C1,又B1C1=BC=4,则A0=2√2， 所以V三棱ABC-AB,G=S△AB,C:BB1=支×4×2V2×2=8V2 (i)以点0为原点，直线0C1OA分别为x轴，z轴，过点0与平面AB1C1垂直的直线为y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则A0,0,2W2,B(-2,2,0,C2,2,0)C(2,0,0, Ac=(2,2-2V2,B元=(4,00)，c1c=(0,2,0, 设平面ABC的法向量方=(ab,c, |五.AC=2a+2b-2V2c=0 i.B0=4a=0 ，取c=1,得i=(0V2,1: 设平面ACC1的法向量为方=(xy,z, 2/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AC=2x+2y-2V22=0 则 i.C1C=2y=0 ,取z=1,得应=(5,0,1， 12 设平面ABC与平面ACC1的夹角为6， 则cos9-k位=需=亦=专， 所以平面ABC与平面ACC1夹角的余弦值为专 ..15 18.(17分) 【答案】0号+号=1 2)(i)y=x-3:(i)V3 【详解】(1)由长轴长为6，可得2a=6,a=3,则a2=9 将点M的坐标(2，)代入椭圆方程，可得号+器=1， 解得b2=5 2 故C的方程为号+号=1 3 (2)()由(1)可知E(-3,0),设直线l:y=x+m,P(xy1)Q(x2y2) (y=x+m, 联立得等+号=1，可得14x2+18mx+9m2-45=0 由△>0，可得 -V14<m<V14,x&1+x2=-婴，xx2=2 5 △EPQ的重心的横坐标为升+=0，则x1+x2=3, 即-婴=3m=-号，符合-V14<m<V14, 故直线的方程为y=x一号 8 (i)由(i)可知F(2,0) 设PQ:x=y+2(t≠0)，P(xy)Q(x2y2)y1>0,y2<0, (x=ty+2, 联立得（号+号=1，可得(52+9）y2+20y-25=0, y1+y2=- 20t 5t2+9 则yy2- 25 3/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图，因为△P0Q的面积S1=|0F到y1-y=y1-y2 四边形OFQN的面积 S2=SAPQN-SAPOR=2SAPOQ-SAPOF=2(y-y2)0Fllyl=y-2y? 所以爱==，得2=-2y1 13 20t 故y1+y2=y1-2y1=-y1=-49,① 25 yy2=-2y=-年9，② 15 联立0@，得（器）2=点·又P在第一家限，所y:>0t>0, 故解得t=与，所以k=5 17 19.(17分) 【答案】(1)y=7x (②)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】(1)当a=2时，f(x)=8x+2 X COSX-3sinx, f (x)=8+2cosx-2xsinx-3cosx=8-2xsinx-cosx, 所以f(0)=8-1=7,f(0)=0, 2 故当a=2时，f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=7x.…3 (2)对任意的x≥0，当a≥时，f(x)=ax(4+cosx)-3sinx≥号x(4+cosx)-3sinx, 故只需证x(4+cosx)-3sinx≥0对任意的x≥0恒成立，整理得器≤x, 构造函数h(x)=平照-x,其中x≥0， 则i(x)）=-一昌=4-是 (4+c0sx)3 (4+cosx) 3Xc08x-1Xc0=11≤0， 5c0s+4) 5 4/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以函数h(x)在[0，+o)上为减函数，故当x≥0时，h(x)≤h(0)=0,即器≤x, 故对任意的x≥0，号x(4+cosx)-3sinx≥0， 故当a≥号时，对任意x≥0，都有f(x)=ax(4+cosx)-3six≥0， 8 (3)由(2)知，当a=时，3sinx≤x(4+cosx),即sinx≤4+coam, 5 x=扇(keN),则si南<立应 5 因为4+c0s克<5，所以sm克<应应<南， 构造函数p(x)=x-1-lhx,其中x>0,则p(x)=1-走=安， 当x∈(0,1)时，p(x)<0,即函数p(x)在(0,1)上单调递减， 当x∈(1，十∞)时，p(x)>0,即函数p(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以p(x)=x-1-lnx≥p(1)=0,即x-1≥lnx,当且仅当x=1时，等号成立，13 令x=特<1(keN),得转-1>m钱，即-克>1n 整理得2<-ln=ln(k+2)-ln(k+1), 则sin2<2<-ln(k+1)+ln(k+2), sing<-In (k+1)+In(k+2). .15 所以sin3<-ln2+ln3,sin子<-ln3+ln4,,sin2<-ln(n+1)+ln(n+2), 累加得sin点<-h2+h3-lh3+n4-…-h(a+1)+a(a+2)=h(a+2)-l2 =ln=lm(号+1)<lm(n+1), 散sin克<in(a+i),neN 17 PAR B组 解答题限时练 15. (13分)》 【答案】()ω=2，对称中心为（钙-晋，0kEZ): 2)在（等，元）上单调递增，在(0，弯)上单调递减 【详解】(1)由函数f(8)的最小正周期为π，得=π，解得ω=2， 则fx)=sin(2x+): 2 5/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 令2x+号=k元，k∈Z,得x=钙-，k∈Z, 所以fx)的对称中心为（钙-晋，0k∈Z) 5 (2)由(1)得g(x)=sin(2x+)-x,求导有g(x)=2cos(2x+号)-1， 由x∈(0，)，得2x+晋E(胥，)， 由g(8)>0台cos(2x+)>支，得弯<x<π， 8 由g(8)<0台cos(2x+)<支，得0<x<, 所以函数g(x)在（弯，元）上单调递增，在(0，)上单调递减 13 16.(15分) 【答案】（肾+号=1 29 【分析】(1)由椭圆的性质结合点在椭圆上代入解方程可得： (2)由椭圆的性质得到当P,F,Q三点共线时|PQ十QF取得最大值，再直曲联立，由弦长公式计算 可得 【详解】(1)设C半焦距为c,因为F(1,0),故c=1 又C过点P(-1,),故京+品=1 由椭圆的儿何性质有a2=b2十C2=b2十1,2 故a2=4,b2=3 所以C的方程为浮+号=1 44,5 (2) 设C的左焦点为F, 则PQ+|QF≤|PF+|QF+|QF=|PF+2a=号，当且仅当P,F,Q三点共线时等号成立， 此时Q(-1,-) 6/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 因为F(1,0),故直线QF的方程为y=(x-1) .9 (y=(x-1), 与C的方程联立有号+号=1 整理有7x2-6x-13=0,△=36+4×7×13=400>0，解得x1=-1,X2=号 。13 故直线QF被C截得的弦长为1+（得）1x1-x2=弄×9=罗 ..15 17.