大题预测01（A+B+C三组解答题）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（天津专用）

备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 大题预测01(A组+B组+C组) 【A组】 (建议用时：60分钟满分：75分) 四、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.(14分) 在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知(b+c(sinB-sinC)=(a-c)sinA. (1)求B: 2若ABC的面积为3V5 且AD=2DC,求BD的最小值， 【解析】(1)由正弦定理得b+c川b-c=(a-ca, 即a2+e2-b2=a0, 2 由余弦定理可得cosB=a+c-b ac 1 2ac 2ac 2 因为Be(0,, 所以B= 3 45 C2)由已知Sc=acsinB=35 所以aC=3…6 2 因为0=2Dc,所以0=号C, 可得BD=BA+AD=BA+名4C=B+2B+名BC=BA+2BC,8 所以(8D=。B+8c+2A-Bc到 -1+4a+4accosB=1+4 4 .10 9 9 9 9 9 3 12+2-2 c2+4a2+2≥2ca+ 2 9 9 3 33 3 当且仅当a=,c=6时取等号。 13 所以BD的最小值为√互 15 17.(15分)如图1，在平面四边形PBCD中，已知BC⊥PB,PD⊥CD,PB=6,BC=2,DP=2CD, DA1PB于点A将△PAD沿AD折起使得PA⊥平面ABCD,如图2，设MD=1PD(0≤元≤1)， 1/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 图1 图2 诺天-子求证：B平面4C: 2)若直线AM与平面PCD所成角的正弦值为6，求2的值 【解析】(1)在平面四边形PBCD中，BC⊥PB,PB=6,BC=2, 所以CP=2io,tan∠BPC=3, 1 又PD⊥CD,DP=2CD, 所以CD=22,PD=4V2,an∠DPC=。，2 2 1,1 所以tan ZBPD=tan(∠BPC+∠DPC)=23=L,所以∠BPD=4504 11 1- 23 所以在Rt△PAD中，易得PA=AD=4 5 因为DA⊥PB,BC⊥PB,所以AD//BC, 在四棱锥P-ABCD中，连接BD,设BDAC=F,连接MF, D B F C 因为2=子所以 MP 又AD-DF =2,所以F∥p8a…7 BC FB 因为MFc平面MAC,PB￠平面MAC, 所以PB∥平面MAC. ,8 2/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 (2)由题意易知AB,AD,AP两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 12 D B 则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P0,0,4 则CD=(-2,2,0）,PD=(0,4,-4}9 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), CD=0 「-2x+2y=0 元，PD=0' 即 4y-4z=0 令x=1, y=1 得1即i=l 411 由MD=1PD,得MD=(0,4元，-42)， 放M(0,4-41,4）,AM=(0,4-42,42）13 由直线AM与平面PCD所成角的正弦值为 3 得cos(M,n》 AM-n 4-4元+42 AM网 4-4)2+(42.5 3,解得= 2 15 18.(15分)已知函数fx=ln2x+1-4ae+(a-2)xaeR. (1)当a=0时，求f(x的最大值： (2)若gx=fx+3ae对定义域内任意实数x都有gx)≤0，求a的取值范围 【解析】 (1)当a=0时，fx=ln(2x+1-2x,定义域为 所以小=2智 2 令f>0,得-2<x<0,令<0，得x>0, 3/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 所以在(0上单润递塔，在0+)上单调递减， 5 所以f(x的最大值为f(0)=0. 7 (2)因为gx=ln(2x+1-ae+(a-2x≤0恒成立，所以g(0)≤0，得a≥0， 下面证明：当Q之0时，gx)≤0. 9 证男如下：因为g=2+-2到在小 上单调递减， 又因为g'0)=0,所以当- <x<0时，g'(x>0,当x>0时，g'(x<0, 所以g在(0上单调递增，在(0，+上单调递减， 13 所以gx≤g0),又因为g(0=-a≤0，所以a20时，gx≤0. 综上，a的取值范围为[0，+o). 15 9(5)设双自线E号 =1(a>0,b>0的左、右焦点分别为F,F,过点F且垂直于x轴的直线被E截 得的弦长为？F5=2厅，过原点且斜率为5的直线交E于BC两点。 4 1)求E的方程； (2)求四边形FBFC的面积. 【解析】 (1)过点F且垂直于x轴的直线为：-c, 63 将e代入双曲线方程可得二一卡1，解得y=主乡23 因此可得25_10，又F5=2c=24.且c2=a2+62. a 3 解得a=3,b=√5， 45 故双曲线E的方程为工 =1. 95 7 (2)如下图所示： 4/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 B s V5 联立 y2 解得少=±35 12 9 所以四边形FBF,C的面积S=|5F小小=24×35 60 15 20.