大题预测01（A+B+C三组解答题）-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（新高考专用）

备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 大题预测01(A组+B组+C组) 【A组】 (建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15,(13分) 记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=√2 a.sinB (1)求A: (2)若tanC=tanA+tanB,c=3,求ABC的面积. 【答案】()4=或323 4 4 【详解】(1)由b=√反asinB,及正弦定理得sinB=√2sin4sinB,.2 因为B为三角形内角，故s加8>0，故得snA= 2 π 又A为三角形内角，“A=”或 4 4 (2)由tanC=-tanA+B)=tanA+tanB.… 5 得-tan4+anB =tan4+tanB. 1-tanAtanB 又tan4+tanB≠0，∴.tan4tanB=2,所以A,B∈0，. 2 由(1)得tanA=l,故tanB=2,∴.tanC=tanA+tanB=3, 而4，B,C为三角形内角，血4=2 5,sinc=310 10 10 由正弦定理 sinA sinC,得a=sin4 sinC =V5,l2 故16c的面积s-ona=-方5x3x2 =3 ,13 16.(15分)设fm)=(x2+a)nx+。x2,aeR (1)若a=0,求f(x)在x=1处的切线方程： (2)若aeR,试讨论f(x)的单调性. 【答案】(1)4x-2y-3=0(2)见解析 【详解】(1若a=0,则/到=r+,f刊=号 1 1/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 又f八x=2xx+x+x=2xr+0,故f=2,…2 所以)在=1处的切线方程为)支24-) 即4x-2y-3=0；… ,4 (2)f"(x=(2x+a)nr+x+a+x=(2x+anr+1),x∈(0，+oo),…5 当a20时，2x+a>0,令川x到>0，即1r+1>0,解得x>,令川x<0,解得0<x<.…7 所以x)在0,3上单调递减，日+四)上单调递增：。8 当a=-2时，fx)≥0，f)在(0，+0)上单调递增，410 当号电-是a<0时，令f>0,解得0<<号或>令f<0,解得-号<， 2 所以f)在0，一分，白四上单调递塔，（号的上单调道减： 当号即a<名时，令f八到>0，解特0<x<或x>-号令f<0,解得<号 所以)在(0宁（受网上单调递塔，合骨上单调递减 .14 综上：当a≥0时，所以fx)在(0，马上单调递藏，白，切)上单调递增： e 当子<a<0时，所以)在0，号，白四上单谓通增，（号为 ,)上单调递减： e 当4=-2时，f)20,f(x)在(0，+0)上单调递增， 当<时：所以在0，白，（号烟上单调速塔，合台上单调递减 +……15 17,(15分)·如图，在圆柱O,O2中，点A,B,C,D为底面圆周上四点，AP为圆柱的一条母线，E为PC的 中点，AD=1, D (1)若AD∥BC,BC=2,证明：ED∥平面ABP: (2)若AD⊥DC,BA=BC=√2，且二面角A-CP-B的余弦值为，，求AP. 【答案】(1)证明见解析(2)AP=√互， 2/20 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 【详解】(1) E 0 C4------ 0 如图，取PB的中点M,连接MA,ME. …1 因为E,M分别为PC,PB的中点，所以EM∥BC,EM=。BC.2 因为AD∥BC,AD=号BC,所以EM∥AD,EM=AD.3 所以四边形ADEM为平行四边形，所以ED∥MA, …4 因为EDt平面ABP,MAC平面ABP,所以ED∥平面ABP,5 (2) ●0 因为AD⊥DC,所以AC为底面圆的直径，所以AB⊥BC, 因为BA=BC=√2，AD=1,所以AC=2,CD=√5.7 由圆柱的特征可知PA⊥平面ABCD,则PA⊥AC, 故以A为坐标原点，分别以AC,AP所在直线为y轴，z轴，垂直于AC,AP的直线为x轴， 建立如图所示的空间直角坐标系A一)z 设AP=1,则B(1,1,0）,P(0,0,,C0,2,0),02(0,1,0小9 所以BC=-11,0,BP=(-1,-L,1) 连接O2B,则O,B⊥AC,易知AP⊥O3B, 又AP∩AC=A,AP，ACC平面ACP,所以O2B⊥平面ACP,11 故平面ACP的一个法向量为OB=(1,0,0) 3/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 设平面BCP的法向量为元=(x,,z, 则 n.BC=0 -x+y=0 即 BP=0 -x-y+z=0' 取x=1,则y=1,2=2,即元=11名 4413 则cos(o,8. 0,B= 0,同V2+产 解得1=√2（负值舍去)，故AP=√互… 415 18.