(15分) 【答案】(1)证明见解析 o 【详解】(1)因为四边形ABDE为平行四边形，F、G分别为AB,DE的中点， 所以四边形FDGA为平行四边形，所以FD/AG 因为FDt平面AGH,AGC平面AGH,所以FD/平面AGH, 又H、G分别为CE,DE的中点，所以HG/CD 2 CD平面AGH,HGC平面AGH,所以CD/平面AGH, 因为FD、CDC平面CDF,FD∩CD=D, 所以平面CDF/平面AGH,… .5 (2)因为三角形ABC为正三角形，BD=AD,F为AB的中点， 所以AB⊥CF,AB⊥DF, 所以∠CFD为二面角C-AB-D的平面角， 又CF∩DF=F,CF,DFC平面CDF, 所以AB⊥平面CDF,因为ABC平面ABDE,所以平面CDF⊥平面ABDE 作C0⊥平面ABDE于O,则O在直线DF上. 又二面角C-AB-D的平面角为∠CFD=120°， 所以O在线段DF的延长线上.由已知得CP=2V5,则F0=V3,C0=3. 8 以F为原点，FD,FA所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于OC的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图， 7/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 因为AB=4,BD=AD=V31,所以DF=3V3, 则A(0,20),B(0,-2,0),D(33,0,0),E(33,4,0),C(-5,0,3), 则c⑦=（43,0，-3)，D2=(0,4,0), 设平面CDE的一个法向量为i=(x,y,z), 4V3x-3z=0 则由方1C⑦，京上D它得( 4y=0 令z=45,得i=(3,0,4y5). 13 易得平面DEF的一个法向量五=(0,0,1)， 所以平面CDB与平面DBF的关角的余弦值为cos(元)-需-零 19 15 18.(17分) 【答案】(I)a≤0时，f(x)在R上单调递增，a>0时，f(x)在(-∞，ln是)上单调递减，在 (1n号，十o∞)上单调递增 (2)(2e,+∞) (3)证明见解析 【详解】(1)f(x)=2ex-ax的定义域为R,f(x)=2ex-a. 当a≤0时，f(x)>0,f(x)在R上单调递增；当a>0时，由f(x)=0得x=ln号， 由f(x)>0得x>ln号，由f(x)<0得x<ln, 2 则f(x)在(-∞，ln)上单调递减，在(ln号，+o)上单调递增 综上，a≤0时，f(x)在R上单调递增， a>0时，f(x)在(-∞，ln受)上单调递减，在(ln号，+∞)上单调递增. 4 (2)因为f(x)在R上有两个零点，所以a≠0， 由f(x)=0得器=，令m(x)=各，则m(x)=等， 8/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以m(1)=0,x>1,时，m(x)<0;x<1时，m(x)>0, 所以m(x)在（一∞，1）上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， m(x)有极大值，也就是最大值为m(1)=言， .7 又m(0)=0,x无限趋近+o时，m(x)无限趋近于0， 所以f(x)在R上有两个零点时，0<兰<言， 所以a>2e,即a的取值范围是(2e,+o). .9 (3)因为g(x)=f(x)-x2=ex-x2-x有两个极值点x1x2, 所以g'(x)=ex-2x-号=0，有两个实数根x1X2, 所以e-2x1=号，e:-2x2=号，可得e:-e=2(x2-X1), |e=高 设t=X2-X1>0,将x2=x1+t代入，得 e=鸳 所以e+e=告+号=2 e-1 .13 所以要证e+e*>4,只需证2>4，即(t-2)e+(t+2)>0. 设h(t)=(t-2)e+(t+2)(t>0),则h(t)=(t-1)e+1. .15 令p(t)=(t-1)e+1,则p'(t)=te>0,可知h(t)=(t-1)et+1在(0，+∞)上为增函数. 又h(0)=0,所以t>0时，h(t)>0,h(t)=(t-2)et+（(t+2)在(0，+∞)上为增函数 所以h(t)>h(0)=0,即(t-2)e+(t+2)>0成立，所以e+ex>4成立. 17 19.(17分) 【答案】（号 (②)先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短 (3)证明见解析 【详解】(I)设使用治疗方案M治愈疾病S为事件D,使用治疗方案M能杀灭致病菌α为事件E, 则P(D)=号+(1-)×守=品=， 因为事件E发生则事件D必发生，故P(ED)=P(E)=号， .2 P(D)=0==号 .4 (2)设P(A)表示药物A能治愈疾病的概率，P(B)表示药物B能治愈疾病S的概率 则有P(A)=1-(1-)(1-品)=部，P(8)=1-(1-品)2=器 设先用药物A再用药物B来治愈疾病S所需的天数为X1,先用药物B再用药物A来治愈疾病S所需的天数 9/16 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为X2 则P(X1=3)=P(A),P(X1=6)=(1-P(A)×P(B), P(X1=9)=(1-P(A))×(1-P(B), 所以E(X1)=3P(A)+6(1-P(A))×P(B)+9(1-P(A))×(1-P(B)) =9-6P(A)-3P(B)+3P(A)P(B) =9-6×0-3×器+3×0×器=3.1818≈3,18 7 同理得P(X2=3)=P(B),P(X2=6)=(1-P(B)×P(A), P(X2=9)=(1-P(A)×(1-P(B)) 则有 E(X2)=3P(B)+6(1-P(B))×P(A)+9(1-P(A))×(1-P(B))=3.0318≈3.03 从而有E(X1)>E(X2), 因此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短 9 (3)设针对药物C的n次临床试验中未出现连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为Qn 因此有Q+1=(1-Po)Qn+Pa[Qn-P(1-Po)Qm-3],从而Qt1-Qn=-P8(1-Po)Qm-3<0 ，从而Q+1<Qn 由Qn=1-Pn可得Pn-Pt1=-P8(1-Po)Qm-3<0,所以有Pn<Pm1,l3 这表明Pn随n增大而增大，Qn随n增大而减小，所以有Qn<Qm-3, 另-方面，由+1-Qn=-P8(1-Po)Qm3<-P8(1-Po)Qn 可得Q1<[1-P8(1-Po)]Qn即号<1-P8(1-Po) 注盒Q,=1-P限所以有受=是××…×受<1-P:-) 即Qn<(1-P8)[1-P8(1-Po)]3, .15 因为0n=1-Pm,所以有Pn>1-(1-P8[1-P(1-Po)]3, 综上所述，P*1>Pn≥1-(1-P8)[1-P8(1-P)]3 17 PART C组 解答题限时练 15.(13分) 10/16 限时预测01（A组+B组+C组） （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 为适应AI（人工智能）的发展与其对工作的影响，某公司在甲、乙两个部门随机调查了50名职工，对他们是否熟练使用AI工具进行了测试，测试结果如下表． 不熟练 熟练 合计 甲部门 6 24 30 乙部门 8 12 20 合计 14 36 50 (1)分别估计甲、乙两个部门的职工熟练使用AI工具的概率； (2)根据小概率值的独立性检验，分析甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度是否有差异． 