(16分)己知数列a,}的前n项和为Sn,且满足S2-2S+S,=2+2,a-2a,+a,=2,记 b.=0。-2” (1)求证：{b,}是等差数列： 2若a,=3、求证：6b+b,b,+…+bb23· 【解析】 (1)由S2-251+S,=2+2,得S2-S-(S1-S)=2+2, 即a2-01=201+2,9 2 因为b=a,-2”,所以(b2+2…2）-(b1+2）=2+2, 所以bn+2-bn1=2,① 由a-2a+a,=2,得(b+2）-2b,+2）+6+2)=2. 整理得么-2弘，+h=0, 即6-b=6-h,② 46 由①②得b1-b,=2,neN°， 所以b}是公差为2的等差数列. .7 (2)因为b=a-2=1,所以b.=2n-1, 1(11 即h(2n-2n+3)42n-2m+3 .10 5/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 所以动bb 1 十…十 b. 1 12 (,,11 1 ..16 【B组】 (建议用时：60分钟满分：75分) 四、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(14分)已知函数fx)=xnx-ax. (1)当a=0时，求函数f（x)的单调区间： (2)若对任意x∈(0，+)，f(x≤x2+2恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】 (1)当a=0时，函数fx=xnx的定义域是(0，+0)，(x=nx+1,2 令八小<0，得n+1<0,解得0<x<分放国的单调通诚区间是(Q日】 令f八到>0，得x+1>0,解得x>。故八的单调递塔区间是（仁树 e 5 综上，(x)的单调递减区间是 单调逼区同是 ..6 (2)由任意x∈(0，+o),fx≤x2+2知xlnx≤x2+am+2恒成立. 因x>0,放a2nx-x-2,在x∈0，+o上恒成立 设A(刘=nx-x-2(x>0,则h刘=1+2-x-2x+ r x 9 令'(x)=0,得x=2,x2=-1(舍去)， 当x∈(0,2)时，'(x>0,hx单调递增， 当x∈(2，+0）时，hx<0,hx单调递减，11 故当x=2时，hx取得极大值，也是最大值，且xm=(2)=血2-3， 6/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 所以若a≥h(x在xe(0,+o)上恒成立，则a≥h(xn=l血2-3， 故实数☑的取值范围是[1山2-3，+功14 17(15分)，在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=4A. 四若a=2,A=受，求48C的面积： (2)若ABC为锐角三角形，求证：b>5a· 【解析】 (1)因A=交 7π 、m以三4星一” 12 12 1 7元 2sin π，T 2sin 十 由正弦定理4 ，所以c=2 34 =4+25,3 sinA sinC 12 sin 34 所以5 ac acsine824+293+2月 2 (2)证：由B=4A得sinB=sin4A=2sin2Ac0s2A=4 sinAc0sAc0s2A，.7 由正弦定理知，a4sim bsinB =cosAc0s2A=2c0A-coSA9 因ABC为锐角三角形，所以0<B=4A<”,0<C=元-B-A=元-5A<交 所以看<4骨所以eo4>cos π3 6 2 11 设cosA=x,令f(x=2x3-x, 21 所以∫"(x=6x2-1>0,所以f(x在 因此f八x>2 2 24 所以b、V5 即b>√5a15 4a4 1设。（5分)已知双曲线C号若=0>Qb>0的无，右顶点分别为人，B,4B-4.C的右点F到断证 线的距离为2√3，过点F的直线I与C的右支交于P,Q两点（点P在第一象限），直线AP与BQ交于点T, (1)求双曲线C的方程： (2)证明：点T在定直线上： 7/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 3)记△TPQ,△TAB的面积分别为S,S2,若 =5,求直线1的方程， S? 【解析】 (1)双曲线C:￡-y 方京=1的海近线为x生少三0，…… be 设F(c,0), 则后+b =b=2V3, 而a=2,所以双曲线C的方程为- =14 412 (2)由(1)知，A(-2,0),B(2,0),F(4,0),直线1不垂直于y轴，设方程为x=y+4, x=y+4 由 p2=j2消去X得(3-0y+24y+36=0， 设P(,),(2,y), 440+g=号5<0，则=+0.<5一8 32-1≠0 241 直线40：y=十2红+0，直线80：y产-2 X1+2 联立得+2+02+为t6奶y+9盟3，解得 x-2y(02+2) 20y+)+2y月-3y 所以直线AP与BQ交于点T在定直线x=1上… 4.10 (3)由(2)知， 2p70sm∠m0m1o.ll.5. S, 2ITAWTRIsin L4TB ITAI ITB]3 1 则（少1+3）y2+3)=15,即1y1y:+31(0y1+y)-6=0,12 于是67此-6=0，解得-写即1=±号 14 32-1312-1 3 所以直线1的方程为x=士，y+4,即3x士y-12=0…15 8/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 :Vo 19.(15分)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=AC=AA=2,BA1BC,BA=BC. B (1)证明：平面ABC⊥平面ACC,A,; (2)若直线AB与平面ABC所成角为60°，求平面4BC与平面ABC夹角的余弦值. 