(17分)己知P为抛物线E:y2=2x上的动点，Q为圆C:(x-a)2+y2=1(a>1)上的动点，若PQ的最 小值为√3-1. (1)求a的值： (2)若动点P在x轴上方，过P作圆C的两条切线分别交抛物线E于另外两点A,B,且满足PA=PB,求 直线AB的方程， 【答案】(1)2(2)9x+30y+1=0 【详解】(1)设P(xo,,P的最小值为V5-1,即PC的最小值为5,2 则pC=V-a+y=vx,-a)2+2x,=V+1-a}+2a-1(x≥0 当x=a-1时，|PC1=V2a-1=V3,a=2: 44 (2) 4/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 连接AB,CP,设Ax,),B(x2,乃，P(xo,y 直线P4的斜幸，==为。2 -x星_后+· .6 22 直线pA的方程为：y一全2x-， 月+g 即直线PA的方程为：2x-月，+。y+y月+y-2x。=0,化简得2x-少+y。y+乃=0,8 同理直线AB的方程为：2x-(月+yy+2=0, 4+y0 则点C2.0到直线PA的距离为4+0+，了 =1,即y后-1y+6y%片+12-后=0,10 同理（后-1+6y2+12-y后=0，… 11 则y,是方程后-1y2+6yy+12-6=0的两根， 所以男+男瓷，则直线B的斜车无。=子-￡ 6y 乃+乃3% w12 因为P4,PB与圆C均相切， 所以由对称性可知PC平分∠APB, 又注意到PA=|PB, 所以有PC⊥AB, 3·2,注意到=2 解得x=5,则，=0或。=-0（舍去） 此时方程（后-1y2+6yy+12-后=0变为了9y2+60y+2=0, 显然满足1=360-72=288>0，且y+为=-2 2 ，y2=。 .15 3 9 因为直线4B的方程为：2x-(+少+=0，即2x+20 9 即直线AB的方程为9x+3V10y+1=0。… 17 19.（17分)已知数列A:a,a2,…,am为2m个数1,2，，2m的一个排列，其中meN,且m≥3.若在集合 {12,,2m-1中至少有一个元素i使得a,-a.=m,则称数列A具有性质T. (1)当m=3时，写出4个具有性质T的数列A: 5/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 2)若数列a}和a(n=1,2…,m)均为等差数列，且a=l,am=2,证明：对于所有的偶数项数列 A:a,a,,an不具有性质T; (3)在所有由1,2,2m的排列组成的数列A中任取一个，记具有性质T的数列的概率为P(T),证明：对于 任意m(m23引，PT)>2 【答案】(1)4个其有性质T的数列可以为：1,42,5,3,6：1,4,3,6,2,5：6,3,4,1,5,2；6,3,5,2,4,1. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】(1)数列A:1,4,2,5,3,6,分析：在这个数列中，1-4=3，满足在集合L,2,3,4,5}中至少有一个 元素使得1a,-a上3，所以该数列具有性质T, 数列A:1,4,36,2,5.分析：其中1-4=3，满足性质I的条件.2 数列A:6,3,4,1,5,2.分析：这里|6-3上3，符合性顶质T。…4 数列A:6,3,5,2,4,1.分析：6-3=3，具有性质T… 5 (2)因为数列{a}和(a.}(n=l,2,,m)均为等差数列，且a=1,aw=2,所以数列 A:L,2m,3,2i-2,5,2m-12,4444447. 所以任意相邻两项的差绝对值都是奇数， 所以当m为偶数时，在集合1,2，…，2m-中不存在元素i使得|a-a=m, 故对于所有的偶数m,数列A:4,4,…,4.不具有性质T…… 49 (3)设在所有由1,2，…，2m的排列组成的数列中，记具有性质T的数列的个数为M,不具有性质T的数列的 个数为B, 设数列A:4,a2,,am为任意一个不具有性质T的数列， 因为a,42,,2m为1,2，…，2m的一个排列， 所以在g,a,,a2m中有且仅有一项a(≥3)，使得a1“a=m, 在数列4：a,,…,am中，将项移到a项的前面，其余项的顺序保特不变，…12 得到新数列a2,03,…,0…a1,a…,2m,新数列f为1.2，…，2m的一个新排列，13 显然数列：具有性质T,且任意一个与A不同的不具有性质T的数列通过上述移动首项方法都得不到数列 6/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 结合数列A为任意一个不具有性质T的数列，且根据A可以构造一个符合趣意的具有性质T的数列，可 得M≥B 15 又因为数列D:1,侧+1,2，期+2，…，m,2两具有性质T, 且任何一个不具有性质T的数列都不可能通过上述移动首项方法得到数列D, 所以M>B 表新幸知积知道，对于任意am≥引，PA一”后广号 则原命愿成立 17 【B组】 (建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)己知数列{a}的前项和为Sn,若S。