附： 0.05 0.01 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异 【详解】（1）解：根据统计表格中的数据， 可得甲部门的职工熟练使用AI工具的概率为；........................................................................2 乙部门的职工熟练使用AI工具的概率为．................................................................................5 （2）解：零假设为：甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异． 根据列联表中的数据，计算可得，.....................8 根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据拒绝原假设， 即认为甲、乙两个部门的职工使用AI工具的熟练程度没有差异．..................................................13 16．（15分） 已知数列满足，且对任意的正整数，当时，都有． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）根据题意，令， 当时，， ，.....................................................2 所以， 且，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列；....................................................................5 （2）根据（1）可得，所以，.................................................8 则，..........................................................10 所以 . ........................................................................................................15 17．（15分） 如图，在三棱柱中，侧面是矩形，. (1)求证：平面； (2)若. （i）求三棱柱的体积； （ii）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）在中，由， 得，则， ，由四边形是矩形，得，......................................................................2 又平面，且， 所以平面. ...........................................................................................................................4 （2）（i）由（1）知平面，又平面平面， 则平面平面，而 ，则， 由，得，即有，........................................7 取中点，连接，则，又，则， 所以. ....................................................9 （ii）以点为原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量为， 则，取，得，......................................................12 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. .....................................................................................15 18．（17分） 已知椭圆的方程为，其长轴长为6，且点在上. (1)求的方程； (2)设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点. （i）若，且的重心在轴上，求的方程； （ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由长轴长为6，可得，则. 将点的坐标代入椭圆方程，可得， 解得. ..........................................................................................................................................2 故的方程为. .....................................................................................................................3 （2）（i）由（1）可知，设直线. 联立得可得. 由，可得. .........................................................................5 的重心的横坐标为，则， 即，符合， 故直线的方程为. .............................................................................................................8 （ii）由（i）可知. 设， 联立得可得， 则 如图，因为的面积， 四边形的面积 所以，得. .............................................................................................13 故，① ，② ...........................................................................................................15 联立①②，得，又在第一象限，所以， 故解得，所以. ..........................................................................................................17 19．（17分） 已知函数． (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，证明：对任意，都有； (3)证明：，. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时，， 则， 所以，，.....................................................................................................2 故当时，在点处的切线方程为. ............................................................3 （2）对任意的，当时，， 故只需证对任意的恒成立，整理得， 构造函数，其中， 则 ，......................................................................................................................5 所以函数在上为减函数，故当时，，即， 故对任意的，， 故当时，对任意，都有. ..........................................8 （3）由（2）知，当时，，即， 令，则， 因为，所以， 构造函数，其中，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，当且仅当时，等号成立，..............13 令，得，即， 整理得， 则， 即，............................................................................................15 所以，，，， 累加得 ， 故，. ..........................................................................................17 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数的最小正周期为. (1)求以及曲线的对称中心； (2)讨论函数在区间上的单调性. 【答案】(1)，对称中心为； (2)在上单调递增，在上单调递减. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得， 则，.......................................................................................................................2 令，得， 所以的对称中心为. .....................................................................................5 （2）由（1）得，求导有， 由，得， 由，得，.............................................................................8 由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. ..........................................................13 16．（15分） 已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)设为上一动点，当取得最大值时，求直线被截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的性质结合点在椭圆上代入解方程可得； （2）由椭圆的性质得到当，，三点共线时取得最大值，再直曲联立，由弦长公式计算可得. 【详解】（1）设半焦距为，因为，故. 又过点，故. 由椭圆的几何性质有，....................................................................................2 故，. 所以的方程为. ................................................................................................................5 （2） 设的左焦点为， 则，当且仅当，，三点共线时等号成立，此时. 因为，故直线的方程为. ..............................................................................9 与的方程联立有， 整理有，，解得，. .......13 故直线被截得的弦长为. ..................................................15 17．（15分） 如图，正三角形和平行四边形在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角为120°，设CE的中点为H． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，F、G分别为的中点， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面， 又H、G分别为的中点，所以．.........................................................................2 平面，平面，所以平面， 因为FD、平面，， 所以平面平面．............................................................................................................5 （2）因为三角形为正三角形，，F为的中点， 所以，， 所以为二面角的平面角， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面． 作平面于O，则O在直线上． 又二面角的平面角为， 所以O在线段的延长线上．由已知得，则，．.........................8 以F为原点，所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图， 因为， ，所以，...................................................................11 则，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则由，，得， 令，得．.....................................................................................................13 易得平面的一个法向量， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． ................................15 18．（17分） 已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若在上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】(1)时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）的定义域为，． 