【详解】(1)方法1：取AC的中点0，连接A0,BO, A B C B 因为AA=A,C,所以A0⊥AC,且A0+0A2=AA=4,1 因为AB⊥BC,BA=BC,O为AC的中点，所以OA=OB=OC, 所以A,02+0A2=A,02+0B2=4=AB2,所以A0⊥B0,3 因为0A∩OB=0,OAc平面ABC,OBc平面ABC,所以A,O⊥平面ABC, 因为AOC平面ACC,A,所以平面ABC⊥平面ACC,A。…5 方法2：设0为A在底面ABC的射影，则A0上平面ABC,1 因为AB=AC=A,A,所以0A=0B=0C 9/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 射影O为底面ABC的外心，又ABC为直角三角形，所以O恰为斜边AC的中点，4 因为A0C平面ACC,4,所以平面ABC⊥平面ACC,A。5 (2)由(1)可知，A01平面ABC,所以AB与平面ABC所成角即为∠AB0,所以∠AB0=60°，6 因为△A,A0≌△A,B0,所以∠AB0=LAA0=60°，所以A0=5,A0=1,…7 因为BA=BC,0为AC的中点，所以B0⊥AC, 8 方法1：如图所示，以0为原点，分别以OA,OB,04所在方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直 角坐标系， 则4(0,0,5，C(-1,0,0),B(-11,5 所以AB=(-l,l,0）,CB=0,l,V3,…10 设平面4BC的法向量为几1=(x,z, 则有 元AB=0,即 -x+y=0, 元·CB=0, +√3z=0, 令2=1，则y=-5,x=-5 所以元=(5，-5利 12 易知平面ABC的一个法向量为元2=(0,0，I),… ..13 设平面ABC与平面ABC的夹角为O,所以cos0= 匠。1万 同7x17 所以平面48C与平面4BC夹角的余弦值为5 44.15 方法2：如图，过C作AB的平行线1，因为AB∥AB,所以1∥AB, 过0作0H上1，垂足为H, 8 10/20 大题预测01（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 在中，角所对的边分别为，，，已知. (1)求； (2)若的面积为，且，求的最小值. 17．（15 分）如图1，在平面四边形中，已知，，，，，于点.将沿折起使得平面，如图2，设（）. (1)若，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18.（15分）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)若对定义域内任意实数都有，求的取值范围． 19 .（15）设双曲线的左､右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，过原点且斜率为的直线交于两点． (1)求的方程； (2)求四边形的面积． 20．（16分）已知数列的前项和为，且满足，，记． (1)求证：是等差数列； (2)若，求证：． 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围. 17（15分）．在中，角的对边分别为，已知. (1)若，，求的面积； (2)若为锐角三角形，求证：. 18．（15分）已知双曲线的左，右顶点分别为的右焦点到渐近线的距离为，过点的直线与的右支交于两点（点在第一象限），直线与交于点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：点在定直线上； (3)记的面积分别为，若，求直线的方程. 19.（15分）如图，在三棱柱中，，，．    (1)证明：平面平面； (2)若直线与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 20．（16分）已知等比数列的公比，，是，的等差中项．等差数列满足，． (1)，求数列的前项和； (2)将数列与的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此数列的前项和． 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：75分） 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分）在中，已知内角的对边分别为，为线段上一点，． (1)若为的中点，且，求面积的最大值； (2)若，且，求． 17．（15分）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为（是自然对数的底数），求的值； (2)若有且只有两个零点，求的取值范围． 18.（15分）如图，在四棱锥中，且，底面是边长为的菱形， (1)平面平面 (2)若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值 19．（15分）在前项和为的等比数列中，，，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 20．（16分）已知双曲线E：的左，右顶点分别为，，，双曲线E渐近线的方程为，过作斜率非零的直线l交E于，直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的斜率分别为，，求证为定值； (3)在x轴上是否存在定点，使得定点恰好在以为直径的圆上，若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$