=2a,+1, 1)求S: (2)若cn= an,n为奇数 Sn,n为偶数 T为数列{c}的前项和，求Tn 【答案】S,=1-227.=n+-4) 【详解】(1)当m=1时，S1=a,=-1, 当n22时，an=S。-S.-1,所以Sn=2S.-S-+1, .2 所以S。=2S.1-1,所以S。-1=2(S。1-1, 又因为S-1=-2≠0， 所以S。-1是以-2为首项，2为公比的等比数列， 4所以 S,-1=-2×2"-,即S.=1-2”, 又月=1时也满足上式，所以S。=1-2”,6 (2)因为S,=1-2"=2a,+1,所以a.=-2-, -2”-,n为奇数 所以cn= 1-2",n为偶数' 7/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 所以Tn=1+C2+C3+C4+…+C2-1+C3m =(G+CS+…+C2a-+(C2+Ca+…+C2. =(-2°-22-2-…-2m-2）+1-2+1-2+…+1-220） -4+n4-4 12 1-4 1-4 En+1-4 13 16.(15分) 已知线段AB=2V5,动点E与点A、B的斜率之积为？点S在线段AB上，且4S=V2-1,过s作两条 互相垂直的直线和动点E的轨迹C分别交于点M、N和点P、Q, (1)建立适当坐标系，求动点E的轨迹C的方程， (2)求四边形PMQN面积的最小值， 【答案】国图见解折，号+户=x≠±回]a9 2 【详解】(1)以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系如图所示， B 则A-2,0,B(N2,0,设Ex,y, 3 化简整理，得2y=--2刘，即号+少=x≠士列 (2)由题意PQ的斜率存在且不为0，设为k,S在线段AB上， 45=5-1,则S-10,投P0:=+,MN:y=x+, 户1消元到2刊r+4+2-2-0. y=k(x+1) 由x2 -4k2 2k2-2 +x=2k2+1'5=2k+i 8 8/20 命学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 PO=+ 16k4 8k2-822(k2+1 9 2k2+12 2k2+1 2k2+1' w2w 同理可得：MW 221+k2) 2+k2 10 4k2+1 s-PM-( 12 令k2=tt>0): 42+21+1 2r2+51+2 14 ~1>0,21+2之4，当且仅当1=1，即k=1时等号成立. :四边形PMQN面积的最小值为， .16 15 17.(15分) 高中数学标准化考试选择题分为单项选择和多项选择两种题型，按照现行评分标准，多项选择题一般从 A,B,C,D四个选项中选出所有正确的选项（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部 选对的得6分，部分选对的得部分分（两个正确选项的每个正确选项3分，三个正确选项的每个正确选项2 分)，有选错的得0分。 (1)考生甲有一道正确选项为两个选项的多项选择题不会做，他随机挑选两个选项，求他猜对本题得6分的 概率； (2)考生乙有一道答案为ABD的多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他得到分数的分布列和 期望： )现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为}，得3分的概率 为)：考生丁得6分的概率为。得3分的概率为3丙，丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不 6 影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率 【答案】四之2分布列见解所。18包哈 【详解】(1)由趣意得甲同学所有可能的选择答案有n=C:=6种， 9/20 备学科网 www.zxxk.com 让致与学更高效 而其中正确选项只有一个，设符合条件的事件为M,故P(M)= 6 43 (2)乙同学所有可能的选择答案有n=C:+C】=10种，即共有10个样本点， 设乙同学本题可能得分为X,则X的可能取值为0,4,6，…5 Prx=0=合-号P06K-0= 1 所以乙同学可能得分的分布列为 0 4 6 3-5 3 10 10 所以数学期望为E(X)=0×+4x三+6x1 3 9 =1.88 5 10 10元5 (3)由题意得丙得0分的概率为1-1-1=1 244 一，，，，，，，，，，4，，9 丁得0分的概率为1-111 75… 丙丁总分刚好得18分的情况包含： 事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0,0+6,3+3三种情况， 11(11,11,11） 则P(A=二×二×x二+ 44(622633厂288 12 事件B:丙得9分有6+3,3+6两种情况，丁得9分有6+3,3+6两种情况， 则Pa=x{+xxLx是，月.1 一×一十一× ×一×-+一×一 4224633636 13 事件C：内得6分有6+0,0+6,3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况， 则P(C)= 11.1111)111 4*444226696 n14 所以丙丁总分刚好得18分的板率P=P(A+B+C=,5++是=】 288369618 15 18.(17分)如图，在多面体DABCE中，ABC为等边三角形，AB=AD=4, DB=DC=EB=EC=2N2,M为BC中点. D B 10/20 大题预测01（A组+B组+C组） 【A组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 16．（15分）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 17．（15分）．如图，在圆柱中，点为底面圆周上四点，为圆柱的一条母线，为的中点，． (1)若，，证明：平面； (2)若，，且二面角的余弦值为，求． 18．（17分）已知为抛物线上的动点，为圆上的动点，若的最小值为． (1)求的值 (2)若动点在轴上方，过作圆的两条切线分别交抛物线于另外两点，，且满足，求直线的方程． 19．（17分）已知数列为个数的一个排列，其中，且．若在集合中至少有一个元素i使得，则称数列A具有性质T． (1)当时，写出4个具有性质T的数列A； (2)若数列和均为等差数列，且，证明：对于所有的偶数项数列不具有性质T； (3)在所有由的排列组成的数列A中任取一个，记具有性质T的数列的概率为，证明：对于任意． 【B组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项和为，若， (1)求； (2)若，为数列的前项和，求. 16． （15分） 已知线段，动点与点、的斜率之积为，点在线段上，且，过作两条互相垂直的直线和动点的轨迹分别交于点、和点、． (1)建立适当坐标系，求动点的轨迹的方程， (2)求四边形面积的最小值． 17． （15分） 高中数学标准化考试选择题分为单项选择和多项选择两种题型，按照现行评分标准，多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的选项（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个正确选项的每个正确选项3分，三个正确选项的每个正确选项2分），有选错的得0分. (1)考生甲有一道正确选项为两个选项的多项选择题不会做，他随机挑选两个选项，求他猜对本题得6分的概率； (2)考生乙有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他得到分数的分布列和期望； (3)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为；丙，丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率. 18． （17分）如图，在多面体中，为等边三角形，，，为中点． (1)求证：、、、四点共面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分） 若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质，注：若数列的各项满足（或，则称数列为递增（递减数列）.递增或递减的数列统称为单调数列. (1)若，判断数列是否具有性质，并说明理由； (2)已知离散型随机变量服从二项分布，记为奇数的概率为.证明：数列具有性质； (3)已知函数，试判断数列是否具有性质. 【C组】 （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设 (1)求证：不论为何值，为定值. (2)当和的面积相等时，求的值. 16．（15分） 如图，矩形是圆柱的轴截面，分别是上、下底面圆周上的点，且．   (1)求证：； (2)若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值 17． （15分） 盒中共有3个小球，其中1个黑球，2个红球.每次随机抽取1球后放回，并放入k个同（）色球. (1)若，记抽取n次中恰有1次抽中黑球的概率为，求的最大值； (2)若，记事件表示抽取第i次时抽中黑球. （ⅰ）分别求，，； （ⅱ）结合上述分析，请直接写出抽取n次中恰有2次抽中黑球的概率. 18．（17分） 焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”. (1)如果椭圆：是等差椭圆，求的值； (2)对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由. 19．（17分）函数 (1)时，证明：； (2)讨论函数的零点个数； (3)当时，记所有零点之和为若无零点则，证明：参考数据： 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$