当时，在上单调递增；当时，由得， 由得，由得，...............................................................................2 则在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增．............................................4 （2）因为在上有两个零点，所以， 由得，令，则， 所以，时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 有极大值，也就是最大值为，......................................................................................7 又无限趋近时，无限趋近于0， 所以在上有两个零点时，， 所以，即的取值范围是．........................................................................................9 （3）因为有两个极值点， 所以，有两个实数根， 所以可得， 设，将代入，得， 所以，.................................................................................................13 所以要证，只需证，即． 设，则．......................................................15 令，则，可知在上为增函数． 又，所以时，在上为增函数． 所以，即成立，所以成立． .....................17 19．（17分） 流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈. (1)若有某种治疗方案M，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率； (2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ (3)已知某种药物C能治愈疾病S的概率为.设针对药物C的次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为，且每次治疗结果相互独立.求证：. 【答案】(1) (2)先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短 (3)证明见解析 【详解】（1）设使用治疗方案M治愈疾病S为事件D，使用治疗方案M能杀灭致病菌为事件E， 则， 因为事件发生则事件必发生，故，.......................................................................2 . ...........................................................................................................................4 （2）设表示药物A能治愈疾病S的概率，表示药物B能治愈疾病S的概率. 则有， 设先用药物A再用药物B来治愈疾病S所需的天数为，先用药物B再用药物A来治愈疾病S所需的天数为， 则，，， 所以 . .....................................................................7 同理得，， 则有. 从而有， 因此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短. .............................................................................9 （3）设针对药物C的n次临床试验中未出现连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为， 因此有，从而，从而， 由可得，所以有，....................................13 这表明随增大而增大，随增大而减小，所以有， 另一方面，由， 可得，即， 注意到，所以有， 即，..................................................................................................15 因为，所以有， 综上所述，. .............................................................17 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 为比较A、B两种AI教学系统在提升教师备课效率方面的差异，研究人员在某地区随机招募了200名教师，并随机分配其中100名使用系统A，其余100名使用系统B．经过一个月的试用后，以“备课时间减少15%以上”作为备课效率显著提升的标准，经整理得到如下列联表： 备课效率 使用的教学系统 显著提升 没有显著提升 合计 系统A 75 25 100 系统B 55 45 100 合计 130 70 200 (1)记事件“该地区教师使用系统A后，备课效率显著提升”的概率为，求的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面是否存在差异． 附：， 0.05 0.005 0.001 3.841 7.879 10.828 【答案】(1) (2)存在差异 【详解】（1）解法一：由表格可知“该地区教师使用系统A后，备课效率显著提升”的人数有75人， 故，故的估计值为． 解法二：设事件“该地区教师使用系统A”为，事件“备课效率显著提升”为． 由频率估计概率得，，...........................................................2 由条件概率公式得，故的估计值为．.............................................5 （2）零假设为：这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面没有差异． 根据表中数据可得，．...........................................8 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为这两种AI教学系统在显著提升教师备课效率方面存在差异，此推断犯错误的概率不超过0.005．...............................................................................13 16．（15分） 已知数列的前n项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）由得：， 即，..................................................2 所以， 又，所以，所以数列是以首项为2，公差为2的等差数列. ...........................5 （2）由（1）知数列是以首项为2，公差为2的等差数列， 所以， 当时，， 当时，满足条件，所以，..........................................................8 所以， 所以. .....................................15 17．