2.1.2 空间两点间的距离 课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.1.2 空间两点间的距离 你还记得上节课学习的这些知识吗 1.空间直角坐标系的建立; 2.空间中点的坐标(一一对应); 3.特殊位置的点的坐标规律. 1.空间直角坐标系O-xyz的建立 在空间取定一点O 从O出发引三条两两垂直的直线 选定某个长度作为共同的单位长度 (原点) (坐标轴) 作图(斜二测画法)： 一般地 ,使 注意：在 x 轴上的线段长度则取原来长度的一半． C' D' B' A' C O A B y z x xOy平面是坐标形如 的点构成的 x轴上的点坐标为 _________ z轴上的点坐标为__________ y轴上的点坐标为__________ ③坐标平面内的点 ②坐标轴上的点 yOz平面是坐标形如 的点构成的 xOz平面是坐标形如 的点构成的 (x,0,0) (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) ①原点坐标为（0,0,0） (0,y,0) (0,0,z) 2.空间直角坐标系中特殊点的坐标规律： O x y z 1.点P(x , y , z) 在下列坐标平面中的射影点为： (1)在xoy平面射影点为P1__________; (2)在xoz平面射影点为P2__________; (3)在yoz平面射影点为P3__________; P1 P2 (x,y,0) (x,0,z) (0,y,z) ④空间中点的射影点与对称点坐标 P(x,y,z) P3 5 对称轴或对称中心 对称点坐标 坐标原点 x轴 y轴 z轴 xOy平面 yOz平面 xOz平面 (x，－y，－z) (－x，y，－z) (－x，－y，z) (x，y，－z) (－x，y，z) (x，－y，z) (－x，－y，－z) P(x，y，z) “关于谁对称谁不变，其余的符号均相反” ⑤点P(x , y , z) 关于坐标轴、坐标平面的对称点： 平面直角坐标系 平面上两点间的距离公式： 思考：已知空间中两点，它们之间的距离怎么求呢？ x y P2 (x2,y2) O P1 (x1,y1) 1 1 1 • P2 • P1 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 z x y O P(x,y,z) 情况1：在空间直角坐标系中,任意一点P(x,y,z)到原点的距离： P` (x,y,0) 情况2：如果不是原点，而是任意两点呢？ 如图，我们知道，在平面直角坐标系中两点间的距离公式是 x y P1(x1,y1) P2(x2, y2) Q(x2,y1) O x2 y2 x1 y1 是否有相应的距离计算公式呢？ 在空间直角坐标系中,任意给出两点的坐标，就确定了它们的位置，也就确定了它们的距离． 在 Rt△ACC' 中， 于是，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线长为 在 Rt△ABC中， 如图，一个长方体的长、宽、高分别为a，b，c． 我们先来求一个长方体的对角线的长度. 设长方体的三条棱分别为和则点的坐标为，点的坐标为可得 由可得 空间两点间的距离公式 空间两点的距离公式： 对于空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A，B两点间的 距离为 特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为 想一想：在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到坐标轴的距离，怎么求？ 垂线段的长 例1 已知P(1，0，1)与Q(4，3，－1)． （1）求原点O到点Q的距离|OQ|； （2）求点P，Q之间的距离； （3）在z轴上求一点M，使|MP|=|MQ|． 例1 已知P(1，0，1)与Q(4，3，－1)． （3）在z轴上求一点M，使|MP|=|MQ|． 例2 求证∶以M1(4，3，1)，M2(7，1，2)，M3(5，2，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形． A 2 3.在z轴上求一点M，使点M 到A（1,0,2）与点B（1，-3,1）的距离相等. 4.已知点A（1，-2,11），B（4,2,3）,C(6，-1,4)判断该三角形的形状. 直角三角形 （0，0，-3） 解：由距离公式得， |AB|==， |AC|==， |BC|==， ∴|AC|2+|BC|2=|AB|2，∴△ABC为直角三角形. 5.如图，正方体OABC-D′A′ B′ C′的棱长为a，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC′|，求|MN|的长. z x y A B C O A′ D′ C′ B′ M N |MN|= 如何建系会比较方便呢？ 1.知识清单： (1)空间两点间的距离公式的推导. (2)求空间两点间的距离. (3)空间两点间的距离公式的应用. 2.方法归纳：公式法、数形结合. 3.常见误区：要合理建系，准确计算. 本节课你学到了哪些知识与方法？ $