（15分） 如图，直角梯形中，为的中点，以为折痕把折起，使点到点的位置，且． (1)设平面与平面的交线为，证明：； (2)证明：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，，得四边形为平行四边形，则， 而平面，平面，则平面，...............................................................2 又平面平面平面，所以. ...........................................................4 （2）由，得，即得， 由四边形是正方形，得，则，.................................................................7 而平面， 所以平面. ......................................................................................................................9 （3）由（2）得，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量， 则，取，得， 设平面的一个法向量， 则，取，得，........................................................12 因此，由图形知二面角的大小为钝角， 所以二面角的余弦值为. ......................................................................................15 18．（17分） 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线与交于两点，当轴时，． (1)求双曲线的离心率； (2)若经过点，为的左支上一动点． （ⅰ）当的斜率为时，求的面积的最小值； （ⅱ）设，为的右支上一动点，若三点不共线，且平分，证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析. 【详解】（1）当轴时，，解得． 由，得，所以，...........................................................2 整理得，解得（舍去）， 故双曲线的离心率为．.............................................................................................................3 （2）由（1）知，，又，所以，所以的方程为． 将代入，得，故的方程为． （ⅰ）当的斜率为时，其直线方程为，设，， 联立得， 则，， 所以. .............5 设过点与直线平行的直线的方程为，当直线与的左支相切时，直线与直线之间的距离最小，此时的面积最小． 联立得， 则，解得， 当时，直线与的左支相切，符合题意； 当时，直线与的右支相切，不符合题意， 所以直线与直线之间的距离， 故的面积的最小值为．................................................8 （ⅱ） 证明：由上可知，，所以直线的方程为． 因为平分，所以直线与关于直线对称，所以直线与的斜率之积为1， 显然直线的斜率存在，设其方程为，设，， 联立得， 则，且， ，， ，............................................13 整理得， 所以， 即，解得，或．................................................................................15 当时，直线的方程为，即直线恒过定点，三点共线，舍去； 当，且时，此时直线恒过定点． 综上可知，直线恒过定点．.............................................................................................17 19．（17分） 已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)，成立，求实数a的取值范围； (3)若时，与的图象有三个交点，横坐标分别为，，（），求证：. 【答案】(1)递减区间为，递增区间为 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）解：当时，可得，可得， 令，可得， 当时，，可得， 即，单调递减； 当时，，所以，单调递增，...........................2 则，即，单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. ..........................................3 （2）解：令， 可得，令， 则， 当时，，，，故， 当时，，，故， 所以当时，可得，单调递增，即单调递增，， 当时，，则，在上单调递增， 所以，所以成立，满足题意；...............................................................5 当时，存在，使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，，不满足题意， 综上可得，实数的取值范围为. .........................................................................................8 （3）解：当时，，可得， 设，可得， 设，可得， 设，可得， 当时，，可得， 则在上单调递增， 因为， 所以存在唯一，使得， 可得在上单调递减，在上单调递增， ，.............................................11 所以存在唯一的，使得， 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由，，， 又由 ， 因为，，可得，， 可得，，所以， 则存在唯一，使得， 且在上单调递增，在上单调递减， 当时，，，则在上单调递增， 则，则存在唯一，使得， 当时，，当时，， 当时，，可得， 在上单调递增，，，..............................................................13 综上可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 要使得与的图像有三个交点， 则，..............................................................15 ，则， 又因为，则，则， 所以，得证. ...............................................................................................................17 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $